5.3一元一次方程的应用(4)数字问题与日历问题 课时练习 2026-2027学年 北师大版七年级上册数学

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，通过数字与日历问题设计三阶分层练习，实现从概念理解到规律探究的递进，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|连续奇数、日历竖列和|选择/填空题（1-5,9-12），直接列方程求解，巩固方程建模基础| |中档|幻方、简单框选规律|选择/解答题（6-8,13-16），结合图形规律列方程，发展推理意识| |提升|复杂框选（T字/H字）、幻方构造|解答题（17-20），探究动态框选和幻方本质，提升创新意识与应用能力|

【北师大版七年级数学（上）课时练习】 §5.3一元一次方程的应用(4)数字问题与日历问题 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 2．（本题3分）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为（    ） 7 a 3 1 A．6 B．3 C．0 D． 3．（本题3分）幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，在其中填入一些数，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，将连续奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，若将十字形框上下左右移动，可框住另外5个数，这五个数的和不可能是（   ） A．235 B．205 C．85 D．65 5．（本题3分）在如图的2026年4月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（  ） A．27 B．51 C．69 D．75 6．（本题3分）如图，将正整数至按一定规律排列，图中十字框框住了个数字，将十字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的个数字，则框住的个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 8．（本题3分）如图，在2026年1月的日历表中用“H字框”圈出5，7，12，13，14，19，21七个数，它们的和为91，若将“H字框”在图中换个位置另圈出七个数，则它们的和不可能是（  ） A．63 B．84 C．98 D．106 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 10．（本题3分）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，m的值为____． 2 5 7 m 6 11．（本题3分）2024年9月的月历如图所示，小杰用长方形按图中所示的方法从月历中任意框出3个数．若长方形框住的3个数的和为72，则框住的这3个数中最大的数是_________． 12．（本题3分）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为______时，三个日期数之和为51． 13．（本题3分）有一张写着1至100的自然数表．在表中的相邻两行中各取连续的3个数，用如图所示的方框围起来，这6个数的和是108．如果在这张数表上，照上面的方法围出的6个数的和是480．那么方框里最大的数应该是_________． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）如图，某数学课外活动小组的同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上都标有一个有理数． (1)若，求这四个有理数的和． (2)若相对的两个叶片上的数字的和相等，求的值． 15．（本题8分）有五个连续的整数，设其中最小的数为n． (1)请写出这五个数的和． (2)这五个数各是什么数时，它们的和等于300？ 16．（本题8分）下方左图是2026年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则______，______，______；（用含x的代数式表示） (2)若，求c的值； (3)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为79，你认为他的说法对吗？请说明理由． 17．（本题9分）课本再现，如图，是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)图1中，用一个的正方形框围住相邻三列三行中的9个数字，设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，它上面表示的数是___________，它右下角表示的数是___________．（都用含的式子表示） (2)图1中，用正方形框围住的9个数字的和是最中心数字的___________倍． (3)在图2中，若“+”字框围住5个数字的和是65，那么最中心的数字是多少？ (4)在图2中，“+”字框围住5个数字的和能否为120，如果能，请求出这5个数，若不能，请说明理由． 18．（本题9分）观察下图阴影方框内中间的数与其他四个数的关系． (1)中间的数用y表示，左边的数是（   ），下面的数是（   ），方框中5个数的和是（   ）． (2)当5个数的和是时，这5个数分别是多少？在下图方格中填一填． 19．（本题10分）图中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方． (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方． (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理． (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试． 20．（本题11分）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 【北师大版七年级数学（上）课时练习】 §5.3一元一次方程的应用(4)数字问题与日历问题 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 解：由题意知，，， 解得，，．故选:B 2．（本题3分）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为（    ） 7 a 3 1 A．6 B．3 C．0 D． 解：∵幻方中各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， 观察右上到左下的对角线，三个数和为：， ∴所有行、列、对角线的和均为 ， 又第一列三个数的和为：， ∴可得方程， 解得 ．故选:D 3．（本题3分）幻方是我国的一种传统游戏．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，在其中填入一些数，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数，则的值为（   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， 解得：．故选:D 4．（本题3分）如图，将连续奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，若将十字形框上下左右移动，可框住另外5个数，这五个数的和不可能是（   ） A．235 B．205 C．85 D．65 解：设十字框中最小的数为x，则其他四个数分别为， 则五个数字的和为， 当时，解得，符合题意； 当时，解得，在最左边，框不住完整的5个数，故不合题意，； 当时，解得，符合题意； 当时，解得，符合题意； 故选：B． 5．（本题3分）在如图的2026年4月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（  ） A．27 B．51 C．69 D．75 解：根据月历表可设竖列上中间的数为，则上面的数为，下面的数为， 这三个数的和为． A、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故A选项不符合题意； B、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故B选项不符合题意； C、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故C选项不符合题意； D、当时，解得，则，，，不符合月历表中数的特点，故D选项符合题意．故选:D 6．（本题3分）如图，将正整数至按一定规律排列，图中十字框框住了个数字，将十字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的个数字，则框住的个数的和可能是（   ） A． B． C． D． 解：设中间的数为， ∴这五个数的和为：， ∴框住的个数的和是的正整数倍， 故选：B ． 7．（本题3分）如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 解：设中间一个数为x，则其余四个数分别为：，，，，则5个数的和为：， 当五个数字之和为75时，， 解得：， 即中间一个数为15，其余四个数为：7，9，21，23， ∴五个数字之和能为75，故A不符合题意； 当五个数字之和为100时，， 解得：， 即中间一个数为20，其余四个数为：12，14，26，28， ∴五个数字之和能为100，故B不符合题意； 当五个数字之和为115时，， 解得：， 即中间一个数为23，其余四个数为：15，17，29，31， ∴五个数字之和能为23，故C不符合题意； 当五个数字之和为120时，， 解得：， 即中间一个数为24，其余四个数为：16，18，30，32， ∵日历中不存在32， ∴五个数字之和不可能为120，故D符合题意．故选:D 8．（本题3分）如图，在2026年1月的日历表中用“H字框”圈出5，7，12，13，14，19，21七个数，它们的和为91，若将“H字框”在图中换个位置另圈出七个数，则它们的和不可能是（  ） A．63 B．84 C．98 D．106 解：设“H字框”中间的数为，则框出的七个数分别为、，、、、，， ∴七个数的和为， 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(在日历中存在，合理)； 当和时，解得：(日历中的数必须是整数，不合理)； 所以，只有对应的方程解不符合实际，因此和不可能是．故选:D 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）已知连续三个奇数之和为93，则最大的奇数是________． 解：设连续三个奇数按从小到大顺序为, 则由题意得， 解得， 故最大奇数为． 10．（本题3分）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，m的值为____． 2 5 7 m 6 解：根据题意得，， 解得． 11．（本题3分）2024年9月的月历如图所示，小杰用长方形按图中所示的方法从月历中任意框出3个数．若长方形框住的3个数的和为72，则框住的这3个数中最大的数是_________． 解：设中间数为x，则三个数为、x、 则 解得 故最大数， 故答案为：． 12．（本题3分）如图，在一张普通的月历中，任意圈出一竖列上的相邻的三个数，用方程的思想来研究，中间日期数为______时，三个日期数之和为51． 解：设中间日期为x，则跟它相邻的两个数分别为和，由题意得： 解得：； 故答案为：17． 13．（本题3分）有一张写着1至100的自然数表．在表中的相邻两行中各取连续的3个数，用如图所示的方框围起来，这6个数的和是108．如果在这张数表上，照上面的方法围出的6个数的和是480．那么方框里最大的数应该是_________． 解：设方框里最大的数是，则其他五个数分别为，，，，， 由题意得，， 解得：， 即框里最大的数应该是85． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）如图，某数学课外活动小组的同学做了一个数学风车，现在数学风车的每片叶片上都标有一个有理数． (1)若，求这四个有理数的和． (2)若相对的两个叶片上的数字的和相等，求的值． （1）解：若，这四个有理数的和为． （2）解：因为相对的两片叶片上数字的和相等，则， 解得：． 15．（本题8分）有五个连续的整数，设其中最小的数为n． (1)请写出这五个数的和． (2)这五个数各是什么数时，它们的和等于300？ （1）解：设其中最小的数为n，则五个连续整数为， ∴它们的和为． （2）解：根据题意可得， ， ， ∴五个数为58，59，60，61，62． 16．（本题8分）下方左图是2026年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则______，______，______；（用含x的代数式表示） (2)若，求c的值； (3)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为79，你认为他的说法对吗？请说明理由． （1）解：由日历可知，，，， 故答案为：，，； （2）解：由（1）得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)解：他的说法不对，理由如下： ∵框中的4个数之和可能为79， ∴， 由（1）得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵a为最左边的数，为最右边的数， ∴他的说法不对． 17．（本题9分）课本再现，如图，是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)图1中，用一个的正方形框围住相邻三列三行中的9个数字，设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，它上面表示的数是___________，它右下角表示的数是___________．（都用含的式子表示） (2)图1中，用正方形框围住的9个数字的和是最中心数字的___________倍． (3)在图2中，若“+”字框围住5个数字的和是65，那么最中心的数字是多少？ (4)在图2中，“+”字框围住5个数字的和能否为120，如果能，请求出这5个数，若不能，请说明理由． （1）解：由题意可得：设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，它上面表示的数是，它右下角表示的数是； （2）解：设正方形框内最中心的数字为，则它左边的数是，右边的数是，它上面表示的数是，左上角表示的数是，右上角表示的数为，下面表示的数为，左下角表示的数为，它右下角表示的数是， 故用正方形框围住的9个数字的和为， 故用正方形框围住的9个数字的和是最中心数字的倍； （3）解：设“+”框内最中心的数字为y， 根据题意，列方程得：， 解得， 答：“+”字框最中心的数字为13； (4)不能，理由如下： 设“+”框内最中心的数字为， 根据题意，列方程得： 解得 由框可知，24的右边没有数字， 所以“+”字框围住5个数字的和不能为120． 18．（本题9分）观察下图阴影方框内中间的数与其他四个数的关系． (1)中间的数用y表示，左边的数是（   ），下面的数是（   ），方框中5个数的和是（   ）． (2)当5个数的和是时，这5个数分别是多少？在下图方格中填一填． （1）解：中间的数用y表示，左边的数是，下面的数是，方框中5个数的和是． 故答案为：，，； （2）设中间的数用y表示， 则，解得：， 左边的数是，上面的数是，下面的数是，右边的数是， 故这5个数分别是，，，， 如图， 19．（本题10分）图中的正方形由9个小方格组成．在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)请将这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方． (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方． (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理． (4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试． (1)解：由题意，构造三阶幻方，如图1， (2)解：构造一个新的三阶幻方，如图： (3)解：位于中间位置的数始终不变，理由如下： 设幻方9个位置的数如图3所示，每行，每列，每条对角线上的和均为， 则； ①； ②； ③； ④； ，得； ∴， ∴位于中间位置的数为定值，始终不变； (4)解：能，构造幻方如图所示： 20．（本题11分）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ （1）解：，即五个数的和是15的5倍； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数可以表示为： ，，，，则它们的和为； （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，，由题意得，因此这五个数之和还是中间数的5倍； （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵， ∴2022不是5的倍数， ∴5个数的和不能是2022， ∵， ∴2025是5的倍数，且405在第三列， ∴5个数的和能等于2025． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $