2.2 基本不等式（第1课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式，从复习不等式性质及赵爽弦图引出的重要不等式切入，通过变量替换推导基本不等式，构建前后知识衔接的学习支架，帮助学生理解概念形成过程。 其亮点是代数证明（分析法、综合法）与几何解释（半径不小于半弦长）结合，通过例1求最值、变式训练强化“一正二定三相等”，发展逻辑推理和直观想象素养。学生能掌握应用条件，教师可借助系统流程提升教学效率。

2.2 基本不等式 （第1课时） 人教A版2019数学 必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 等式性质与不等式性质 相等关系与不等关系 等式性质与不等式的性质 基本不等式 基本不等式 基本不等式的应用 二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式及解法 一元二次不等式的应用 本章知识框图 课标要求 掌握基本不等式（,），结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。 相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等式 03 01 02 能借助几何图形说出基本不等式的几何解释，促进直观想象素养的发展. 通过代数变換，从重要不等式推出基本不等式，并能解释基本不等式的结构. 课时教学目标 能利用不等式的性质，运用分析法、综合法证明基本不等式，提升逻辑推理素养。 问题1：上节课，我们学习了不等式的性质，并通过赵爽弦图发现了一个重要不等式，你能说说具体都是什么内容么？ 环节一 新课导入 不等式的性质 问题1：上节课，我们学习了不等式的性质，并通过赵爽弦图发现了一个重要不等式，你能说说具体都是什么内容么？ 环节一 新课导入 重要不等式 4个全等的直角三角形面积 大正方形面积 小于 等于 证明方法：作差法 环节二 新课探究 问题2：若,，我们以，分别替代重要不等式中的，，可得出怎样的不等式，你能证明这一不等式吗？ 环节二 新课探究 文字语言：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 算术平均 基本不等式 几何平均 环节二 新课探究 问题3：能否直接利用不等式的性 质推导出基本不等式呢？ 证明： 要证 当且仅当a=b时，不等式中的等号成立． 只要证 只要证 只要证 显然成立. 所以原不等式成立． 该证明方法称为分析法“执果索因” 证明： 要证 当且仅当a=b时，不等式中的等号成立． 只要证 只要证 只要证 显然成立. 所以原不等式成立． 当且仅当a=b时等号成立. 证明： 综合法“由因导果” 分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使其成立的充分条件的证明方法叫分析法； 综合法：把这种从已知出发进行推证的方法叫综合法. 环节二 新课探究 O 半径，则 几何意义：半径不小于半弦长 当且仅当点与圆心重合时取等. 环节三 应用新知 例1 基本不等式的适用条件：一正 基本不等式求最值的原理：二定 最值取得的必要条件：三相等 环节三 应用新知 例2 总结：积定和最小；和定积最大 环节三 应用新知 利用基本不等式求代数式最值的条件和关键： （1）利用基本不等式解决最值问题要牢记三个关键词：一正二定三相等. （2）利用基本不等式求最值的关键：根据定值求最值，配凑变换不可少. （3）基本不等式求最值模型：若，，则有，当且仅当等号成立 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 环节三 应用新知 说明： (1)一正:各项必须都是正值. 若各项都是正数,则可以直接用基本不等式求最大(小)值; 若各项都是负数,则可以提取负号,化为正数后用基本不等式求最大(小)值; 若有些项是正数,有些项是负数,则不可以用基本不等式求最大(小)值. (2)二定:各项之和或各项之积为定值. 利用基本不等式求最大(小)值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,常见的方法技巧如下: 环节三 应用新知 (3)三相等:必须验证取等号时条件是否成立,若等号不成立,则不能用基本不等式求最大(小)值. 说明： ①拆(裂项拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定值创造条件; ②并(分组并项):目的是分组后各组可以单独应用基本不等式,或分组后先对一组应用基本不等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值; ③配(配式、配系数,凑出定值):有时为了挖掘出“积”或“和”为定值,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值. 环节四 归纳小结 2.基本不等式的使用特点 1.基本不等式的定义 3.证明不等式 积xy等于定值，和x＋y有最小值 和x＋y等于定值，积xy有最大值 基本不等式 综合法：由因导果 分析法：执果索因 “一正,二定,三相等” 算数平均数 几何平均数 两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数 积等于定值，和有最小值 和等于定值，积有最大值 环节五 作业布置 P46 练习第1,2,4题； P42 习题2.2第1,2,5题. 感谢聆听 一般地，，有， 当且仅当时，等号成立． 当且仅当时，等号成立． 证明：（作差法） ， 即，当且仅当时等号成立. 一般地，对任意，，都有 当且仅当时等号成立. 问题4:前面我们用赵爽弦图中几何元素之间的数量关系对重要不等式进行了直观描述，基本不等式也可以这样做.如图2.2-1，是圆的直径，点是上一点，，过点作垂直于的弦，连接.你能利用这个图形，给出基本不等式的几何解释吗？ 已知，求的最小值. 分析：求的最小值，就是要求一个，使，都有.观察，发现.联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到. 解：因为， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 因此所求的最小值为2. 已知x，y都是正数，求证： （1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值 （1）当积等于定值P时，， 所以， 当且仅当时，上式等号成立. 于是，当时，和有最小值. （2）当和等于定值S时，， 所以， 当且仅当时，上式等号成立. 于是，当时，积有最大值. 证明：因为x，y都是正数，所以. 1.当取什么值时，取得最小值？最小值是多少？ ，当且仅当，即时等号成立. 所以，当或时，取得最小值，最小值为. 2. 已知，求的最大值 解：∵，∴. ∴， 当且仅当，即或(舍去)，即时等号成立. ∴的最大值为. 3. 已知，求的最大值. 解：∵，∴， ∴ 当且仅当，即时，“”成立. ∴的最大值为. 4. 已知，求的最大值. 解：当时，. 当时，，， ， 当且仅当，即时取等号. 的最大值为，此时. 5.当时，求的最小值. 解： ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 所以的最小值为. $