2.6 有理数的乘方 课时作业 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“有理数的乘方”，以“基础巩固+能力提升”分层设计，通过概念辨析-运算强化-实际应用-规律探究的路径，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|乘方意义、符号规律、易混点辨析|选择/填空聚焦概念（如底数指数判断），解答题强化运算（含分数/负数乘方），附加题突破易混点（如-2⁴与(-2)⁴）| |能力提升|综合应用与规律探究|结合细胞分裂、折纸问题考查模型意识，通过乘方个位数字规律培养推理能力，融入分类讨论（如已知平方值求底数）|

苏科版七年级数学上册 2.6 有理数的乘方 课时作业 苏科版数学七年级上册　课时作业 第2章　有理数　2.6　有理数的乘方 班级：____________　姓名：____________　完成时间：________　得分：________ 一、学习目标 1．理解乘方的意义，掌握有理数乘方的有关概念，能正确指出幂的底数与指数。 2．会进行有理数的乘方运算，掌握乘方结果的符号规律。 3．能正确区分 与 、 与 ，避免书写与计算中的常见错误。 4．能利用乘方解决折纸、分裂、分割等实际问题，体会数学中"由特殊到一般"的归纳思想。 二、知识梳理 知识点1　乘方的意义 一般地， 个相同的因数 相乘，即 （共 个 ），记作 。求 个相同因数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂。 在 中， 叫作底数， 叫作指数， 读作" 的 次方"，也可以读作" 的 次幂"。 特别地： 读作" 的平方"（或" 的二次方"）， 读作" 的立方"（或" 的三次方"）。 一个数可以看作这个数本身的 1 次方，如 ，指数 1 通常省略不写。 乘方的几何意义：边长为 的正方形的面积是 ，棱长为 的正方体的体积是 ，这就是"平方""立方"名称的由来。 （图1　乘方的几何意义） 知识点2　有理数乘方的符号规律 正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。 由此可得：任何有理数的偶次幂都是非负数，即 、。这一性质在后面的学习中经常用到。 底数 指数为奇数 指数为偶数 举例 正数 正数 正数 ， 负数 负数 正数 ， 0 0 0 ， 另外，1 的任何正整数次幂都是 1； 当 为奇数时等于 ，当 为偶数时等于 1。 知识点3　书写与计算中的三个易混点 易混点1： 与 不同。 的底数是 ； 表示 的相反数，底数是 。 例如：，而 。 易混点2： 与 不同。前者底数是 ，结果为 ；后者只有 2 是底数，结果为 。分数作底数时必须加括号。 易混点3： 与 恰好相等（都等于 ）。当指数是奇数时二者相等，当指数是偶数时二者互为相反数。 知识点4　由幂求底数 若 ，则 或 ，即 （偶次幂有两个互为相反数的底数）； 若 ，则 （奇次幂只有一个底数，且与幂同号）。 知识点5　数学阅读：乘方增长有多快 相传古印度国王要奖赏国际象棋的发明者，发明者说："请在棋盘的第 1 格放 1 粒麦子，第 2 格放 2 粒，第 3 格放 4 粒，……，每一格都是前一格的 2 倍，把 64 格放满就行。"国王起初觉得这个要求很低，可是算下来，第 64 格要放 粒麦子，全部麦粒总数超过了全世界几千年的粮食产量！ 这个故事说明：以乘方形式增长（我们后面会学到的"指数增长"）的速度远远超出人们的直觉。第 21 题的折纸问题、第 16 题的细胞分裂问题都体现了这一点。 常用的 2 的幂：，，。记住它们，能让很多估算变得容易。 【典例精讲】 例1　指出下列各式的底数、指数，并计算结果：（1）；（2）；（3）。 解：（1）底数是 ，指数是 4；负数的偶次幂为正数，。 　　（2）底数是 3，指数是 4；。 　　（3）底数是 ，指数是 3；负数的奇次幂为负数，。 例2　计算：（1）；（2）。 解：（1）指数 2025 是奇数，所以 。 　　（2）先把带分数化为假分数：， 　　　　所以 。 例3　已知 ，求 的值。 解：因为 ，，而它们的和为 0， 所以 且 ，得 ，，所以 。 点拨：几个非负数的和为 0，则每一个非负数都为 0，这是初中阶段十分重要的解题工具。 三、基础巩固 （一）选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．在 中，底数是（　　） A．　　　B．3　　　C．4　　　D． 2．下列各式中，计算结果是负数的是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3．下列各组数中，运算结果相等的一组是（　　） A． 与 　　　B． 与 C． 与 　　　D． 与 4．若 ，则 的值为（　　） A．4　　　B．　　　C．　　　D．256 5．计算 的结果是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 6．若 ，则 的值是（　　） A．　　　B．1　　　C．5　　　D． 7．计算 的结果是（　　） A．0　　　B．1　　　C．　　　D．2026 8．一根长 1 米的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，……，这样剪下去，第 6 次剪完后剩下的绳子长为（　　）米 A．　　　B．　　　C．　　　D． （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9． 的底数是 ____________，指数是 ____________，结果是 ____________。 10． 的平方是 ____________； 的立方是 ____________。 11．比较大小（填""""或""）： ____________ ；　 ____________ 。 12．若 ，则 ____________。 13．计算： ____________。 14．平方等于它本身的有理数是 ____________；立方等于它本身的有理数是 ____________。 15．观察：，，，，，，…，则 的个位数字是 ____________。 16．某种细胞每 30 分钟分裂一次，1 个细胞分裂成 2 个。经过 3 小时，1 个这样的细胞可以分裂成 ____________ 个。 （三）解答题（共 52 分） 17．（18 分）计算： （1）；　　（2）；　　（3）； （4）；　　（5）；　　（6）； （7）；　　（8）。 18．（8 分）判断下列各式是否正确，若不正确，请写出正确的结果。 （1）；　　（2）； （3）；　　（4）。 19．（8 分）已知 ，求 的值。 20．（6 分）比较 与 的大小，并说明理由。 21．（6 分）把一张厚度为 毫米的纸对折，对折 1 次后厚度为 毫米，对折 2 次后厚度为 毫米，…… （第 21 题图） （1）对折 次后纸的厚度是多少毫米？（用含 的式子表示） （2）已知 ，求对折 20 次后纸的厚度约为多少米？ 22．（6 分）一种有益菌在培养过程中，每过 1 小时数量变为原来的 3 倍。若开始时有 5 个这样的细菌： （1）2 小时后有多少个？写出算式并计算； （2）用含 的式子表示 小时后细菌的个数； （3）3 小时后细菌的个数是 1 小时后的多少倍？ 22*．（附加 4 分）判断下列各式是否相等，并说明理由： （1） 与 ；　　（2） 与 ； （3） 与 。 （四）能力提升（每小题 8 分，共 24 分） 23．已知 ，，且 ，求 的值。 24．观察下列各式：，，，，，，… （1）写出 、 的个位数字； （2） 的个位数字是多少？ （3）求 的个位数字。 25．如图，把一个面积为 1 的正方形不断地对分：第一次分成 2 个相等的部分，取其中 1 份，面积为 ；第二次把剩下的部分再分成 2 个相等的部分，再取其中 1 份，面积为 ；…… （1）用式子表示第 5 次所取部分的面积； （2）求 的值； （3）猜想 的值（用含 的式子表示）。 参考答案与解析 （一）选择题 1．A　解析： 中括号内的 是底数，4 是指数，表示 4 个 相乘。选 A。 2．B　解析：A 中负数的偶次幂为正数，结果为 1；B 中 ，是负数；C 中 ；D 中 。选 B。 3．B　解析：A 中 ，，不相等；B 中 ，，相等；C 中 ，，不相等；D 中 ，，不相等。选 B。 4．C　解析：因为 ，，所以 。选 C。偶次幂等于同一个正数的底数有两个，互为相反数。 5．A　解析：。选 A。C 项是把指数当成了乘数的典型错误。 6．A　解析：由非负数的和为 0，得 ，，即 ，，所以 。选 A。 7．A　解析：奇数次幂为 ，偶数次幂为 1，相邻两项之和为 0。从 到 共 2026 项，可分成 1013 组，每组和为 0，所以总和为 0。选 A。 8．D　解析：每剪一次剩下上一次的一半，剪 6 次后剩下 （米）。选 D。 （二）填空题 9．；3；。解析：，负数的奇次幂为负数。 10．；。解析：；。 11．；。解析：，，所以 ；，，所以 。 12．。解析：由 ， 且和为 0，得 ，，所以 。 13．0。解析：（奇次幂），（偶次幂），二者相加得 0。 14．0 和 1；0、1 和 。解析：，；，，。注意 ，所以 不满足平方等于本身。 15．4。解析： 的个位数字依次是 2，4，8，6，2，4，8，6，…，每 4 个一循环。，余数为 2，所以个位数字与 相同，是 4。 16．64。解析：3 小时 分钟，共分裂 （次），细胞个数为 （个）。 （三）解答题 17．（每小题 3 分） （1）；　（2）； （3）；　（4）； （5）（先算 ，再取相反数）； （6）； （7）； （8）。 点拨：乘方运算的关键是先看清底数（括号内的整体才是底数），再由指数的奇偶确定符号。 18．（每小题 2 分） （1）不正确。，，二者互为相反数。 （2）正确。。 （3）不正确。，而 。 （4）正确。，，当指数为奇数时二者相等。 19．解：因为 ，，且 ， 所以 ，，即 ，。 所以 。 20．解：，。 两个数都是负数，绝对值大的反而小。因为 ， 所以 ，即 。 21．解：（1）对折 1 次厚 毫米，对折 2 次厚 毫米，…， 　　　所以对折 次后纸的厚度为 毫米。 （2）当 时，厚度为 （毫米）。 　　　因为 1 米 毫米，所以 （米）。 　　　答：对折 20 次后纸的厚度约为 米（比 30 层楼还高，这就是乘方增长的"可怕"之处）。 22．解：（1）（个）。答：2 小时后有 45 个。 （2） 小时后细菌的个数为 （个）。 （3）3 小时后为 （个），1 小时后为 （个），（倍）。 　　　答：3 小时后的个数是 1 小时后的 9 倍。 22\*．解：（1）相等。，，负数的偶次幂与它的相反数的同次幂相等。 （2）相等。，。 （3）不相等。，而 ，二者互为相反数。 22\*\*．解：（1）体积为 ，表面积为 。 （2）当 时，体积为 ，表面积为 。 （3）棱长变为 时，体积为 ，是原来的 8 倍。 　　　点拨：棱长扩大到 2 倍，面积扩大到 倍，体积扩大到 倍。 （四）能力提升 23．解：由 得 或 ；由 得 或 。 因为 ，需逐一检验： ①， 时，，不合题意； ②， 时，，不合题意； ③， 时，，符合题意，此时 ； ④， 时，，符合题意，此时 。 所以 的值为 或 。 点拨：分类讨论要"不重不漏"，并且一定要用题目中的附加条件（本题是 ）筛选。 24．解：（1），个位数字是 7；，个位数字是 1。 （2） 的个位数字依次为 3，9，7，1，3，9，7，1，…，每 4 个一循环。 　　　，余数是 2，所以 的个位数字与 相同，是 9。 （3）每一组（连续 4 项）个位数字之和为 ，个位数字为 0。 　　　2026 项可分成 506 组（共 2024 项），余下第 2025、2026 两项， 　　　它们的个位数字分别是 3 和 9，和为 12，个位数字是 2。 　　　所以 的个位数字是 2。 25．解：（1）第 5 次所取部分的面积为 。 （2）借助图形可知：所取部分的面积之和 正方形面积 剩下部分的面积， 　　　所以原式 。 （3）猜想：。 　　　点拨：本题用"数形结合"把一个看似复杂的求和问题转化为"整体减去剩余"，非常巧妙。 本课时易错清单：①分不清 与 ；②分数、带分数作底数时不加括号；③把乘方误算成"底数×指数"，如把 算成 ；④由 求 时漏掉负值；⑤忘记"任何数的偶次幂都是非负数"这一重要性质。 课后反思 1．本节课我掌握得最好的是：______________________________________________________ 2．我还存在的疑问是：__________________________________________________________ 3．错题订正（请把做错的题号和错因写在下面）： ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $