1.2 一元二次方程的解法同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法，通过基础巩固、中档应用、提升探究三层设计，实现从概念理解到综合运用的知识进阶，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|根的判别式、配方法基础|选择1-5直接考查概念，填空7、9强化基本运算| |中档|解法综合应用|填空11开放题，解答14解方程，培养运算能力| |提升|跨知识综合与探究|填空13几何与方程结合，解答17-18探究规律，发展推理意识与创新意识|

第一章 1.2 一元二次方程的解法 周练 一、选择题（共6小题） 1．一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 2．若关于x的一元二次方程x2+5x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 4．若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 5．用配方法解一元二次方程2x2﹣16x+18＝0，得（x+m）2＝n，则m+n的值为（　　） A．11 B．3 C．﹣11 D．﹣3 6．关于x的方程ax2﹣4|x|+2＝0有4个不同的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＞2 C．1≤a≤2 D．0＜a＜2 二．填空题（共7小题） 7．把方程x2﹣4x﹣7＝0化成（x﹣2）2＝m的形式，则m的值是 　 　 ． 8．等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+2+m＝0的两个实数根，则m的值为　 　 ． 9．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是　 　 ． 10．设m，n为实数，且W＝2m2+2mn+n2﹣m﹣2n+2有最小值，则W的最小值为　 　 ． 11．如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0没有实数根，则符合条件的一组b，c的实数值可以是b＝　 　 ，c＝　 　 ． 12．定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是 　 　 ． 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P为边BC上一点，△APB与△ABC的面积比为． （1）若PB＝3PC，则 　 ；（2）的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 14．解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）（2x+1）2＝（2﹣x）2． 15．已知关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0， （1）证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程； （2）当a＝2时，解这个方程． 16．已知，关于x的方程x2﹣mxm2﹣1＝0， （1）不解方程，判断此方程根的情况； （2）若x＝2是该方程的一个根，求m的值． 17．阅读后解答问题． 解方程：2x2﹣3x﹣2＝0 解：2x2﹣3x﹣2＝0， 拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2＝0， 提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， 再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）＝0， 所以x﹣2＝0或2x+1＝0． 即x1＝2，x2． 运用以上因式分解法解方程6x2+7x﹣3＝0． 18．探究下表中的奥秘，并完成填空： 将你发现的规律用含有字母的式子写出来　 　 ． 第一章 一元二次方程的解法 周练 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝56＞0，进而可得出一元二次方程2x2+4x﹣5＝0有两个不相等的实数根． 【解答】解：∵Δ＝22﹣4×1×（﹣5）＝24＞0， ∴一元二次方程x2+2x﹣5＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．若关于x的一元二次方程x2+5x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，代入计算即可． 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4•1•c＝25﹣4c， 当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0，即：25﹣4c＝0， 解得， ∴实数c的值为． 故选：A． 3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0， 将常数项﹣5移到等号右边得，x2﹣4x＝5， 方程两边都加4得，x2﹣4x+4＝5+4， 变形得，（x﹣2）2＝9， 故选：D． 4．若关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m＜4 C．m≥﹣4 D．m＞﹣4 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ≥0时，方程有实数根，据此代入数值计算，即可作答． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m≥0， 解得m≥﹣4． 故选：C． 5．用配方法解一元二次方程2x2﹣16x+18＝0，得（x+m）2＝n，则m+n的值为（　　） A．11 B．3 C．﹣11 D．﹣3 【分析】方程移项变形后，配方得到结果，确定出m与n的值，即可求出m+n的值． 【解答】解：方程2x2﹣16x+18＝0， 变形得：x2﹣8x＝﹣9， 配方得：x2﹣8x+16＝7，即（x﹣4）2＝7， 可得m＝﹣4，n＝7， 则m+n＝﹣4+7＝3， 故选：B． 6．关于x的方程ax2﹣4|x|+2＝0有4个不同的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＞2 C．1≤a≤2 D．0＜a＜2 【分析】分两种情况分析，当a＝0时，原方程化为﹣4|x|+2＝0，绝对值方程两个不同的实数根，不符合题意；当a≠0且x＞0时，方程ax2﹣4|x|+2＝0化为ax2﹣4x+2＝0，利用方程ax2﹣4x+2＝0一定有2个不同的正实数根得到；当a≠0且x＜0时，方程ax2﹣4|x|+2＝0化为ax2+4x+2＝0一定有2个不同的负实数根，则，然后分别解不等式组，从而得到满足条件的a的取值范围． 【解答】解：当a＝0时，原方程化为﹣4|x|+2＝0，此方程有两个不同的实数根，不符合题意； 当a≠0且x＞0时，方程ax2﹣4|x|+2＝0化为ax2﹣4x+2＝0， ∵方程ax2﹣4|x|+2＝0有4个不同的实数根， ∴方程ax2﹣4x+2＝0 一定有2个不同的正实数根， ∴ 解得0＜a＜2； 当a≠0且x＜0时，方程ax2﹣4|x|+2＝0化为ax2+4x+2＝0一定有2个不同的负实数根， ∴， 解得0＜a＜2； 综上所述，a的取值范围是0＜a＜2． 故选：D． 二．填空题（共7小题） 7．把方程x2﹣4x﹣7＝0化成（x﹣2）2＝m的形式，则m的值是 　11　 ． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m的值． 【解答】解：x2﹣4x﹣7＝0， x2﹣4x＝7， x2﹣4x+4＝11， （x﹣2）2＝11， ∴m＝11． 故答案为：11． 8．等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+2+m＝0的两个实数根，则m的值为　6或7　 ． 【分析】当4为腰长时，将x＝4代入原方程，求出m，再解一元二次方程，并检验是否能构成三角形；当4为底边长时，关于x的一元二次方程x2﹣6x+2+m＝0有两个相等的实数根，根据Δ＝0求出m，再解一元二次方程，并检验是否能构成三角形． 【解答】解：当4为腰长时，原方程为42﹣6×4+2+m＝0， ∴m＝6， 原方程为x2﹣6x+8＝0， 解得 x1＝2，x2＝4， 由条件可知边长为2，4，4的三条边能组成等腰三角形； 当4为底边长时，由条件可知Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（2+m）＝0， 解得m＝7， ∴原方程为 x2﹣6x+9＝0， 解得a＝b＝3， 又∵3+3＝6＞4， ∴边长为3，3，4的三条边能组成等腰三角形， 综上所述，m的值为6或7 故答案为：6或7． 9．请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是　2（答案不唯一）　 ． 【分析】由原方程有两个不相等的实数根，可得出Δ＝16﹣4c＞0，解之可得出c的取值范围，任取其内一个符合题意的值即可． 【解答】解：∵关于x的方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝42﹣4c＝16﹣4c＞0， 解得：c＜4， ∴c的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一）． 10．设m，n为实数，且W＝2m2+2mn+n2﹣m﹣2n+2有最小值，则W的最小值为　　 ． 【分析】依据题意得，W＝2m2+2mn+n2﹣m﹣2n+2＝2m2+（2n﹣1）m+n2﹣2n+2＝2[m2+（n）m]n2n2（m）2（n）2，结合（m）2≥0，（n）2≥0，从而可得W＝2（m）2（n）2，进而可以得解． 【解答】解：由题意得，W＝2m2+2mn+n2﹣m﹣2n+2 ＝2m2+（2n﹣1）m+n2﹣2n+2 ＝2[m2+（n）m]n2n ＝2（m）2（n）2． 又∵（m）2≥0，（n）2≥0， ∴W＝2（m）2（n）2， ∴W的最小值为． 故答案为：． 11．如果关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0没有实数根，则符合条件的一组b，c的实数值可以是b＝　2　 ，c＝　3（答案不唯一）　 ． 【分析】方程没有实数根，则Δ＜0，建立b，c的关系式，就能写满足题意的答案． 【解答】解：由题意知Δ＝b2﹣4c＜0 ∴b2＜4c， 所以只要满足b2＜4c的数都满足方程没有实数根． 比如b＝2，c＝3．答案不唯一． 12．定义新运算“a⊗b”：对于任意实数a，b，都有a⊗b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如3⊗2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x⊗k＝0（k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根，则k的值是 　1或4　 ． 【分析】根据定义新运算列出方程（x﹣k）2﹣k＝0，再根据一元二次方程的根的定义把x＝2代入得出关于k的一元二次方程，求解即可． 【解答】解：x⊗k＝0， （x﹣k）2﹣k＝0， ∵x＝2是这个方程的一个根， ∴（2﹣k）2﹣k＝0， 整理得k2﹣5k+4＝0， 解得k1＝1，k2＝4， 故答案为：1或4． 13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P为边BC上一点，△APB与△ABC的面积比为． （1）若PB＝3PC，则 　　 ； （2）的最小值为 　　 ． 【分析】（1）由三角形面积公式得S△APBPB•AC，S△ABCBC•AC，进而得S，再根据△APB与△ABC的面积比为得，则PB＝AC，设PC＝a，则PB＝AC＝3a，BC＝4a，由勾股定理分别求出AB＝5a，AP，据此可得的值； （2）设PC＝x，PB＝kx，则x＞0，k＞0，则BC＝kx+x，由（1）知PB＝AC＝kx，由勾股定理分别求出AB，AP，进而得，设，整理得（2y﹣1）k2+2yk+（y﹣1）＝0，显然这个关于k的一元二次方程有实数根，因此判别式（2y）2﹣4（2y﹣1）（y﹣1）≥0，整理得y2﹣3y+1≤0，解此不等式得，由此得y的最小值为，据此即可得出AP/AB的最小值． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P为边BC上一点， ∴S△APBPB•AC，S△ABCBC•AC， ∴， 又∵△APB与△ABC的面积比为， ∴， ∴PB＝AC， 设PC＝a， ∴PB＝3PC＝3a， ∴PB＝AC＝3a， ∴BC＝PB+PC＝4a， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB5a， 在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP， ∴， 故答案为：； （2）设PC＝x，PB＝kx，其中x＞0，k＞0， ∴BC＝PC+PB＝kx+x， 由（1）可知：PB＝AC＝kx， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB， 在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP， ∴， 设， 整理得：（2y﹣1）k2+2yk+（y﹣1）＝0， 显然关于k的一元二次方程（2y﹣1）k2+2yk+（y﹣1）＝0有实数根， ∴判别式（2y）2﹣4（2y﹣1）（y﹣1）≥0， 整理得：y2﹣3y+1≤0， 解此不等式得：， ∴y的最小值为， ∴的最小值为：． 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 14．解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）（2x+1）2＝（2﹣x）2． 【分析】（1）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解； （2）先移项，然后利用平方差公式对等式的左边进行因式分解． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0， ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28， ∴x2±． 则x1＝2，x2＝2； （2）（2x+1）2＝（2﹣x）2， （2x+1+2﹣x）（2x+1﹣2+x）＝0， （x+3）（3x﹣1）＝0， 则x1＝﹣3，x2． 15．已知关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0， （1）证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程； （2）当a＝2时，解这个方程． 【分析】（1）要证明无论a取何实数这个方程都是一元二次方程，只要说明无论a为什么值时a2﹣4a+5的值都不是0，可以利用配方法来证明； （2）当a＝2时，就可以求出方程的具体形式，解方程就可求出方程的解． 【解答】（1）证明：a2﹣4a+5＝（a2﹣4a+4）+1＝（a﹣2）2+1， ∵（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2+1≠0， ∴无论a取何实数关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0都是一元二次方程； （2）解：当a＝2时，原方程变为x2+4x+4＝0， 解得x1＝x2＝﹣2． 16．已知，关于x的方程x2﹣mxm2﹣1＝0， （1）不解方程，判断此方程根的情况； （2）若x＝2是该方程的一个根，求m的值． 【分析】（1）由Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4＞0即可得； （2）将x＝2代入方程得到关于m的方程，解之可得． 【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（m2﹣1） ＝m2﹣m2+4 ＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）将x＝2代入方程，得：4﹣2mm2﹣1＝0， 整理，得：m2﹣8m+12＝0， 解得：m＝2或m＝6． 17．阅读后解答问题． 解方程：2x2﹣3x﹣2＝0 解：2x2﹣3x﹣2＝0， 拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2＝0， 提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， 再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）＝0， 所以x﹣2＝0或2x+1＝0． 即x1＝2，x2． 运用以上因式分解法解方程6x2+7x﹣3＝0． 【分析】此题要求学生学以致用，要按照要求解题，解题的关键是正确拆项，拆项、分组得6x2+9x﹣2x﹣3＝0，找到公因式2x+3，提公因式即可解得． 【解答】解：6x2+7x﹣3＝0， 拆项，分组得6x2+9x﹣2x﹣3＝0， 提公因式3x（2x+3）﹣（2x+3）＝0， 再提公因式得（2x+3）（3x﹣1）＝0， 即2x+3＝0，3x﹣1＝0， x1，x2． 18．探究下表中的奥秘，并完成填空： 将你发现的规律用含有字母的式子写出来ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）　 ． 【分析】仔细观察方程的根与因式之间的关系，即可得出结论． 【解答】解：∵4x2+13x+3＝0，因式分解得， （x）（x+3）＝0， 解得； 因式分解得，． 发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1，x2，则ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/4 17:27:50；用户：朱迪；邮箱：18816286049；学号：65493529 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $