1.3.1 空间向量及其运算的坐标表示-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，前承平面向量坐标表示，通过建立空间直角坐标系，依次梳理点的坐标、向量坐标、运算及性质的坐标表示，构建从基础概念到应用的学习支架。 特色为“逐点清”结构，含“多维理解”与“微点练明”，如空间直角坐标系建立培养空间观念（数学眼光），向量运算坐标表示对比平面向量发展推理能力（数学思维），坐标公式应用强化模型观念（数学语言）。课中助教师系统授课，课后检测助学生查漏补缺。

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 第1课时　空间向量及其运算的坐标表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,空间向量运算的坐标表示及距离公式. 逐点清(一)　空间直角坐标系及点的坐标 [多维理解] 1.空间直角坐标系 空间 直角 坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量 坐标 平面 在空间直角坐标系Oxyz中,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面 右手 直角 坐标系 在空间直角坐标系Oxyz中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系 2.空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+yj+zk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. 3.点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) 4.点P(a,b,c)的对称性 对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标 x轴 (a,-b,-c) y轴 (-a,b,-c) z轴 (-a,-b,c) Oxy平面 (a,b,-c) Oyz平面 (-a,b,c) Ozx平面 (a,-b,c) 坐标原点 (-a,-b,-c) 循规记忆:关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反. [微点练明] 1.点P(-5,0,6)位于 (　　) A.y轴上 B.z轴上 C.Ozx平面内 D.Oyz平面内 解析:选C　因为点P(-5,0,6)的纵坐标为0,所以点P位于Ozx平面内,故选C. 2.(多选)如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则下列结论正确的是 (　　) A.点B1的坐标为(3,5,4) B.点C1关于点B对称的点为(8,5,-3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0) 解析:选BCD　易知点B1的坐标为(4,5,3),故A错误;由C1(0,5,3),B(4,5,0),设点C1关于点B对称的点为P(x,y,z),则=4,=5,=0,解得x=8,y=5,z=-3,故P(8,5,-3),故B正确; 在长方体中,AD1=BC1==5=AB,所以四边形ABC1D1为正方形,AC1与BD1垂直且平分,即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3),故C正确;因为CB⊥平面ABB1A1,故点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(0+2×4,5,0),即(8,5,0),故D正确. 3.已知点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1,点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2,点P2关于z轴的对称点为P3,则点P3的坐标为　　　　. 解析:点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2,3,1),点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(-2,3,1),点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2,-3,1). 答案:(2,-3,1) 逐点清(二)　空间向量的坐标 [多维理解] 　　在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z). [微点练明] 1.已知{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,且=-i+j-k,则的坐标为 (　　) A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k) C.(1,-1,-1) D.(1,-1,1) 解析:选A　根据空间向量坐标的定义,由=-i+j-k,知=(-1,1,-1). 2.已知正方体ABCD⁃A'B'C'D'的棱长为1,且BP=BD',建立如图所示的空间直角坐标系,则点P的坐标为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　记x,y,z轴正方向上的单位向量分别为i,j,k,则=i,=j,=k,因为=+=+ =+(+)=+(-++)=++=i+j+k,所以点P的坐标为.故选D. 3.如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,若以{,,}为基底,则向量的坐标为　　　　,向量的坐标为　　　　,向量的坐标为　　　　. 解析:因为=++=++,所以向量的坐标为. 因为=++=++,所以向量的坐标为. 因为=++, 所以向量的坐标为(1,1,1). 答案:　　(1,1,1) 4.已知在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=4,建立适当的空间直角坐标系,求向量,,的坐标. 解:建立如图所示的空间直角坐标系,设=i,=j,=k,=4i+0j+0k=(4,0,0). =+=0i+4j+4k=(0,4,4).=+=++=-4i+4j+4k=(-4,4,4). 逐点清(三)　空间向量运算的坐标表示 [多维理解] 1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b (a1+b1,a2+b2,a3+b3) 减法 a-b (a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数乘 λa (λa1,λa2,λa3) 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 2.设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. |微|点|助|解| (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致. (2)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量,用坐标表示;数量积的结果为数量. [微点练明] 1.若向量a=(4,0,-2),向量a-b=(0,1,-2),则b= (　　) A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4) C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4) 解析:选C　b=a-(a-b)=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0). 2.已知向量a=(1,2,1),b=(1,-1,m),且a·b=-2,则m= (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析:选A　因为a·b=-2,所以1×1+2×(-1)+1×m=-2⇒m=-1,故选A. 3.已知A(1,1,0),B(2,0,-1),C(-1,3,-2),则+= (　　) A.(4,-4,0) B.(-4,4,0) C.(-2,2,0) D.(-2,2,-2) 解析:选D　+==(-1,3,-2)-(1,1,0)=(-2,2,-2). 4.若A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),则·= (　　) A.-11 B.3 C.4 D.15 解析:选C　由已知,=(2-3,-4-(-4),-1-1)=(-1,0,-2),=(-1-3,5-(-4),1-1)=(-4,9,0), ∴·=4+0+0=4. 5.已知向量a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=c-2a,则c= (　　) A.(0,3,-6) B.(0,6,-20) C.(0,6,-6) D.(6,6,-6) 解析:选B　由题意,得c=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20). 逐点清(四)　空间向量性质的坐标表示 [多维理解] 1.空间向量性质的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 平行 a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0 模 |a|== 夹角公式 cos<a,b>== 2.常用公式 (1)向量的坐标公式: 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). (2)空间两点间的距离公式: 若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=||=. (3)空间线段中点的坐标公式: 若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则线段P1P2的中点坐标为. [微点练明] 1.已知A(2,-3,-1),B(-6,5,3),则||= (　　) A.2 B.4 C.2 D.12 解析:选D　由A(2,-3,-1),B(-6,5,3)可得=(-8,8,4),所以||==12. 2.(多选)已知向量a=(1,-1,0),b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则 (　　) A.向量a,b的夹角为 B.(a+2b)·(b+c)=7 C.(a+5b)⊥c D.a∥(b-c) 解析:选CD　|a|==,|b|==,a·b=1×(-1)+(-1)×0+0×1=-1,设向量a,b的夹角为θ,则cos θ===-,因为θ∈[0,π],则θ=,A错误.a+2b=(-1,-1,2),b+c=(1,-3,2),则(a+2b)·(b+c)=-1×1+(-1)×(-3)+2×2=6,B错误.a+5b=(-4,-1,5),则(a+5b)·c=-4×2+(-1)×(-3)+5×1=0,故(a+5b)⊥c,C正确.b-c=(-3,3,0),则b-c=-3a,故a∥(b-c),D正确. 3.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由题意可得,2a-b=2(1,n,2)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2),因为2a-b与b垂直,则(2a-b)·b=4×(-2)+(2n-1)×1+2×2=0,解得n=,即a=,所以|a|==,故选C. 4.若四边形ABCD是平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为 (　　) A.(1,1,-7) B.(5,3,1) C.(-3,1,5) D.(5,13,-3) 解析:选D　∵四边形ABCD为平行四边形,∴=,设D(x,y,z),则=(-2,-6,-2),=(3-x,7-y,-5-z), ∴解得 5.(多选)已知点P是△ABC所在平面外一点,若=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),则下列结论正确的有 (　　) A.AP⊥AB B.=(6,1,-4) C.BC= D.AP∥BC 解析:选ABC　因为·=-2-2+4=0,所以AP⊥AB,故A正确;=-=(4+2,2-1,-4)=(6,1,-4),故B正确;||==,故C正确;设=λ,则(6,1,-4)=λ(1,-2,1),故此方程组无解.所以,不共线,故AP∥BC不成立,故D错误. [课时检测] 1.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,3),B(-3,0,1),则线段AB的中点坐标是 (　　) A.(-1,-1,2) B.(1,1,-2) C.(2,2,-4) D.(-2,-2,4) 解析:选A　设线段AB的中点坐标为(x,y,z),所以x==-1,y==-1,z==2,故线段AB的中点坐标是 (-1,-1,2). 2.在空间直角坐标系中,已知点P(1,3,5),则点P关于x轴的对称点的坐标是 (　　) A.(-1,-3,5) B.(-1,3,-5) C.(1,-3,-5) D.(-1,-3,-5) 解析:选C　根据空间点关于x轴对称,则x轴上坐标不变,y,z轴上坐标取相反数,故点P关于x轴的对称点的坐标是(1,-3,-5). 3.已知点A(3,-1,0),若向量=(2,5,-3),则点B的坐标是 (　　) A.(1,-6,3) B.(5,4,-3) C.(-1,6,-3) D.(2,5,-3) 解析:选B　由空间向量的坐标表示可知,=-(O为坐标原点),所以=+=(2,5,-3)+(3,-1,0)=(5,4,-3),所以点B的坐标是(5,4,-3). 4.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,若点M是侧面CDD1C1的中心,则在基底{,,}下的坐标为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题可知,M为DC1的中点,=+=+(+)=+(+)=++, ∴坐标为. 5.已知向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),则向量b在向量a上的投影向量为 (　　) A. B. C.(0,-1,-1) D.(-1,0,-1) 解析:选A　因为向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),所以a·b=1,|a|=,所以向量b在向量a上的投影向量为·=a=. 6.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选C　由已知可得a+b=(-1,-2,-3)=-a,且|a|=.又(a+b)·c=7,所以-a·c=7,即有-|a||c|cos<a,c>=-14cos<a,c>=7,所以cos<a,c>=-.又0°≤<a,c>≤180°,所以<a,c>=120°. 7.已知{a,b,c}是空间向量的一个基底,{a,b+c,b-c}是空间向量的另一个基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,-1),则向量p在基底{a,b+c,b-c}下的坐标是 (　　) A.(2,-1,-2) B.(2,-1,2) C.(2,1,-2) D.(2,1,2) 解析:选D　∵向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,-1),∴p=2a+3b-c,设向量p在基底{a,b+c,b-c}下的坐标是(x,y,z),则p=2a+3b-c=xa+y(b+c)+z(b-c),∴解得即(2,1,2). 8.(多选)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论正确的是 (　　) A.若|a|=2,则m=± B.若a⊥b,则m=-1 C.不存在实数λ,使得a=λb D.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,-2) 解析:选AC　因为|a|=2,所以=2,解得m=±,故A正确;因为a⊥b,所以-2+1-m+2m=0,所以m=1,故B错误;假设a=λb,则(1,-1,m)=λ(-2,m-1,2),所以该方程组无解,故C正确;因为a·b=-1,所以-2+1-m+2m=-1,解得m=0,所以a=(1,-1,0),b=(-2,-1,2),所以a+b=(-1,-2,2),故D错误.故选AC. 9.如图,已知正方体ABCD⁃A'B'C'D'的棱长为1,以D为原点,DA,DC,DD'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则以下坐标表示的点在平面A'BC'内的是 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由题意,得A'(1,0,1),B(1,1,0),C'(0,1,1),则=(0,-1,1),=(-1,0,1),设点P(x,y,z)在平面A'BC'中,则由共面向量定理得,存在唯一的有序实数对(λ,μ),使=λ+μ, 所以 即在A中,代入点坐标,无解,故A错误;在B中,代入点坐标,解得故B正确;在C中,代入点坐标,无解,故C错误;在D中,代入点坐标,无解,故D错误.故选B. 10.将地球看作半径为r km的球体,如图所示,将空间直角坐标系的原点置于球心,赤道位于Oxy平面上,z轴的正方向为球心指向正北极方向,本初子午线(,是0度经线)位于Oxz平面上,且交x轴于点S(r,0,0).已知赤道上一点E位于东经60度,则地球上位于西经60度,北纬30度的空间点P的横坐标约为 (　　) (参考数据:r≈6.371,≈1.41,≈1.73,≈2.45) A.-2 755 B.2 755 C.-2 246 D.2 246 解析:选B　设点P在Oxy平面上的射影为P',则OP=r,OP'=rcos 30°=r,因为OP'与x轴正方向的夹角为60°,由OP'在x轴上的射影长为rcos 60°=r≈×6.371×1 000≈2 755,所以空间点P的横坐标约为2 755,故选B. 11.(5分)如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中建立空间直角坐标系,若正方体的棱长为1,则的坐标为　　　　,的坐标为　　　　,的坐标为　　　　. 解析:由题图,A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),C1(1,1,1),∴=(1,0,0)-(0,0,0)=(1,0,0),=(1,1,1)-(0,1,0)=(1,0,1),=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1). 答案:(1,0,0)　(1,0,1)　(-1,1,-1) 12.(5分)已知点A(0,1,1),B(3,-1,2),C(-1,4,-1),D(3,6,x),若A,B,C,D四点共面,则x=　　　　.  解析:由题可知=(3,-2,1),=(-1,3,-2),=(3,5,x-1),因为A,B,C,D四点共面,所以=m+n(m,n∈R),则(3,5,x-1)=m(3,-2,1)+n(-1,3,-2)=(3m-n,-2m+3n,m-2n),即解得m=2,n=3,所以x=-3. 答案:-3 13.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,点M(1,0,3),N(0,2,0),点P在xOz平面内,且||=||,请写出一个满足条件的点P的坐标:　　　　.  解析:设P(x,0,z),由||=||, 得 =, 化简得x+3z=3. 答案:(0,0,1)(答案不唯一,符合(x,0,z),x+3z=3即可) 14.(10分)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=. (1)求cos<a,b>;(5分) (2)ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.(5分) 解:(1)由题设得a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 所以cos<a,b>====-. (2)由ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),而(ka+b)⊥(ka-2b), 所以(ka+b)·(ka-2b)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=(2k+5)(k-2)=0, 解得k=-或k=2. 15.(10分)如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,E为棱C1C的中点,已知AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=.试建立合适的空间直角坐标系,求出图中所有点的坐标. 解:在平面BB1C1C上过B点作垂直BB1的直线,与CC1相交于点D,如图所示,AB⊥平面BB1C1C,BD⊂平面BB1C1C,BB1⊂平面BB1C1C,∴AB⊥BD,AB⊥BB1.又∵BB1⊥BD,∴BD,BB1,BA两两垂直,以B为原点,分别以BD,BB1,BA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系. AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=,则CD=,BD=,∴A(0,0,),B(0,0,0),C,A1(0,2,), B1(0,2,0),C1,E为棱CC1的中点,则有E. 学科网（北京）股份有限公司 $