辽宁省普通高中2026-2027学年高一上学期第一次月考数学模拟卷（2）

**基本信息** 高一数学月考模拟卷注重基础与能力结合，以集合、不等式、函数为核心，通过公司利润计算（16题）、基本不等式历史（10题）等设计，体现数学思维与应用意识，适配高一上学期学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合真子集、命题真假、基本不等式|基础概念与简单应用结合| |多选|3/18|命题否定、基本不等式应用、集合新定义|融入数学史（毕达哥拉斯学派）| |填空|3/15|集合补集关系、不等式最值|考查符号运算与逻辑推理| |解答|5/77|集合性质、函数应用、不等式证明|结合实际问题（公司利润）与创新定义（完美集），强调综合论证|

辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期第一次月考模拟卷（2） 高一数学 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A．64 B．63 C．6 D．65 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、并集的概念及运算 【分析】利用列举法表示集合，即可得解. 【详解】由， 则，共个元素， 所以集合的真子集个数为. 故选：B. 2．已知命题；命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、特称命题的否定及其真假判断、全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据题意，利用全称命题与存在性命题的真假判定方法，逐个判定命题的真假，即可得到答案. 【详解】由，所以命题为假命题，则命题为真命题； 又由当时，，所以命题为真命题，则为假命题. 故选：B. 3．制作一个面积为1且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（    ） A．4.6m B．4.8m C．5m D．5.2m 【答案】C 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】设一条直角边为，由面积和勾股定理求出另外两条边，再结合基本不等式求周长最小值即可； 【详解】设一条直角边为，由于面积为1，所以另一条直角边为， 所以斜边长为， 所以较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为5m， 故选：C. 4．若正数 满足，则 的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【知识点】条件等式求最值 【分析】利用，可求最小值. 【详解】因为为正数，所以， 当且仅当时取等号，所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 5．命题，为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、判断命题的充分不必要条件、根据全称或特称命题的真假判断复合命题的真假 【分析】转化问题为在上有解，求出的取值范围，进而结合充分不必要条件的定义判断即可求解. 【详解】依题意，：，真命题， 所以在上有解， 当时，原不等式，解得，满足题意； 当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在上一定有解，故满足题意； 当时，若在上有解，则，解得， 综上所述，， 所以命题p：，为假命题的一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 6．设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】分和两种情况进行讨论分析，可得实数m的取值范围. 【详解】当，即时，，此时，符合题意； 当，即时，， 由，得，或. 解得，或. 综上所述，实数m的取值范围为，或，或, 即. 故选：D. 7．已知正实数，记，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由已知得出，结合得出，根据基本不等式即可求解． 【详解】由得，， 所以，即， 因为，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，，当且仅当，即时，等号成立， 故选：A． 【点睛】关键点睛：当时，有；即且，两式相乘，进而得出最小值． 8．已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据已知条件，将变换为，利用基本不等式乘1法，即可求得其最小值. 【详解】∵， ∴ ， 当且仅当， 联立，解得，时取等号. 则的最小值为. 故选：A 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．命题“，使得”的否定是“，都有” B．当时，的最小值是5 C．已知集合，若，则m的值为 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABC 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据元素与集合的关系求参数、特称命题的否定及其真假判断、基本不等式求和的最小值 【分析】根据命题的否定即可求解A，根据基本不等式即可求解B，根据元素与集合的关系即可求解C，根据充分必要条件的定义即可求解D. 【详解】对于A, “，使得”的否定是“，都有”,A正确， 对于B,当时，，则，当且仅当，即时取到等号，故B正确， 对于C,若，解得，则集合，符合题意，若，此时无解，因此若，则m的值为，故C正确， 对于D, 由可得到，当时，或，故“”是“”的充分不必要条件，D错误， 故选：ABC 10．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则最小值为4 C．若，，则 D．若，且，则的最小值为2 【答案】CD 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由不等式的性质证明不等式 【分析】利用特例法判断A，利用基本不等式“1”的妙用求最值判断B，利用基本不等式结合不等式性质判断C，设，代入化简变形，利用基本不等式求得最小值判断D. 【详解】对于A，若，满足，则，错误； 对于B，若，且，则，时取等号，与矛盾，即等号不成立，则没有最小值，故不正确； 对于C，因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以，当且仅当即时等号成立， 由乘法法则知，当且仅当时等号成立，正确. 对于D，令，则， 所以， （当且仅当即时取等号），即的最小值是2，正确. 故选：CD 11．已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（    ） A． B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 【答案】ABD 【知识点】集合新定义、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性质判断相关结论的正确性. 【详解】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足. 同理，中含个元素的子集也不满足. 综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确. 若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确. 若，满足条件的集合的个数为7，而,C错误； 对于满足“阶完美集”的所有，不属于所有，可视为退化为“阶完美集”的情况，总个数为. 又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：新定义题型，关键就是读懂题意，将陌生的概念转化为熟悉的知识，再借助旧知解题即可. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，若CRA⊆CRB，则的取值范围为_____． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由CRA⊆CRB，可得，进而结合，讨论求解即可． 【详解】由CRA⊆CRB，可得， 若，即，则，符合题意； 若，则，此时要使，则解得，因此． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 13．已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用1的代换，再结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】由 ，得 ，即 （）， 则， 当且仅当 ，即，再结合 ， 可解得 ，满足条件，因此的最小值为 . 14．已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为__________ 【答案】或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、并集的概念及运算 【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合A的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： ①当时，因为，则， 且，可得， 又因为，则且， 可得：， 则，解得； ②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去； ③当，即时，可得：且， 可得，解得； 综上所述：或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，是否存在实数，使得命题是命题的必要不充分条件？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由如下： 假设存在使得命题是命题的必要不充分条件， 则命题是命题的必要不充分条件，可得集合是集合的真子集， 则，此不等式组无解， 所以假设不成立，即不存在. 故不存在使得命题是命题的必要不充分条件. 【知识点】判断两个集合的包含关系、根据必要不充分条件求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）命题是命题的必要不充分条件可得集合是集合的真子集，再列出相应不等式组，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，由， 当时，则，解得； 当时，则或，解得； 综上所述：实数的取值范围为 （2）略 16．（15分）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】(1)万元； (2)台； (3)台. 【知识点】基本（均值）不等式的应用、求二次函数的值域或最值、一元二次不等式的实际应用 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【详解】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 17．（15分） （1）设a，b为正实数，求证：． （2）设a，b，c为正实数，求证：． 【答案】 （1）证明：因为，a，b为正实数， 所以，所以，当且仅当时，取等号． （2）证明：由（1），得． 同理，得， 所以， 当且仅当时，取等号． 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】（1）（2）根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 18．（17分）已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; (2)已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 【答案】(1)当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. (2)①，②36 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集； （2）由条件得，再利用基本不等式求解问题. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，即 所以不等式可转化为， 又，所以，即， 当，即时，解得; 当，即时，解得; 当，即时，解得， 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）因为当时，，所以， 即，所以， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则， ， 当且仅当，即时，， 所以，解得或， 即的取值范围是. ②由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，若存在正实数a，b，使不等式有解，则，利用基本不等式求出，则，可解不等式. 19．（17分）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合，直接写出其对应的集合，； (2)若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？ (3)若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2) (3)，理由如下： 对于，根据定义可知：，，， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立，故，也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， 对于，根据定义可知，，，， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故，也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即，综上，． 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义、列举法表示集合 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，； （2）利用定义，探讨出与的关系式，再代入求值； （3）分和两种情况，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，若，推出的元素个数不多于的元素个数，即，从而得到答案． 【详解】（1），由于，，， 故，由于，，， ，，，故． （2）依题意，集合的元素构成有序数对共有个， 由，得，又当时，，则当时，， 因此集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为个， 所以中元素的个数最多为． （3）略 高一数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高一数学检测卷 第2页 共14页 高一数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高一数学检测卷 第2页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期第一次月考模拟卷（2） 高一数学 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．已知集合，，则集合的真子集个数为（ ） A．64 B．63 C．6 D．65 2．已知命题；命题，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3．制作一个面积为1且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（    ） A．4.6m B．4.8m C．5m D．5.2m 4．若正数 满足，则 的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．命题，为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知正实数，记，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 8．已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．命题“，使得”的否定是“，都有” B．当时，的最小值是5 C．已知集合，若，则m的值为 D．“”是“”的必要不充分条件 10．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，且，则最小值为4 C．若，，则 D．若，且，则的最小值为2 11．已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（    ） A． B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，，若CRA⊆CRB，则的取值范围为_____． 13．已知，且，则的最小值为__________. 14．已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为__________ 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，是否存在实数，使得命题是命题的必要不充分条件？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 16．（15分）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 17．（15分） （1）设a，b为正实数，求证：． （2）设a，b，c为正实数，求证：． 18．（17分）已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; (2)已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 19．（17分）已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和其中中有个元素，中有个元素，若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合，直接写出其对应的集合，； (2)若集合具有性质，若，求集合最多有几个元素？ (3)若集合具有性质，试判断和的大小关系，并证明你的结论． 高一数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高一数学检测卷 第2页 共14页 高一数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高一数学检测卷 第2页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $