5.3 一元一次方程的应用 课时作业 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学第五章“一元一次方程的应用”同步练，通过“基础-能力-拓展”三级分层设计，以“知识梳理-问题解决-错因诊断”路径巩固建模能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|列方程步骤及和差倍分、行程等单一模型|选择填空聚焦核心公式应用，解答题规范“审设列解验答”流程，强化运算能力| |能力提升|配套问题、追及问题等综合模型|结合线段图分析（如第22题），渗透几何直观，培养抽象能力与推理意识| |拓展探究|分段计费、数学文化（《九章算术》问题）|设置含参数情境（如第24题用含x式子表示用水量），发展模型意识与应用意识|

北师大版七年级数学（上册） 第五章 一元一次方程 · 3 一元一次方程的应用 第五章 一元一次方程 3 一元一次方程的应用 · 课时作业 班级：____________ 姓名：____________ 学号：________ 用时：________ 分钟 得分：________ 学习目标 1. 掌握用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答； 2. 能够借助线段图、表格等工具分析数量关系，准确找出等量关系； 3. 熟悉和差倍分、行程、工程、销售、配套、分段计费等常见问题的模型； 4. 养成"检验解是否符合实际意义"的良好习惯，提高应用意识。 一、知识梳理 知识点 1 列方程解应用题的一般步骤 步骤 具体做法 审 审清题意，弄清已知量、未知量，找出等量关系 设 设未知数（直接设或间接设），并注明单位 列 用含未知数的式子表示相关的量，根据等量关系列出方程 解 按解一元一次方程的一般步骤求出方程的解 验 ①检验是否是方程的解；②检验是否符合实际意义（如人数为正整数） 答 写出完整的答语，注意带单位 关键提示：列方程解应用题的核心是找等量关系。找等量关系的常用办法有：抓住题目中的关键词（"共""比……多／少""是……的几倍""相等"等）、画线段图、列表格。 知识点 2 常见应用问题的等量关系 (1) 和差倍分问题 各部分量之和 = 总量；　较大量 − 较小量 = 相差量；　一倍量 × 倍数 = 几倍量。 (2) 行程问题 基本关系：，即 ，，。 ① 相遇问题（相向而行）：甲的路程 + 乙的路程 = 两地距离； ② 追及问题（同向而行）：快者路程 − 慢者路程 = 开始时的距离； ③ 航行问题：顺水（风）速度 = 静水（无风）速度 + 水（风）速； 　　　　　　　逆水（风）速度 = 静水（无风）速度 − 水（风）速。 图 1 用线段图分析相遇问题与追及问题 (3) 工程问题 基本关系：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。 通常把工作总量看作单位 ，若某人单独完成需 天，则其工作效率为 。 等量关系：各人完成的工作量之和 = 1。 (4) 销售利润问题 ；　； （打 折即按标价的 出售）。 (5) 配套问题 甲种零件数量与乙种零件数量之比 = 配套时所需的比，如 1 个螺栓配 2 个螺母，则螺母数 = 2 × 螺栓数。 (6) 储蓄问题 ；　。 (7) 等积变形问题 形状改变、体积（或面积）不变。例：把长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、2 cm 的长方体铁块熔铸成底面是边长 2 cm 的正方形的长方体， 设新长方体的高为 cm，则 ，即 ，解得 。 (8) 分段计费问题 先判断未知量落在哪一段，再分段计算后求和。列方程前务必先"试算临界值"。 二、基础巩固 （一）选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 某数的一半与 3 的和等于这个数的 2 倍减去 1，则这个数是（　　） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 2. 某商品的进价为 200 元，标价为 300 元，商店按标价的八折出售，则每件商品的利润为（　　） A. 20 元　　　B. 40 元　　　C. 60 元　　　D. 100 元 3. 甲、乙两地相距 300 km。一列快车从甲地开出，速度为 100 km/h；同时一列慢车从乙地开出，速度为 50 km/h。两车相向而行，经过 h 相遇，则可列方程（　　） A. 　　　　　B. C. 　　　D. 4. 一项工程，甲队单独做需 10 天完成，乙队单独做需 15 天完成。若两队合作 天完成，则可列方程（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 5. 用一根长 40 cm 的铁丝恰好围成一个长方形，且长比宽多 4 cm。若设宽为 cm，则可列方程（　　） A. 　　　　　B. C. 　　　　　　D. 6. 某班学生参加劳动，若每组 7 人，则还余 3 人；若每组 8 人，则还差 5 人。设共分成 组，则可列方程（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 7. 一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的 2 倍。若把十位数字与个位数字对调，所得的新两位数比原数大 36。设十位上的数字为 ，则可列方程（　　） A. 　　B. C. 　　D. 8. 某种商品每件的进价为 元，商店按进价提高 50% 后标价，又按标价的九折销售，则每件商品的售价为（　　） A. 元　　B. 元　　C. 元　　D. 元 （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9. 甲数是乙数的 3 倍，两数之和为 48，则乙数是 ____________。 10. 一件商品按八折出售后的价格为 120 元，则它的原价是 ____________ 元。 11. 一项工作，甲单独做 6 h 完成，乙单独做 12 h 完成，两人合作需 ____________ h 完成。 12. 一艘轮船在静水中的速度为 km/h，水流的速度为 3 km/h，则它顺水航行的速度为 ____________ km/h，逆水航行的速度为 ____________ km/h。 13. 某商品的进价为 80 元，售价为 100 元，则它的利润率为 ____________。 14. 一个长方形的长与宽的比是 ，周长为 40 cm，则它的长为 ____________ cm。 15. 甲、乙两人从相距 20 km 的两地同时出发，相向而行。甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h，则经过 ____________ h 两人相遇。 16. 某数与 5 的和的 3 倍，等于这个数的 4 倍减去 2，则这个数是 ____________。 （三）解答题（共 32 分） 17. （7 分）某中学七年级共有学生 420 人，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 60 人。求该年级男、女生各有多少人。 18. （8 分）A、B 两地相距 450 km。甲车从 A 地以 60 km/h 的速度开往 B 地，同时乙车从 B 地以 90 km/h 的速度开往 A 地，两车相向而行。 （1）经过几小时两车相遇？ （2）若甲车先出发 1 h，乙车才出发，则乙车出发几小时后两车相遇？ 19. （8 分）一项工程，甲队单独做需 20 天完成，乙队单独做需 30 天完成。 （1）若两队合作，需多少天完成这项工程？ （2）若甲队先单独做 5 天，剩下的部分由两队合作完成，还需多少天？ 20. （9 分）某商店以每件 80 元的价格购进一批衬衫，按进价提高 50% 后标价出售。换季时商店决定打折促销，结果每件衬衫仍获利 16 元。问这批衬衫是打几折出售的？ 三、能力提升 21. （8 分）某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母。平均每人每天可生产螺栓 12 个或螺母 18 个。已知 1 个螺栓要配 2 个螺母，应安排多少名工人生产螺栓，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 22. （8 分）小明和小红从学校出发去图书馆。小明步行，速度为 5 km/h；小红骑自行车，速度为 15 km/h。小明先出发 0.5 h 后小红才出发，两人沿同一条路行进。问小红出发多少小时后追上小明？（请先画出线段图再列方程） 23. （10 分）某校组织师生外出研学，共有 1 名带队老师和 名学生。两家旅行社的报价均为每人 300 元，但优惠方式不同： 旅行社 优惠方式 甲社 老师按全价，学生一律按半价 乙社 老师和学生一律按原价的六折 （1）分别用含 的式子表示在甲、乙两家旅行社的费用； （2）当学生人数为多少时，两家旅行社的费用相同？ （3）若该校有 10 名学生参加，选择哪家旅行社更省钱？请说明理由。 四、拓展探究 24. （10 分）某市自来水公司的收费标准如下：每户每月用水量不超过 20 的部分，按 2.5 元/ 收费；超过 20 的部分，按 3.5 元/ 收费。 （1）小明家某月用水 18 ，应缴水费多少元？ （2）小红家某月缴水费 85 元，求小红家该月的用水量。 （3）若某户该月缴水费 元（），请用含 的式子表示该户的用水量。 25. （8 分）数学文化：我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道"盈不足"问题： "今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？" 题目大意是：几个人合伙买一件物品，每人出 8 钱，多出 3 钱；每人出 7 钱，还差 4 钱。问人数和物品的价格各是多少？ 请设人数为 ，列出方程并求解。 五、易错诊断 易错 1：单位不统一就列方程。 例：速度用 km/h，而时间用 min，必须先把 min 化为 h 再列方程。 易错 2：打折与利润率混淆。 "打八折"是按标价的 80% 出售；"利润率 20%"是利润占进价的 20%，两者的基准量不同。 易错 3：工程问题中把工作总量当成具体数值。 当题目没有给出工作总量时，应把它看作单位 ，工作效率就是 。 易错 4：忘记检验解是否符合实际意义。 人数、件数等必须是非负整数；时间、长度必须是正数。若解不符合实际，应说明"此情况不存在"。 参考答案与解析 （一）选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A A B A A A 1. A　解析：设这个数为 ，由题意得 。 两边同乘 2，得 ；移项、合并，得 ，所以 。 2. B　解析：售价 （元），利润 （元）。 3. A　解析：相向而行，两车所行路程之和等于两地距离，故 。 4. A　解析：把工程总量看作 1，甲的效率为 ，乙的效率为 。合作 天完成，则 。 5. B　解析：宽为 cm，则长为 cm；铁丝长即周长，故 。 6. A　解析：每组 7 人余 3 人，总人数为 ；每组 8 人差 5 人，总人数为 。总人数相同，故 。 7. A　解析：十位数字为 ，个位数字为 ，原数为 ； 对调后十位数字为 ，个位数字为 ，新数为 。 由"新数比原数大 36"得 。 8. A　解析：标价 （元），售价 （元）。 （二）填空题 9. 12　解析：设乙数为 ，则甲数为 。由 得 ，。 10. 150　解析：设原价为 元，由 得 。 11. 4　解析：由 ，两边同乘 12 得 ，，。 12. (x+3)；(x-3)　解析：顺水速度 = 静水速度 + 水速，逆水速度 = 静水速度 − 水速。 13. 25%　解析：利润 （元），利润率 。 14. 12　解析：设长为 cm，宽为 cm，由 得 ，，故长为 cm。 15. 2.5　解析：由 得 ，。 16. 17　解析：由 得 ，移项得 ，所以 。 （三）解答题 17. 解：设该年级有女生 人，则男生有 人。 根据"男生 + 女生 = 420"，得 。 去括号，得 ；合并同类项，得 ； 移项，得 ；系数化为 1，得 。 所以男生人数为 （人）。 检验：，且 比 的 2 倍少 60，符合题意。 答：该年级有男生 260 人，女生 160 人。 18. 解：（1）设经过 h 两车相遇。 根据"甲车路程 + 乙车路程 = 450"，得 。 合并同类项，得 ，所以 。 答：经过 3 h 两车相遇。 （2）甲车先行 1 h 的路程为 （km），剩余路程为 （km）。 设乙车出发 h 后两车相遇，则 ， 即 ，所以 。 答：乙车出发 2.6 h 后两车相遇。 19. 解：把这项工程的总量看作单位 。 （1）设两队合作需 天完成，则 。 两边同乘 60，得 ；合并同类项，得 ，所以 。 答：两队合作需 12 天 完成。 （2）甲队先做 5 天完成的工作量为 ，剩余工作量为 。 设还需 天，则 。 因为 ，所以 ，得 。 答：还需 9 天 完成。 20. 解：标价为 （元）。 设这批衬衫是打 折出售的，则售价为 元。 根据"售价 − 进价 = 利润"，得 ， 即 ；移项，得 ；所以 。 检验：售价 （元），利润 （元），符合题意。 答：这批衬衫是打 八折 出售的。 三、能力提升 21. 解：设安排 名工人生产螺栓，则有 名工人生产螺母。 每天生产螺栓 个，生产螺母 个。 根据"螺母数 = 2 × 螺栓数"，得 。 去括号，得 ；移项，得 ； 合并同类项，得 ，所以 。 检验：螺栓 （个），螺母 （个），恰好 ，符合题意。 答：应安排 12 名 工人生产螺栓（另 16 名生产螺母）。 22. 解：小明先走 0.5 h 的路程为 （km），这就是小红出发时两人相距的距离。 设小红出发 h 后追上小明。 根据"小红的路程 − 小明的路程 = 2.5"，得 。 合并同类项，得 ，所以 。 答：小红出发 0.25 h（即 15 min） 后追上小明。 23. 解：（1）甲社费用为 元； 乙社费用为 ，即 元。 （2）由两社费用相同，得 。 移项，得 ；合并同类项，得 ，所以 。 答：当学生有 4 名 时，两家旅行社的费用相同。 （3）当 时，甲社费用为 （元）； 乙社费用为 （元）。因为 ， 所以选择 甲旅行社 更省钱。 四、拓展探究 24. 解：（1）因为 ，全部按 2.5 元/ 计费， 应缴水费 （元）。答：应缴水费 45 元。 （2）先试算临界值：用水 20 时，水费为 （元）。 因为 ，所以小红家的用水量超过了 20 。 设小红家该月用水 （）， 则 ；移项，得 ； 两边同除以 3.5，得 ，所以 （符合 ）。 答：小红家该月用水 30 m³。 （3）设用水量为 。因为 ，所以 ， 由 得 ， 即 ，所以 。 25. 解：设共有 人。 每人出 8 钱时，多出 3 钱，故物价为 钱； 每人出 7 钱时，还差 4 钱，故物价为 钱。 因为物价是同一个数，所以 。 移项，得 ，所以 。 物价为 （钱）。 答：共有 7 人，物品的价格是 53 钱。 数学文化：这类"盈不足"问题是我国古代数学的重要成就，用一元一次方程可以非常简洁地解决。 学习反思 请对照本课时的学习目标，如实填写下表，并把做错的题号写入"错题记录"。 本课时目标 完全掌握 基本掌握 尚有困难 错题记录 能按"审设列解验答"六步规范作答 会用线段图分析行程问题 掌握工程、销售、配套问题的模型 会处理分段计费问题并检验实际意义 我的收获与疑问：____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ —— 本课时作业结束，请认真订正错题，把易错点记录在错题本上 —— 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $