精品解析：新疆维吾尔自治区喀什第二中学2026-2027学年高二上学期开学收心考试数学试题

2026-2027学年第一学期高二年级收心考试 数学试卷 考试范围：必修一、必修二； 考试时间：120分钟； 命题人：贺贞 审批人：任红梅 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的计算公式即可求解. 【详解】样本数据的平均数为. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合即得解. 【详解】由题得， 所以. 故选：B 3. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜二测画法作出原图，根据图形中线段的长度计算即可. 【详解】在已知直观图中，，如图， 在原图形中，，，， ， 故选：D. 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断函数的零点所在区间. 【详解】因为函数，都为上的增函数， 所以函数在R上单调递增， 又，，，， 根据零点存在性定理可知的零点所在区间为. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式得出的值，再结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】因为，故. 故选：B. 6. 函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对数函数的性质，找到的定点，再利用“1的代换”构造可应用基本不等式的形式，最后运用基本不等式的性质求解即可. 【详解】因为 ，令 （即 ）， 则，所以定点 的坐标为 ， 因为点 在直线 上， 所以， 所以， 所以， 当且仅当 （即 ）时取等号，则的最小值为8. 故选：B. 7. 设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若不垂直于，则必不垂直于 C. 若,，则 D. 若是异面直线，，则 【答案】D 【解析】 【分析】A中，可能平行、相交或异面；B中有可能垂直于；C中或；D中结合线面平行的性质定理与面面平行的判定定理即可得. 【详解】对于A，若，，，则，可能平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若不垂直于，且，则有可能垂直于，故B错误； 对于C，若且，则或，故C错误； 对于D，若、是异面直线，，，，， 则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，设， 又，则，，，所以， 又，，，，所以，故D正确. 故选：D. 8. 已知函数，定义域均为，函数为偶函数，函数是奇函数，若，，则（ ） A. 1000 B. 2000 C. 3000 D. 4000 【答案】B 【解析】 【分析】利用两函数的奇偶性推得的周期性，求出在1个周期内的函数值，利用周期性求解. 【详解】因为函数为偶函数，所以，则可得①， 因为函数为奇函数，所以 ，即， 已知，则可得， 则，即②， 将①代入，可得，则得， 两式相减得，即 4 为的1个周期， 由可得 4 也是函数的1个周期， 因，由②式，令得，令，得，即 令，得，故，, 又由，可得， ，故有， 又，故. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可. 【详解】， 对于A，复数z的虚部是，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，复数z的共轭复数是，故C正确； 对于D，，在复平面内，对应点的坐标为， 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：CD 10. 为了得到函数的图象，只需将图象上的所有点（ ） A. 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位 B. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位 C. 向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的倍 D. 向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的图象按各选项给定的变换求出解析式即可得解. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D是. 故选：BD 11. 如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ） A. B. C. 最大值为 D. ，，三点共线时 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意可得为的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A，建立平面直角坐标系，求出圆的方程，设，，利用坐标法判断B、C，由三点共线得到，即可求出，从而求出，，即可判断D. 【详解】因为，即为的中点，所以，故A正确； 如图建立平面直角坐标，则，，，， 所以，，则，故B错误； 又， 所以圆的方程为， 设，， 则，又， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，故最大值为，故C正确； 因为，，三点共线，所以， 又，， 所以，即， 所以， 所以，又，， 且，即， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题，改写量词的同时否定结论，直接写出结果即可． 【详解】命题“，”的否定为“，” 故答案为：，． 13. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知甲攻克该题的概率为，乙攻克该题的概率为，则该题至少被一人攻克的概率为_____． 【答案】# 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率公式求解即可. 【详解】记“甲攻克该题”为事件，“乙攻克该题”为事件，由题意知与相互独立，，， “该题至少被一人攻克”的对立事件为“甲、乙两人都未攻克该题”，即事件， 又、为独立事件，与也相互独立， 可得，， 则， 故该题至少被一人攻克的概率为． 14. 已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上， 设长方体的长宽高为，由题意可得： ，据此可得：， 则球的表面积：， 结合解得：. 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（其中，）的最大值为2，最小正周期为. （1）求函数的解析式； （2）求的值； （3）求函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2）0 （3），. 【解析】 【小问1详解】 由题意得，，解得， 故解析式为； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 令，， 解得，， 故函数的单调递增区间为，. 16. 在三棱柱中，平面，，是线段上的一个动点． （1）若，求证：平面平面； （2）若且是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱的性质，结合已知条件由线面垂直推出面面垂直； （2）根据三棱柱的几何性质，结合已知条件求出直线与平面所成角，进而求出正弦值． 【小问1详解】 平面，平面， ，又，，、平面， 平面， 平面， 平面平面． 【小问2详解】 过点作于，连接， 平面，平面，． 又，，、平面，平面， 故就是直线与平面所成的角， ，，，， 故是以角为直角的三角形， 又，由，可得． 又，， ， 直线与平面所成角的正弦值为． 17. 为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数； （2）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率； （3）已知组的方差为12，组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数计算规则计算可得； （2）先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解. （3）利用分层抽样的方差公式计算可求方差. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 所以成绩在分以下的学生所占的比例为， 成绩在分以下的学生所占的比例为， 所以成绩的第分位数一定在内，即， 因此估计参加这次竞赛的学生成绩的百分位数为； 【小问2详解】 因为，，， 所以从成绩在，，内的学生中分别抽取了人，人，人， 其中有人为航天达人，设为，有人不是航天达人，设为， 则从人中选择人作为学生代表， 有， 共种， 其中人均为航天达人为共种， 所以被选中的人均为航天达人的概率为． 【小问3详解】 内的频率为，内的频率为， 内的平均数为，内的平均数为， 内的平均数为， 又组的方差为12，组的方差为8， 所以这次竞赛的学生不低于80分的成绩方差为. 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长． （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解即可； （2）应用余弦定理结合三角形面积公式计算求解即可； （3）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算得到，再应用正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， ， 即， ，， 又，则，， ，. 【小问2详解】 由，则， 由余弦定理，得，即， 则的周长为. 【小问3详解】 根据正弦定理得，所以， 又因为，所以， 所以三角形周长为 ， 因为，所以，则， 所以， 所以周长的取值范围为. 19. 对于函数． （1）判断函数的单调性，并证明； （2）是否存在实数使函数为奇函数？ （3）若，且对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）为上的增函数，证明： 定义域为，设， ， 由，可得，即有，故， 则为上的增函数，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义判断并证明； （2）利用奇偶性的概念求解； （3）利用单调性与奇偶性将问题转化为不等式对任意的恒成立，按照和分类讨论，利用判别式法列不等式组求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若为奇函数，即有，即，解得， ，，则为奇函数， 故存在，使函数为奇函数. 【小问3详解】 由（2）为上的奇函数，也为增函数， 不等式，即为， 即有，即对任意的恒成立， 当时，不等式对任意的恒成立，符合题意； 当时，要使对任意的恒成立， 则，解得； 综上，即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二年级收心考试 数学试卷 考试范围：必修一、必修二； 考试时间：120分钟； 命题人：贺贞 审批人：任红梅 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 6 7. 设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若不垂直于，则必不垂直于 C. 若,，则 D. 若是异面直线，，则 8. 已知函数，定义域均为，函数为偶函数，函数是奇函数，若，，则（ ） A. 1000 B. 2000 C. 3000 D. 4000 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 10. 为了得到函数的图象，只需将图象上的所有点（ ） A. 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位 B. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位 C. 向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的倍 D. 向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的 11. 如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ） A. B. C. 最大值为 D. ，，三点共线时 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定为_______． 13. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知甲攻克该题的概率为，乙攻克该题的概率为，则该题至少被一人攻克的概率为_____． 14. 已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（其中，）的最大值为2，最小正周期为. （1）求函数的解析式； （2）求的值； （3）求函数的单调递增区间. 16. 在三棱柱中，平面，，是线段上的一个动点． （1）若，求证：平面平面； （2）若且是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数； （2）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率； （3）已知组的方差为12，组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）； 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长． （3）若，求周长的取值范围. 19. 对于函数． （1）判断函数的单调性，并证明； （2）是否存在实数使函数为奇函数？ （3）若，且对任意的恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $