1.2 空间向量基本定理（讲义，知识点&5大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“空间向量基本定理”核心知识点，系统梳理定理内容、基底与基向量概念、正交基底及单位正交基底含义，构建从理解定理到基底选取、正交分解再到解决立体几何问题的学习支架。 资料通过5类题型（基底辨析、向量表示等）配例题与解题贴士，培养学生推理能力，分层练习（基础到迁移创新）提升应用意识，结合立体几何模型训练用数学语言表达空间关系，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

司 第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 课标要点 1.理解空间向量基本定理的内容与几何意义，认识空间基底的概念。 2.掌握空间向量的唯一分解形式，能将任意空间向量用一组基底表示。 3.理解正交基底、单位正交基底的含义，明确空间向量分解的唯一性。 4.运用空间向量基本定理转化、求解简单的空间几何问题。 学习重难点 重点： 1.空间向量基本定理的核心内容与空间基底的选取规则。 2.熟练利用一组不共面的基底，表示任意空间向量。 3.掌握单位正交基底的概念及基础应用。 难点： 1.准确理解“三个不共面向量构成空间基底”的核心条件。 2.在立体几何体中灵活选取合适基底，完成向量的分解与转化。 知识点 空间向量基本定理 1、定理内容：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使. 2、基底与基向量：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量。 易错提醒 （1）一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念； （2）空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 随学随练 1．（25-26高二上·河南信阳·期中）下列可使非零向量，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由空间基底的定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A：因为，所以非零向量、、共面，故不能作为一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以、、， 所以非零向量、、不共面，可构成空间的一组基底，故B正确； 对于C：令、、，满足， 但是，所以、、共面，故不能作为一组基底，故C错误； 对于D：因为，所以，所以、、共面，故不能作为一组基底，故D错误； 故选：B 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 【答案】BCD 【解析】对于A，零向量与任意向量共面，不满足空间基底中三个向量不共面的条件，故A错误； 对于B，假设共面， 则存在实数使得，说明共面， 与是空间的一个基底矛盾，所以不共面， 所以是空间的一个基底，故B正确； 对于C，根据空间向量基本定理，空间任一向量均可用空间一组基底唯一线性表示，故C正确； 对于D，因为是空间的一个基底，所以不共面， 所以当且仅当时，才成立，故D正确； 故选：BCD 知识点 空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。 2、正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 随学随练 1．（23-24高二上·宁夏银川·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________． 【答案】 【解析】由向量坐标的定义可知，是空间的一个单位正交基底，． 2．如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，以为正交基底，则______． 【答案】 【解析】由题意可得，又，， 所以其单位正交基底， 所以． 题型 空间向量基底的辨析 ▌例1 （25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在实数使得， 又因为构成空间的一个基底，则，方程组无解， 所以不共面，可以作为空间一个基底，故C正确； 对于D，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故D错误. 解题贴士 判断基底的基本思路及方法 （1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底，若不共面，则能构成基底； （2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设（），运用空间向量基本定理，建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底。 ▌对点练1-1 （25-26高二上·陕西汉中·期末）（多选）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（    ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【答案】BD 【解析】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使， 即，所以，无解， 所以不共面，故D正确，故选：BD. ▌对点练1-2 （25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意.故选：B. ▌对点练1-3 （25-26高二上·辽宁·阶段检测）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，与不能构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】假设， 则，，矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故A错误； ， 与共面，不能构成空间的一个基底，故B正确； 假设， 则，与矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故C错误； 假设， 则，，矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故D错误．故选：B． 题型 利用基底表示空间向量 ▌例2 （25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选：B. 解题贴士 用基底表示向量时： （1）若基底确定，则要充分利用向量加法、减法运算的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行运算； （2）若没给定基底，则先选择基底，且要尽量使所选的基向量能简便地表示其他向量. ▌对点练2-1 （25-26高二上·河北邢台·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱，，交于点，，，若，以为空间的一个基底，则__________. 【答案】 【解析】设，则． 因为A，E，F，G四点共面，且不共线， 所以. 由，解得，所以. ▌对点练2-2 （25-26高二上·安徽滁州·期末）已知四棱柱中，四边形为平行四边形，点是线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】四棱柱中，四边形为平行四边形，则， 由点是线段的中点， 则 ，则， 所以. 故选：B ▌对点练2-3 （25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，设， 所以， 解得，则， 则以为基底时的坐标是．故选：D． 题型 利用空间向量基本定理求参数 ▌例3 （25-26高二上·山东德州·阶段检测）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】在四棱锥P-ABCD中，有， 再由点E为棱PC的中点，，所以， ， 由底面ABCD是平行四边形，得， 所以， 又因为，所以，即，故选：A. 解题贴士 利用空间向量基本定理求参数，先选定一组不共面向量作为基底，把等式两侧向量统一用该基底表示，依据基底分解系数唯一建立方程组，联立求解参数；解题需注意基底必须满足不共面，整理向量时规范线性运算，核对各项系数避免计算失误。 ▌对点练3-1 （25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在平行六面体中，M为AB的中点，， 有， 又，则， 所以．故选：C ▌对点练3-2 （25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图所示： 因为为的中点，所以，由题意可知， 所以， 在三棱锥中，、、不共面，且， 所以，，故.故选：A. ▌对点练3-3 （25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. 【答案】 【解析】在三棱柱中，、分别是、的中点， 则， 又因为，且、、不共面， 所以，，故. 题型 空间向量的正交分解 ▌例4 （25-26高二上·山东青岛·期末）是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______． 【答案】 【解析】因为，且， 由于是空间的一个单位正交基底，所以，解得， 因此. 解题贴士 选取两两垂直的不共面向量作正交基底，将目标向量拆分为基底的线性组合，利用基底互相垂直、数量积为0的性质简化运算；若为单位正交基底，可直接写出向量坐标，借助坐标完成模长、夹角、垂直等相关计算。 ▌对点练4-1 （25-26高二上·广东江门·期中）已知向量是空间的一组单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，在基底下的坐标为，则___________． 【答案】4 【解析】由向量在基底下的坐标为，得， 由在基底下的坐标为， 得， 因此，所以. ▌对点练4-2 （24-25高二上·福建厦门·阶段检测）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，向量在基底下的坐标为， 所以， 所以向量在基底下的坐标是.故选：A ▌对点练4-3 （24-25高二上·福建厦门·阶段检测）在单位正交基底下，已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以， 又为一组单位正交基底， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为.故选：A 题型 利用基底与数量积解决平行与垂直问题 ▌例5 如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【答案】(1)，，；(2)证明见解析 【解析】（1）已知，，， 得：，，． （2）设， 又， 则，且， 则， 得， 即， 同理可得， 因为，，平面，平面，且， 所以平面． 解题贴士 欲证线线平行，需选取三个已知向量为基底（模已知且两两夹角已知）表示出此两条有向线段，再计算它们之间存在线性关系. 欲证线面平行，只需证明此直线与平面内两个不共线的向量存在线性相关关系（即共面）. 要证明两直线垂直，只需选取三个不共线的已知向量（通常它们的模及两两夹角已知）为基底将两直线的方向向量表示出来，随后计算两个方向向量的数量积为0即可. 欲证线面垂直，只需通过数量积为0的方法证明此直线垂直平面内两相交直线，期间用基底表示这些向量把它们沟通起来是关键. ▌对点练5-1 （25-26高二上·广西南宁·阶段检测）如图，已知四棱锥的底面为菱形，平面底面． (1)求证：． (2)若为侧棱的中点，在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，2 【解析】（1）由已知得为菱形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面,所以． （2）如图，记，显然为的中点． 取侧棱上的点，使得平面， 连结，交于点，连结， 则，从而是的中点． 因为为的中点，所以． 设， 则． 因为三点共线， 所以，解得． 所以，故． 又当时，确有是的中点， 从而，故平面． 所以在侧棱上存在点，使得平面， 此时． ▌对点练5-2 （24-25高二上·山东·期中）如图，N是三棱柱的棱的中点， (1)若，求的值； (2)若，，平面，点M在棱上，使，求的值. 【答案】(1)-1；(2) 【解析】（1） ， 而，则，，， 所以 （2）假设存在点，使，设， . 由题意可知设， 又，， 则，， 因为，所以， 即， ∴. ∴，即，解得， 即时，则. ▌对点练5-3 （24-25高二上·广东广州·期中）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，当时， 【解析】（1） （2）假设存在点，使得，设， 则， 因为，所以， 即， 所以，， 设，又，， 所以，， 即，解得， 所以当时，. 基础通关 1．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正方体中，向量，， 因此向量，，分别与向量共面，ABC不能； 而平面，即向量不共面，D能.故选：D 2．（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： .故选：C. 3．（25-26高二上·山西·阶段检测）如图，在三棱柱中，设的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， ， 所以.故选：D. 4．（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是空间的一个单位正交基底， 所以，， 则， ， 所以空间向量在方向上的投影向量为，故选：D 5．（25-26高二上·湖北·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为中点， 所以 .故选：A 6．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 7．（25-26高二上·河北雄安·期末）如图，在平行六面体中，点为与的交点．若，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意， ， 所以，即.故选：B 8．（25-26高二上·广东深圳·期中）若构成空间一组基底，那么能与，构成空间一组基底的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，则向量与共面，A不是； 对于B，，则向量与共面，B不是； 对于C，，则向量与共面，C不是； 对于D，若与共面，则存在实数， 使得， 而不共面，于是，无解， 向量与不共面，可以构成空间一组基底，D是.故选：D 9．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知三点不共线，若，则直线与平面的位置关系是___________. 【答案】平面或平面 【解析】因为三点不共线，且，所以向量与向量共面， 即直线可能在平面内，也可能和平面平行. 故答案为：平面或平面. 10．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则______. 【答案】1 【解析】在四面体OABC中， ，而， 所以，. 素养提升 11．（23-24高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知空间向量,,都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（    ） A．向量的模是3 B．可以构成空间的一个基底 C．向量和夹角为锐角 D．向量与共线 【答案】BC 【解析】对于A选项，， ∴，A选项错误； 对于B选项，因为空间向量,,都是单位向量，且两两垂直， 则、、均为非零向量， ∵，，， 所以，、、两两垂直，则可以构成空间的一个基底，B选项正确； 对于C选项，，C选项正确； 对于D选项，， ，同理可得， 所以，， ∵，则，D选项错误.故选：BC. 12．（24-25高二上·四川广安·期中）（多选）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当三棱锥的体积为定值时， C．当时，有且仅有两个点，使得 D．当平面时， 【答案】BC 【分析】选项A，C先确定点的轨迹判断即可；选项B，D利用题意确定轨迹即可. 【解析】当时，得，由向量的加法运算可知，此时点在线段上， 此时三棱锥中点到平面的距离为定值，为底面正三角形的高为， 所以此时的体积为，故选项A错误； 由题易知，点在正方形内，所以点到平面的距离为定值， 当三棱锥的体积为定值时，可知 因为，所以点到直线的距离为，故此时点在线段上， 根据向量的线性运算可知，故选项B正确； 记的中点为,的中点为，的中点为,连接，当时，易知点在线段上； 要使，易知点在以为直径的球面上；故我们需要判断以为直径的球面与线段的交点个数； 易知， 所以线段上刚好有两个点在以为直径的球面上， 即当时，有且仅有两个点，使得，故选项C正确； 记的中点为点,连接， 由题易知， 所以有 所以, 又是平面内的两条相交直线，所以平面 又因为平面，点在正方形内 所以易知点在线段上，此时的值不确定，故选项D错误； 故选：BC 13．（25-26高二上·广东广州·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则________. 【答案】 【解析】设，则. 所以，解得. 所以. 故答案为：. 14．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、、、四点不共面，理由见解析； (2)为空间的一组基底， ，理由见解析. 【解析】（1）， 设，则， 因为为空间的一个基底，故，该方程无解， 故不共面，所以、、、四点不共面， （2）设，则， 因为为空间的一个基底，故，无解， 故不共面，故为空间的一组基底. 设，则： ， 因为为空间的一个基底，故， 故，故. 15．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点. (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)存在，为的中点 【解析】（1）； （2）若P为棱的中点，则，， 所以； （3）设， 则，由（1）知 所以， 即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点. 迁移创新 16．（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 【答案】4 【解析】连接并延长，交于点，以为空间一组基底， 由于是的重心，点M在上，且， 所以 ①， 连接，因为四点共面，所以存在实数，使得， 即，②， 由①②以及空间向量的基本定理可知：，， 所以. 17．（25-26高二上·吉林延边·期末）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．15 B．12 C．9 D．10 【答案】D 【解析】 因为，则， 即， 即，所以， 因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点， 使得成立，即， 所以，即，则， 又三棱锥的体积为15， 则．故选：D． 18．（25-26高二上·四川成都·期中）行列式是解决复杂代数运算的算法，二阶行列式其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的向量积.其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.已知，是空间直角坐标系中异于的不同两点，且，，三点不共线，易证是平面的一个法向量. (1)①若，，求； ②求证：. (2)记的面积为，证明：. (3)三棱锥，其中，，，求三棱锥的体积（用，，表示）. 【答案】(1)①② ， 则. (2)，设， 记 的面积为 ， ， ， 故. (3) 【解析】（1）①若 ，则， ②略 （2）略 （3）由题可知平面的一个法向量为，则点到平面的距离， 利用 ，则， 其中 ， 故. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 课标要点 1.理解空间向量基本定理的内容与几何意义，认识空间基底的概念。 2.掌握空间向量的唯一分解形式，能将任意空间向量用一组基底表示。 3.理解正交基底、单位正交基底的含义，明确空间向量分解的唯一性。 4.运用空间向量基本定理转化、求解简单的空间几何问题。 学习重难点 重点： 1.空间向量基本定理的核心内容与空间基底的选取规则。 2.熟练利用一组不共面的基底，表示任意空间向量。 3.掌握单位正交基底的概念及基础应用。 难点： 1.准确理解“三个不共面向量构成空间基底”的核心条件。 2.在立体几何体中灵活选取合适基底，完成向量的分解与转化。 知识点 空间向量基本定理 1、定理内容：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使. 2、基底与基向量：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量。 易错提醒 （1）一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念； （2）空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 随学随练 1．（25-26高二上·河南信阳·期中）下列可使非零向量，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）（多选）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 知识点 空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。 2、正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 随学随练 1．（23-24高二上·宁夏银川·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________． 2．如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，以为正交基底，则______． 题型 空间向量基底的辨析 ▌例1 （25-26高二上·福建莆田·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 判断基底的基本思路及方法 （1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底，若不共面，则能构成基底； （2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设（），运用空间向量基本定理，建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底。 ▌对点练1-1 （25-26高二上·陕西汉中·期末）（多选）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（    ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 ▌对点练1-2 （25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D．▌对点练1-3 （25-26高二上·辽宁·阶段检测）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，与不能构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型 利用基底表示空间向量 ▌例2 （25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 解题贴士 用基底表示向量时： （1）若基底确定，则要充分利用向量加法、减法运算的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行运算； （2）若没给定基底，则先选择基底，且要尽量使所选的基向量能简便地表示其他向量. ▌对点练2-1 （25-26高二上·河北邢台·期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱，，交于点，，，若，以为空间的一个基底，则__________. ▌对点练2-2 （25-26高二上·安徽滁州·期末）已知四棱柱中，四边形为平行四边形，点是线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-3 （25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型 利用空间向量基本定理求参数 ▌例3 （25-26高二上·山东德州·阶段检测）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 解题贴士 利用空间向量基本定理求参数，先选定一组不共面向量作为基底，把等式两侧向量统一用该基底表示，依据基底分解系数唯一建立方程组，联立求解参数；解题需注意基底必须满足不共面，整理向量时规范线性运算，核对各项系数避免计算失误。 ▌对点练3-1 （25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-2 （25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-3 （25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. 题型 空间向量的正交分解 ▌例4 （25-26高二上·山东青岛·期末）是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______． 解题贴士 选取两两垂直的不共面向量作正交基底，将目标向量拆分为基底的线性组合，利用基底互相垂直、数量积为0的性质简化运算；若为单位正交基底，可直接写出向量坐标，借助坐标完成模长、夹角、垂直等相关计算。 ▌对点练4-1 （25-26高二上·广东江门·期中）已知向量是空间的一组单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，在基底下的坐标为，则___________． ▌对点练4-2 （24-25高二上·福建厦门·阶段检测）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-3 （24-25高二上·福建厦门·阶段检测）在单位正交基底下，已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型 利用基底与数量积解决平行与垂直问题 ▌例5 如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 解题贴士 欲证线线平行，需选取三个已知向量为基底（模已知且两两夹角已知）表示出此两条有向线段，再计算它们之间存在线性关系. 欲证线面平行，只需证明此直线与平面内两个不共线的向量存在线性相关关系（即共面）. 要证明两直线垂直，只需选取三个不共线的已知向量（通常它们的模及两两夹角已知）为基底将两直线的方向向量表示出来，随后计算两个方向向量的数量积为0即可. 欲证线面垂直，只需通过数量积为0的方法证明此直线垂直平面内两相交直线，期间用基底表示这些向量把它们沟通起来是关键. ▌对点练5-1 （25-26高二上·广西南宁·阶段检测）如图，已知四棱锥的底面为菱形，平面底面． (1)求证：． (2)若为侧棱的中点，在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． ▌对点练5-2 （24-25高二上·山东·期中）如图，N是三棱柱的棱的中点， (1)若，求的值； (2)若，，平面，点M在棱上，使，求的值. ▌对点练5-3 （24-25高二上·广东广州·期中）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点. (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 基础通关 1．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山西·阶段检测）如图，在三棱柱中，设的中点为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖北·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河北雄安·期末）如图，在平行六面体中，点为与的交点．若，，，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东深圳·期中）若构成空间一组基底，那么能与，构成空间一组基底的向量可以是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知三点不共线，若，则直线与平面的位置关系是___________. 10．（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则______. 素养提升 11．（23-24高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知空间向量,,都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（    ） A．向量的模是3 B．可以构成空间的一个基底 C．向量和夹角为锐角 D．向量与共线 12．（24-25高二上·四川广安·期中）（多选）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当三棱锥的体积为定值时， C．当时，有且仅有两个点，使得 D．当平面时， 13．（25-26高二上·广东广州·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则________. 14．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 15．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点. (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 迁移创新 16．（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 17．（25-26高二上·吉林延边·期末）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．15 B．12 C．9 D．10 18．（25-26高二上·四川成都·期中）行列式是解决复杂代数运算的算法，二阶行列式其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的向量积.其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.已知，是空间直角坐标系中异于的不同两点，且，，三点不共线，易证是平面的一个法向量. (1)①若，，求； ②求证：. (2)记的面积为，证明：. (3)三棱锥，其中，，，求三棱锥的体积（用，，表示）. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $