精品解析：江苏省南通市2026年中考数学试卷

南通市2026年中考数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的四个几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. 圆柱 B. 正三棱柱 C. 球 D. 圆锥 3. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 实数介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 5. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 28 7. 一次函数的图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（ ） A. 小慧和小丽的结论都正确 B. 小慧和小丽的结论都错误 C. 小慧的结论正确，小丽的结论错误 D. 小慧的结论错误，小丽的结论正确 二、填空题（本大题共6小题，第11～15题每小题4分，第16题每空3分，共26分） 11. 代数式有意义的条件是________． 12. 如图，直线，，则的度数为________． 13. 南通蓝印花布印染技艺被列入首批国家级非物质文化遗产名录．为传承这一中华优秀传统文化，学校蓝印花布印染社团计划招募新成员．已知该社团现有成员35人，若社团成员总人数不超过80，则新招募的成员人数可以是________．（写出一个即可） 14. 在“以美润心，诗画校园”方案征集活动中，学校美术兴趣小组为测量校内被池塘隔开的，两点之间的距离（如图），在外选取一点，连接，，分别取，的中点，．若的长为，则，两点之间的距离为________． 15. 如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 16. 关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为________． （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 三、解答题（本大题共9小题，共94分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程组：． 18. 先化简，再选择一个合适的的值代入求值． 19. 为强化劳动观念，弘扬劳动精神，学校倡导同学们积极承担家庭日常劳动．小明随机调查了该校50名学生一周家庭日常劳动时间，并绘制出如下未完成的统计图表． 50名学生一周家庭日常劳动时间频数分布表： 组别 一周家庭日常劳动时间 频数 A 4 B 16 C 22 D 合计 50 根据上述信息，解答下列问题． （1）________，并将频数分布直方图补充完整． （2）这50名学生一周家庭日常劳动时间的中位数落在________组． （3）若该校共有800名学生，根据以上调查结果，估计该校学生中一周家庭日常劳动时间不少于的学生有多少人． 20. 2026年江苏省城市足球联赛火热进行中，7月11日南通队将在南通体育会展中心迎来扬州队的挑战．在，，，四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动． （1）甲选入口开展志愿服务活动的概率为________． （2）求甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率． 21. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，点的横坐标为1． （1）求的值． （2）观察图像，直接写出不等式的解集． 22. 如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 23. 综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 （1）如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 （2）当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 24. 综合与探究： 如图1，在中，，，，点，分别在边，上，且．连接，交于点． （1）求线段的最小值． （2）如图2，．分别作线段，的垂直平分线，两直线交于点，连接，． ①求证：； ②分别记，的面积为，，求的值． 25. 主题式学习：某校九年级学习小组围绕“坐标系中的图形旋转问题”进行研究． 【数学情境】 在平面直角坐标系中，将点（）绕点逆时针旋转得到点．旋转角为（），点关于直线的对称点为．分别过点，作轴，轴，垂足分别为，．设线段与交于点，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当，时，求线段的长． 【猜想证明】 （2）在图2中根据“数学情境”作出图形，判断线段，的大小关系，并说明理由． 【拓广探索】 （3）若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市2026年中考数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算，正确的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：． 2. 如图所示的四个几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. 圆柱 B. 正三棱柱 C. 球 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看得到的图形，对各选项进行判断即可． 【详解】解：A.圆柱的主视图是矩形，故本选项不符合题意； B.正三棱柱的主视图是矩形且矩形中间有一条竖向的轮廓虚线，故本选项不符合题意； C.球的主视图是圆，故本选项不符合题意； D.圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意． 3. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，即可获得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 4. 实数介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（ ） A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5 【答案】C 【解析】 【分析】通过比较13与相邻完全平方数的大小，确定的范围． 【详解】解: ∵ ，，， ∴ ， 即 ． ∴介于3和4之间． 5. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 6. 在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设 将，代入，得， ∴关于的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴． 7. 一次函数的图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的、符号判断图像经过的象限． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 8. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意为：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？设木头长尺，则可列一元一次方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以绳长固定不变为等量关系，分别表示两种量法下的绳长即可列方程． 【详解】解：∵ 用整根绳子量木头，绳子剩余4.5尺， ∴ 绳长为尺． ∵ 将绳子对折后量木头，木头剩余1尺，即对折后绳长比木长短1尺， ∴ 对折后绳长为尺，整根绳长为尺． ∵ 绳长固定不变， ∴ ． 9. 在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图1和图2得出该算式应满足的形式，即可解答； 【详解】解：由图1知长方形面积为，由图2知面积为， 该算式应满足的形式， ，此时，符合题意，其余选项均不符合． 10. 如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（ ） A. 小慧和小丽的结论都正确 B. 小慧和小丽的结论都错误 C. 小慧的结论正确，小丽的结论错误 D. 小慧的结论错误，小丽的结论正确 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，则，利用“同弧所对圆周角等于圆心角的一半”得到，即可算出小慧的结论是正确的；利用垂径定理可知，，则点是的中点且，，易求得，进而计算，利用“半径相等”及故“等边对等角”求得，由“三角形内角和定理”求得，则，由“对顶角相等”得，再由“三角形内角和定理”算得，从而，则：，小丽的结论正确． 【详解】 解：连接交于点， ∵正五边形内接于， ∴， ， ∴， 故小慧的结论正确； ∵， ∴，的直径为， ∴，点是的中点 ∴ ∴ 即，， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故小丽的结论正确． 故选： ． 【点睛】本题考查了圆和正多边形的相关知识，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂径定理等，熟练掌握这些知识是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，第11～15题每小题4分，第16题每空3分，共26分） 11. 代数式有意义的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为． 【详解】解：∵分式有意义时，分母不能为， ∴，即． 12. 如图，直线，，则的度数为________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 13. 南通蓝印花布印染技艺被列入首批国家级非物质文化遗产名录．为传承这一中华优秀传统文化，学校蓝印花布印染社团计划招募新成员．已知该社团现有成员35人，若社团成员总人数不超过80，则新招募的成员人数可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，到之间的任意正整数均可） 【解析】 【分析】根据现有成员人数和总人数不超过的条件，列不等式得到新招募人数的取值范围，选取范围内一个符合要求的正整数即可． 【详解】解：设新招募的成员人数为， ∵社团现有成员人，要求总人数不超过， ∴可得不等式， 解得， 又∵人数是非负整数， ∴只要选取到之间的任意正整数都符合要求，可取． 14. 在“以美润心，诗画校园”方案征集活动中，学校美术兴趣小组为测量校内被池塘隔开的，两点之间的距离（如图），在外选取一点，连接，，分别取，的中点，．若的长为，则，两点之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴线段为的中位线， ∵， ∴， ∴，两点之间的距离为． 15. 如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为．若，则正方形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为，先利用正方形的性质和勾股定理求得，则，证明得到，进而求得即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为，则，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴正方形的边长为． 16. 关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为________． （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程有两个相等实数根的判别式条件，代入a与b、c的关系，变形得到所求代数式的值． （2）先由系数和为0得是方程的根，结合重根条件与根与系数的关系，推导m与n的数量关系，代入代数式计算． 【详解】解：（1）一元二次方程有两个相等的实数根， ， ，， ， ， ； （2）， 是方程的一个根， 方程有两个相等的实数根， 方程的两个根均为1， 根据根与系数的关系，两根之和为， ， 将，代入得， 整理得， ，为非零实数， ． 三、解答题（本大题共9小题，共94分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据实数的运算法则可求解第一问，根据解方程组的步骤可求解第二问． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 已知，则 ，将代入中，解得， 再代入中，解得． ∴方程组的解是：. 18. 先化简，再选择一个合适的的值代入求值． 【答案】，当时，值为． 【解析】 【分析】先对括号内的分式通分并因式分解，再将整个式子约分得到最简结果，选取使原分式有意义的m值代入计算． 【详解】解： ， 原分式有意义时分母不为0， 且，即且， 取代入，得． 19. 为强化劳动观念，弘扬劳动精神，学校倡导同学们积极承担家庭日常劳动．小明随机调查了该校50名学生一周家庭日常劳动时间，并绘制出如下未完成的统计图表． 50名学生一周家庭日常劳动时间频数分布表： 组别 一周家庭日常劳动时间 频数 A 4 B 16 C 22 D 合计 50 根据上述信息，解答下列问题． （1）________，并将频数分布直方图补充完整． （2）这50名学生一周家庭日常劳动时间的中位数落在________组． （3）若该校共有800名学生，根据以上调查结果，估计该校学生中一周家庭日常劳动时间不少于的学生有多少人． 【答案】（1） （2）C （3）480 【解析】 【分析】（1）用总人数减前三组人数即可求m的值，然后补全统计图即可； （2）根据中位数的定义判断即可； （3）用总人数乘以样本中劳动时间不少于的学生占比即可． 【小问1详解】 解：（人），图略； 【小问2详解】 解：一共50个数据，第25和26 个数据的平均数是中位数，前两组共20 人，C组22人，所以第25和26 个数据都落在C组，故中位数在C组； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校学生中一周家庭日常劳动时间不少于的学生有480人． 20. 2026年江苏省城市足球联赛火热进行中，7月11日南通队将在南通体育会展中心迎来扬州队的挑战．在，，，四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动． （1）甲选入口开展志愿服务活动的概率为________． （2）求甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定甲选入口的等可能总结果数与选B入口的结果数，计算对应概率； （2）通过列表法或树状图法列举甲、乙选入口的所有等可能结果，统计两人选同一入口的结果数，计算对应概率． 【小问1详解】 解：∵甲从A、B、C、D四个入口中随机选择一个，共有4种等可能的结果，其中选B入口的结果有1种， ∴甲选B入口开展志愿服务活动的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由图可以看出一共有16种结果，它们出现的可能性相等，其中甲、乙两人选同一入口开展志愿服务活动的结果有4种， ∴ 甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率为． 21. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，点的横坐标为1． （1）求的值． （2）观察图像，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求得点的坐标，把点的坐标代入正比例函数解析式即可求得； （2）先根据两个函数的对称性得到点的坐标，再根据图像，找出正比例函数图像在反比例函数图像上方的点的横坐标的取值范围即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， 把代入， 可得； 【小问2详解】 解：正比例函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， 关于原点对称， ， 根据图像，可得的解集为或． 22. 如图，是的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线性质可知，再由可得，利用等角的余角相等即可得出结论． （2）利用（1）的结论结合，求出，进而求出所对圆心角度数，由此得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴的长． 23. 综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 （1）如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 （2）当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为，抛物线过，代入即可求得解析式； （2）因为小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点时，即时，代入抛物线解析式求出的值，进而即可求解题目． 【小问1详解】 解：由题意，设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴解析式为 【小问2详解】 解：∵小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点， （米）， ∴当时， ， 解得， ． 答：此时大孔的水面宽度． 24. 综合与探究： 如图1，在中，，，，点，分别在边，上，且．连接，交于点． （1）求线段的最小值． （2）如图2，．分别作线段，的垂直平分线，两直线交于点，连接，． ①求证：； ②分别记，的面积为，，求的值． 【答案】（1） （2）①证明：如图，线段，的垂直平分线分别为、，连接、， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质结合已知证明，可得是的中点，是定点，由此可知线段的最小值是点到的距离，过点作，可得，即可得出结论． （2）①根据已知可以计算出，，由此得出，再根据垂直平分线性质可得，，由此证明，即可得出； ②根据，结合8字型模型可以证明，得出是等边三角形，利用解三角形求出，的面积即可解题． 【小问1详解】 解：∵在中， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 过点作，如图1 ∴， ∵当时，即点与点重合时，线段取最小值， ∴线段的最小值为． 【小问2详解】 ①略， ②解：如图，设与交于点，过点作， ∵，， ∴的面积为， ， ， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积， ∴ 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、解三角形等知识，综合性强，属于中考压轴题． （1）解题关键：利用平行四边形性质和已知条件（）证明，得出O为对角线的中点（），从而确定为定点．线段的最小值即为定点O到直线的最短距离——过O作的垂线段，利用含的直角三角形求解． （2）①解题关键：由已知求出；利用线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）得、，再通过证明，进而得出． （2）②解题关键：结合①中结论和“8”字型模型，证明为等边三角形；再利用解三角形求，利用面积公式分别求出（面积）和（平行四边形面积），最终求解问题． 25. 主题式学习：某校九年级学习小组围绕“坐标系中的图形旋转问题”进行研究． 【数学情境】 在平面直角坐标系中，将点（）绕点逆时针旋转得到点．旋转角为（），点关于直线的对称点为．分别过点，作轴，轴，垂足分别为，．设线段与交于点，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当，时，求线段的长． 【猜想证明】 （2）在图2中根据“数学情境”作出图形，判断线段，的大小关系，并说明理由． 【拓广探索】 （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）解：图形如图所示： ，理由如下： 如图，延长交于点， ∵点、关于对称， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点为的中点， 在中，点为的中点， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转与轴对称的性质可得，是腰长为的等腰直角三角形，使用勾股定理求出即可； （2）按要求作出图形，延长交于点，容易证明，则，由直角三角形的性质即可得出； （3）分别过点、作轴，轴，由余弦函数的定义可得，结合旋转的性质可得，容易证明，则．由等腰三角形的性质可得，则，结合题干条件可得，代入的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， ∴， 由旋转的性质可得，，， 由轴对称的性质可得，，， ∴， 在中，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，分别过点、作轴，轴， ∵点、关于对称， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∵轴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $