4.5 函数的应用讲义（二）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数的应用，系统梳理函数零点与方程解的关系、零点存在定理、二分法、一元二次方程根的分布及常见函数模型等核心知识点，构建从定义理解到实际应用的递进式学习支架。 资料以9类题型为框架，通过方法提炼与典型例题结合，覆盖基础应用到复杂嵌套问题，如通过保鲜时间计算等实例培养数学建模与应用意识，借助参数求解提升逻辑推理能力，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

§4.5 函数的应用（二） 目录 题型1：函数的零点与方程的解 4 题型2：函数零点存在定理的应用 5 题型3：函数零点个数的问题 6 题型4：由函数零点情况求参数 6 题型5：一元二次方程的根的分布问题 8 题型6：嵌套函数的零点问题 9 题型7：二分法的应用 11 题型8：解有确定模型的应用问题 12 题型9：拟合函数模型的建立与求解 13 1. 函数的零点与方程的根 与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点。 函数的零点方程的实根图像与轴的公共点的横坐标，其关系如图： 2. 零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 提醒 (1) 符合该定理的条件，能确定在区间内存在零点，但不能判断出零点个数． (2) 若函数在区间内有零点，且在区间上是单调函数，则函数在区间内有唯一零点． (3) 并不是所有的零点都可以用该定理来判定，不满足该定理的函数也可能有零点．函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点，定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题． 3. 二分法 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间，验证； （2）求区间的中点()； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ： ①若，则就是函数的零点； ②若，此时零点，则令； ③若，此时零点，则令； （4） 判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤 ． 4. 一元二次方程根的分布 (1) 两根与的大小比较 分布情况 大致图像 综合结论 (2) 根的区间分布 分布情况 两根 两根有且仅有一根 一根在，另一根在， 大致图像 结论 大致图像 结论 5. 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ，(为常数且) 反比例函数模型 ，(为常数且) 二次函数模型 (为常数，) 指数型函数模型 ，(为常数，，且) 对数型函数模型 ,(为常数，且，) 幂函数型模型 ，(为常数，) 题型1：函数的零点与方程的解 方法提炼 求函数的零点的方法 (1) 代数法:根据零点的定义,解方程,它的实数解就是函数的零点。 (2) 几何法:若方程无法求解,可以根据函数的性质及图像求出零点。 【例1.1.】 函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例1.2.】 函数的零点为（   ） A．5 B．5或 C． D． 【例1.3.】 函数的零点为______. 【例1.4.】 定义在上的函数满足，则函数的零点为____________. 题型2：函数零点存在定理的应用 【例2.1.】 函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知函数的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x 1 2 3 4 5 6 y 35 则函数在区间上的零点至少有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2.4.】 已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 题型3：函数零点个数的问题 【例3.1.】 方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例3.2.】 已知函数则函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例3.3.】 函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例3.4.】 若实数满足，实数满足，函数，则关于的方程解的个数为（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知函数． (1)当时，化简； (2)判断函数的奇偶性，写出函数图象的对称中心，并给予证明； (3)证明：函数的零点个数为奇数． 题型4：由函数零点情况求参数 方法提炼 已知函数有零点(方程有解)求参数取值范围的方法: (1) 直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数的取值范围。 (2) 分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域问题加以解决。 (3) 数形结合法:先对解析式变形,再在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后利用数形结合思想求解。 【例4.1.】 若是函数的零点，则________. 【例4.2.】 若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【例4.3.】 函数的零点在区间内，则_________． 【例4.4.】 函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【例4.5.】 函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【例4.7.】 已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)当时，函数有零点，求实数的取值范围. 【例4.8.】 已知函数，若有两个零点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例4.9.】 已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 【例4.10.】 已知函数和（其中且）．若函数和的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，则实数的值为___________． 【例4.11.】 设分别是关于的方程和的根，则________． 【例4.12.】 已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.13.】 已知函数与函数的零点分别为，，则______． 题型5：一元二次方程的根的分布问题 【例5.1.】 方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 【例5.2.】 设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【例5.3.】 若函数有且只有一个零点在区间上，则的值范围为______． 【例5.4.】 函数的两个零点为2，3． (1)求b，c的值； (2)若函数的两个零点分别在区间内，求m的取值范围． 【例5.5.】 对于函数，若存在使得成立，则称为函数的不动点. (1)求函数的不动点； (2)若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； (3)若函数，有两个不相等的不动点，求a的取值范围. 题型6：嵌套函数的零点问题 方法提炼 (1) 嵌套函数的零点个数问题求解思路及步骤： ①确定内层函数和外层函数； ②确定外层函数的零点； ③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. (2) 已知复合函数实数根的个数，求参数问题处理思路： ①先根据解析式画出内（外）层函数图象； ②令内函数，结合函数图象及零点个数，分析函数根的个数； ③内外层函数相结合确定函数交点个数情况，从而得到关于参数的不等式，解出参数范围即可. 【例6.1.】 定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（    ） A．方程仅有2个解 B．方程可能有4个解 C．方程可能有10个解 D．方程有且仅有1个解 【例6.2.】 已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例6.3.】 （多选）已知函数，且，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（    ） A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点 C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点 【例6.4.】 已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【例6.5.】 已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 题型7：二分法的应用 【例7.1.】 下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【例7.2.】 下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【例7.3.】 用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是（    ） A． B． C． D． 【例7.4.】 用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 题型8：解有确定模型的应用问题 【例8.1.】 某食品的保鲜时间单位：小时与储藏温度单位：满足函数关系，且该食品在的保鲜时间是16小时已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示给出以下三个结论，其中，所有正确结论的个数是（    ） ①该食品在的保鲜时间是8小时； ②当时，该食品的保鲜时间t随着x增大而减少； ③到了此日15时，甲所购买的食品还在保鲜时间内． A．2 B．3 C．0 D．1 【例8.2.】 《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于：．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式，其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（     ）（取：，，） A．12小时后 B．24小时后 C．28小时后 D．30小时后 【例8.3.】 （多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 题型9：拟合函数模型的建立与求解 方法提炼 建立拟合函数模型的一般流程： 【例9.1.】 一片森林原来面积为万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积占剩余面积的百分比相等，当砍伐了面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年； (3)今后最多还能砍伐多少年. 【例9.2.】 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 (1)依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，② (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 【例9.3.】 航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：在某月（按30天计算）内特价航模的日销售价格（元/个）与时间（某月的第天，下同）的函数关系近似表示为（常数）.该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间部分数据如下表所示： 第天 3 8 15 24 （百个） 4 5 6 7 已知某月内第8天该专卖店特价航模的销售收入为300百元. (1)给出以下三种函数模型：①；②；③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来表示该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间的关系，说明你的理由； (2)借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模的日销售收入为（百元），其中，，预估该专卖店特价航模的日销售收入在一个月内的第几天最低？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.5 函数的应用（二） 目录 题型1：函数的零点与方程的解 4 题型2：函数零点存在定理的应用 7 题型3：函数零点个数的问题 9 题型4：由函数零点情况求参数 13 题型5：一元二次方程的根的分布问题 22 题型6：嵌套函数的零点问题 27 题型7：二分法的应用 33 题型8：解有确定模型的应用问题 36 题型9：拟合函数模型的建立与求解 39 1. 函数的零点与方程的根 与二次函数的零点一样，对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点。 函数的零点方程的实根图像与轴的公共点的横坐标，其关系如图： 2. 零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 提醒 (1) 符合该定理的条件，能确定在区间内存在零点，但不能判断出零点个数． (2) 若函数在区间内有零点，且在区间上是单调函数，则函数在区间内有唯一零点． (3) 并不是所有的零点都可以用该定理来判定，不满足该定理的函数也可能有零点．函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点，定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题． 3. 二分法 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间，验证； （2）求区间的中点()； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ： ①若，则就是函数的零点； ②若，此时零点，则令； ③若，此时零点，则令； （4） 判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤 ． 4. 一元二次方程根的分布 (1) 两根与的大小比较 分布情况 大致图像 综合结论 (2) 根的区间分布 分布情况 两根 两根有且仅有一根 一根在，另一根在， 大致图像 结论 大致图像 结论 5. 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ，(为常数且) 反比例函数模型 ，(为常数且) 二次函数模型 (为常数，) 指数型函数模型 ，(为常数，，且) 对数型函数模型 ,(为常数，且，) 幂函数型模型 ，(为常数，) 题型1：函数的零点与方程的解 方法提炼 求函数的零点的方法 (1) 代数法:根据零点的定义,解方程,它的实数解就是函数的零点。 (2) 几何法:若方程无法求解,可以根据函数的性质及图像求出零点。 【例1.1.】 函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据零点的概念，结合函数与方程的关系，利用指数函数与一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由，即，易知与方程组只有一组解， 由函数为增函数，函数为减函数， 则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解， 当时，，所以函数的零点为. 故选：C. 【例1.2.】 函数的零点为（   ） A．5 B．5或 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、求对数型复合函数的定义域、求函数的零点 【分析】由方程求解零点. 【详解】由， 得，所以， 解得， 所以的零点为， 故选：A. 【例1.3.】 函数的零点为______. 【答案】 【难度】0.71 【知识点】指数式与对数式的互化、求函数的零点 【分析】通过换元，将问题转换成一元二次方程，进而可求解. 【详解】设，令，去分母，得， 整理得，即， ，，即， . 【例1.4.】 定义在上的函数满足，则函数的零点为____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求函数的零点 【分析】根据已知关系式通过赋值求出，解方程得到零点. 【详解】令，则，解得， 令，得，解得， 所以， 由得或， 所以或（舍）， 解得， 故答案为：. 题型2：函数零点存在定理的应用 【例2.1.】 函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求函数的零点、零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】根据函数零点存在定理即可求解. 【详解】因为，，，，， 所以，根据函数零点存在定理，函数的零点所在区间为. 故选:B. 【例2.2.】 方程的实数解所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】构造对应函数，利用函数单调性与零点存在性定理判断方程解所在区间. 【详解】令，. 因为均为增函数，所以在上单调递增，所以至多存在1个零点. 又， ， 所以函数在内有唯一零点， 即方程的实数解位于区间内. 【例2.3.】 已知函数的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x 1 2 3 4 5 6 y 35 则函数在区间上的零点至少有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数、判断零点所在的区间 【详解】由题意得， 故， 在上至少有1个零点， 故在区间上的零点至少有3个. 【例2.4.】 已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】零点存在性定理的应用、比较零点的大小关系 【分析】利用零点存在定理求出、的取值范围，并求出的值，即可得出、、的大小顺序. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 同理可知函数为上的增函数，函数为上的增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为，故，故. 题型3：函数零点个数的问题 【例3.1.】 方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【详解】在同一坐标系中画出函数与的图象， 如图所示： 由图象可得，函数与的图象有3个交点， 则方程的实数解的个数是3. 【例3.2.】 已知函数则函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.83 【知识点】分段函数的性质及应用、对数的运算性质的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】令并结合各段解析式所在的定义域即可求解. 【详解】当时，解得或（舍），此时有1个零点， 当时，解得，此时有1个零点，所以共有2个零点. 【例3.3.】 函数的零点个数为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】根据给定条件，令，按分段，借助函数单调性及对数函数图象特征求出零点个数. 【详解】函数的定义域为R，由，得， 令，，当时，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，， 函数在上有唯一零点，即方程在有唯一解； 当时，对两边取对数，得，即， 而过原点的直线与对数函数的图象最多两个交点， 显然或时，等式成立，因此直线与对数函数的图象有两个交点， 即方程在有两解，所以函数的零点个数为3. 【例3.4.】 若实数满足，实数满足，函数，则关于的方程解的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】先作的函数图象，由与的函数图象关于直线对称，从而可得及，再分两段求解方程的解：①，将方程转化为函数的零点，用导数判断函数的单调性并结合零点可得有一个零点；②，方程为，直接可解方程的解，从而可得方程的解的个数. 【详解】由题意可得：， 作出的函数图象如图所示： 因为与互为反函数，所以与的函数图象关于直线对称， 又直线与直线垂直，交点坐标为， 设直线与的交点为点，直线与的交点为点， 因此点和点的中点为，所以. 所以， ①当时，方程化为，即. 令，， 所以函数在单调递增，因此函数在上至多有一个零点. 又因为，所以函数在上有且仅有唯一零点. ②当时，方程化为，即，解得（舍去）， 所以函数在上有唯一零点. 综上①②，方程解的个数为. 【例3.5.】 已知函数． (1)当时，化简； (2)判断函数的奇偶性，写出函数图象的对称中心，并给予证明； (3)证明：函数的零点个数为奇数． 【答案】(1) (2) 由，定义域为， ， 即，所以为奇函数．             的对称中心为，证明过程如下： 由 ， 所以函数图象的对称中心为． (3) 显然，即1是函数的一个零点；         设是函数的一个零点，即 由（1）知 所以是的一个零点，因此的不等于1的零点成对出现． 故函数的零点个数为奇数． 【难度】0.4 【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）代入计算可得； （2）利用定义判断函数的奇偶性，，，故的对称中心为，可用定义证； （3）显然，即1是函数的一个零点；         设是函数的一个零点，则是的一个零点，因此的不等于1的零点成对出现．故函数的零点个数为奇数． 【详解】（1）因为，所以 所以 （2）略 （3）略 题型4：由函数零点情况求参数 方法提炼 已知函数有零点(方程有解)求参数取值范围的方法: (1) 直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数的取值范围。 (2) 分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域问题加以解决。 (3) 数形结合法:先对解析式变形,再在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后利用数形结合思想求解。 【例4.1.】 若是函数的零点，则________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、求函数的零点 【分析】由题意可得，代入求解即可. 【详解】由题意可得， 解得. 【例4.2.】 若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据函数零点的判定定理及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】当时，，在上没有零点，不符合题意； 当时，为一次函数， 函数在区间上存在零点的充要条件为， 即， 即．解得或． 故选： 【例4.3.】 函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【难度】0.82 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 【例4.4.】 函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】函数与方程的综合应用、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 【例4.5.】 函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解，构造函数，分析单调性求得的值域，即可得实数的取值范围. 【详解】函数在区间内有零点，即方程在区间内有解，即方程在区间内有解. 令函数，则直线与函数的图象有交点. 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减，所以函数是减函数. 因为. 所以函数的值域为，所以实数的取值范围为. 故选：D. 【例4.6.】 已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、求对数函数在区间上的值域、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】分、讨论，分别根据没有零点，结合指数函数与对数函数的性质求出的范围，再求交集可得答案． 【详解】因为， 时，， 若无解，则或； 时，， 若无解，则， 因为函数在上没有零点， 所以． 故选：D． 【例4.7.】 已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)当时，函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、由奇偶性求参数 【分析】（1）先用特值，求出实数a的值，按照偶函数的定义检验一般情况成立； （2）先化简的函数形式，将问题转化为关于的方程有解，构造函数，研究其单调性解决问题. 【详解】（1）因为是上的偶函数，所以， 即，解得， 当时，， 所以， 所以函数在上满足，故函数是偶函数， 所以. （2）由（1）可知， 所以， 因为时，存在零点，所以关于的方程有解， 令，因为，则， 设，取， ， 其中，得，，， 所以，即成立， 则由函数单调性定义：在单调递增， 所以， 所以实数的取值范围是. 【例4.8.】 已知函数，若有两个零点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】令，问题化为与（）只有一个交点，数形结合确定参数范围. 【详解】令，则， 由对勾函数性质，得，则， 所以等价于，即， 由开口向上，对称轴为： 在上单调递增，，即， 在上单调递减，，即， 原函数有两个零点，即与（）只有一个交点， 由图知，的取值范围是. 【例4.9.】 已知函数，且方程有7个不同的实数根，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．4 D．1或4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】分段处理函数，把方程转化为直线与图像交点问题，分别统计与两段的交点数量，相加等于，得到． 【详解】作出的图象如图所示， 根据上图可知和的图象有个交点，即满足条件． 【例4.10.】 已知函数和（其中且）．若函数和的图象有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为1，则实数的值为___________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】指数型函数图象过定点问题、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】由函数，可得是其中一个交点，则另一个交点的横坐标为，利用求出的值即可. 【详解】由可知由反比例函数向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到， 由可知由指数函数向下平移2个单位得到， 结合函数图象易知，    即对于任意且，是函数和的图象的其中一个交点， 又因为这两个交点的横坐标之和为1，所以另一个交点的横坐标为， 所以，即，解得， 故答案为： 【例4.11.】 设分别是关于的方程和的根，则________． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】反函数的性质应用、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】将方程问题转化为函数交点问题，借助于反函数的性质即可求出答案. 【详解】分别作出函数的图象，相交于点，可知， 而与互为反函数，直线与直线互相垂直， 所以点与关于直线对称， 因此．所以． 【例4.12.】 已知函数，其中且，.若函数有三个不同的零点、、，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求零点的和 【分析】分、、三种情况，在前两种情况下，直接验证不符合题意；在时，根据题意求出三个零点的表达式，并求出的取值范围，结合对数的运算性质以及对数函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】当或时，，有唯一解，不满足方程有三个不等实根； 当时，大致图象如图所示，    若有三个不等实根，则，可得， 设，令，解得，即， 令，解得：，， 因为， 所以，故. 【例4.13.】 已知函数与函数的零点分别为，，则______． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】函数与方程的综合应用、求函数的零点、求零点的和 【分析】先根据零点的定义得到，，从而得到，，再构造函数，进而结合该函数的单调性即可求出的值． 【详解】依题意可得，， 则，， 令，则，且， 又在上单调递增，则有唯一解， 所以，得， 所以． 题型5：一元二次方程的根的分布问题 【例5.1.】 方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则实数的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】考查二次函数根的分布问题，由题意得出且，从而求出的取值范围. 【详解】令， 因为方程的一个根在区间上，另一个根大于1，则大致图象是： 所以，解得或， 所以实数的取值范围为． 【例5.2.】 设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】方程有两个不相等实数根，需满足判别式，再根据，分析函数值，对称轴位置等，进而求出的范围. 【详解】关于的方程有两根，且. ，解得. 故选：B 【例5.3.】 若函数有且只有一个零点在区间上，则的值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据判别式分和两种情况讨论，当时分别解得方程的根，再验证是否在所给区间内；当时，由题意可得，进而可得，再验证端点的值是否满足可得. 【详解】，令 ①当两个根相等时，则，解得或， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，满足题意． ②当两个根不相等时，则，即，解得或. 因为方程有且只有一个根在区间上， 所以，解得,满足，因此方程有两个不同的根； 当时，此时方程为，方程的根为或，，，满足题意． 当时，此时方程为，方程的根为或，，，不合题意； 所以实数的取值范围为． 【例5.4.】 函数的两个零点为2，3． (1)求b，c的值； (2)若函数的两个零点分别在区间内，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）根据零点的概念可得2，3为方程的两根，然后根据韦达定理列式求解即可. （2）根据二次函数零点分布列不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意2，3为方程的两根， ． （2）， 依题意即，解得， 故实数m的取值范围是． 【例5.5.】 对于函数，若存在使得成立，则称为函数的不动点. (1)求函数的不动点； (2)若函数有两个不相等的不动点，且均为正数，求的最小值； (3)若函数，有两个不相等的不动点，求a的取值范围. 【答案】(1)和1 (2)18 (3) 【难度】0.4 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、基本不等式求和的最小值、函数新定义 【分析】（1）根据不动点定义列方程计算可得结果； （2）利用根的个数以及符号可限定，再结合韦达定理化简计算利用基本不等式可得其最小值； （3）将对数函数方程化简并利用换元法可得在上有两个不相等的实数根，根据二次函数性质可得a的取值范围为. 【详解】（1）由不动点定义可得，即， 解得或， 即函数的不动点为和1. （2）依题意方程可化为， 即方程有两个不相等的正实数根， 于是，解得， 因此 ， 当且仅当，即时取等号. （3）令， 那么，， 设，又因为，且在上单调递增，因此， 即在上有两个不相等的实数根， 在上的最小值为，最大值为， 结合图象可知， 所以的取值范围是. 题型6：嵌套函数的零点问题 方法提炼 (1) 嵌套函数的零点个数问题求解思路及步骤： ①确定内层函数和外层函数； ②确定外层函数的零点； ③确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为. (2) 已知复合函数实数根的个数，求参数问题处理思路： ①先根据解析式画出内（外）层函数图象； ②令内函数，结合函数图象及零点个数，分析函数根的个数； ③内外层函数相结合确定函数交点个数情况，从而得到关于参数的不等式，解出参数范围即可. 【例6.1.】 定义域与值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，下面选项正确的是（    ） A．方程仅有2个解 B．方程可能有4个解 C．方程可能有10个解 D．方程有且仅有1个解 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数图象，结合函数与方程的关系，利用换元法，可得答案. 【详解】对于A，令，由，即，则方程在上存在三个不相等的实数根， 可得，易知存在三个根，故A错误； 对于B，令，由，即，则方程在上存在一个实数根， 可得，由图象可知方程实数根的个数为，故B错误； 对于C，令，由，即，易知该方程实数根的个数为， 易知方程最多存在个实数根，故C错误； 对于D，由函数的图象可知函数是减函数，则方程有且仅有一个实数根，故D正确； 故选：D. 【例6.2.】 已知函数，则方程的实根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、基本不等式求和的最小值、分段函数的单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数的单调性，结合基本不等式分情况讨论计算即可. 【详解】解方程，得或. 当时，，当且仅当时取等号， 即，. 当时，，此时在上单调递增，值域为. 当，时，，解得，此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 当，时，，即，解得或（舍去），此时有1个根. 综上，方程共有3个实根. 【例6.3.】 （多选）已知函数，且，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（    ） A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点 C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点 【答案】CD 【难度】0.45 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】令得，利用换元法将函数分解为和，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】令，得， 设，则方程等价为. ①若，作出函数的图象如图： 因为，所以方程有两个根其中，， 由，此时有两解， 由，此时有两解， 共有4个解，即函数有4个零点； ②若，作出函数的图象如图： 因为，所以方程有一个根，其中， 由，此时只有1个解， 即函数有1个零点. 【例6.4.】 已知，关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.32 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】先作出函数的图象，结合图象可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图象如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图象可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 【例6.5.】 已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，值域为. (2) 【难度】0.46 【知识点】求指数型复合函数的值域、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、由奇偶性求参数 【分析】（1）先根据为奇函数求出的值，然后利用不等式的性质求出的值域. （2）函数在区间上有两个不同的零点，即方程在该区间上有两个不同的解，通过换元法将问题转化为二次函数的零点问题，再结合二次函数的性质求解的取值范围. 【详解】（1）因为且，则的定义域为， 又为奇函数，，解得， 所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则， 所以函数的值域为. （2）因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 题型7：二分法的应用 【例7.1.】 下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】根据二分法的定义判断. 【详解】二分法要求函数在某个区间上有定义且区间两端点处函数值异号， A，定义域是，，，满足二分法的要求； B，定义域是R，但，不存在区间，使得，不可用二分法求根； C，定义域是，，，满足二分法的要求； D，定义域是R，，，满足二分法的要求. 【例7.2.】 下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】根据零点的两侧函数值异号能用二分法判断. 【详解】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误； 故选：C 【例7.3.】 用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用二分法求近似解的条件 【分析】设，其中，及，即可求解． 【详解】由题意，设， 其中， 又由，则， 可得方程根在区间． 故选：A． 【例7.4.】 用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、二分法求方程近似解的过程 【分析】根据题意数据结合二分法分析求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且函数在定义域内单调递增， 则函数在定义域为内单调递增，所以函数至多有一个零点， 因为，，可知在内有零点，且； 第一次等分，可得，可知在内有零点，且； 第二次等分，可得，可知在内有零点，且； 第三次等分，可得，可知在内有零点，且； 第四次等分，可得，可知在内有零点，且， 所以对区间最少等分次数为4，零点近似值为. 故选：A. 题型8：解有确定模型的应用问题 【例8.1.】 某食品的保鲜时间单位：小时与储藏温度单位：满足函数关系，且该食品在的保鲜时间是16小时已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示给出以下三个结论，其中，所有正确结论的个数是（    ） ①该食品在的保鲜时间是8小时； ②当时，该食品的保鲜时间t随着x增大而减少； ③到了此日15时，甲所购买的食品还在保鲜时间内． A．2 B．3 C．0 D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分段函数模型的应用、指数函数模型的应用（2） 【分析】根据时，保鲜时间是16小时，求出，根据解析式计算可知①正确； 根据当时，为减函数，可知②正确；计算出在某日上午10时购买了该食品的保鲜时间可知③不正确. 【详解】由题意可得，当时，保鲜时间是16小时，即，解得， ①当时，，故保鲜时间是8小时，故①正确； ②当时，为减函数，则该食品的保鲜时间t随着x增大而减少，故②正确； ③在某日上午10时，温度为8度，此时保鲜时间为小时，到了此日15时，已经过了保鲜时间，所以甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③不正确. 故选：A． 【例8.2.】 《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于：．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式，其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（     ）（取：，，） A．12小时后 B．24小时后 C．28小时后 D．30小时后 【答案】B 【难度】0.6 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】先判断时酒精含量均高于合法阈值，再对的情况列不等式，通过对数运算求解时间范围即可. 【详解】将、代入函数： 当时，， 该函数在上单调递增，因此，不符合合法驾驶要求； 当时，， 令，化简得： ，两边取自然对数， 所以 ， 代入，， 得： ， 即，因此最少需在24小时后合法驾驶. 【例8.3.】 （多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断可得答案. 【详解】对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确. 故选：ACD． 题型9：拟合函数模型的建立与求解 方法提炼 建立拟合函数模型的一般流程： 【例9.1.】 一片森林原来面积为万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积占剩余面积的百分比相等，当砍伐了面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年； (3)今后最多还能砍伐多少年. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】指数函数y=2x和y=(1/2)x的图像和性质、指数幂的运算、列出指数函数模型的解析式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据题意列出即可求解； （2）列式，将的值代入即可求解； （3）列式，再将的值代入即可求解. 【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为， 则，即，解得， 所以每年砍伐面积的百分比为； （2）设到今年为止，该森林已砍伐了年， 则，即，化简得， 所以，解得， 故到今年为止，该森林已砍伐了年； （3）设从今年开始，以后砍伐了年，则年后剩余面积为， 令，即，即， 所以，解得， 故今后最多还能砍伐年. 【例9.2.】 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 (1)依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，② (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 【答案】(1)选择②，，. (2) 【难度】0.62 【知识点】列出指数函数模型的解析式、根据实际问题增长率选择合适的函数模型、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型②，用表格中三个点的数据代入模型②的解析式，通过构造方程组即可求得该模型的表达式； （2）根据（1）中结论可将不等式整理为对恒成立，采用换元法，结合二次函数的性质可求得的最大值，从而得到的取值范围. 【详解】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，且函数增长的速度越来越快， 选择②（且） 代入表格中的三个点可得：，解得： ，. （2）由（1）可知：，，故不等式对恒成立， 对恒成立， 令，则， ，， 在上单调递增，， . 【例9.3.】 航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：在某月（按30天计算）内特价航模的日销售价格（元/个）与时间（某月的第天，下同）的函数关系近似表示为（常数）.该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间部分数据如下表所示： 第天 3 8 15 24 （百个） 4 5 6 7 已知某月内第8天该专卖店特价航模的销售收入为300百元. (1)给出以下三种函数模型：①；②；③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来表示该专卖店特价航模的日销售量（百个）与时间的关系，说明你的理由； (2)借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模的日销售收入为（百元），其中，，预估该专卖店特价航模的日销售收入在一个月内的第几天最低？ 【答案】(1) 选择模型③，理由如下： 表格中对应的数据从小到大按1递增，是匀速递增的，对应的数据从小到大， 相邻两个大数减去小数依次为，不是匀速递增的，模型①不满足题意； 表格中数据满足，而模型②满足，模型②不满足题意； 对于模型③，将，代入模型③，有，解得， 此时，显然都满足，因此模型③满足题意， 所以选择模型③. (2)第29天. 【难度】0.65 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据变化速度排除模型①，根据不对称性排除模型②，代入数据计算，满足条件，得到答案. （2）确定，，利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，则， 由，得，解得， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第29天最低. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $