精品解析：辽宁朝阳市凌源市2024—2025学年度第一学期期末教学质量检测八年级数学试卷

凌源市2024—2025学年度第一学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 （考试时间120 分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题四个答案中，只有一个是正确的，请将正确答案前的字母填入下面相应的表格内． 1. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 在年中国国际智能汽车展览会上，吉利控股集团正式宣布中国首款纳米车规级芯片“龙鹰一号”的量产和供货．纳米米，用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ） A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 5，6，12 D. 5，6，13 5. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（　　） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 6. 解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是( ) A. x+2＝3 B. x﹣2＝3 C. x﹣2＝3(2x﹣1) D. x+2＝3(2x﹣1) 7. 如图是一个钝角，利用一个直角三角板作边上的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．如果，，那么的周长是（　　） A. B. C. D. 9. 凌源市为优化城区环境，建设了一批口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得的面积与的面积相等，则凉亭H是（ ） A. 角平分线与边上中线的交点 B. 角平分线与边上中线的交点 C. 角平分线与边上中线的交点 D. 角平分线与边上中线的交点 10. 如图，在中，，点为边上一动点，将沿着直线对折．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分式有意义的条件是___． 12. 的运算结果是__________________． 13. 如图，为等腰三角形，，，连接，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______（写出一个即可）． 14. 如图，在中，，交于点，，则_____． 15. 观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数： 250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．无特殊说明解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2）因式分解： 17. （1）化简： （2）是否存在整数x，使得（1）式中的结果也是整数？若有，请求出x的值，若没有，请说明理由． 18. 如图，点C、D在上，，，，、相交于点G． （1）求证：； （2）求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标； （2）请在轴上画出点的位置，使得最短（保留作图痕迹，不写画法），并直接写出点的坐标． 20. 在学习乘法公式时，我们借助几何图形对平方差公式和完全平方公式做了直观的解释和描述．下面我们就一起用类似的方法验证一个新的公式． （1）【探索公式】 ①如图1是四个长为a ，宽为b的小长方形，按如图2的形状拼成一个正方形． 图2的阴影部分的正方形的边长是 （用含a，b的式子表示）． ②用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积． 【方法1】___________； 【方法2】____________； ③请在下面直线上直接写出，，这三个代数式之间的等量关系 ； （2）【应用公式】如图3，点C在线段上，．以和为边分别做两个正方形，已知，的面积是2，求的长度． 21. 如图，在中，是高，． （1）尺规作图：作的平分线，分别交于点，交于点；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（1）中，求的度数． 22. 中国某外贸企业从国外某地区进口了A，B两种材料．已知B种材料比A种材料每吨多2万元，用900万元购进A种材料吨数是用800万元购进B种材料吨数的1.5倍． （1）求A，B两种材料每吨各多少万元． （2）由于市场的需要，该企业再次用1550万元购进A，B两种材料共240吨，A种材料的单价较上次上涨了，B种材料的单价较上次下降了，求该企业最多能购买A种材料的数量． 23. 解答以下问题 （1）【问题初探】 在数学活动课上，老师给出如下问题： 如图1，点E在上，，连接，求的度数．智慧小组的同学经过研究得到的解题思路是：在上截取，连接，通过证明，就可以解答这个问题．请你按智慧小组的思路，在图1上画出辅助线并写出解题过程； （2）【类比分析】 如图2，点E在上， ，连接，请直接写出的度数． （3）【学以致用】是等边三角形，周长为6，面积为，点D在边上，，，连接，求周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凌源市2024—2025学年度第一学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 （考试时间120 分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题四个答案中，只有一个是正确的，请将正确答案前的字母填入下面相应的表格内． 1. 下列图形中不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义逐项分析判断如下： A．不是轴对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 2. 在年中国国际智能汽车展览会上，吉利控股集团正式宣布中国首款纳米车规级芯片“龙鹰一号”的量产和供货．纳米米，用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法：把一个数记成的形式（其中大于或等于且小于），据此即可得出答案． 【详解】解：由科学记数法得：． 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算，根据同底数幂的乘除法、积的乘方与积的乘方运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故原运算错误，不符合题意； B、，故原运算正确，符合题意； C、，故原运算错误，不符合题意； D、，故原运算错误，不符合题意． 故选：B． 4. 下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ） A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 5，6，12 D. 5，6，13 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，只需判断每组三个数中，较小的两个数的和是否大于较大数，若大于，则可组成一个三角形． 【详解】解：A．，能组成三角形，符合题意． B．，不能组成三角形，不符合题意． C．，不能组成三角形，不符合题意． D．，不能组成三角形，不符合题意． 5. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（　　） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角和等知识点，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 设多边形的边数为n，根据多边形的外角和定理和内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得：，解得：， 所以这个多边形是六边形． 故选：D． 6. 解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是( ) A. x+2＝3 B. x﹣2＝3 C. x﹣2＝3(2x﹣1) D. x+2＝3(2x﹣1) 【答案】C 【解析】 【分析】最简公分母是2x﹣1，方程两边都乘以(2x﹣1)，即可把分式方程便可转化成一元一次方程． 【详解】方程两边都乘以(2x﹣1)，得 x﹣2＝3(2x﹣1)， 故选C． 【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 7. 如图是一个钝角，利用一个直角三角板作边上的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段,叫三角形的高线是解答此题的关键． 【详解】解：三角形高线即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段， 则B、C、D均不是高线． 故选：A． 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．如果，，那么的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质可得，从而得出的周长是，进而得出结果． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 的周长是：． 故选：C． 9. 凌源市为优化城区环境，建设了一批口袋公园．如图，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等，且使得的面积与的面积相等，则凉亭H是（ ） A. 角平分线与边上中线的交点 B. 角平分线与边上中线的交点 C. 角平分线与边上中线的交点 D. 角平分线与边上中线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的判定定理，确定的角平分线，利用中线使三角形面积相等和角平分线的性质定理，确定等底等高，确定凉亭是角平分线与边上中线的交点． 【详解】解：要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路，的距离相等， 作的角平分线， 使得的面积与的面积相等 作边上中线， 凉亭是角平分线与边上中线的交点． 10. 如图，在中，，点为边上一动点，将沿着直线对折．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据角的和差关系即可得到∠DBC的度数，再根据折叠的性质即可得到∠ABE的度数． 【详解】∵∠ABD=18°，∠ABC=90°， ∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=90°-18°=72°， 由折叠可得∠DBE=∠DBC=72°， ∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=72°-18°=54°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分式有意义的条件是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件列不等式计算即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即． 故答案为：． 12. 的运算结果是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】将系数和同底数幂分别相除，再把所得结果相乘即可得到答案． 【详解】解： 13. 如图，为等腰三角形，，，连接，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定定理，根据已知一角一边相等，可添加相等角的另一边相等，求解即可． 【详解】添加条件为：； ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，交于点，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，由，根据三角形的内角和定理得，由垂直定义得，则，由角的直角三角形的性质得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2…已知按一定规律排列的一组数： 250、251、252、…、299、2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2，得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了与实数运算相关的规律题，解题的关键在于能够根据题意找到规律求解． 三、解答题（本题共8小题，共75分．无特殊说明解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2）因式分解： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先运用积的乘方计算、再利用单项式乘法法则计算即可； （2）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 17. （1）化简： （2）是否存在整数x，使得（1）式中的结果也是整数？若有，请求出x的值，若没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当x=-3时，使得（1）式中的结果也是整数 【解析】 【分析】（1）根据分式的运算法则，结合因式分解通分、约分； （2）由（1）化简结果，代入整数验证即可； 【详解】解：（1）原式= ==； （2）有，x=-3， 由的值为整数，可得分母是1或-1且x符合取值范围， 当x=-3时，=1， ∴当x=-3时，使得（1）式中的结果也是整数； 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握相关运算法则是解题关键． 18. 如图，点C、D在上，，，，、相交于点G． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． ∴． （2） 证明：∵， ∴，， ∴． ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质，得出，，再由等角对等边的性质，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标； （2）请在轴上画出点的位置，使得最短（保留作图痕迹，不写画法），并直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称的性质即可作出图形； （2）根据对称的性质可知，当且仅当三点共线时，最小来求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ， ， 当三点共线时最短， ， 结合图形，得． 20. 在学习乘法公式时，我们借助几何图形对平方差公式和完全平方公式做了直观的解释和描述．下面我们就一起用类似的方法验证一个新的公式． （1）【探索公式】 ①如图1是四个长为a ，宽为b的小长方形，按如图2的形状拼成一个正方形． 图2的阴影部分的正方形的边长是 （用含a，b的式子表示）． ②用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积． 【方法1】___________； 【方法2】____________； ③请在下面直线上直接写出，，这三个代数式之间的等量关系 ； （2）【应用公式】如图3，点C在线段上，．以和为边分别做两个正方形，已知，的面积是2，求的长度． 【答案】（1）①；②；；③ （2）1 【解析】 【分析】（1）①根据图形即可得出阴影部分的正方形的边长； ②用两种不同方式表示阴影面积即可求解； ③由阴影部分的正方形面积相等可得出答案． （2）设，，且，由题意得出，，由（1）可得出，进而求出，然后联立关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：①图2的阴影部分的正方形的边长是：， ②方法1：， 方法2：， ③由阴影部分的正方形面积相等可得出：． 【小问2详解】 解：设，，且， 根据题意得：， 即，， 由（1）可知：，即， ∴， 则， 解得， 则的长为：1． 21. 如图，在中，是高，． （1）尺规作图：作的平分线，分别交于点，交于点；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（1）中，求的度数． 【答案】（1） 如图所示，射线即为所求； （2） 【解析】 【分析】此题考查作图—作角平分线及三角形内角和定理的应用，解题关键在于根据题意作出图形， （1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作平分即可； （2）先求，再根据角平分线求出，进而根据求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，是高，， ，， 是的平分线， ， ， ． 22. 中国某外贸企业从国外某地区进口了A，B两种材料．已知B种材料比A种材料每吨多2万元，用900万元购进A种材料吨数是用800万元购进B种材料吨数的1.5倍． （1）求A，B两种材料每吨各多少万元． （2）由于市场的需要，该企业再次用1550万元购进A，B两种材料共240吨，A种材料的单价较上次上涨了，B种材料的单价较上次下降了，求该企业最多能购买A种材料的数量． 【答案】（1）A种材料每吨6万元， B种材料每顿8万元 （2）该企业最多能购买A种材料70吨 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设A种材料每吨x万元，则B种材料每顿万元，根据“用900万元购进A种材料吨数是用800万元购进B种材料吨数的1.5倍”列出关于x的分式方程，然后求解即可； （2）设购进A种材料m吨，则购进B种材料吨，根据购进A、B两种材料的总费用不超过1550元，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种材料每吨x万元，则B种材料每顿万元， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴， 答：A种材料每吨6万元， B种材料每顿8万元； 【小问2详解】 解：设购进A种材料m吨，则购进B种材料吨， 根据题意，得， 解得， 答：该企业最多能购买A种材料70吨． 23. 解答以下问题 （1）【问题初探】 在数学活动课上，老师给出如下问题： 如图1，点E在上，，连接，求的度数．智慧小组的同学经过研究得到的解题思路是：在上截取，连接，通过证明，就可以解答这个问题．请你按智慧小组的思路，在图1上画出辅助线并写出解题过程； （2）【类比分析】 如图2，点E在上， ，连接，请直接写出的度数． （3）【学以致用】是等边三角形，周长为6，面积为，点D在边上，，，连接，求周长的最小值． 【答案】（1）解：如图1，在上截取，连接， 又 ∵ ∴ ，即， ∴， ∴ ∵，点E在上， ∴， 又 ∵， ∴ ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，根据线段的和差关系得出，再由等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理得出，进而求出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）在上取一点G，使，连接，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，进而求出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． （3）根据题意得出的边长为2，的高为，在上截取，连接，同（1）可得出，，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则，周长，要使周长最小，则需要取最小值，当时，最小，此时，进而可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在上取一点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，点E在上， ∴， 又 ∵， ∴ ∴． 【小问3详解】 解：∵是等边三角形，周长为6 ∴的边长为2，， ∵面积为， ∴的高， 在上截取，连接， 与（1）同理可证， ∴， 与（1）同理可证，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴周长， ∵是定值，要使周长最小，则需要取最小值， ∴当时，最小，此时， ∴周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $