5.2 一元一次方程的解法 课时作业 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 本练习以“基础巩固-能力提升-拓展探究”分层设计，覆盖一元一次方程解法全知识点，从概念辨析到综合应用，强化运算能力与推理意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|等式性质、移项、去括号、去分母|选择填空辨析概念，解答题按步骤解方程，夯实运算基础| |能力提升|解方程综合应用、错解分析|含分数小数方程、整体思想解题，培养推理与纠错能力| |拓展探究|知识迁移与实际应用|新运算定义、数值转换机，创设情境发展模型意识与应用能力|

北师大版七年级数学（上册） 第五章 一元一次方程 · 2 一元一次方程的解法 第五章 一元一次方程 2 一元一次方程的解法 · 课时作业 班级：____________ 姓名：____________ 学号：________ 用时：________ 分钟 得分：________ 学习目标 1. 理解等式的两条基本性质，会用它们对等式进行变形； 2. 理解移项的概念和依据，掌握"移项要变号"这一关键； 3. 掌握去分母、去括号的方法与注意事项； 4. 熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，并能灵活选择解法、自觉检验。 一、知识梳理 知识点 1 等式的基本性质 性质 1：等式两边都加上（或都减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。 符号语言：若 ，则 ，。 性质 2：等式两边都乘同一个数（或都除以同一个不为 0的数），所得结果仍是等式。 符号语言：若 ，则 ；若 且 ，则 。 图 1 等式性质 1 的天平直观解释：两边同时减去 2 个砝码，天平仍然平衡 特别提醒：性质 2 中"除以"时，除数一定不能为 0。因此由 得到 是错误的，必须补上条件 。 知识点 2 移项 概念：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项。 依据：等式的基本性质 1。 原方程 移项后 说 明 移过去变成 移过去变成 两项同时移，都要变号 口诀：移项必变号，不移不变号；移的是"项"（连同它前面的符号），不是单独的数字。 知识点 3 去括号 依据：分配律与去括号法则。 ① 括号前是""：去括号后括号内各项符号不变，如 ； ② 括号前是""：去括号后括号内各项都要变号，如 ； ③ 括号前有数字因数：要与括号内每一项都相乘，如 。 知识点 4 去分母 方法：在方程两边都乘各分母的最小公倍数。依据是等式的基本性质 2。 两个易错点：① 不含分母的项也要乘这个最小公倍数，不能漏乘；② 分子是多项式时，去掉分母后分子要添上括号，如 。 示例 解方程 ：两边同乘 6，得 。 知识点 5 解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体做法 注意事项 ① 去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 不漏乘；分子加括号 ② 去括号 由内到外依次去掉括号 括号前是"−"要变号 ③ 移 项 含未知数的项移到左边，常数项移到右边 移项必变号 ④ 合并同类项 化成 的形式 系数相加，字母部分不变 ⑤ 系数化为 1 两边同除以未知数的系数 是"除以 "，不是"减去 " 温馨提示：以上步骤可根据方程的具体特点灵活选用，不必死板照搬。解完后应把结果代回原方程检验。 完整示范：解方程 步 骤 过 程 依 据 去分母 两边同乘 10；性质 2 去括号 分配律、去括号法则 移 项 性质 1（移项变号） 合并同类项 合并同类项法则 系数化为 1 两边同除以 7；性质 2 检验：当 x = 时，左边 = 右边 = 1，所以所求的解正确。 二、基础巩固 （一）选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1. 下列变形中，一定正确的是（　　） A. 由 得 　　　　B. 由 得 C. 由 得 　　　　D. 由 得 2. 下列方程中，移项正确的是（　　） A. 由 得 B. 由 得 C. 由 得 D. 由 得 3. 解方程 时，去分母正确的是（　　） A. 　　　B. C. 　　　　D. 4. 方程 的解是（　　） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 5. 若关于 的方程 的解是 ，则 的值为（　　） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 6. 解方程 时，去分母后正确的是（　　） A. 　　　B. C. 　　　　D. 7. 已知方程 与关于 的方程 的解相同，则 的值为（　　） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 8. 小明解方程 时，在方程两边同时乘 6，得到 。他这样做的依据是（　　） A. 等式的基本性质 1　　　　B. 等式的基本性质 2 C. 分配律　　　　　　　　　D. 合并同类项法则 （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9. 方程 的解是 ____________，这一步的依据是________________________。 10. 由 移项，得 ____________________。 11. 若 与 互为相反数，则 ____________。 12. 方程 的解是 ____________。 13. 当 ____________ 时，代数式 与 的值相等。 14. 关于 的方程 的解是 ，则 ____________。 15. 若 是关于 的一元一次方程，则它的解是 ____________。 16. 关于 的方程 有解，则 应满足的条件是 ____________。 （三）解答题（共 32 分） 17. （6 分）利用等式的基本性质解下列方程，并写出每一步变形的依据。 （1）；　（2）；　（3）。 18. （18 分）解下列方程。 （1）　　　　　　　　　（2） （3）　　　　（4） （5）　　　　（6） （7）　　　　（8） 19. （8 分）小华解方程 的过程如下： 解：去分母，得 　　……第一步 去括号，得 　　　　　……第二步 移项、合并同类项，得 　　　　　……第三步 （1）小华的解答从第 ______ 步开始出现错误，错误的原因是 ____________________________； （2）请写出正确的解答过程。 三、能力提升 20. （6 分）解方程：。 21. （6 分）小明在解关于 的方程 时，误将 看成了 ，因而求得的解为 。 （1）求 的值；　（2）求原方程的正确解。 22. （6 分）阅读理解：解方程 时，如果把 看成一个整体，设 ，方程就变成 ，解起来十分简便。 请你模仿上面的"整体思想"解方程 。 23. （6 分）已知关于 的方程 与 的解相同，求 的值。 四、拓展探究 24. （8 分）定义一种新运算""：对于任意有理数 、，规定 。例如 。 （1）求 的值； （2）若 ，求 的值。 25. （8 分）某数学兴趣小组设计了如下"数值转换机"： 输入 x → 乘 3 → 减 4 → 除以 2 → 加 x → 输出结果 （1）用含 的式子表示输出的结果（结果化简）； （2）若输入的数与输出的结果互为相反数，求输入的数 。 五、易错诊断 易错 1：移项忘记变号。 错解：由 得 。 诊断：正确应为 。凡是移过等号的项，符号一律改变。 易错 2：去分母时漏乘不含分母的项。 错解：由 得 。 诊断：常数项 也要乘 6，正确应为 。 易错 3：去分母时分子是多项式却不加括号。 错解：由 得 。 诊断：正确应为 。分数线本身就有括号的作用。 易错 4：系数化为 1 时用错运算。 错解：由 得 。 诊断：应两边同除以 ，得 。 参考答案与解析 （一）选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A C C B A B 1. D　解析：A 中一边加 3、一边减 3，不符合性质 1；B、C 都没有说明 ，当 时不成立；D 是等式两边同乘 3，符合性质 2。 2. C　解析：A 应为 ；B 中 移到右边应变为 ，即 ；D 应为 。只有 C 正确。 3. A　解析：分母 3 与 4 的最小公倍数是 12，两边同乘 12 得 ，注意分子加括号。 4. C　解析：去括号得 ，合并得 ，移项得 。 5. C　解析：把 代入得 ，即 ，所以 。 6. B　解析：分母 2、3 的最小公倍数为 6。两边同乘 6：，，，故得 。 7. A　解析：由 得 ，。把 代入 得 ，所以 。 8. B　解析：在等式两边同乘同一个数，依据的是等式的基本性质 2。 （二）填空题 9. 3；等式的基本性质 2（两边同除以 4）。 10. （即 ）　解析： 移到右边变为 。 11. 　解析：互为相反数即两数之和为 0，故 ，即 ，，。 12. 3　解析：两边同乘 5 得 ，移项得 ，所以 。 13. 8　解析：由 得 ，即 。 14. 3　解析：把 代入得 ，即 ，。 15. 　解析：由 得 ；又 ，故 。此时方程为 ，解得 。 16. m≠2　解析：只有当未知数的系数 时，方程才有解。 （三）解答题 17. 解：（1）两边同时减去 5（等式的基本性质 1），得 。 （2）两边同时除以 （等式的基本性质 2），得 。 （3）两边同时加上 1（性质 1），得 ；再两边同时乘 4（性质 2），得 。 18. 解：（1）移项，得 ，即 ；系数化为 1，得 。 （2）移项，得 ；合并同类项，得 ；系数化为 1，得 。 （3）去括号，得 ，即 ； 移项，得 ；合并同类项，得 ；系数化为 1，得 。 （4）去括号，得 ，即 ； 移项，得 ；合并同类项，得 ；系数化为 1，得 。 （5）去分母（两边同乘 6），得 ； 去括号，得 ；合并同类项，得 ； 移项，得 ；系数化为 1，得 。 （6）去分母（两边同乘 12），得 ； 去括号，得 ； 合并同类项，得 ；移项，得 ； 合并同类项，得 ；系数化为 1，得 。 （7）去分母（两边同乘 12），得 ； 去括号，得 ；合并同类项，得 ； 移项，得 ；合并同类项，得 ； 系数化为 1，得 。 （8）去分母（两边同乘 6），得 ； 去括号，得 ；合并同类项，得 ； 移项，得 ，即 。 这是一个不成立的等式，所以原方程 无解。 提示：当化简后未知数的系数为 0 而两边常数不等时，方程无解；若两边常数也相等，则方程有无数个解。 19. 解：（1）第 一 步开始出错，原因是去分母时漏乘了右边不含分母的项 1（1 也应乘 6）。 （2）正确解答： 去分母（两边同乘 6），得 ； 去括号，得 ； 合并同类项，得 ；移项，得 。 三、能力提升 20. 解：先把分母化为整数。 ，　， 原方程化为 ； 去括号，得 ；合并同类项，得 ； 移项，得 ；系数化为 1，得 。 提示：把分母中的小数化为整数时，分子、分母要同时乘同一个数，依据是分数的基本性质。 21. 解：（1）小明实际解的方程是 。 把 代入，得 ，即 ， 移项，得 ，所以 。 （2）原方程为 ， 去括号，得 ；移项，得 ； 合并同类项，得 ，所以 。 22. 解：设 ，则原方程化为 。 两边同乘 12，得 ，所以 。 于是 ，移项得 ，所以 。 23. 解：由 得 ，所以 。 因为两方程的解相同，把 代入 ，得 。 两边同乘 6，得 ； 去括号，得 ；移项、合并，得 ，所以 。 四、拓展探究 24. 解：（1）-16。 （2）由定义，，。 所以 ；移项，得 ； 合并同类项，得 ，所以 。 25. 解：（1）输出的结果为 。 化简：， 即输出结果为 。 （2）由题意，输入的数与输出的结果互为相反数，即两数之和为 0： 。两边同乘 2，得 ； 合并同类项，得 ，所以 。 六、解方程专项强化训练 解下列方程，要求写出完整的步骤（每小题 4 分，共 24 分）。 （1）　　　　　　（2） （3）　　　　　（4） （5）　　　　　（6） 六、解方程专项强化训练 参考答案 （1）去括号，得 ；合并同类项，得 ； 移项，得 ；合并同类项，得 ；所以 。 （2）去括号，得 ；合并同类项，得 ； 移项，得 ；所以 。 （3）去分母（两边同乘 6），得 ； 去括号，得 ；移项，得 ； 合并同类项，得 ；所以 。 （4）去分母（两边同乘 6），得 ； 去括号，得 ；合并同类项，得 ； 移项、合并，得 ；所以 。 （5）移项，得 ；合并同类项，得 ； 系数化为 1，得 。 （6）先去小括号，得 ，即 ； 再去中括号，得 ；移项，得 ； 合并同类项，得 ；所以 。 学习反思 请对照本课时的学习目标，如实填写下表，并把做错的题号写入"错题记录"。 本课时目标 完全掌握 基本掌握 尚有困难 错题记录 会用等式的两条基本性质变形 移项时不会忘记变号 去分母不漏乘、分子会加括号 能按一般步骤熟练解一元一次方程 我的收获与疑问：____________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ —— 本课时作业结束，请认真订正错题，把易错点记录在错题本上 —— 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $