精品解析：辽宁省多校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册，必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列区间中，包含函数零点的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，现有四个电路图，已知：灯泡L亮，：开关闭合，则符合是的必要不充分条件的电路图是（ ） A. B. C. D. 6. 已知且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，，，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为千克，且该湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于千克，则的最小值是（ ）（参考数据：） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. M的子集个数为4 D. M的子集个数为8 10. 已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（ ） A. 或 B. C. D. 11. 已知函数，若（）是关于x的方程的四个不相等的实数根，则（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 方程有6个不相等的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 13. 已知函数则_______． 14. 定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，．若，则不等式的解集是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：. （2）已知，，试用，表示. 16. 已知正数，满足． （1）证明：． （2）求的最大值． 17. 已知幂函数的图象经过点，函数. （1）证明：是偶函数. （2）用函数单调性的定义证明在上单调递增. （3）求不等式的解集. 18. 太阳能帆板是航天器的重要组成部分，它利用光电效应将太阳能转化为电能，为航天器的运行提供动力.卫星发射入轨后，携带的太阳能帆板在太阳的照射下会产生初始输出功率，卫星在太空中运行了t年后，太阳能帆板的输出功率满足.已知某个卫星的运行年限为15年.（参考数据：取，，） （1）求当该卫星到达运行年限时，所携带的太阳能帆板的输出功率（用表示）. （2）有科学家提出，为了保证该卫星的运行状态良好，卫星运行n（）年后，在保证原太阳能帆板正常运行的同时，加装一组与原太阳能帆板性能相同的新太阳能帆板，试解决下列问题. （ⅰ）求该卫星所携带的太阳能帆板的总输出功率与卫星运行时长t（单位：年）的关系式，并求当，且该卫星达到运行年限时，所携带的太阳能帆板的总输出功率（用表示）； （ⅱ）若要使得从加装新太阳能帆板开始，直到达到运行年限，该卫星所携带的太阳能帆板的总输出功率不低于，求正整数n的最小值. 19. 设，是两个非空数集，若定义在上的函数对任意，，当时，，则称为到的双界函数. （1）设，，. （i）证明：当时，是到的双界函数. （ii）若是到的双界函数，求的取值范围. （2）若，，是到的双界函数，当时，，求在上的最小值. （3）设集合，其中，.若，是到的双界函数，证明：是到的双界函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册，必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的否定的规则求解. 【详解】因为含有量词的命题的否定需“改量词，否结论”， 所以“，”的否定为“，”． 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，利用交集的定义求解. 【详解】因为，， 所以． 故选：A. 3. 下列区间中，包含函数零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据零点存在性定理求解. 【详解】函数在定义域内递增， ，， 根据零点存在性定理可知，在内一定存在的零点． 故选：D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，；， 所以. 故选：B 5. 如图，现有四个电路图，已知：灯泡L亮，：开关闭合，则符合是的必要不充分条件的电路图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义，结合物理常识，逐一检验，可得答案. 【详解】对于A选项：灯泡L亮，开关闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即， 所以是的充分不必要条件，A错误； 对于B选项：灯泡L亮，开关不一定闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即， 所以是的既不充分也不必要条件，B错误； 对于C选项：灯泡L亮，开关不一定闭合；开关闭合，灯泡L亮，即， 所以是的必要不充分条件，C正确； 对于D选项：灯泡L亮，开关闭合；开关闭合，灯泡L一定亮，即， 所以是的充分必要条件，D错误； 故选:C. 6. 已知且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数性质并且结合图象求解即可. 【详解】对于A，B，由图象结合指数函数性质得， 且对于，当时，， 则，故A正确，B错误， 对于C，由指数函数性质结合图象得， 则，与图象不符，故C错误， 对于D，由指数函数性质结合图象得， 对于，当时，，则， 与图象不符，故D错误. 故选：A 7. 已知函数满足，，，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法并结合题意求出函数解析式，进而求解函数值即可. 【详解】对于，且，， 令，可得，解得， 因为，所以，解得， 令，可得，得到， 则，故D正确. 故选：D 8. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为千克，且该湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于千克，则的最小值是（ ）（参考数据：） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】由题意列出不等式，两边取对数解不等式，求出答案. 【详解】由题意得，即，两边取对数得 ，故， 故的最小值为15. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，则（ ） A. B. C. M的子集个数为4 D. M的子集个数为8 【答案】BD 【解析】 【分析】由列举法求得集合，由集合元素的个数得到集合的子集个数，即可判断各个选项. 【详解】由题可知，则，B选项正确， ，A选项错误， 的子集个数为8，C选项错误，D选项正确． 故选：BD. 10. 已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用换元法设，将关于的指数方程转化为关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系即可求解. 【详解】令，则，且关于的方程有两个不相等的正根，所以，解得； 因为，所以，又，所以，解得或（舍去），故A错误； 由A选项知，，所以，又，所以，解得或，即或； 当时，；当时，；所以，则，故B正确； 由B选项知，，故C错误； 由B选项知，，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，若（）是关于x的方程的四个不相等的实数根，则（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 方程有6个不相等的实数根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分段函数作出其图象，利用图象的对称性和翻折特点，利用函数与方程的思想，根据各选项逐一分析，推理计算即可. 【详解】 如图作出函数的图象. 对于A，关于x的方程有四个不相等的实数根， 即函数与有四个不同的交点， 因为 ，故有，即A正确； 对于B，由图知，由可得 ， 即，整理得，故有，即B正确； 对于C，由图知，因为， 由可得， 当且仅当时等号成立，故，即，故C错误； 对于D，设，则，由图知该方程有三个实根为2和，满足， 又由图知方程无实根；方程有2个实根； 方程有4个实根，故方程有6个不相等的实数根，即D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据根号下大于等于0，分母不为0，以及真数大于0列出不等式组，求解即得. 【详解】函数有意义等价于， 解得，即的定义域为. 故答案为： 13. 已知函数则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式代入求值. 【详解】． 故答案为：. 14. 定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，．若，则不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】作出与的大致图象，根据图象写出解集. 【详解】根据题意可得在上单调递减，且. 因为为奇函数，所以的图象关于原点对称. 画出的大致图象，如图所示，不妨设的图象如图所示， 易得与的函数值异号的区间为，，， 所以不等式的解集是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：. （2）已知，，试用，表示. 【答案】（1）28；（2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算法则和指数运算法则得到答案； （2）利用指对互化和对数运算法则得到答案. 【详解】（1）原式 . （2）由题意得，， 则 . 16. 已知正数，满足． （1）证明：． （2）求的最大值． 【答案】（1） 因为，所以， 则． 由，，可得， 所以，则， 故成立. （2）． 【解析】 【分析】（1）利用等式化简不等式左边，利用配方法证明不等式； （2）利用等式化简代数式，借助基本不等式求得最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 则， 故的最大值为． 17. 已知幂函数的图象经过点，函数. （1）证明：是偶函数. （2）用函数单调性的定义证明在上单调递增. （3）求不等式的解集. 【答案】（1）因为为幂函数，设， 代入可得，解得， 所以，所以， 证明：的定义域为关于原点对称， ， 所以是偶函数. （2）任取，则 ， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义求解出的解析式，再根据的关系证明奇偶性； （2）通过取值、作差、变形、判断符号、下定义，完成单调性证明即可； （3）根据的单调性和奇偶性解不等式，注意定义域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 因为在上单调递增且为偶函数， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 18. 太阳能帆板是航天器的重要组成部分，它利用光电效应将太阳能转化为电能，为航天器的运行提供动力.卫星发射入轨后，携带的太阳能帆板在太阳的照射下会产生初始输出功率，卫星在太空中运行了t年后，太阳能帆板的输出功率满足.已知某个卫星的运行年限为15年.（参考数据：取，，） （1）求当该卫星到达运行年限时，所携带的太阳能帆板的输出功率（用表示）. （2）有科学家提出，为了保证该卫星的运行状态良好，卫星运行n（）年后，在保证原太阳能帆板正常运行的同时，加装一组与原太阳能帆板性能相同的新太阳能帆板，试解决下列问题. （ⅰ）求该卫星所携带的太阳能帆板的总输出功率与卫星运行时长t（单位：年）的关系式，并求当，且该卫星达到运行年限时，所携带的太阳能帆板的总输出功率（用表示）； （ⅱ）若要使得从加装新太阳能帆板开始，直到达到运行年限，该卫星所携带的太阳能帆板的总输出功率不低于，求正整数n的最小值. 【答案】（1）； （2）（ⅰ），；（ⅱ）5； 【解析】 【分析】（1）将代入求解即可； （2）（ⅰ）分别按照和讨论求解即可；（ⅱ）从加装新太阳能帆板开始，直到达到运行年限，则，将代入计算求解即可. 【小问1详解】 ，， ， ， ； 【小问2详解】 （ⅰ）卫星运行n（）年后加装一组与原太阳能帆板性能相同的新太阳能帆板， 当时，只有原太阳能帆板工作， ， ， ； 当时，原太阳能帆板和加装一组太阳能帆板同时工作， ； 该卫星所携带的太阳能帆板的总输出功率与卫星运行时长t（单位：年）的关系式为： ， 当，时，满足，故有 代入，得 ， ， 所携带的太阳能帆板的总输出功率为； （ⅱ）从加装新太阳能帆板开始，直到达到运行年限，则， 总输出功率满足， 由于是关于的单调递减函数， 要使时不低于，只需其在区间内的最小值不低于即可， 即， 即有，， ， ，， 设，则为的单调递增函数， ，，， 不满足题意； ，，， 满足题意； ， 正整数n的最小值为5. 19. 设，是两个非空数集，若定义在上的函数对任意，，当时，，则称为到的双界函数. （1）设，，. （i）证明：当时，是到的双界函数. （ii）若是到的双界函数，求的取值范围. （2）若，，是到的双界函数，当时，，求在上的最小值. （3）设集合，其中，.若，是到的双界函数，证明：是到的双界函数. 【答案】（1） （i）证明：当，即时，则，即， 又因为，所以，所以当时，是到的双界函数. （ii）； （2）3040； （3） 证明：根据题意得，当时，. 令，，则①， 令，，则②， ①②可得，，即. 令，，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 则， 所以，所以是到的双界函数. 【解析】 【分析】（1）（i）根据双界函数的定义进行验证即可；（ii）根据双界函数的定义，使得当时，恒成立，即可得解； （2）由题可得，故研究上的函数图象，即可利用函数图象平移的知识画出在上的大致图象，并通过数形结合总结规律，最终确定在上的最小值为，运用递推公式即可求出； （3）先通过 “区间拆分” 验证双界的递推关系，再通过 “范围叠加” 锁定唯一等式，最后推广到任意的递推式即可. 【小问1详解】 （1）（i）略 （ii）解：若是到的双界函数，则当，即时，恒成立， 即，即恒成立， 因为，故，， 由恒成立，可得；由恒成立，可得， 故，即的取值范围为. 【小问2详解】 依题意得，当时，， 所以，所以. 易知函数在上单调递增，可画出其在上的大致函数图象， 由可知，函数在的图象，即把在上的图象先向右平移个单位，再往上平移个单位， 当趋于且时，函数值趋于，注意到，结合此画出函数在以及时的大致图象. 结合图象，易总结得在上单调递增，在该区间上的， 则当时，；当时，，， 又因为， 故在上的最小值为， ， 由，得，即在上的最小值为3040. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $