上海市位育中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

2025-2026学年上海市徐汇区民办位育中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，那么下列结论正确的是(    ) A. B. C. ，， D. 2.在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么下列说法错误的是(    ) A. 周长缩小为原来的 B. 面积缩小为原来的 C. 各内角的大小保持不变 D. 各边中线的长缩小为原来的 3.如果抛物线的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.如图，小位用两根长度不等的木条AC、BD可测得花瓶内口径AB的宽度.如果，且量得，则AB的宽度为(    ) A. 30cm B. 40cm C. 50cm D. 60cm 5.如图，已知在中，点D在边AB上，那么下列条件中，能判定∽相似的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、若的重心为G，则下列叙述正确的是(    ) A. 与的面积相同，且DG与BC平行 B. 与的面积相同，且DG与BC不平行 C. 与的面积相同，且DG与AC平行 D. 与的面积相同，且DG与AC不平行 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，则       8.已知点M是线段AB的黄金分割点，如果，那么AM的长是      . 9.已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是      . 10.已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为27，那么的最短边的长是      . 11.已知∽，如果它们的面积比为1：2，那么对应高的比为      . 12.在中，点D、E分别在边AB、AC上，，如果，AD：：3，那么CE的长为      . 13.如果将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移5个单位，那么平移后所得抛物线的表达式为      . 14.二次函数的图象上有两个点、，如果，那么a的取值范围是      . 15.如图，在中，，于D，如果，那么的值是      . 16.如图，在梯形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上，且，如果，，，那么BC的长是      . 17.定义：在同一平面内，如果两条线段所在直线形成的夹角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段.如图，在中，点D、E分别在边BC、AC上，于D，BE与AD相交于点若边BE是边AD的双关联线段，且，则      . 18.【模型构建】如图1，已知，如果，那么∽我们把这种图形叫做“一线三等角”. 【探究应用】如图2，在梯形ABCD中，，，，点E在边BC上，，P、Q分别是边AD、BE的中点.如果，且，那么PQ的长为      . 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 已知： 如果，，，求c、d的值； 求证： 20.本小题8分 二次函数的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是 填空： ①抛物线的对称轴为直线______； ②图象与x轴的另一个交点坐标为______. 如果该函数图象经过点，求它的顶点坐标. 21.本小题8分 如图，在中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，，， 求DE的长； 如果点A到BC的距离为8，求四边形BDEF的面积. 22.本小题8分 如图，在中，，点D在边AC上且，：： 求BD的长； 将绕着点B旋转，使点D与点A重合，此时点C的对应点记为点E，BE与AC交于点F，求：的值. 23.本小题8分 如图，在中，，点F在边BC上，点D在CB的延长线上，，点E在边AD上，且满足 求证：∽； 如果，求证： 24.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点抛物线过与直线的图象交于B、C两点点C在B点左侧，且，抛物线的顶点为 求该抛物线的表达式； 将抛物线沿着平行于x轴的直线l翻折，翻折后得新抛物线.设原抛物线与x轴的交点为E、F，且的重心G恰好落在直线l上，求翻折后新抛物线的表达式； 平移原抛物线，将顶点D移至直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点的记作点，当时，求的长. 25.本小题8分 已知，在▱ABCD中，，，点E在直线CD上，射线BE与射线AC交于点G，过点C作于H，射线AH交直线CD于点 如图，当点E在射线CD上时， ①求证：； ②当点E恰好为边CD的中点时，求的值； 射线BC与射线AH交于点M，当，且与相似时，请直接写出EM的长. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：设，则，，， ，， ， 故A不符合题意； 假设成立，则， 解得，与k是不等于0的任意实数不符， 不成立， 故B不符合题意； 当时，，，，而当时，则，，， ，，不一定成立， 故C不符合题意； ， 成立， 故D符合题意， 故选： 设，则，，，由，，可知，可判断A不符合题意；假设成立，则，求得，与k是不等于0的任意实数不符，可判断B不符合题意；当时，则，，，可见，，不一定成立，可判断C不符合题意；求得，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 此题重点考查比例的性质，通过换元，正确地用含同一字母的代数式分别表示x、y、z是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：设原锐角的三边分别为a、b、c，变化后的三角形三边分别为，，， 各边长都缩小为原来的， 则，，， ， 根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似， 得变化前后的两个三角形相似，且相似比为， 原三角形周长， 变化后三角形周长， 所以周长缩小为原来的， 选项A说法正确，不符合题意； 根据相似三角形面积比等于相似比的平方， 相似比为， 面积比为， 即变化后三角形面积缩小为原来的，而不是， 选项B说法错误，符合题意； 根据相似三角形的性质：相似三角形对应角相等， 变化前后的两个三角形相似， 各内角的大小保持不变， 选项C说法正确，不符合题意； 根据相似三角形对应中线的比等于相似比， 相似比为， 各边中线的长缩小为原来的， 选项D说法正确，不符合题意； 故选： 根据相似三角形的判定定理得得到变化前后的两个三角形相似，且相似比为，再根据相似三角形的性质对选项进行判断即可． 本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3.【答案】C  【解析】解：抛物线的顶点是它的最低点， 抛物线开口向上， ， ， 故选： 根据二次根式的性质列出算式，求出a的范围． 本题考查的是二次函数的性质，熟记当二次项系数大于零时，抛物线开口向上是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：连结CD、AB， ， 则， ， 又， ∽， 设，则， ， ， 又， ，即AB宽度为： 故选： 连结CD、AB，通过相似CD与AB建立比例，进而求得AB宽度． 本题考查相似三角形的应用，属于中档题． 5.【答案】D  【解析】解：，， ∽ 能判定∽相似的是， 故选： 利用相似三角形的判定定理解答即可． 本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6， ， 的重心为G， ， ， 点D、G到BC的距离相等，且位于BC的同侧， ，故结论A正确；结论B、C、D错误； 故选： 由题意可得，利用三角形重心性质可得，进而可得，即可判断结论A正确． 本题考查了三角形的中线、重心，三角形面积，熟练掌握三角形的重心的性质是解题关键． 7.【答案】  【解析】解：若b是a、c的比例中项， 即 ，， 故答案为： 根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即即可求解． 本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 8.【答案】  【解析】解：是线段AB的黄金分割点，， ， 故答案为： 根据黄金分割点的定义知，AM是较长线段，得，即可得出结论． 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和，且使AC是AB和BC的比例中项即BC：：，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中，并且线段AB的黄金分割点有两个． 9.【答案】  【解析】解：设第二个矩形较长的一边长是a， 两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4， ， 解得：， 即第二个矩形较长的一边长是， 故答案为： 设第二个矩形较长的一边长是a，根据相似多边形的性质得出，再求出a即可． 本题考查了相似多边形的性质，能熟记相似多边形的性质相似多边形的对应边的比相等是解此题的关键． 10.【答案】6  【解析】解：的三边长分别为2、3、4， 的周长为9， 与相似，且周长为27， 与的周长比为9：：3， 与的相似比为1：3， 设的最短边的长是x， 则2：：3， 解得， 故答案为： 先计算出的周长，进而得出相似比为1：3，进而得出答案． 本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 11.【答案】1：  【解析】解：∽，面积比为1：2， 对应高的比为，即1：， 故答案为：1： 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 本题主要考查相似三角形的性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：， ∽， ； 故答案为： 证∽即可得解． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键， 13.【答案】  【解析】解：由题意，抛物线， 根据先向左平移3个单位得到的抛物线解析式为，即 再向下平移5个单位得到的抛物线解析式为，即 故答案为： 根据二次函数平移的规律即可求解． 本题主要考查二次函数与几何变换，熟知二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：二次函数为， 二次函数的对称轴是直线 ，且， 当时，y随x的增大而减小， 故答案为： 先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A和点B的横坐标，结合给出的纵坐标的大小，判断a的取值范围即可． 本题主要考查了二次函数图象，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 即， ， ∽， ， 设，，则， ， 故答案为： 根据相似三角形的判定与性质即可解答． 本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：作交EF于点P，交BC于点Q， ，， 四边形AQCD和四边形APFD都是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， 故答案为： 作交EF于点P，交BC于点Q，由，，证明四边形AQCD和四边形APFD都是平行四边形，，则，，而，则，由，求得，可证明∽，得，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：过点E作于点H，如图所示： ， 是直角三角形， 于D， ， 直角三角形，， ， 边BE是边AD的双关联线段， ，， ， 设，则， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， 设，则， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ， 点H是AD的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 故答案为： 过点E作于点H，依题意得，，设，则，在中，根据得，再由勾股定理得，则，在中，根据，设，则，由勾股定理得，进而得，，则，由此得，据此可证明EH是的中位线，则，继而得，则，据此即可得出的值． 此题主要考查了含有角的直角三角形的性质，理解题目中给出的“双关联线段”的定义，熟练掌握三角形中位线定理，灵活运用含有角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 18.【答案】7  【解析】解：如图，延长BA，过点D作，垂足为F，根据题意四边形BCDF为矩形． ， 又， 根据“一线三等角”模型，∽， ， 在中， ，， 过点P作BC的垂线，G为垂足，则 是AD的中点， 是梯形ABCD的中位线，，， 故答案为： 通过辅助线构造∽，结合得到相似比，进而求出AB和CD的长度，然后根据梯形中位线的性质求出PG的长度，即可在中求出PQ的长度． 本题考查了“一线三等角”模型的应用，涉及到相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角函数，中位线的性质等知识点，通过辅助线构造相似三角形是解答本题的难点． 19.【答案】c、d的值分别为3、   设，则，， ， ， ， ， ，   【解析】解：，且，， ， ， ， ， 解得， ， 、d的值分别为3、 证明：设，则，， ， ， ， ， ， 由，且，，得，则，由，得，求得，则 设，则，，所以，由，得，所以，则，即可证明 此题重点考查比例的性质、分式的基本性质等知识，通过换元正确地用含同一字母的代数式分别表示a和c是解题的关键． 20.【答案】① ②   它的顶点坐标为  【解析】①， 抛物线的对称轴为直线 故答案为： ②抛物线的对称轴为直线，它与x轴的一个交点坐标是， 图象与x轴的另一个交点坐标为 故答案为： 将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 它的顶点坐标为 ①根据所给解析式可直接得出答案． ②根据抛物线的对称性可得答案． 利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可得答案． 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21.【答案】9；    【解析】， ， ， ， ， ， ∽， ， ； 由题可知， ∽，且相似比为3：5， ， 同理可得， 证∽即可得解； 利用面积比是相似比的平方即可得解． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22.【答案】；   ：：5  【解析】：：：1， ， ，， ， ∽， ，即， 解得， ； 旋转后图形如图， 由题可知≌，， ，， 由知∽， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 又， ：： 由题易得AD：：1，可得，再证∽，即可得解； 证，可得∽，进而可得CF、DF的长，据此即可得解． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23.【答案】， ， ， ∽， ， ， 又， ∽；   ，， 为等腰直角三角形， ，， ，， 由  知， ， ， ∽， ，即， ，即， 由  知∽， ，即，   【解析】证明：， ， ， ∽， ， ， 又， ∽； ，， 为等腰直角三角形， ，， ，， 由知， ， ， ∽， ，即， ，即， 由知∽， ，即， 先证∽，得到，再证，进而即可得证； 由结论可知，所以可证，即证∽即可． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识及线段转化是解题的关键． 24.【答案】；   翻折后新抛物线的表达式为   的长为或  【解析】如图1，作轴于M，则， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ，， ，， ， ， ， 点的横坐标为， 把代入得，， ， 把B、C的坐标代入得， 解得， 该抛物线的表达式为； ， ， 令，则， 整理得， 解得，， ，， 的重心G为，即， 直线l为：， 关于直线l的对称点为， 翻折后新抛物线的表达式为 如图2，当D在y轴的左侧时， 点在直线上， 设， 平移后的抛物线为， 令，则， ， ， ， ， ， 解得， ； 如图3，当D在y轴的右侧时，则， 解得 ， 综上，的长为或 首先利用直线的解析式求得，，作轴于M，则，得出，即可求得，把代入直线解析式求得C的纵坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的表达式； 把解析式化成顶点式求得顶点坐标，进一步求得抛物线于x轴的交点，即可求得三角形DEF的重心G的坐标，得出直线l的表达式，利用轴对称的性质求得新抛物线的顶点坐标，即可求得翻折后的函数解析式； 设，则平移后的抛物线为，令，求得，则，然后分两种情况，利用三角函数的定义求得t的值，进而即可求得的长． 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，直角三角函数，三角形的重心高等，掌握上述知识点是解题的关键． 25.【答案】①证明：，， ， ， ∽， ，，即， ， ∽， ， 在四边形ABCD中，，， ， ∽， ， ，， ； ②；   3或  【解析】①证明：，， ， ， ∽， ，，即， ， ∽， ， 在四边形ABCD中，，， ， ∽， ， ，， ； ②如图， 设，则，， ， ∽， ， ，， 由勾股定理可得，， 在中，， 由勾股定理可得， ， ， ， ∽， ； ，， ； 如图，当点E在点C上方时， 此时∽，则， 在中，， ， ， ， ， 法一：由知∽， ， ， ， ， ， 为直角三角形，且， ， 为等腰直角三角形， ； 法二：， ， ， ≌， ， ， ， ， ∽， ，即， ， 过E作于点Q， ， 为等腰直角三角形， ， 点Q、M重合， 为等腰直角三角形， ； 当点E在点C下方时， 此时∽， ， ， ， 三线合一、直角三角形斜边中线等于斜边的一半， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得， 过E作于点Q， 则为等腰直角三角形， ， 点Q、M重合， 为等腰直角三角形， ； 综上，EM的长为3或 ①先证∽，再证∽，可得，再证∽，即可得证； ②设，则，，证∽，求出CG、AG，进而得到BG、EG、BE，利用等面积求出CH，利用勾股求出EH，进而可知BH：EH的值，最后利用相似三角形的性质求解即可； 分情况讨论，画出符合题意的图形，证等腰直角三角形即可得解． 本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $