第3章 3.1 3.1.2 函数的表示法-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“函数的表示法”核心知识点，系统梳理解析法、列表法、图象法三种表示法及其优缺点，衔接初中函数知识，通过情境引入（如艾宾浩斯遗忘曲线）过渡到分段函数的概念、定义域、值域及应用，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以情境激发兴趣，通过问题链（如“所有函数都能用三种方法表示吗”）引导思考，培养数学抽象与逻辑推理素养。结合商场售电视、企业选俱乐部等实例，强化数学运算与应用意识，课中助力教师授课，课后便于学生回顾练习，有效查漏补缺。

3．1.2　函数的表示法 课程标准 素养解读 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用 1.结合实例，经历函数三种表示法的抽象过程，体会三种表示法的作用，培养学生的数学抽象素养 2．结合实例，加深对分段函数概念的理解及应用，提升逻辑推理、数学运算素养 [情境引入] 如图，艾宾浩斯遗忘曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐慢了，这条曲线表明了遗忘的发展规律是“先快后慢”。 根据初中学习的知识，你能说出以上问题是什么法表示函数的吗？ 提示：图象法 [知识梳理] [知识点一]　函数的表示方法　 1.所有的函数都能用解析法、列表法和图象法表示吗？为什么？ 提示：并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝；列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 2．函数的三种表示方法各有哪些优缺点？ 提示：三种方法的优、缺点 [知识点二]　分段函数　 1．分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 2．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象． 3.分段函数y＝是两个函数吗？ 提示：分段函数是一个函数，只不过不同范围上解析式不同． 4．分段函数的定义域、值域是怎么规定的？ 提示：定义域为各段范围的并集；值域为各段上值域的并集． [预习自测] 1．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y(单位：cm)表示成x的函数为(　　) A．y＝50x(x＞0)　 B．y＝100x(x＞0) C．y＝(x＞0) D．y＝(x＞0) 答案：C 2．图中的文物叫做垂鳞纹圆壶，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了中国古代精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30 s注满，设注水过程中，壶中水面高度为h(单位：cm)，注水时间为t(单位：s)，则下列选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　) 答案：A 3．若正比例函数f(x)满足f(3)＝6，则f(x)的解析式为　________　. 答案：f(x)＝2x 　　　函数的表示法 [例1] 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． [思路点拨]　根据自变量与函数值的对应关系用不同的方法表示． [解]　(1)列表法： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法： (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}． 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 在用三种方法表示函数时要注意： (1)解析法必须注明函数的定义域； (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系； (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． [变式训练] 1．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值是　________　. 解析：由已知，f(g(1))＝f(3)＝1. 答案：1 　　　函数图象的作法及应用 [例2] 作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [思路点拨]　按列表、描点、连线的思路作图． [解]　(1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5)． (2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分， 观察图象可知其值域为(0,1]． (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分． 由图可得函数的值域是[－1,8]． 1．画函数图象的两种常见方法 (1)描点法 一般步骤： ①列表——先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； ②描点——从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点； ③连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． (2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等． 2．画函数图象的三点注意 注意一：先确定定义域，在定义域内画图； 注意二：实、虚点(线)要分清； 注意三：标出关键点． [变式训练] 2．作出下列函数的图象： (1)y＝－x＋1，x∈Z； (2)y＝2x2－4x－3,0≤x＜3. 解：(1)函数y＝－x＋1，x∈Z的图象是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示． (2)由于0≤x＜3，故函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的部分，如图(b)． 　 　　求函数解析式 [例3] (1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9.求f(x)； (3)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)． [思路点拨]　(1)换元法，设x＋1＝t，求f(t)． (2)待定系数法． (3)构造方程组法，依题意，解方程组求解． [解]　(1)方法一：(换元法)设x＋1＝t， 则x＝t－1， 所以f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1， 即f(t)＝t2＋2t－2， 所以所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2. 方法二：(配凑法) f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2， 所以所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2. (2)(待定系数法)由题意， 设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)， 因为3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9， 所以3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9， 即2ax＋3a＋2b＝2x＋9， 由恒等式性质，得所以a＝1，b＝3. 所以所求函数解析式为f(x)＝x＋3. (3)2f(x)＋f＝3x，① 将①中x换成，得2f＋f(x)＝，② ①×2－②得3f(x)＝6x－.所以f(x)＝2x－. 1．已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的两种方法： (1)换元法，即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围． (2)配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可． 2．待定系数法求函数解析式 已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 3．已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． [变式训练] 3．(1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－3，求f(x)的解析式； (3)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求f(x)的解析式； (4)已知f(－1)＝x＋2，求f(x)的解析式． 解：(1)设f(x)＝(k≠0)，则f(3)＝＝－6，解得k＝－18， 所以f(x)＝－(x≠0)． (2)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则 f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝4x－3， 即，解得，或， 所以f(x)＝2x－1或f(x)＝－2x＋3. (3)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 所以，解得， 所以f(x)＝x2＋1. (4)方法一：(拼凑法)因为f(－1)＝x＋2 ＝(－1)2＋4(－1)＋3，而－1≥－1， 所以f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 方法二：(换元法)令t＝－1， 则＝t＋1，且t≥－1. 所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3， 即f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 　　　分段函数的定义域、值域与最值 [例4] (1)设函数f(x)＝，则f＝(　　) A.　　　 B．4　　　 C．3　　　 D．－3 [思路点拨]　∵f(2)＝22＋2－2＝4， ∴f＝f()＝. (1)[解析]　由题意知f(2)＝22＋2－2＝4，则f＝f＝1－2＝.故选A. [答案]　A (2)函数f(x)＝的值域是(　　) A．R B．[0，＋∞) C．[0,3] D．[0,2]∪{3} [思路点拨]　求出每一段的值域，再合并． (2)[解析]　当x∈[0,1]时，f(x)＝2x2∈[0,2]，所以函数f(x)的值域为[0,2]∪{2,3}＝[0,2]∪{3}． [答案]　D 1．分段函数问题的常见解法 (1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验． (3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可． 2．定义域 取每一段定义域的并集． 3．值域 取每一段函数值的并集． [变式训练] 4．(多选)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(f(－1))＝1 B．若f(x)＝3，则x的值是 C．f(x)＜1的解集为(－∞，1) D．f(x)的值域为(－∞，4) 解析：ABD　[对于A，因为f(x)＝ 所以f(－1)＝－1＋2＝1， 所以f(f(－1))＝f(1)＝12＝1，故A正确； 对于B，若f(x)＝3，则当x≤－1时， f(x)＝x＋2＝3，解得x＝1(舍)； 当－1＜x＜2时，f(x)＝x2＝3，解得x＝－(舍)或x＝， 所以f(x)＝3的解为x＝，故B正确； 对于C，当x≤－1时，f(x)＝x＋2＜1，解得x＜－1； 当－1＜x＜2时，f(x)＝x2＜1，解得－1＜x＜1. 所以f(x)＜1的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)，故C错误； 对于D，当x≤－1时，f(x)＝x＋2≤－1＋2＝1； 当－1＜x＜2时，f(x)＝x2∈[0,4)． 所以f(x)的值域为(－∞，4)，故D正确．] 　 　　分段函数的图象及应用 [例5] 根据如图所示的函数y＝f(x)的图象，写出函数的解析式． [思路点拨]　如图给出的图象，其实是一个分段函数的图象，求各段图象对应的函数解析式时，要注意其定义域是否包括所在区间的端点． [解]　当－1≤x＜1时，函数y＝f(x)的图象是一条线段，故可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，解得a＝，b＝－，故f(x)＝x－； 当1≤x＜2时，函数y＝f(x)的图象是一条平行于x轴的线段，即f(x)＝1； 当2≤x≤3时，同理可得f(x)＝2. 综上可知，f(x)＝ 1．由分段函数的图象确定函数解析式的方法 (1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型． (2)设函数式：设出函数的解析式． (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)，求出该段内的解析式． (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围． 2．分段函数应用问题的两个关注点 (1)应用情境 日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数． (2)注意问题 求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理． [变式训练] 5．某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时． (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式； (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？ 解：(1)由题意f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝ (2)①12≤x≤20时，6x＝90，解得：x＝15， 即当12≤x<15时，f(x)<g(x)， 当x＝15时，f(x)＝g(x)， 当15<x≤20时，f(x)>g(x)． ②当20<x≤30时，f(x)>g(x)， 故当12≤x<15时，选A俱乐部合算， 当x＝15时，两家俱乐部一样合算， 当15<x≤30时，选B俱乐部合算． 1．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为(　　) A．－2　　 B．6　　 C．1　　 D．0 答案：B 2．已知定义在R上的函数f(x)＝则“f(f(x))＝2 026”是“x∉Z”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出 x 1 2 3 f(x) 2 3 1 g(x) 3 2 1 (1)则当g(f(x))＝2时，x＝　________　. (2)则f(g(2))＝　________　. 答案：(1)1　(2)3 4．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(1)＝　________　. 答案：2 5．如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)． (1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的值域． 解：(1)函数的定义域为(0,12)，当0＜x≤4时，f(x)＝×4×x＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝×4×4＝8；当8＜x＜12时，f(x)＝×4×(12－x)＝24－2x. 所以函数解析式为f(x)＝ (2)图象如图所示．从图象可以看出f(x)的值域为(0,8]． 1．下列关于分段函数的说法正确的是(　　) A．分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数 B．若f(x)＝则f(1)＝－1 C．f(x)＝|x－2|是分段函数 D．分段函数的定义域都是R 答案：C 2．以下形式中，不能表示y是x的函数的是(　　) A. x 1 2 3 4 y 4 3 2 1 B. C．y＝x2 D．(x＋y)(x－y)＝0 答案：D 3．设函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(－3)的解集是(　　) A．(－3,1)∪(2，＋∞) B．(－3,1)∪(3，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) 答案：B 4．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x 答案：B 5．(多选)设f(x)＝，则下列结论错误的有(　　) A．f(－x)＝－f(x) B．f＝－f(x) C．f＝f(x) D．f(－x)＝f(x) 解析：AC　[因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝f(x)，f＝＝＝－f(x)，f＝＝＝－f(x)，故选A、C.] 6．(多选)已知函数f(x)＝满足f(f(a))＝－1的a的值有(　　) A．0　　 B．1　　 C．－1　　 D．－2 解析：AD　[设t＝f(a), 则f(t)＝－1.若t＞0，则－t2＝－1，解得t＝1或t＝－1(舍去)，所以f(a)＝1，当a＞0时，－a2＝1，方程无解；当a≤0时，a2＋2a＋1＝1，解得a＝0或a＝－2，满足条件．若t≤0，则t2＋2t＋1＝－1，即t2＋2t＋2＝0，Δ＝22－4×2＝－4＜0，方程无解．] 7．若f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝　________　. 解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x－1，故解得或故f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. 答案：2x－或－2x＋1 8．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(f(0)＋2)的值为　________　. 解析：由题图可知f(0)＝2，所以f(f(0)＋2)＝f(2＋2)＝f(4)＝0. 答案：0 9．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1 则满足f(g(x))＞g(f(x))的x的值是　__________　，f(g(x))<g(f(x))的x的值是　________　. 解析：由题意，得 x 1 2 3 f(g(x)) 1 3 1 g(f(x)) 3 1 3 故满足f(g(x))＞g(f(x))的x的值为2， f(g(x))<g(f(x))的x的值为1或3. 答案：2　1或3 10．已知f(x)＝ (1)求f的值； (2)若f(a)＝4且a＞0，求实数a的值． 解：(1)由题意得，f ＝f＝f ＝f＝f＝2×＋1＝2. (2)当0＜a＜2时，由f(a)＝2a＋1＝4， 得a＝， 当a≥2时，由f(a)＝a2－1＝4，得a＝或a＝－(舍去)． 综上所述，a＝或a＝. 11．(1)已知f(＋1)＝x＋2，求函数f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式． 解：(1)设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)． 代入原式，有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，因此应有解得故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7. (3)因为2f(x)＋f＝3x，① 所以得x用替换，得2f＋f(x)＝，② 由①②解得f(x)＝2x－(x≠0)， 即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)． 12．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在区间[－1,1]上的值域． 解：(1)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵f(0)＝1，∴c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1， ∵f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2ax＋a＋b＝2x， ∴2a＝2，a＋b＝0，∴a＝1，b＝－1， 故f(x)＝x2－x＋1. (2)f(x)＝x2－x＋1＝2＋， 易知f(x)在[－1,1]上的最大值为3，最小值为，故f(x)在[－1,1]上的值域为. 13．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－a|，g(x)＝－x2＋2ax＋4a，其中a≥1. (1)当a＝1，x∈[－2,2]时，请在指定直角坐标系中，画出函数f(x)的图象； (2)用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，则当x＞0时，求函数M(x)的解析式； (3)用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，若min{f(x)，g(x)}≤8恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，x∈[－2,2]， 当－2≤x≤－1时，f(x)＝－(x＋1)－(x－1)＝－2x； 当1≤x≤2时，f(x)＝(x＋1)＋(x－1)＝2x； 当－1＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)－(x－1)＝2， ∴f(x)＝ f(x)的图象如图所示． (2)∵a≥1， ∴当x≤－a时，f(x)＝－(x＋a)－(x－a)＝－2x， 当x≥a时，f(x)＝(x＋a)＋(x－a)＝2x， 当－a＜x＜a时，f(x)＝(x＋a)－(x－a)＝2a， ∴f(x)＝ ∴当x＞0时，f(x)＝ g(x)＝－x2＋2ax＋4a的图象开口向下，对称轴为直线x＝a， ∴g(x)max＝g(a)＝－a2＋2a2＋4a＝a2＋4a，g(0)＝4a＞2a. 当x＞0时，令g(x)≥f(x)，结合图象知－x2＋2ax＋4a≥2x，即x2＋(2－2a)x－4a≤0， 即(x＋2)(x－2a)≤0，解得0＜x≤2a. 令g(x)＜f(x)，结合图象知－x2＋2ax＋4a＜2x，解得x＞2a， ∴M(x)＝ (3)由(2)知f(x)＝ 当x＝－a时，f(－a)＝2a，g(－a) ＝－(－a)2＋2a(－a)＋4a＝－3a2＋4a， 令h(a)＝2a－(－3a2＋4a)＝3a2－2a，a≥1， 则h(a)的图象开口向上，对称轴方程为a＝， ∴在[1，＋∞)上h(a)随着a的增大而增大， 故h(a)min＝h(1)＝3－2＞0， ∴记g(x)的图象在y轴左侧与线段AB交于点C，在y轴右侧与射线y＝2x(x≥a)交于点D， f(x)，g(x)在同一平面直角坐标系上的图象如图所示， 记点C的横坐标为xC，由(2)知点D的横坐标为2a， ∴m(x)的图象如图所示， 由图可知，当x＝2a时，m(x)max＝4a， ∴4a≤8，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2， 即实数a的取值范围为[1,2]． 学科网（北京）股份有限公司 $