精品解析：新疆乌鲁木齐市实验学校2025-2026学年第一学期期末质量监测高二年级数学学科(问卷)

乌鲁木齐市实验学校2025-2026学年第一学期期末质量监测高二年级数学学科（问卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列，则是这个数列的（　　） A. 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第23项 2. 如果函数在处的导数为1，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知直线和直线平行，则实数的值为（    ） A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 1或-2 4. 已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 7. 一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 8. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分） 9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为 C. 若，则 D. 10. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 向量是与平行的一个单位向量 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 在等比数列中，为其前项和，若，则 B. 在数列中，，，则的最小值是9 C. 若，则 D. 在数列中，，，，则 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分.） 12. 曲线在处的切线方程是______. 13. 椭圆上的点到直线的最短距离为______. 14. 椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，求取值范围____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 求下列函数的导函数. （1）； （2）. 16. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． （3）若，数列的前n项和为，求证： 17. 某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. （1）求圆拱桥所在圆的标准方程； （2）现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？ 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的余弦值． （3）求点到平面的距离． 19. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为， （1）求椭圆的标准方程； （2）倾斜角为45°的直线交该椭圆于两点，且，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市实验学校2025-2026学年第一学期期末质量监测高二年级数学学科（问卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 第一部分（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列，则是这个数列的（　　） A. 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第23项 【答案】D 【解析】 【分析】由即可得. 【详解】，故为第23项. 故选：D. 2. 如果函数在处的导数为1，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 3. 已知直线和直线平行，则实数的值为（    ） A. -1 B. 2 C. -1或2 D. 1或-2 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线平行系数关系列式计算求解参数. 【详解】直线，直线， 由，得，即，即，解得或. 当时，两直线重合，舍去. 当时，满足平行且不重合. 故选:B. 4. 已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量共面的充要条件存在满足，列式计算求解. 【详解】由题意得，，， 若，，三个向量共面，则存在满足， 则，所以， 故选：B. 5. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意 ， 又，，， . 故选：D. 6. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论. 【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为， 依题意可得，， ， ，解得， . 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题. 7. 一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点关于x轴的对称点为，则反射光线经过，当反射光线所在直线与轴垂直时，不与圆相切，故反射光线所在直线的斜率存在，设为，反射光线所在直线的方程为，利用圆心到切线的距离等于半径可得答案. 【详解】点关于x轴的对称点为，所以反射光线经过， 当反射光线所在直线与轴垂直时，即， 圆到直线的距离为， 因为，所以直线与圆相离，故反射光线所在直线的斜率存在，设为， 则反射光线所在直线的方程为，即， 因为反射光线与圆相切，所以，解得或， 所以反射光线所在直线的方程为，或， 整理得或. 故选：A. 8. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对曲线方程进行分类讨论得或，直线过定点，再联立曲线方程和直线方程求解. 【详解】由题知当时，曲线方程为，当时，曲线方程为.因为时，取值与无关，所以直线恒过点. ∵如图所示,时曲线分别对应椭圆位于轴和轴上方的曲线，时曲线分别对应双曲线位于轴下方的曲线，且双曲线的渐近线方程为， ∴由图知，要使直线和曲线有两个不同交点,斜率应满足时， D正确， 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分） 9. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. F的坐标为 C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定方程，求出焦点坐标及准线方程判断AB；利用抛物线的定义，结合范围求解判断CD. 【详解】对于AB，由抛物线方程，得其焦点，准线方程为，A错误，B正确； 对于C，由及，得，则，C正确； 对于D，依题意，，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 10. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 向量是与平行的一个单位向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】由空间向量垂直和平行的坐标运算判断AD，由空间向量基坐标运算判断B，由投影向量的概念判断C. 【详解】对于A，因为，，所以，A正确； 对于B，， 故，B正确； 对于C，，在上的投影向量即为，C错误； 对于D，因为，所以，且， 故向量是与平行的一个单位向量，D正确. 故选：ABD. 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 在等比数列中，为其前项和，若，则 B. 在数列中，，，则的最小值是9 C. 若，则 D. 在数列中，，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求出，利用等比中项即可求出；对于B，利用累加法求得，再利用基本不等式即可判断；对于C，利用等比数列前项和公式即可求出；对于D，求出，然后证明当时，，从而得到，，，，累乘即可证明. 【详解】对于A，当时，， 当时，， 因为为等比数列，则，则，所以，故A正确； 对于B，由题意知，，所以，，，，， 把以上个等式相加， 得，，也满足上式， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，解得，故C错误； 对于D，由题意知，，所以，，， 又因为，所以单调递增， 又因为在上单调递增， 当时，，所以，即， 所以当时，，，，，， 把以上6个不等式相乘，得，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分.） 12. 曲线在处的切线方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出，再求出导函数，则，再得出切线方程. 【详解】由，，且 所以 所以曲线在处的切线方程为：，即 故答案为： 13. 椭圆上的点到直线的最短距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元，根据求出的值，再求出平移直线间的距离，即可得解. 【详解】设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程，消去得 整理得， 所以，解得， 当时，两平行直线的距离为， 当时，两平行直线的距离为. 所以点到直线的最短距离为. 故答案为： 14. 椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，求取值范围____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，再由且求离心率范围. 【详解】由题设，则，而， 又，则. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 求下列函数的导函数. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据题意，利用导数的运算法则，准确计算，即可求解； 【小问1详解】 由函数， 可得. 【小问2详解】 由函数， 可得 16. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． （3）若，数列的前n项和为，求证： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前n项和公式及等比中项性质，求出的值，代入公式，即可得答案 （2）由（1）得，根据分组求和法，结合等差、等比数列的前n项和公式，即可得答案. （3）由（1）得，根据裂项相消求和法，可得表达式，分析即可得证. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则①， 又成等比数列，所以，则， 整理得②， 联立①②，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 . 【小问3详解】 由（1）得， 则 17. 某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. （1）求圆拱桥所在圆的标准方程； （2）现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？ 【答案】（1） （2）可以通过 【解析】 【小问1详解】 建立如图所示的坐标系. 依题意，有 设所求圆的方程是， 于是有， 解此方程组，得， 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是. 【小问2详解】 根据（1）拱圆的方程是， 把点D的横坐标代入上式，得， 由于船在水面以上高3m，所以该船可以从桥下通过. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的余弦值． （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得平面，进而得到，结合正三角形性质得，从而平面，即得两平面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过法向量夹角的余弦值即得二面角的余弦值； （3）求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式即可求得. 【小问1详解】 已知底面是正方形，所以， 又因为平面平面，且平面底面， 底面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为是正三角形，是的中点，所以. 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 已知底面边长为4，是正三角形， 所以： 因为是的中点，故，所以 ， 设平面的法向量为 ， 所以 ，即 ， 令，，即， 又因为平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则， 又因为所成角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，即， 又因为，所以点到平面的距离为. 19. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为， （1）求椭圆的标准方程； （2）倾斜角为45°的直线交该椭圆于两点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件得出关于的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）利用直线与椭圆的位置关系，结合韦达定理，求弦长和原点到直线的距离，进而求出三角形的面积. 【小问1详解】 由题可知，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为直线倾斜角为45°，所以直线的斜率为， 设直线的方程为，， 联立，消去并整理得：， 所以，所以， 又，所以， 因为，所以， 所以， 所以， ， ， ，即， 解得或， 当时，直线的方程为，所以直线经过点， 此时或与点重合，不满足题意； 所以直线的方程为，即， 所以， ， 点到直线的距离为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $