辽宁省普通高中2026-2027学年高一上学期第一次月考数学模拟卷（1）

**基本信息** 辽宁省高一数学月考模拟卷聚焦集合、命题、不等式等核心知识，通过实际问题（如学生选课人数统计）与创新定义（如“完美集”“姊妹性质”），考查数学抽象、逻辑推理与模型意识，实现基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合关系、命题否定、不等式恒成立|基础概念辨析，如第1题多维度考查集合关系| |多项选择|3/18|均值不等式、充要条件、新定义集合|选项分层，如第11题结合“完美集”定义考查逻辑推理| |填空|3/15|方程根分布、最值问题、子集计数|情境创新，如第13题以“最大数”定义考查数学抽象| |解答|5/77|集合运算、实际应用、新定义探究|综合应用，如第16题用集合知识解决学生选课统计（数学语言表达现实世界），第18题“姊妹性质”探究（数学思维推理）|

辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期第一次月考模拟卷（1） 高一数学 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．下列关系中正确的个数是（    ） ①      ②        ③        ④          ⑤ ⑥已知全集，，则或 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系、补集的概念及运算 【分析】根据集合的定义，补集的定义判断． 【详解】是无理数，①错；是无理数也是实数，②正确； 表示集合，应该用包含于符号，不用属于符号，③错误； 4是自然数，④正确；是以为元素的集合，没有元素，⑤错误； ⑥中集合不是全集的子集，的补集不存在，⑥错．因此只有两个正确． 故选：A． 2．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【详解】易知命题“”的否定为. 3．已知非负实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由，利用基本不等式“1”的代换求其最小值，注意取值条件. 【详解】非负实数，满足，则， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的最小值为. 故选：D 4．已知，则“在上恒成立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】结合二次函数性质可求出不等式恒成立时的范围，然后结合集合包含关系与充分必要条件的转化关系即可求解. 【详解】在R上恒成立时， 当时，原不等式为，成立，故符合题意； 当时，关于的不等式在R上恒成立， 综上所述，的取值范围为， 而⫋，所以在上恒成立是的必要不充分条件. 故选：B 5．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、分式不等式 【分析】由一元二次不等式解集的性质求出，再由分式不等式的解法求出解集即可； 【详解】由题意可得，即， 所以即，等价于， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 6．已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】求集合的子集（真子集）、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据已知可得集合，由可知与异号或其中至少有一个为，通过列举可得集合，即可求解. 【详解】因为集合， 所以 ， 由得， 所以与异号或其中至少有一个为， 又，，， 所以满足条件的集合或 或 或 ， 所以集合中元素个数的最大值为. 故选：. 7．若实数，，且，则最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用乘1法结合条件计算即可. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 8．若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先按照讨论求解，当时，原不等式可化为，再按照讨论求解. 【详解】①当时，原不等式为，解得，不等式有无数个整数解，不符合题意； ②当时，为开口向下的二次函数， 因此不等式有无数个整数解，亦不符合题意； ③当时，原不等式可化为， i.当，即时，原不等式可化为， 此时不等式的解集为，不符合题意； ii.当，即时，解不等式得， 此时不等式最多有2个整数解（即和），不符合题意； iii.当，即时，解不等式得， 则满足题意的3个整数解为4，5，6， 所以，所以. 综上所述，， 故选：B. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．设a，b为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】通过变形为，，即可判定选项A,B； 利用基本不等式构造的不等关系式即可判定选项C；利用消元求出的最值，从而得到，将代入，即可判定选项D. 【详解】因为，所以，且， 因为a，b为正数，所以，，即，，故A正确，B错误； 因为，所以同除可得， 又a，b为正数，可得， 当且仅当时取得等号，则， 故，所以，即，故C正确； 因为， 所以，又，即， 所以， 当且仅当时取得等号，即， 因为，所以， 又所以，即，故D正确. 故选：ACD. 10．下列说法中正确的为（    ） A．已知，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为6 D．若，且，则的最大值为7 【答案】ACD 【知识点】判断命题的必要不充分条件、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于A，根据必要不充分判定可判断；对于B，根据基本不等式可判断，取“=”，但此时无解，可判断；对于C，将转化为已知条件，根据基本不等式即可判断；对于D，设，解出，将使用的表达式表示出来，再利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A选项，中，中，所以， 不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误； 对于C选项，因为，所以 则， 当且仅当时，即时，取“=”，故C正确； 对于D选项，设，则， 则， 其中， 当且仅当时，等号成立，故，故D正确. 故选：ACD. 11．若集合A具有以下性质：（1），；（2）若x、，则，且时，.则称集合A是“完美集”．则下列说法正确的是（    ） A．集合是“完美集” B．有理数集Q是“完美集” C．设集合A是“完美集”，，则 D．设集合A是“完美集”，若，则 【答案】BCD 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】A选项，举出反例可得A错误；B选项，有理数集Q满足两个条件，B正确；C选项，得到，所以，C正确；D选项，若中有0或1时，显然，当均不为0，1时，得到，推出，，同理可知，，，，故，所以，，则，D正确. 【详解】A选项，取，则，集合不是“完美集”，A错误； B选项，有理数集Q满足（1），，（2）若，则， 且时，，故有理数集Q是“完美集”，B正确； C选项，集合A是“完美集”，，，则， 所以，C正确； D选项，集合A是“完美集”， ，，任取， 若中有0或1时，显然， 当均不为0，1时，则，显然， 所以，则， 由C可知，，同理可知， 由C可知，， 从可得，所以， 故，所以， ，则，D正确. 故选：BCD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若关于的方程有且只有一根在区间内，则实数的取值范围为______． 【答案】或 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据二次函数的性质，需分情况讨论：或，则方程有一根为或，可以求出另外一根，然后检验另外一根是否在区间内；；． 【详解】令． ①由，解得 ②令，得， 此时，另一根为，舍去． ③令，得， 此时，另一根为，满足条件． ④令判别式，则或. 当时，，解得，不满足题意； 当时，，解得，满足题意. 综上可得或． 故答案为：或 13．记表示这3个数中最大的数．已知都是正实数，，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由题意可确定与的不等关系，结合基本不等式即可得最值. 【详解】因为，所以，， 又都是正实数，所以，所以，即， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故答案为：． 14．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种． 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】讨论A中最大的数，分别求出A和B的非空子集，从而求得正确答案. 【详解】当A中最大的数为1时，B可以是的非空子集， 有（种）选择方法； 当A中最大的数为2时，A可以是或， B可以是的非空子集，有（种）选择方法； 当A中最大的数为3时，A可以是，，或， B可以是的非空子集，有（种）选择方法； 当A中最大的数为时，A可以是，，，，，，, 或，B可以是的非空子集，有（种）选择方法. 当中最大的数为时，可以是：，， ，， ，是，有（种）选择方法. 所以满足条件的集合共有（种）不同的选择方法. 故答案为： 【点睛】思路点睛：解题的突破口在于“中最小的数大于中最大的数”，解题的思想方法是分类讨论的数学思想方法，根据集合中最大的数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知全集，：，：，其中. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）根据题意解不等式化简集合，结合集合的交集和补集运算求解； （2）分析可知集合是集合的真子集，分类讨论a的符号，结合包含关系运算求解. 【详解】（1）由题意可知：， 若，则，可得， 所以. （2）若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 若，则，符合题意； 若，则，不合题意； 若，则，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 16．（15分）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【知识点】容斥原理的应用 【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 17．（15分）设. (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法来求得正确答案. （3）利用分离参数法，结合函数的单调性、最值等知识来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，由，得，解得，所以不等式的解集为. （2）当时，由整理得，解得； 当时，由整理得， 即，解得； 当时，由整理得， 即，令，解得或， 令，解得， 当，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 综上，，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）依题意，关于x的不等式在时有解， 即在时有解， 由于， 所以在区间上能成立， 由于在区间上单调递增，最小值为， 所以，所以的取值范围是. 18．（17分）对给定的非空集合，定义集合，，当时，称具有姊妹性质. (1)当，时，判断集合是否具有姊妹性质，并说明理由； (2)探讨集合具有姊妹性质时与之间的关系； (3)探究、的子集的个数. 【答案】(1)不具有姊妹性质，理由如下： 当，时，，，，， 所以不具有姊妹性质 (2) 由题意，则， ， 若要使集合具有姊妹性质，则需满足， 则，所以. (3) 由（2）可知，当时，，集合含有个元素， 此时、分别含有个元素，所以含有个元素， 的子集的个数为，的子集的个数为； 当时，，集合含有个元素， 此时、分别含有个元素，所以含有个元素， 的子集的个数为，的子集的个数为. 综上所述，当时，的子集的个数为，的子集的个数为； 当时，的子集的个数为，的子集的个数为. 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交并补混合运算 【分析】（1）当，时，求出集合、，根据题中定义验证即可； （2）求出集合、，根据可得出关于、的不等式； （3）分、两种情况讨论，确定集合、的元素个数，结合子集个数公式可得结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”：利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 19．（17分）已知下列求最小值的方法： 已知，求的最小值. 解：利用平均值不等式，对任意非负实数，有（当且仅当时等号成立），得到，于是，当且仅当时等号成立.所以当时，取到最小值. (1)请模仿上述例题，已知，求的最小值；（提示：对任意非负实数.有，当且仅当时等号成立）； (2)已知，求的最小值； (3)当时，已知，求的最小值. 【答案】(1)-3 (2) (3) 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用题干中平均值不等式可得，进而可求； （2）利用题干中平均值不等式可得，进而可求； （3）利用题干中平均值不等式可得，进而可求； 【详解】（1）因为， 利用， 当且仅当时等号成立， 得到， 所以， 当且仅当时等号成立， 即的最小值为-3. （2）因为，利用， 当且仅当时等号成立， 得到， 所以 当且仅当时等号成立， 即的最小值为. （3）因为，且， 利用， 当且仅当时等号成立， 得到， 所以， 当且仅当时等号成立， 即的最小值为. 高一数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高一数学检测卷 第2页 共14页 高一数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高一数学检测卷 第2页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期第一次月考模拟卷（1） 高一数学 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．下列关系中正确的个数是（    ） ①      ②        ③        ④          ⑤ ⑥已知全集，，则或 A．2 B．3 C．4 D．5 2．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 3．已知非负实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则“在上恒成立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．若实数，，且，则最小值为（   ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．设a，b为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 10．下列说法中正确的为（    ） A．已知，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为6 D．若，且，则的最大值为7 11．若集合A具有以下性质：（1），；（2）若x、，则，且时，.则称集合A是“完美集”．则下列说法正确的是（    ） A．集合是“完美集” B．有理数集Q是“完美集” C．设集合A是“完美集”，，则 D．设集合A是“完美集”，若，则 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若关于的方程有且只有一根在区间内，则实数的取值范围为______． 13．记表示这3个数中最大的数．已知都是正实数，，则的最小值为______． 14．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有________种． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知全集，：，：，其中. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（15分）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 17．（15分）设. (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围. 18．（17分）对给定的非空集合，定义集合，，当时，称具有姊妹性质. (1)当，时，判断集合是否具有姊妹性质，并说明理由； (2)探讨集合具有姊妹性质时与之间的关系； (3)探究、的子集的个数. 19．（17分）已知下列求最小值的方法： 已知，求的最小值. 解：利用平均值不等式，对任意非负实数，有（当且仅当时等号成立），得到，于是，当且仅当时等号成立.所以当时，取到最小值. (1)请模仿上述例题，已知，求的最小值；（提示：对任意非负实数.有，当且仅当时等号成立）； (2)已知，求的最小值； (3)当时，已知，求的最小值. 高一数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高一数学检测卷 第2页 共14页 高一数学检测卷 第1页 共14页 ◎ 高一数学检测卷 第2页 共14页 学科网（北京）股份有限公司 $