辽宁省重点高中2026-2027学年高一上学期9月数学模拟卷（一）

**基本信息** 辽宁省重点高中高一数学9月模拟卷，聚焦集合、逻辑、不等式，通过公司利润建模、三分集合新定义、类比迁移求最值等创新题型，分层考查抽象能力、推理意识与模型应用，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、不等式最值、逻辑条件|基础概念辨析，如集合差集新定义| |多选|3/18|不等式性质、条件最值|多维度考查，如含参不等式整数解范围| |填空|3/15|容斥原理、集合元素、最值综合|实际情境应用，如球类运动容斥问题| |解答|5/77|函数建模、命题逻辑、新定义集合|综合创新，如利润函数建模、三分集合探究|

绝密★启用前 辽宁省重点高中2026-2027学年上学期9月模拟卷（一） 高一数学 考试范围：【必修一】集合、逻辑、不等式； 命题人：辽宁省云途登峰数学研究所 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 1. 答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 1. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，则， 由函数有意义，可得，解得，即， 故. 2．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 3．对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求解集合、的值域，再根据新定义运算分别计算和，最终求两者的并集得到结果. 【详解】对于集合，根据二次根式的非负性，，因此 ，即. 对于集合，由可得，因此，即 因为，且，所以，. 又因为，所以. 4．关于的一元二次不等式与的解集分别为、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】通过举反例分别验证充分性和必要性均不成立，即可判断条件关系. 【详解】充分性：若，抛物线与开口方向相反， 所以关于的一元二次不等式与的解集为； 必要性：当两个不等式的解集相同时，系数不一定成比例， 例如：不等式解集为，不等式解集也为，但对应系数不成比例. 综上所述，“”是“”的既不充分又不必要条件. 5．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 6．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 7．若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得恒成立，利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】依题意，对任意正实数，不等式恒成立． 只需求出当为正数时，的最大值． 因为为正实数， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 又当时， 所以的最大值为， 所以实数的最小值为． 8．设，已知集合，若集合是集合的个不同非空子集，且，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】A 【分析】根据所有子集的并集不等于集合可知集合中至少比所有非空子集的并集多一个元素，仅多一个元素时可以求得最大，再进行反证法验证即可. 【详解】由可知所有非空子集的并集缺少集合中至少一个元素， 假设缺少元素1，则所有非空子集均不含元素1，即是集合非空子集， 集合的非空子集个数为，且这些子集的并集必不含1，满足条件. 假设，要满足所有非空子集的并集不等于集合，必须至少有一个集合中的元素不在任何一个子集中，否则并集就会等于， 设这个缺失的元素是1，那么个非空子集都不含元素1， 即每个子集都是集合的非空子集， 而集合只有个不同的非空子集， 所以无法从中取出至少16个不同的非空子集， 因此假设不成立，必须小于16，所以的最大值为15， 故选：A. 1. 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于A，因为空集是任何集合的子集， 即，故A正确； 对于B，因为，而是集合中的一个元素， 所以，故B正确； 对于C，因为，而是集合中的一个元素， 所以,故C错误； 对于D，因为集合是由集合中的元素组成的， 所以，故D正确. 10．已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】AC 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，对平方后利用基本不等式判断；对于C，由，再结合基本不等式分析判断；对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 11．已知， 且， 则（   ） A．x的最小值是 B．z的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用变量大小顺序，结合放缩系数，构造不等式求范围，判断选项A, B；结合，采用增量换元统一变量判断选项C，D． 【详解】对于A：由，故，故A错误； 对于B：则，故，故B正确； 对于C：令，则， 且， 则依题意 ， 因此，当时取等号，故C正确； 对于D： ， 即，当且仅当时取等号，故D正确． 第II卷（非选择题） 1. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 【答案】20 【分析】三集合容斥，总人次 = 至少会一种人数 + 仅会两种人数 三种都会人数，据此变形求解仅会两类的数量. 【详解】先把会三种球的人数加起来：（人）， 这里面，只会两种球的人被重复算了1次，三种球都会的人被重复算了2次， 而实际至少会一种的只有80人，三种球都会的5人，多算了2次，一共多算：， 用总加和减去多算的部分，再减去实际的总人数，剩下的就是只会两种球的人数：． 13．已知集合，，若中有且仅有2个正整数，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】先因式分解求解三次不等式得到集合，再结合集合的范围，根据交集仅有2个正整数的约束确定的取值范围. 【详解】由分组进行因式分解，可得： ， 利用穿根法可得解集为； 因集合满足中有且仅有2个正整数， 显然，则这两个整数应为1和3， 则需使，， 因，则且，则. 故实数的取值范围是. 14．已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 【答案】 / / 【分析】由条件化简，结合基本不等式求其最大值，确定取最大值的条件，再结合二次函数性质求的最小值，并求得此时的，得到的值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，当且仅当，时等号成立， 所以当，时，取最大值， 所以当取最大值时，，，， 所以， 所以，， 所以当时，取最小值. 此时，， 1. 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． (1)求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【分析】（1）由“利润＝销售收入－固定成本－可变成本”列出关系式并化简即得的解析式； （2）利用基本不等式可求得年利润最大值. 【详解】（1）由题意知，年利润 （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 此时，取得最大值为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 16．（1）已知二次函数的两个不相等的零点都为正数，求实数的取值范围； （2）已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围； （3）当时，求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或． 【分析】（1）结合根与系数关系求解可得； （2）直接将必要条件转化为两个集合的包含关系，再分类讨论可得； （3）直接将不等式分解因式，再根据两根的大小分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）设二次函数的两个不相等的零点为，且， 所以，解得. 所以实数的取值范围为． （2）设，， 因为是的必要条件，所以， ①当时符合题意，此时，解得； ②当时，则且等号不能同时成立，解得． 综上所述，实数的取值范围为． （3）由不等式化为，， 即得． 因为，所以， ①当，即时，原不等式的解集为或； ②当时，原不等式化为，原不等式的解集为； ③当时，，原不等式的解集为或． 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式解的解集为； 当时，不等式的解集为或. 17．已知函数 (1)若的解集为，求实数a，c的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，求的最小值． 【答案】(1)， (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 (3) 【分析】（1）借助韦达定理计算即可得； （2）借助根的判别式，分、、与进行讨论即可得； （3）借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由已知的解集为， 所以，3是方程的解，且， 所以，， 所以，； （2）若，不等式可化为， 方程的判别式， 当，即且时， 方程的两根为，， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （3）因为，所以， 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，或，，时等号成立； 所以的最小值为. 18．问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. (3)的最大值为，此时． 【分析】（1）已知正实数满足核心思路是等式两边同除以构造“和为定值”的齐次式，再采用乘1法，将乘以该定值，分式展开，利用基本不等式求最小值，关键是构造可使用均值不等式的乘积结构. （2）已知，采用乘1法，将与条件式相乘展开，拆分后用均值不等式放缩，通过等号成立条件对比和的大小关系，核心是借用题干示范的乘1构造法完成放缩证明. （3）先根据根式定义域求出的范围，换元令，，转化为已知求的最大值，直接套用第（2）问结论，用乘1法结合均值不等式求解，实现结论迁移应用. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2）略. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 【点睛】方法归纳： 1.核心通用方法：乘1法，已知分式和为定值时，将所求代数式乘以该定值，展开后配凑均值不等式； 2.题型迁移技巧：多问递进题型，后一问可直接套用前一问推导的不等式结论，减少重复推导； 3.含双根式最值：先换元消去根号，转化为二次分式约束条件，再使用乘1法. 易错归纳： 1.均值不等式使用前提：变量必须为正数，解题前先判定定义域； 2.等号成立条件必须检验，忽略取等条件会出现取不到最值的错误； 3.乘1代换时，分式拆分容易出现系数计算错误，需核对展开后的交叉项； 4.根式问题遗漏定义域限制，导致参数范围出错. 19．设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合.①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； (2)求出大于的最小完美三分数. 【答案】(1)不是；是 (2) 【分析】（1）根据三分集合的定义直接判断. （2）根据三分集合及完美三分数的概念举例说明. 【详解】（1）（i）不是三分集合，下面用反证法证明. 证明：假设是三分集合， 设，，，不妨设， 由，得， 则， 则，这与矛盾， 故假设错误，故不是三分集合； （ii）是三分集合. 理由如下：令，，， 则，满足条件①； 且由；；可知，满足条件②. 故是三分集合. （2）由（1）可知，当时，不是三分集合； 当时，， 假设是三分集合， 同理由， 得到，可推出与矛盾， 故假设也错误，故不是三分集合； 当时，， 存在三个元集合，，， 满足为三分集合的两个条件. 故大于的最小完美三分数为. 试卷第1页，共3页 高一数学试卷 第 1 页，（共 3 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 辽宁省重点高中2026-2027学年上学期9月模拟卷（一） 高一数学 考试范围：【必修一】集合、逻辑、不等式； 命题人：辽宁省云途登峰数学研究所 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 1. 答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 1. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 1. 已知，，且，则的最小值是（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 1. 对于集合，，定义，且，，设，，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 1. 关于的一元二次不等式与的解集分别为、，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 1. 若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A. B. C. D. 1. 已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A. B. C. D. 1. 若不等式 对任意正实数 恒成立，则实数的最小值为（     ） A. B. C. D. 1. 设，已知集合，若集合是集合的个不同非空子集，且，则的最大值为（   ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 1. 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 1. 若集合，则（    ） A. B. C. D. 1. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为3 1. 已知， 且， 则（   ） A. x的最小值是 B. z的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 第II卷（非选择题） 1. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1. 学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，有80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有___________位． 1. 已知集合，，若中有且仅有2个正整数，则实数的取值范围是______. 1. 已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 1. 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1. 某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． 1. 求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； 1. 当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 1. （1）已知二次函数的两个不相等的零点都为正数，求实数的取值范围； 1. 已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围； 1. 当时，求不等式的解集． 1. 已知函数 1. 若的解集为，求实数a，c的值； 1. 若，求不等式的解集； 1. 若且，求的最小值． 1. 问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： 1. 若正实数满足求的最小值； 1. 若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； 1. 利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 1. 设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合.①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. 1. 请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； 1. 求出大于的最小完美三分数. 高一数学试卷 第 1 页 （共 4 页） christophe1997 高一数学试卷 第 2 页 （共 4 页） 高一数学试卷 第 1 页 （共 4 页） christophe1997 高一数学试卷 第 2 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $