第一章 二次函数【重点巩固卷】2026-2027学年浙教版九年级上册数学（温州地区）

**基本信息** 浙教版九年级上册二次函数单元复习卷，覆盖图像性质、实际应用等核心知识，梯度设计合理，通过建筑、销售等情境体现数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10道|抛物线与坐标轴交点、顶点坐标、平移|基础巩固，如第3题考查平移规律，体现空间观念| |填空题|5道|顶点坐标、方程解、实际问题（高度计算、建筑抛物线）|如第14题结合“东方之门”建筑，体现文化传承与几何直观| |解答题|9道|解析式转化、利润问题、动态几何综合|第23题销售利润模型体现应用意识，24题抛物线与直线综合考查推理能力，契合真题趋势|

第一章 二次函数【重点巩固卷】浙教版九年级上册（温州地区） 一、选择题（本大题共 10 道小题） 1. 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 2. 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的最值公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵二次函数有最小值， ∴， 解得． 经检验是原方程的解， 故选：A． 3. 【答案】A 【分析】本题主要考查抛物线的平移规律，理解和掌握抛物线平移规律是解题的关键．根据抛物线平移的规律“上加下减（抛物线与轴的截距即二次函数中的常数项），左加右减（抛物线的横轴）”即可求解． 【详解】解：抛物线向上平移个单位长度， ∴． 故选：A． 4. 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，直接利用配方法将原式化为顶点式，进而求出二次函数的顶点坐标． 【详解】解： ， 故抛物线的顶点坐标是：． 故选：B． 5. 【答案】D 【分析】本题考查了配方法把二次函数一般式变为顶点式解析式的方法，利用配方法把二次函数一般式变为顶点式即可，熟知完全平方公式各个部分之间的关系是解题的关键． 【详解】解：将二次函数化为， 故选：． 6. 【答案】B 根据每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，则， 故选：B． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 7. 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可． 解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵函数开口向上， ∴当或时，． 故选：A． 8. 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 9. 【答案】A 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 关于的对称点是， ， ， 故选：A 10. 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键． 根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与的关系，以及，，对应值的正负，二次函数的对称性，逐项判断即可． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴在轴右侧， ∴、异号，即， ∴，故此项符合题意； ②有图象可得，当时，， ∵对称轴为 ∴由函数的对称性可得，当时， 又∵当时，随的增大而增大， ∴当时，的取值不确定，故此项不符合题意； ③∵， ∴，即， 又∵结合图象可得当时，，对称轴为 ∴当时，， ∴， ∴， ∴，故此项符合题意； ④把代入上式， 可得， ∵ ∴，故此项不符合题意， 综上所述，正确的有个． 故选为：B． 11. 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键；把二次函数的一般式化为顶点式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：， 顶点坐标为， 故答案为：． 12. 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象与x轴的交点，正确理解不等式和函数的关系是解题的关键． 根据函数图象中的数据，即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，该函数的顶点坐标是，即当时，， 故一元二次方程的解为； 该函数与轴的交点为和， 故当时，轴的取值范围为或， 故答案为：；或． 13. 【答案】或 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题意可得，整理得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 整理，得： ， 分解因式，得：， 解得：或， 故答案为：或． 14. 【答案】48 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，数形结合．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出的值，即可得到的值． 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，    ，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入， 得：， 解得： ， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， （米）， 故答案为：48． 15. 【答案】②④ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． 根据图象开口向下可知：，图象与y轴交点在y轴正半轴，，对称轴为直线，得， ，可判断①是假命题；根据抛物线的对称轴为直线，得，又当时，，则，得到，可判断②正确是真命题；根据抛物线与x轴有两个交点，所以方程有两个实数根，当时，得到方程，所以方程序只有两个实数根，即只有两个值，可判断③是假命题；抛物线与直线有两个交点，可得有两个不等的实根，可判断④是真命题． 【详解】解：①由图象开口向下可知：， 图象与y轴交点在y轴正半轴，， 对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误是假命题； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 又由图象可知，当时，， ∴， ∴，故②正确是真命题； ③由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， 所以方程有两个实数根， 当时，得到方程， 所以方程只有两个实数根， 所以只有两个值，即t只有两个值使成立，故③错误是假命题； ④如图， 由图象可得抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不等的实根， 即有两个不等的实根．故④正确是真命题． ∴正确命题是②④． 故答案为：②④． 16. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的定义，二次函数的一般形式中，二次项系数，解此题易出现只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误． （1）根据二次函数的定义得出，即可得出； （2）根据一次函数的定义得出，即可得出． 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， ∴； （2）解：∵函数是关于的一次函数， ∴， ∴． 17. 【答案】抛物线与轴总有两个不同的公共点 【分析】根据根的判别式进行求解，当时，二次函数有两个不相等的实根，即与轴总有两个不同的交点，由此即可求解． 【详解】解：， ， ∴抛物线与轴总有两个不同的公共点． 【点睛】本题主要考查二次函数与坐标轴有交点的条件，掌握二次函数图象与轴有两个交点的条件是的知识是解题的关键． 18. 【答案】(1)，顶点坐标为，对称轴为直线 (2)当时，函数值 y 随着 x 的增大而减小 【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即把一般式转化为顶点式，再根据顶点式的特点即得出函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）根据二次函数的开口方向和对称轴解答即可． 【详解】（1）解：， ∴该函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）∵， ∴抛物线开口向下． 又∵对称轴为直线， ∴当时，函数值 y 随着 x 的增大而减小． 【点睛】本题考查将二次函数一般式改为顶点式，求二次函数图象的顶点坐标和对称轴，二次函数的图象和性质．熟知二次函数的顶点式是解题关键． 19. 【答案】 根据题意可知，增加后的矩形的长和宽分别为m，（30+x）m，再由矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm， ∴增加后的矩形的长和宽分别为m，（30+x）m， ∴. 【点睛】本题主要考查了从实际问题出抽象出二次函数，解题的关键在于能够熟练掌握矩形面积公式． 20. 【答案】(1) (2)画图见解析， 【分析】本题考查了二次函数一般式化顶点式，画二次函数图象，二次函数的图象与性质，画出图象是解答本题的关键． （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）先画出图象，然后根据图象解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，；当时，；当时，；当时，； 如图，由图可知，当时，自变量的范围是． 21. 【答案】(1) (2)经过点 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及二次函数图象的平移： （1）抛物线的对称轴为直线，由此可解； （2）先根据抛物线的平移方式确定新抛物线的解析式，进而判断是否经过点． 【详解】（1）解：对称轴为直线， 解得， 的值为； （2）解：由（1）可知，， 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 可得， 将代入， 解得， 得到的新抛物线经过点． 22. 【答案】(1)当时，函数的最小值是 (2)n的值为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数最值的计算方法是解题的关键． （1）根据二次函数解析式得到对称轴直线，根据二次函数增减性，最值的计算方法即可求解； （2）将二次函数化为顶点式可知，当时函数有最大值为4，再求出函数值为0时的值，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：二次函数，， ∴函数图象的开口向下，对称轴直线为， ∴离对称轴直线距离越远，值越小， ∴当时，函数值最小，最小值为， ∴当时，函数的最小值是； 23. 【答案】(1)()； (2)() 1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 24. 【答案】(1) (2)①或；②点的坐标为或 【分析】（1）把代入求出一次函数解析式，则的坐标为，再把代入中即可求出抛物线的解析式． （2）①求出，根据，求出，，结合轴，求出，设，则，，分为当和当，分别求解即可． ②求出直线的解析式，分为当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，证明，求出，从而求出直线的解析式，即可求解．当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 故， 则的坐标为， 把代入中 得， 解得：， ∴抛物线的解析式的为：． （2）解：①∵， 令，则，解得：或3， ∴， 又∵， ∴，，， 又轴， ， ， ， ∵， ∴，， ， 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故； 当，即时，， 解得：（舍去）或， 故， 综上，或． ②∵点，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）． ∴ 当点P在x轴下方时，如下图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：，则，解得：， ∴直线的解析式为：， ， 解得：（舍去）， ∴ 综上所述：点的坐标为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，一次函数解析式求解，注意相似三角形分情况讨论．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数【重点巩固卷】浙教版九年级上册（温州地区） 一、选择题（本大题共 10 道小题） 1. 抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 2. 二次函数有最小值，则m等于（　） A．1 B． C． D． 3. 将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 4. 抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 5. 将二次函数化为的形式，正确的是（      ） A． B． C． D． 6. 一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 7. 如图是函数的部分图象，已知其对称轴为直线，则当（　　）时，函数值大于0． A．或 B． C． D． 8. 红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 9. 若二次函数的图象经过，，三点，则（   ） A． B． C． D． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的结论有（　　）个 A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共 5 道小题） 11. 二次函数的顶点坐标为 ． 12. 已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为 ，当时，的取值范围为 ． 13. 学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的初始速度．若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为时，的值为 s． 14. 如图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲纹处理，将传统文化与现代建筑为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲纹呈抛物线形，如图②，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面128米处的水平宽度（即的长）为 米．      15. 如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③对于任意实数t，有；④有两个不等的实根．其中真命题的有 ． 三、解答题（本大题共 9 道小题） 16. 已知函数． (1)当为何值时，是关于的二次函数？ (2)当为何值时，是关于的一次函数？ 17. 已知二次函数（为常数，）．求证：不论为何值，抛物线与轴总有两个不同的公共点． 18. 已知二次函数． (1)把函数化成的形式，并求出函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)直接写出当 x 满足什么条件时，函数值 y 随着 x 的增大而减小？ 19. 如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 20. 已知二次函数． (1)用配方法将上述二次函数的表达式化为的形式； (2)画出此函数的图象（不用列表），并直接写出当时x的取值范围． 21. 已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点． 22.已知二次函数． (1)当时，函数的最小值是多少？ (2)当时，函数的最大值为4，最小值为0，求n的值． 23. 某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 24. 如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为点C． (1)求抛物线的解析式： (2)点是x轴正半轴上一动点，过点E作轴于点E，交直线于点D，交抛物线于点P，联结． ①当点E在线段上时，若与相似，求点E的坐标； ②若，直接写出点E的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $