2.6有理数的乘方 提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 苏科版七年级数学上《有理数的乘方》同步练，分A·B卷分层设计，A卷夯实基础概念与运算，B卷深化综合应用与思维拓展，通过具象到抽象的梯度设计培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷（基础过关）|乘方定义、符号法则、简单实际问题（折纸/细胞分裂）|以概念辨析题（如(-a)^n与-a^n比较）和基础运算题为主，强化符号意识与运算能力| |B卷（强化提优）|综合运算、规律探究、复杂实际模型（病毒繁殖/纳米长度）|含新定义运算（如“✴”法则）、跨学科情境题及逻辑推理题（如数轴动点），发展推理意识与应用意识|

数学臻选·2026-2027学年苏科版七年级数学上提优宝典 《第二章有理数第六节有理数的乘方》提优特训A·B卷 一．学习目标 ( 1.理解有理数乘方的定义，识别底数、指数、幂；熟练掌握乘方符号法则，会进行有理数乘方运算；区分(-a) n 与-a n ，能运用偶次幂的非负性解决简单问题，能解决折纸、细胞分裂等乘方实际问题 。 2.过程与方法：经历从相同因数乘法到乘方的抽象过程，体会转化思想；通过对比辨析易混式子，提升符号辨析、归纳推理能力；学会把实际倍增问题转化为乘方数学模型。 3.理解 “ 乘方是特殊乘法 ” ；体会偶次幂非负性的代数意义；能对乘方结果的符号进行分类讨论，建立数感与符号意识。 4.感受乘方带来的数量急剧增长的数学现象；养成规范书写、严谨运算的习惯；体会数学与生活的联系，提升数学学习兴趣。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.乘方的概念：底数、指数、幂的识别，乘方的读写； 2.有理数乘方的符号法则，熟练完成有理数乘方计算； 3.区分负数、分数作底数时的书写格式； 4.利用乘方解决简单的实际倍增问题。 （二）难点 1.辨析(-a) n 与-a n 的本质区别，分清底数； 2.偶次幂非负性的综合应用（如平方等于某数求底数）； 3.分数乘方的书写规范，避免漏写括号； 4.乘方与乘法的区分，防止把乘方当成乘法运算。 )三．知识精析 ( （一） 乘方的 概念及其理解 1.乘方的定义 将一张包装纸对折，再对折......直到无法对折为止，你对折了多少次?请用算式表示对折后得到的包装纸层数。 因为每次对折后包装纸的层数都变为原来的2倍，所以包装纸层数与对折次数之间具有下面的关系 对折次数 包装纸层数 1 2 2 2 × 2 3 2 × 2 × 2 4 2 × 2 × 2 × 3 ... ... 我们知道，同一个加数连续相加可以用乘法表示，如2+2+2=2 × 3,2+2+2+2=2 × 4，2+2+2+2+2=2 × 5 … 类做地，同一个因数连续相乘也可以用一种间便形式表示，如2 × 2=2 2 ，读作 “ 2的平方 ” ;2 × 2 × 2=2 3 ，该作 “ 2的3次方 ” ;2 × 2 × 2 × 2=2 4 ，读作 “ 2的4次方 ” … 一般地， n 个相同 因 数的积 ，可以表示为 (n=1，2,...),该作 n个a "a的n次方 ” 。 ) ( 2. 重要说明： （1） 一个数可以看作它本身的一次方：a=a 1 ，指数1通常省略不写； （2） 二次方又叫平方，三次方又叫立方； （3） 乘方是一种运算，幂是运算的结果（类比：加法是运算，和是结果）； （4） 当底数是负数、分数的时候，底数必须加上括号。 例：(-2) × (-2) × (-2)写作(-2) 3 ； × × 写作( ) 3 。 3 .书写规范 求n个相同因数a的积的运算，叫作乘方；乘方运算的结果叫做幂。记作：a n =a × a × a ×…× a（n个a） 幂 底数 （1）a：底数（相乘的相同因数） （2）n：指数（相同因数的个数） （3）读法：a n 读作a的n次方；当作结果时读作a的n次幂 （4）补充：单独一个数5=5 1 ，指数1默认省略不写。 （5）底数是负数：必须整体加括号，(-3) 4 ，不能写成-3 4 ； （6）底数是分数：必须整体加括号 ，不能写成 ； 4 . (-a) n 与-a n 的比较 对比项 (-a) n -a n 底数 -a （包含负号） a（不包含负号） 意义 n个 (-a) 相乘： n个 n个a相乘的相反数： - n个 运算顺序 先算括号内的 -a ，再进行乘方 先算 a n ，再取结果的相反数 符号规律（a>0） n为偶数：结果为正 n为奇数：结果为负 无论奇偶，结果都为负 举例（a=3） n=2： （-3） 2 =9 n=3： （-3） 3 =-27 n=2： -3 2 =-9 n=3： -3 3 =-27 （二）有理数乘方的符号法则（核心） 1.正数的任何次幂都是正数； 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 3.0的任何正整数次幂都等于0； 4.1的任何正整数次幂都等于1； 5. (-1) 偶数 =1，(-1) 奇数 =-1。 （三）平方与立方特殊性质 1.平方（二次方）： （1）任意有理数的平方一定是非负数（a 2 ≥ 0）； （2）平方等于自身的数：0、1 2.立方（三次方）： （1）正数立方为正，负数立方为负，0立方为0； （2）立方等于自身的数：-1、0、1 3.推论： 任何有理数的偶次幂都是非负数，即a 2k ≥ 0（k为正整数）。即：一个数的平方（偶次幂）一定大于或等于0。 ) ( （ 四 ）实际模型 1.纸张对折：对折1次2 1 = 2层，对折2次2 2 =4层，对折n次层数为2 n ； 2.细胞分裂：1个细胞1轮分裂为2个，n轮后总数为2 n 。 （ 五 ）科学记数法 新生儿的大约有100000000000个神经元，北极星距离地球大的4100000000000000km， 像这些较大的数通常用如下的方法间明地表示: 100000000000=1 × 10 11 ; 4100000000000000=4.1 × 10 15 -般地，一个绝对值大于10的数可以写成a × 10 n 的形式，其中1 ≤ |a|<10,n是正数，这种记数法称为科学记数法(scientific notation)。 1.形式：把大于10的大数写成 a × 10 n ； 2.要求： 1 ≤ |a| <10 ，n为正整数； 3.指数规律：n=原数整数位数-1； 4.逆向还原：把a × 10 n 的小数点向右移动n位，得到原数。 ) A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一选择题（共30分） 1．表示（    ） A．4乘以 B．5个连乘 C．5个连加 D．4个连乘 【答案】B 【解析】表示5个连乘；故选：B． 2．下列各组数相等的是 （   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】选项A：，而，不符合题意；选项B：，，符合题意；选项C：，而 ，不符合题意；选项D：，，而 ，不符合题意；故选B． 3．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，的倒数为．故选A． 4．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【解析】∵，，，∴a是：4或−4．故选：D． 5．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ，又∵ （指数2025为奇数），∴ 原式．故选：C 6．若，则的值为（  ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为，所以，，所以，所以．故选：B． 7.《庄子》中有这样一句话：“二尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是二尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第6次截取后剩下的木棒长度为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】A 【解析】∵初始长度为2尺，每日截取一半，∴第n次截取后剩下的长度为尺，当时，尺，∴第6次截取后剩下的木棒长度为尺，故选：A． 8．某种细胞每30分钟分裂一次（每次分裂为两个），若初始有1个细胞，则经过3小时后，细胞总数为（  ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】B 【解析】因为分钟小时，所以分裂次数为（次），，∴经过3小时，细胞由1个可分裂成个，故选：B． 9．重庆市现有森林面积为4600000公顷，水域面积为2600000公顷，请用科学记数法表示这两类面积共有（    ） A．公顷 B．公顷 C．公顷 D．公顷 【答案】A 【解析】；故选A． 10．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是63，则m的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】：D 【解析】：根据题意得：83＝512＝57+59+61+63+65+67+69+71，则m＝8，故选：D． 二．填空题（共30分） 11.(-)3=____。 【答案】：- 【解析】：3个-相乘，奇次幂符号为负，××=，结果-。 12.-52=____。 【答案】：-25 【解析】：无括号，底数为5，先算52=25，再取相反数，结果-25。 13.若一个数的立方是-8，这个数是____。 【答案】：-2 【解析】：(-2)3=(-2)×(-2)×(-2)=-8。 14.一张纸对折6次后，总层数为____。 【答案】：64 【解析】：对折n次层数2n，26=64。 15.把5.1×107还原成原数：____。 【答案】：51000000 【解析】：把小数点向右移动7位。 16.若|m﹣4|+（n+2）2＝0，则nm﹣mn＝　　． 【答案】：24 【解析】：由题意得，m﹣4＝0，n+2＝0，解得m＝4，n＝﹣2，所以，nm﹣mn＝（﹣2）4﹣4×（﹣2）＝16+8＝24．故答案为：24． 17．已知3.01×10n是一个八位数，则n＝________. 【答案】7 【解析】n=原数整数位数-1 18.若，则的值为 ． 【答案】25 【解析】∵，∴，∴，∴，故答案为：25． 19.若一个整数12500…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 【答案】8 【解析】，原数为12500000000，其中“0”的个数为 8个，故答案为：8． 20、小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 那么，当输入数据为8时，输出的数据为　 　． 【答案】 【解析】根据题意得：当输入的数据是n时，输出的数据为，则当输入的数据是8时，输出的数据为＝，故答案为： 三．解答题（共60分） 21.（6分）计算： (1) (-5)2 =_______. (2) -52 =_______. (3)(-)3 =_______. 【答案】(1) 25； (2) -25；(3) -； 【解析】(1) 负数平方为正；(2) 仅底数5，先平方再加负号；(3) 指数为奇数，结果为负。 22、（8分）（1）已知，|a|＝2，b2＝9，ab＜0，求a+b； （2）已知（x+2）2+|y﹣3|＝0，求﹣xy． 解：（1）∵|a|＝2，∴a＝±2，∵b2＝9，∴b＝±3，∵ab＜0，∴a＝2，b＝﹣3或a＝﹣2，b＝3，∴a+b＝﹣1或1； （2）∵（x+2）2+|y﹣3|＝0，∴x+2＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣2，y＝3，∴﹣xy＝﹣（﹣2）3＝8． 23．（8分）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8． （1）若a＜b＜0，求a+b的值； （2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值． 解：∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8，∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2， （1）∵a＜b＜0，∴a＝﹣5，b＝﹣2，∴a+b＝﹣5+（﹣2）＝﹣7，a+b的值是﹣7； （2）∵abc＞0，c＝﹣2，∴ab＜0，即a，b异号，当a＝﹣5，b＝2时，a﹣3b﹣2c＝﹣5﹣3×2﹣2×（﹣2）＝﹣5﹣6+4＝﹣7，当a＝5，b＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝5﹣3×（﹣2）﹣2×（﹣2）＝5+6+4＝15，∴a﹣3b﹣2c的值是﹣7或15． 24．（8分）规定“✴”是一种运算法则：a✴b＝a2﹣b2． （1）求2✴6的值； （2）求3✴[（﹣2）✴3]的值． 解：（1）根据题意得：2✴6＝22﹣62＝4﹣36＝﹣32； （2）根据题意得：（﹣2）✴3＝4﹣9＝﹣5， 则3✴[（﹣2）✴3]＝3✴（﹣5）＝9﹣25＝﹣16． 25. （10分）观察下列各式： 1×＝×（1－）； ×＝×（－）；×＝×（－）； ×＝×（－）； …… (1)你发现以上各式有何规律(用字母表示出来)? (2)计算： ①1×＋×. ②1×＋×＋×＋×. ③1×＋×＋×＋…＋× 解：(1)·＝（－）. (2)①原式＝（1－+－）＝. ②原式＝（1－+－…－.）＝. ③原式＝（1－+－…－）＝ 26．（10分）问题：你能比较两个数20122013与20132012的大小吗为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（即是自然数）．然后，我们分析n＝1，n＝2，n＝3…这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，才想出结论． （1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小： ①12　　21； ②23　　32； ③34　　43； ④45　　54； ⑤56　　65； ⑥67　　76． （2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想nn+1和（n+1）n的大小关系； （3）根据下面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20262027　　20272026． 解：（1）①∵12＝1，21＝2，∴12＜21；②∵23＝8，32＝9，∴23＜32；③∵34＝81，43＝64，∴34＞43；④∵45＝1024，54＝625，∴45＞54；⑤∵56＝15625，65＝7776，∴56＞65；⑥∵67＝279936，76＝117649，∴67＞76； （2）n＜3时，nn+1＜（n+1）n，n≥3时，nn+1＞（n+1）n； （3）∵2026＞3，∴20262027＞20272026． 故答案为：（1）＜、＜、＞、＞、＞、＞；（3）＞． 27．（10分）有关资料表明，如果一个人在刷牙的过程中一直开着水龙头，那么将浪费10杯水(每杯水约250毫升)． (1)已知某家庭有三人，如果每人都像这样每天刷牙两次，那么一年要浪费多少毫升水(一年按360天计算)? (2)如果每立方米水按2元计算，那么这个家庭一年要浪费多少钱？ (3)某城市约有100万个这样的家庭，如果所有的人在刷牙过程中都不关水龙头，那么一年要浪费多少毫升水？浪费多少钱？ 解：(1)因为10×250×3×2×360＝5．4×106(毫升)，所以一年要浪费5．4×106毫升水． （2）因为5．4×106毫升＝5．4立方米，5．4×2＝10．8(元)，所以这个家庭一年要浪费10．8元钱． (3)因为5．4×106×1000000＝5．4×1012(毫升)，5．4×1012毫升＝5．4×106立方米， 5．4×106×2＝1．08×107(元)，所以一年要浪费5．4×1012毫升水，浪费1．08×107元钱． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．关于的说法正确的是（    ） A．底数是4，指数是 B．结果是 C．可以表示为 D．结果是 【答案】C 【解析】∵ ，∴ 选项C正确．∵ ，∴ 选项B和D错误．∵底数是，指数是4，∴ 选项A错误．故选：C． 2．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于选项A：∵，∴A错误；对于选项B：∵，∴B错误；对于选项C：∵，∴C错误；对于选项D：∵，∴D正确.故选：D． 3．若，，且，则等于（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，∴，，∵，∴，或，，∴或，故选C． 4．若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵∴∴∴，故选：D． 5．进位制是人们为了计数和计算方便而约定的记数系统，约定二进制即“逢二进一”，十进制即“逢十进一”，不同进制的数之间可以转换，将二进制数转化成十进制数的结果是（　　） A．8 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【解析】∵ ，∴ 转换结果为11，故选：C． 6．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第7天截取后，木棍剩余的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】初始长度为1，每天截取后剩余长度是前一天的一半，第天剩余长度：，第天剩余长度：，……第天剩余长度：，第7天截取后木棍剩余长度为；故选． 7．近年来，China Travel持续走热．数据显示，三季度免签入境外国人万人次，同比增长了．国外游客不再满足于走马观花式观光，更多人将体验中华文化作为主要目的，欣赏山河之美、人文之美、文明之美．China Travel的热潮是多方面因素共同作用的结果．它不仅反映了中国在国际上的影响力，也展示了中华文化的独特魅力．其中万用科学记数法表示为（   ） A. B． C． D． 【答案】C 【解析】∵万，故选：C． 8.下列等式一定成立的是（ ） A. a2>0 B. a2=(-a)2 C. a3=(-a)3 D. a2>a3 【答案】：B 【解析】：A当a=0时等于0；C只有a=0成立；D当a=2时不成立；B恒成立。 9、我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】：A 【解析】：9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）]＝9×＝1，故选：A． 10．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】：C 【解析】：∵第一次剪去绳子的，还剩m；第二次剪去剩下绳子的，还剩＝m，……∴第100次剪去剩下绳子的后，剩下绳子的长度为（）100m；故选：C． 二．填空题（共30分） 11.-(-5)2=________. 【答案】：-25 【解析】：先算(-5)2=25，再取相反数。 12.有理数中平方最小的数是________. 【答案】：0 【解析】：任何数平方≥0，最小值为0。 13.若x3=-125，则x=________. 【答案】：-5 【解析】：(-5)3=-125。 14.一纸张对折9次，纸张层数为________. 【答案】：512 【解析】：29=512。 15.（2024 宿迁宿城区期中）(-1)50+(-1)51=________. 【答案】：0 【解析】：1+(-1)=0。 16．某品种兔子，一对兔子每个月能繁殖3对小兔子，而每对小兔子，一个月后也能繁殖3对新小兔子，总之，所有的每对兔子，都是每月繁殖3对小兔子，如果开始只有一对兔子，那么半年后有　 　对兔子（不考虑意外死亡）． 【答案】4096 【解析】由题意得：1个月后有3+1＝4对兔子，半年后：46＝4 096，故答案为：4096． 17.已知a、b互为倒数，化简： ． 【答案】 【解析】∵a、b互为倒数，∴∴故答案为：． 18．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为，按同样的方法，图2表示的天数是____________. 【答案】308 【解析】图2表示的天数是，故选：C． 19.有一种水草繁殖速度很快，每过1小时是原来的2倍，即一棵水草1小时后变成2棵，2小时后变成4棵…，如果一池塘放养一棵这样的水草，一昼夜覆满池塘，那么放养2棵水草， 小时覆满池塘． 【答案】23 【解析】由题意，水草繁殖速度为每小时数量变为原来的2倍，一棵水草24小时后数量为棵，此为池塘容量，放养2棵水草，初始数量为2棵，t小时后数量为棵，设，则，解得．故答案为：23． 20．《庄子•天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么6天之后，这个“一尺之棰”还剩 　 　． 【答案】 【解析】一天之后剩尺，两天之后剩＝尺，三天之后剩尺， 以此类推，六天之后剩＝．故答案为：． 三．解答题（共60分） 21．（6分）(1)计算下列各式： 1＋3＝(____)2 1＋3＋5＝(____)2 1＋3＋5＋7＝(____)2 1＋3＋5＋7＋9＝(____)2 … 1＋3＋5＋…＋2027＝(____)2 (2)计算：101＋103＋105＋…2025＋2027. 解：(1)1＋3＝4＝22； 1＋3＋5＝9＝321＋3＋5＋7＝16＝42 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52； 1＋3＋5＋…＋2027＝1 0142； 故答案为2；3；4；5；1 011. (2)101＋103＋105＋…2 013＋2 021＝10142－502＝1025696. 22.（6分）有一张厚度0.1mm的白纸： (1) 对折3次后纸张总厚度是多少毫米？ (2) 对折多少次后厚度会达到1.6mm？ 解：(1) 对折3次层数23=8，厚度0.1mm×8=0.8mm (2) 设对折n次，0.1×2n=1.6，2n=16=24，n=4 【解析】：（1）每对折1次层数翻倍，总厚度=单层厚度×层数；（2）列乘方方程，逆向推导指数数值。 23、（6分）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） （1）经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的新版人民币摞起来，大约有多高？ （2）一台激光点钞机的点钞速度是8×104张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 解：（1）10亿＝1 000 000 000＝109，∴10亿元的总张数为109÷100＝107张， 107÷100×0.9＝9×104（厘米）； （2）107÷（5×8×104），＝（1÷40）×（107÷104），＝0.025×103＝25＝2.5×10（天）． 24.（8分）阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 解：（1）设，① 则，② 得，则． （2）设，① 则，② 得，则． 25、（10分）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒米饭，甚至有些挑食的同学会把吃剩的米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米重约10克．现在请你来计算： （1）一粒大米重约 　 　克． （2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（结果用科学记数法表示） （3）若贫困地区每名儿童每天需0.4千克大米，则（2）节约下来的大米供多少名贫困地区儿童生活一年？（结果用科学记数法表示） 解：（1）10÷500＝0.02（克）．一粒大米重约0.02克．故答案为：0.02； （2）0.02×1×3×365×1400000000÷1000＝3.066×107（千克）． 答：一年大约能节约大米3.066×107千克． （3）3.066×107÷（0.4×365）＝2.1×105（名）． 答：可供2.1×105名贫困地区儿童生活一年． 26、（12分）小明觉得像0.0000057这样的数写起来很麻烦，当他学习了科学记数法以后，发现0.0000057＝＝，所以发明了一种“类科学记数法”，比科学记数法，将0.000007写成5.7÷106． （1）将下列各数用“类科学记数法”表示，0.02＝　 　；0.000407＝　 　； （2）若一个数0.0……035用“类科学记数法”表示为3.5÷106，则原数中“0”的个数为 　 　； （3）比较大小：9÷108　 　1÷107，0.000106 　 　9.8÷105； （4）纳米是长度度量单位．1纳米＝1÷109米，一种病毒的直径平均为200纳米．200纳米这个数据用“类科学记数法”可表示为 　 　米． 解：（1）0.02＝2÷102，0.000407＝4.07÷104，故答案为：2÷102，4.07÷104； （2）∵3.5÷106＝0.0000035，∴原数中“0”的个数为6个，故答案为：6； （3）9÷108＝0.00000009，1÷107＝0.0000007，∵0.00000009＜0.0000007， ∴9÷108＜1÷107，9.8÷105＝0.000098，∵0.000106＞0.000098，∴0.000106＞9.8÷105， 故答案为：＜，＞； （4）∵1纳米＝1.0÷109米，∴200纳米＝200×1.0÷109＝2.0÷107米，故答案为：2.0÷107． 27.（12分）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且． 动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 解：（1），，，，，，． （2）由（1）可知，，因为点在之间，且点到点的距离是到点距离的3倍，所以，因为点表示的数为8，点在点的左边，所以点表示的数为：，所以，因为点以每秒1个单位长度的速度运动，所以当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍． （3）能，理由如下：点从点运动到点需要秒，而点从点运动到点需要秒，点到达点时，此时点表示的数为2，所以当点从点运动到点的过程中，点从点运动到点，又从点返回，因此可分为四种情况讨论：点到达点之前：①点在点右侧，两点同向而行，运动时间为秒，所以此时点表示的数为；②当点在点左侧，两点同向而行，运动时间为秒，所以此时点表示的数为；点从点返回后：③当点在点左侧，两点背向而行，运动时间为秒，所以此时点表示的数为；④当点在点右侧，两点背向而行，运动时间为秒，所以此时点表示的数为．综上所述，点表示的数为或0或3或4． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版七年级数学上提优宝典 《第二章有理数第六节有理数的乘方》提优特训A·B卷 一．学习目标 ( 1.理解有理数乘方的定义，识别底数、指数、幂；熟练掌握乘方符号法则，会进行有理数乘方运算；区分(-a) n 与-a n ，能运用偶次幂的非负性解决简单问题，能解决折纸、细胞分裂等乘方实际问题 。 2.过程与方法：经历从相同因数乘法到乘方的抽象过程，体会转化思想；通过对比辨析易混式子，提升符号辨析、归纳推理能力；学会把实际倍增问题转化为乘方数学模型。 3.理解 “ 乘方是特殊乘法 ” ；体会偶次幂非负性的代数意义；能对乘方结果的符号进行分类讨论，建立数感与符号意识。 4.感受乘方带来的数量急剧增长的数学现象；养成规范书写、严谨运算的习惯；体会数学与生活的联系，提升数学学习兴趣。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.乘方的概念：底数、指数、幂的识别，乘方的读写； 2.有理数乘方的符号法则，熟练完成有理数乘方计算； 3.区分负数、分数作底数时的书写格式； 4.利用乘方解决简单的实际倍增问题。 （二）难点 1.辨析(-a) n 与-a n 的本质区别，分清底数； 2.偶次幂非负性的综合应用（如平方等于某数求底数）； 3.分数乘方的书写规范，避免漏写括号； 4.乘方与乘法的区分，防止把乘方当成乘法运算。 )三．知识精析 ( （一） 乘方的 概念及其理解 1.乘方的定义 将一张包装纸对折，再对折......直到无法对折为止，你对折了多少次?请用算式表示对折后得到的包装纸层数。 因为每次对折后包装纸的层数都变为原来的2倍，所以包装纸层数与对折次数之间具有下面的关系 对折次数 包装纸层数 1 2 2 2 × 2 3 2 × 2 × 2 4 2 × 2 × 2 × 3 ... ... 我们知道，同一个加数连续相加可以用乘法表示，如2+2+2=2 × 3,2+2+2+2=2 × 4，2+2+2+2+2=2 × 5 … 类做地，同一个因数连续相乘也可以用一种间便形式表示，如2 × 2=2 2 ，读作 “ 2的平方 ” ;2 × 2 × 2=2 3 ，该作 “ 2的3次方 ” ;2 × 2 × 2 × 2=2 4 ，读作 “ 2的4次方 ” … 一般地， n 个相同 因 数的积 ，可以表示为 (n=1，2,...),该作 n个a "a的n次方 ” 。 ) ( 2. 重要说明： （1） 一个数可以看作它本身的一次方：a=a 1 ，指数1通常省略不写； （2） 二次方又叫平方，三次方又叫立方； （3） 乘方是一种运算，幂是运算的结果（类比：加法是运算，和是结果）； （4） 当底数是负数、分数的时候，底数必须加上括号。 例：(-2) × (-2) × (-2)写作(-2) 3 ； × × 写作( ) 3 。 3 .书写规范 求n个相同因数a的积的运算，叫作乘方；乘方运算的结果叫做幂。记作：a n =a × a × a ×…× a（n个a） 幂 底数 （1）a：底数（相乘的相同因数） （2）n：指数（相同因数的个数） （3）读法：a n 读作a的n次方；当作结果时读作a的n次幂 （4）补充：单独一个数5=5 1 ，指数1默认省略不写。 （5）底数是负数：必须整体加括号，(-3) 4 ，不能写成-3 4 ； （6）底数是分数：必须整体加括号 ，不能写成 ； 4 . (-a) n 与-a n 的比较 对比项 (-a) n -a n 底数 -a （包含负号） a（不包含负号） 意义 n个 (-a) 相乘： n个 n个a相乘的相反数： - n个 运算顺序 先算括号内的 -a ，再进行乘方 先算 a n ，再取结果的相反数 符号规律（a>0） n为偶数：结果为正 n为奇数：结果为负 无论奇偶，结果都为负 举例（a=3） n=2： （-3） 2 =9 n=3： （-3） 3 =-27 n=2： -3 2 =-9 n=3： -3 3 =-27 （二）有理数乘方的符号法则（核心） 1.正数的任何次幂都是正数； 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 3.0的任何正整数次幂都等于0； 4.1的任何正整数次幂都等于1； 5. (-1) 偶数 =1，(-1) 奇数 =-1。 （三）平方与立方特殊性质 1.平方（二次方）： （1）任意有理数的平方一定是非负数（a 2 ≥ 0）； （2）平方等于自身的数：0、1 2.立方（三次方）： （1）正数立方为正，负数立方为负，0立方为0； （2）立方等于自身的数：-1、0、1 3.推论： 任何有理数的偶次幂都是非负数，即a 2k ≥ 0（k为正整数）。即：一个数的平方（偶次幂）一定大于或等于0。 ) ( （ 四 ）实际模型 1.纸张对折：对折1次2 1 = 2层，对折2次2 2 =4层，对折n次层数为2 n ； 2.细胞分裂：1个细胞1轮分裂为2个，n轮后总数为2 n 。 （ 五 ）科学记数法 新生儿的大约有100000000000个神经元，北极星距离地球大的4100000000000000km， 像这些较大的数通常用如下的方法间明地表示: 100000000000=1 × 10 11 ; 4100000000000000=4.1 × 10 15 -般地，一个绝对值大于10的数可以写成a × 10 n 的形式，其中1 ≤ |a|<10,n是正数，这种记数法称为科学记数法(scientific notation)。 1.形式：把大于10的大数写成 a × 10 n ； 2.要求： 1 ≤ |a| <10 ，n为正整数； 3.指数规律：n=原数整数位数-1； 4.逆向还原：把a × 10 n 的小数点向右移动n位，得到原数。 ) A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一选择题（共30分） 1．表示（    ） A．4乘以 B．5个连乘 C．5个连加 D．4个连乘 2．下列各组数相等的是 （   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．的倒数是（    ） A． B． C． D． 4．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 5．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（  ） A． B．1 C．3 D．4 7.《庄子》中有这样一句话：“二尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是二尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第6次截取后剩下的木棒长度为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 8．某种细胞每30分钟分裂一次（每次分裂为两个），若初始有1个细胞，则经过3小时后，细胞总数为（  ） A．32 B．64 C．128 D．256 9．重庆市现有森林面积为4600000公顷，水域面积为2600000公顷，请用科学记数法表示这两类面积共有（    ） A．公顷 B．公顷 C．公顷 D．公顷 10．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是63，则m的值是（　　） 二．填空题（共30分） 11.(-)3=____。 12.-52=____。 13.若一个数的立方是-8，这个数是____。 14.一张纸对折6次后，总层数为____。 15.把5.1×107还原成原数：____。 16.若|m﹣4|+（n+2）2＝0，则nm﹣mn＝　　． 17．已知3.01×10n是一个八位数，则n＝________. 18.若，则的值为 ． 19.若一个整数12500…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 20、小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表： 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 那么，当输入数据为8时，输出的数据为　 　． 三．解答题（共60分） 21.（6分）计算： (1) (-5)2 =_______. (2) -52 =_______. (3)(-)3 =_______. 22、（8分）（1）已知，|a|＝2，b2＝9，ab＜0，求a+b； （2）已知（x+2）2+|y﹣3|＝0，求﹣xy． 23．（8分）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8． （1）若a＜b＜0，求a+b的值； （2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值． 24．（8分）规定“✴”是一种运算法则：a✴b＝a2﹣b2． （1）求2✴6的值； （2）求3✴[（﹣2）✴3]的值． 25. （10分）观察下列各式： 1×＝×（1－）； ×＝×（－）；×＝×（－）； ×＝×（－）； …… (1)你发现以上各式有何规律(用字母表示出来)? (2)计算： ①1×＋×. ②1×＋×＋×＋×. ③1×＋×＋×＋…＋× 26．（10分）问题：你能比较两个数20122013与20132012的大小吗为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（即是自然数）．然后，我们分析n＝1，n＝2，n＝3…这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，才想出结论． （1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小： ①12　　21； ②23　　32； ③34　　43； ④45　　54； ⑤56　　65； ⑥67　　76． （2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想nn+1和（n+1）n的大小关系； （3）根据下面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20262027　　20272026． 27．（10分）有关资料表明，如果一个人在刷牙的过程中一直开着水龙头，那么将浪费10杯水(每杯水约250毫升)． (1)已知某家庭有三人，如果每人都像这样每天刷牙两次，那么一年要浪费多少毫升水(一年按360天计算)? (2)如果每立方米水按2元计算，那么这个家庭一年要浪费多少钱？ (3)某城市约有100万个这样的家庭，如果所有的人在刷牙过程中都不关水龙头，那么一年要浪费多少毫升水？浪费多少钱？ B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．关于的说法正确的是（    ） A．底数是4，指数是 B．结果是 C．可以表示为 D．结果是 2．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，，且，则等于（    ） A．5 B． C． D． 4．若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 5．进位制是人们为了计数和计算方便而约定的记数系统，约定二进制即“逢二进一”，十进制即“逢十进一”，不同进制的数之间可以转换，将二进制数转化成十进制数的结果是（　　） A．8 B．9 C．11 D．13 6．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第7天截取后，木棍剩余的长度是（    ） A． B． C． D． 7．近年来，China Travel持续走热．数据显示，三季度免签入境外国人万人次，同比增长了．国外游客不再满足于走马观花式观光，更多人将体验中华文化作为主要目的，欣赏山河之美、人文之美、文明之美．China Travel的热潮是多方面因素共同作用的结果．它不仅反映了中国在国际上的影响力，也展示了中华文化的独特魅力．其中万用科学记数法表示为（   ） A. B． C． D． 8.下列等式一定成立的是（ ） A. a2>0 B. a2=(-a)2 C. a3=(-a)3 D. a2>a3 9、我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（　　） A．1 B．3 C． D． 10．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共30分） 11.-(-5)2=________. 12.有理数中平方最小的数是________. 13.若x3=-125，则x=________. 14.一纸张对折9次，纸张层数为________. 15.(-1)50+(-1)51=________. 16．某品种兔子，一对兔子每个月能繁殖3对小兔子，而每对小兔子，一个月后也能繁殖3对新小兔子，总之，所有的每对兔子，都是每月繁殖3对小兔子，如果开始只有一对兔子，那么半年后有　 　对兔子（不考虑意外死亡）． 17.已知a、b互为倒数，化简： ． 18．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为，按同样的方法，图2表示的天数是____________. 19.有一种水草繁殖速度很快，每过1小时是原来的2倍，即一棵水草1小时后变成2棵，2小时后变成4棵…，如果一池塘放养一棵这样的水草，一昼夜覆满池塘，那么放养2棵水草， 小时覆满池塘． 20．《庄子•天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么6天之后，这个“一尺之棰”还剩 　 　． 三．解答题（共60分） 21．（6分）(1)计算下列各式： 1＋3＝(____)2 1＋3＋5＝(____)2 1＋3＋5＋7＝(____)2 1＋3＋5＋7＋9＝(____)2 … 1＋3＋5＋…＋2027＝(____)2 (2)计算：101＋103＋105＋…2025＋2027. 22.（6分）有一张厚度0.1mm的白纸： (1) 对折3次后纸张总厚度是多少毫米？ (2) 对折多少次后厚度会达到1.6mm？ 23、（6分）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） （1）经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的新版人民币摞起来，大约有多高？ （2）一台激光点钞机的点钞速度是8×104张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 24.（8分）阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 25、（10分）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上不经意地掉下几粒米饭，甚至有些挑食的同学会把吃剩的米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米重约10克．现在请你来计算： （1）一粒大米重约 　 　克． （2）按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（结果用科学记数法表示） （3）若贫困地区每名儿童每天需0.4千克大米，则（2）节约下来的大米供多少名贫困地区儿童生活一年？（结果用科学记数法表示） 26、（12分）小明觉得像0.0000057这样的数写起来很麻烦，当他学习了科学记数法以后，发现0.0000057＝＝，所以发明了一种“类科学记数法”，比科学记数法，将0.000007写成5.7÷106． （1）将下列各数用“类科学记数法”表示，0.02＝　 　；0.000407＝　 　； （2）若一个数0.0……035用“类科学记数法”表示为3.5÷106，则原数中“0”的个数为 　 　； （3）比较大小：9÷108　 　1÷107，0.000106 　 　9.8÷105； （4）纳米是长度度量单位．1纳米＝1÷109米，一种病毒的直径平均为200纳米．200纳米这个数据用“类科学记数法”可表示为 　 　米． 27.（12分）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且． 动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $