第四章 一次函数 单元小测 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册一次函数单元卷，含知识点总结、测试及解析，覆盖函数概念、一次函数性质与应用等7个知识点，适配单元复习，强化概念理解与实际问题解决。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|函数定义、性质、平移|基础辨析，如一次函数与正比例函数区分，强化抽象能力| |填空题|6/24|自变量取值、交点坐标|聚焦易错点，如符号判断、取值范围，培养推理意识| |解答题|7/66|待定系数法、分段函数|综合应用，如行程问题（几何直观）、收费模型（模型意识），分层设计基础与提升|

北师大版数学　八年级上册 第四章　一次函数　单元小测 知识点总结 ＋ 单元测试 ＋ 答案与解析 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【使用说明】本卷依据北师大版数学八年级上册第四章「一次函数」编写，覆盖第 1 节「函数」、第 2 节「一次函数与正比例函数」、第 3 节「一次函数的图象」、第 4 节「一次函数的应用」全部内容，不涉及本章以外的知识。 全卷分三部分：第一部分为知识点总结；第二部分为单元小测，满分 分，建议用时 分钟；第三部分为参考答案与解析。 第一部分　知识点总结 知识点 1　函数的概念 1．变量与常量　在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量。 例如在 中， 与 是变量， 是常量。 2．函数的定义　在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 是 的函数， 叫做自变量。 判断是不是函数的关键：一个 只能对应一个 。 3．函数的三种表示方法 （1）关系式法（解析法）：用式子表示，如 ； （2）列表法：用表格列出对应值； （3）图象法：用图象直观表示。 4．自变量的取值范围　要使函数关系式有意义，同时要符合实际意义。 （1）整式： 取全体实数； （2）含 ：被开方数 ； （3）实际问题：如时间、长度、人数等一般要求非负（人数还必须是整数）。 知识点 2　一次函数与正比例函数 1．一次函数　形如 的函数叫做一次函数。 2．正比例函数　当 时，（）叫做正比例函数，它是一次函数的特殊情形。 3．两个必备条件（判断是不是一次函数） （1）自变量 的次数是 次； （2）一次项系数 。 例如 、 都不是一次函数； 是一次函数的条件是 ，即 。 4．正比例函数与一次函数的关系 即正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数。 知识点 3　一次函数的图象与性质 1．图象　一次函数 的图象是一条直线，因此也称它为直线 。 正比例函数 的图象是一条经过原点的直线。 2．画图象的方法——两点法　两点确定一条直线，所以只要描出两个点再连线即可。 最方便的两个点是与坐标轴的交点： （1）与 轴的交点：令 ，得 ，交点为 ； （2）与 轴的交点：令 ，得 ，交点为 。 图 4-1　直线 与两坐标轴的交点 3． 决定增减性（走势） （1）当 时， 随 的增大而增大，直线从左到右上升； （2）当 时， 随 的增大而减小，直线从左到右下降。 越大，直线越陡。 4． 决定直线与 轴交点的位置 （1）：交点在 轴正半轴，直线过第一、二象限的上方区域； （2）：直线过原点； （3）：交点在 轴负半轴。 5．、 的符号与直线经过的象限（重点） 、 的符号 增减性 经过的象限 ， 随 增大而增大 第一、二、三象限 ， 随 增大而增大 第一、三、四象限 ， 随 增大而减小 第一、二、四象限 ， 随 增大而减小 第二、三、四象限 图 4-2　、 的符号与直线的位置 记忆窍门： 必过一、三象限； 必过二、四象限。再由 的正负确定「向上抬」还是「向下压」，就知道第四个象限过不过。 6．直线的平移规律　把直线 ： （1）向上平移 个单位，得 ； （2）向下平移 个单位，得 ； （3）向右平移 个单位，得 ； （4）向左平移 个单位，得 。 平移不改变 ，所以平移前后的两条直线互相平行。 图 4-3　 上下平移得到 与 知识点 4　用待定系数法求一次函数关系式 四个步骤（「设、代、解、写」） 第一步　设：设所求的一次函数关系式为 ； 第二步　代：把已知的两个点的坐标分别代入，得到关于 、 的两个方程； 第三步　解：解这个方程组，求出 、； 第四步　写：把 、 的值代回，写出关系式。 注意：求正比例函数 只需要一个已知点；求一次函数 需要两个已知点。 例　已知一次函数的图象经过点 和 ，求它的关系式。 设 ，把两点代入得 两式相加得 ，；代回第一式得 。 所以关系式为 。 知识点 5　一次函数与坐标轴围成的三角形 方法　先求出直线与两坐标轴的交点 与 ，则 注意：两条直角边的长度都要取绝对值。 例如直线 与 轴交于 、与 轴交于 ，则 知识点 6　一次函数的应用 1．两条直线的交点　两条直线的交点坐标，就是同时满足两个函数关系式的那一对 、 的值。 从图象上读出交点，就得到两个函数值相等时自变量的取值。 图 4-4　直线 与 的交点 2．看图说话（函数图象的信息读取）　这是本章应用题的主要形式，读图要抓住四点： （1）横轴、纵轴各表示什么量，单位是什么； （2）每个转折点的坐标表示什么实际意义； （3）线段的倾斜程度表示变化的快慢（ 越大变化越快）； （4）水平线段表示这段时间内该量没有变化（如停留、休息）。 图 4-5　- 图象：出发、停留、返回三个阶段 3．分段函数型的实际问题　如阶梯水价、阶梯电价、超出部分另计费的收费问题，图象由几条线段组成，要分段写出关系式，并注明每一段自变量的取值范围。 图 4-6　分段收费问题的图象 知识点 7　易错警示 ① 忘记 。 中若 ，就变成了常数函数，不是一次函数。求 的值时务必检验。 ② 把「一次函数」与「正比例函数」混淆。正比例函数必须满足 。 ③ 判断增减性时只看 。增减性只由 的符号决定，与 无关。 ④ 求与坐标轴交点时把 和 代反。求与 轴交点令 ，求与 轴交点令 。 ⑤ 算面积时忘记加绝对值。交点坐标可能为负，但线段长度必须为正。 ⑥ 左右平移时符号弄反。向右平移 个单位是把 换成 ，即「左加右减」（针对 ）；而上下平移是「上加下减」（针对 ）。 ⑦ 实际问题中忽略自变量的取值范围。如时间 、人数为正整数等。 ⑧ 读图时把纵轴的量当成横轴的量。先看清两轴的意义再作答。 ⑨ 待定系数法只代一个点。求 必须代入两个点才能定出 、。 第二部分　单元小测（满分 分，时间 分钟） 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1． 下列函数中，是一次函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2． 下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3． 一次函数 中， 随 的增大而（　　） A．增大　　B．减小　　C．不变　　D．无法确定 4． 直线 与 轴的交点坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5． 一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则（　　） A．，　　B．，　　C．，　　D．， 6． 把直线 向上平移 个单位，所得直线的关系式是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7． 若一次函数 的图象是一条直线，则 的取值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8． 已知正比例函数 的图象经过点 ，则 的值是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 9． 如图，直线 与直线 交于点 ，则点 的坐标是（　　） 第 9 题图 A．　　B．　　C．　　D． 10． 直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是（　　） 第 10 题图 A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11． 在函数 中，自变量 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 12． 一次函数 的图象与 轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿。 13． 若一次函数 的图象经过点 ，则 ＿＿＿＿＿＿。 14． 直线 与直线 的位置关系是＿＿＿＿＿＿。 15． 若点 在直线 上，则 ＿＿＿＿＿＿。 16． 已知一次函数 ，若 随 的增大而减小，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 三、解答题（本题共 7 小题，共 66 分） 17．（8 分）已知一次函数 。 （1）求它的图象与 轴、 轴的交点坐标； （2）在坐标系中画出它的图象（用两点法）； （3）判断 随 的增减性，并说明理由； （4）求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积。 第 17 题图 18．（10 分）已知一次函数的图象经过点 和点 。 （1）用待定系数法求这个一次函数的关系式； （2）判断点 是否在这个函数的图象上，并说明理由； （3）当 时，求 的值； （4）当 时，求 的值。 19．（8 分）已知一次函数 。 （1）当 为何值时，它是一次函数？ （2）当 为何值时，它是正比例函数？ （3）当 为何值时， 随 的增大而增大？ （4）当 为何值时，它的图象经过原点？ 20．（10 分）如图是直线 及由它平移得到的两条直线。 第 20 题图 （1）写出把 向上平移 个单位所得直线的关系式； （2）写出把 向下平移 个单位所得直线的关系式； （3）这三条直线有什么位置关系？为什么？ （4）把直线 向右平移 个单位，求所得直线的关系式，并判断它与（2）中的直线是否重合。 21．（10 分）小明骑车从家出发去图书馆，中途休息了一段时间，然后继续前进；到达后停留一段时间，再原路返回。他离家的距离 （千米）与时间 （时）的关系如图所示。 第 21 题图 （1）图书馆离小明家多远？他去时用了多长时间？ （2）他在图书馆停留了多长时间？ （3）求他去图书馆时的速度和返回时的速度； （4）求返回过程中 与 的函数关系式，并写出自变量的取值范围。 22．（10 分）某市自来水公司的收费标准是：每月用水量不超过 吨时，只收基本水费；超过 吨的部分，另按每吨若干元收费。某用户每月应缴水费 （元）与用水量 （吨）的关系如图所示。 第 22 题图 （1）当每月用水量不超过 吨时，水费是多少元？ （2）求超过 吨的部分每吨收费多少元； （3）求当 时， 与 的函数关系式； （4）若某月缴纳水费 元，求该月的用水量。 23．（10 分）甲、乙两人分别从 、 两地同时出发前往同一目的地。他们行驶的路程 （千米）与时间 （时）的关系如图所示。 第 23 题图（甲从原点出发，乙从 处出发，两人都在 千米处结束） （1）分别求甲、乙的速度； （2）分别求甲、乙的 与 的函数关系式； （3）谁先到达目的地？先到多长时间？ （4）当 为何值时，甲比乙多行驶 千米？ 第三部分　参考答案与解析 一、选择题 1．C 【解析】一次函数的形式是 （），自变量的次数必须是 次。 A． 中 在分母上，不是一次函数； B． 中 的次数是 ，不是； C． 中 ，次数为 ，是一次函数； D． 中 在根号内，不是。 2．B 【解析】正比例函数的形式是 （），即一次函数中 的特殊情形。 A 中 ，不是正比例函数；C、D 不是一次函数； B． 中 ，，是正比例函数。 3．B 【解析】增减性只由 的符号决定。这里 ，所以 随 的增大而减小。 4．C 【解析】求与 轴的交点，令 ： 所以交点坐标是 。 【易错点】选项 A 是与 轴的交点（令 得 ），不要代反。 5．C 【解析】图象经过第一、二、四象限，说明直线从左到右下降，所以 ； 又因为它经过第二象限并与 轴正半轴相交（不经过第三象限），所以 。 【方法总结】 必过二、四象限，再由 把直线「抬高」，就补上了第一象限，恰好不过第三象限。 6．A 【解析】上下平移只改变 ，遵循「上加下减」。向上平移 个单位， 由 变为 ，所以 7．B 【解析】 是一次函数（图象为直线且不与 轴平行）的条件是一次项系数不为 ： 8．B 【解析】把点 代入 ，得 所以 。 9．A 【解析】交点同时在两条直线上，所以它的坐标同时满足两个关系式。由 得 ，移项得 ，所以 再代入 得 。所以交点 。 10．B 【解析】令 ，得 ，，所以直线与 轴交于 ； 令 ，得 ，所以直线与 轴交于 。 两条直角边的长分别为 所以 【易错点】 要取 ，不能直接用 参与面积计算。 二、填空题 11． 【解析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，所以 12． 【解析】令 ： 移项得 ，两边同乘 得 。所以交点坐标是 。 13． 【解析】把点 代入 ，得 移项得 ，所以 。 14． 互相平行 【解析】两条直线的 值相同（都是 ），但 值不同（），所以两直线互相平行（不重合）。 15． 【解析】把 代入 ： 16． 【解析】 随 的增大而减小，说明一次项系数为负： 移项得 ，两边同乘 （不等号方向改变），得 。 【易错点】这里已经隐含了 ，因为 本身就保证了它不等于 。 三、解答题 17．（8 分） （1）令 ，得 所以与 轴的交点是 。 令 ，得 ，所以与 轴的交点是 。 （2）画法：在坐标系中描出点 与 ，用直尺过这两点作直线，即为 的图象（见题图）。 （3）因为 ，所以 随 的增大而增大，图象从左到右上升。 （4）三角形的两条直角边就是 与 ： 所以 18．（10 分） （1）设这个一次函数的关系式为 （）。 把 代入，得 把 代入，得 ① ② 得 把 代入 ① 得 ，所以 。 所以这个一次函数的关系式为 （2）把 代入 ，得 计算结果与点 的纵坐标 相同，所以点 在这个函数的图象上。 （3）把 代入，得 （4）把 代入，得 ，移项得 ，所以 【方法总结】判断一个点是否在图象上，只需把它的横坐标代入关系式，看算出的 是否等于它的纵坐标。 19．（8 分） （1） 是一次函数的条件是一次项系数不为 ： （2）是正比例函数还要求常数项为 ，即 由 得 ，此时 ，符合要求。 所以 。 （3） 随 的增大而增大，说明一次项系数为正： （4）图象经过原点，说明当 时 ，即常数项为 ： （同时需 ， 满足。） 【方法总结】（2）与（4）的答案相同，这并不奇怪：正比例函数的图象就是经过原点的直线，两者是同一个条件的两种说法。 20．（10 分） （1）向上平移 个单位， 加 ： （2）向下平移 个单位， 减 ： （3）这三条直线互相平行。 理由：它们的 值都等于 （相同），而 值分别是 、、（互不相同）， 相同说明倾斜程度相同，所以三条直线互相平行且互不重合。 （4）向右平移 个单位，把关系式中的 换成 （左加右减）： 它与（2）中的直线 不重合。 理由：两者的 都是 ，但 分别是 与 ，不相等，所以是两条互相平行但不重合的直线。 【方法总结】上下平移改的是 （上加下减）；左右平移改的是 （左加右减）。对于 ，向右平移 个单位等价于向下平移 个单位——本题中向右平移 个单位就相当于向下平移 个单位，所以得到 而不是 。 21．（10 分） （1）由图象可知， 的最大值是 千米，所以图书馆离小明家 千米。 图象在 时首次到达 ，所以他去时用了 小时。 （2）图象上从 到 是一条水平线段，说明这段时间内他离家的距离没有变化，即停留在图书馆。 停留时间为 （3）去时： 小时行驶 千米，速度为 返回时：从 到 ，共 （小时），行驶 千米，速度为 （4）返回过程对应图象上从 到 的线段。设 ，把两点代入得 两式相减得 ，所以 ； 把 代入 ，得 ，所以 。 因此返回过程中 【方法总结】读 - 图象要抓住三点：水平段表示停留；上升段表示远离出发点；下降段表示返回。线段越陡，速度越快——本题中去时的线段比返回时更陡，正对应 。 22．（10 分） （1）由图象可知，当用水量不超过 吨时，图象是一条水平线段，水费恒为 元。 （2）从点 到点 ，用水量增加了 水费增加了 所以超过 吨的部分每吨收费 （3）当 时，水费等于基本水费 元加上超出部分的费用。超出的吨数为 ，所以 去括号、合并得 （4）因为 ，所以该月用水量超过了 吨，把 代入（3）中的关系式： 移项得 两边同除以 ，得 所以该月用水量为 吨。 【方法总结】分段计费问题要先判断落在哪一段（本题 ，说明超过了 吨），再代入相应的关系式，否则容易用错式子。第（3）问中的 就是图象后半段的 值，它的实际意义是「超出部分每吨的单价」。 23．（10 分） （1）由图象可知，甲从 出发，到 时行驶了 千米，所以甲的速度为 乙从 出发，到 时行驶了 千米，所用时间为 （小时），所以乙的速度为 （2）甲的图象过原点 和 ，是正比例函数，所以 乙的图象过 和 。设 ，代入得 两式相减得 ，所以 ；代入 得 。 所以 （3）甲在 时行驶完 千米，乙在 时行驶完 千米，所以甲先到达，比乙早 （4）设当 时甲比乙多行驶 千米，则 化简左边得 即 ，这个等式恒成立。 这说明：只要两人同时在行驶（即 ），甲就始终比乙多行驶 千米。 原因：两人的速度相同（都是 千米/时），乙比甲晚出发 小时，所以甲始终领先乙 因此答案是：当 时，甲比乙多行驶 千米。 【学后反思】本章可以概括为「式——图——用」三个层次： ① 式——认清 （）的形式，会用待定系数法求关系式（设、代、解、写）； ② 图——由 判断升降、由 判断与 轴的交点，从而确定图象经过的象限；会用两点法画图； ③ 用——从实际问题的图象中读出转折点的意义、线段的陡缓表示的快慢，并能分段列出关系式。 特别提醒：一次函数的所有性质都可以「画一条草图」来验证。遇到判断象限、比较大小、求交点的题目，动手画草图往往比死记结论更可靠。 1 学科网（北京）股份有限公司 $