4.5 函数的应用（二） 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学讲义以“函数的零点及存在定理”为核心，通过表格对比二次函数零点与方程根的关系，结合图示解析零点存在定理的条件与误区，构建从概念（零点定义）到定理（存在定理、二分法）再到应用（零点个数、参数求解）的递进知识体系，突出重难点如二分法步骤和零点分布条件。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的求零点（题型一）到综合的二次函数零点分布（题型七），通过“表格归纳控制条件”等方法指导培养数学思维与模型意识。课时精练包含选择、填空、解答题，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化推理，助力教师实施精准分层教学，提升复习效率。

4.5 函数的应用（二） 题型一 求函数的零点 2 题型二 函数零点的个数问题 8 题型三 零点存在性定理的概念和应用 14 题型四 判断零点所在区间 19 题型五 用二分法求函数零点近似值 22 题型 六 已知函数的零点求参问题 28 题型 七 二次函数的零点分布问题 35 课时精练 41 【基础回顾】 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 函数零点的概念 （1）一般地，如果函数 在实数 处的函数值等于零，即 ，则称 为函数 的零点。 （2） 是函数 零点的充分必要条件是， 是函数图像与 轴的公共点。 知识点 2：二次函数零点与对应方程根的关系 （1） 当 时，方程 的解集中有两个元素 ，且 是 的两个零点， 的图像与 轴有两个公共点 . （2）当 时，方程 的解集中只有一个元素 ， 且 是 唯一的零点， 的图像与 轴有一个公共点。 （3）当 时，方程 没有实数根，此时 无零点， 的图像与 轴没有公共点。 总结： 方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点。 知识点 3: 函数零点存在定理 如果函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数 在区间 内至少有一个零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的解。 注意： （1）此判定定理只能判断出零点的存在性， 而不能判断出零点的个数。 如图①②，虽然都有 ，但图①中有 4 个零点，而图②中仅有 1 个零点。 （2）此判定定理是不可逆的，因为 函数 在区间 内存在零点。 但是已知函数 在区间 内存在零点不一定推出 . 如图③，在区间 内函数有零点，但 . ①② ③ 知识点 4: 用二分法求方程的近似解 对于在区间 上图像连续不断且 的函数 ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫作二分法。 知识点 5：二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度 ，用二分法求函数 零点 的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点 的初始区间 ，验证 . （2）求区间 的中点 . （3）计算 ，并进一步确定零点所在的区间： ①若 （此时 ），则 就是函数的零点； ②若 （此时 ），则令 ； ③若 （此时 ），则令 . （4）判断是否达到精确度 : 若 ，则得到零点的近似值 （或 b ） ; 否则重复步骤 (2)~(4). 由函数零点与相应方程解的关系， 我们可以用二分法来求方程的近似解。 题型一 求函数的零点 函数的零点就是对应方程的根， 求函数的零点常有两种方法： （1）令 ，方程 的根就是函数的零点； （ 2 ）作函数 的图像，图像与 轴公共点的横坐标就是函数的零点。 【例题精讲】 1．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）下列说法错误的是（ ） A．集合与集合不是同一个集合 B．已知，满足条件的集合的个数有7个 C．代数式的值组成的集合是 D．函数的零点为 【答案】D 【分析】根据集合中元素的无序性判断A，根据集合中元素判断B，分类讨论判断C，根据零点的定义判断D. 【详解】选项A，是点集，是数集，不是同一个集合，A对； 选项B，因为， 所以满足条件的集合的个数有，B对； 选项C，当时，； 当或时，； 当时，，C对； 选项D，函数的零点不是点，是变量x的值， 所以函数的零点是，D错． 2．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据零点的概念，结合函数与方程的关系，利用指数函数与一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由，即，易知与方程组只有一组解， 由函数为增函数，函数为减函数， 则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解， 当时，，所以函数的零点为. 故选：C. 3．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知为实数，是函数的零点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据函数零点得到，再构造函数，利用函数单调性构建关于的方程求解即可. 【详解】由是函数的零点可知， 整理得，即， 设，易知在上单调递增， 因为， 所以， 所以，故， 故选：A． 4．（25-26高一上·山东临沂·期末）函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】令函数等于0，解出对应方程的根即可. 【详解】令函数，即， 当时，满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 综上所述：方程有3个实数解，即函数有3个零点， 故选：B. 5．（2026·河南濮阳·一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为图像交点的横坐标，数形结合可得；或利用函数的单调性以及零点存在性定理可比较. 【详解】法1：由题意可知，分别为与的函数图像的交点的横坐标， 图像如图：    由图可知，； 法2：易知，均为增函数， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 6．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出是上的单调递增函数，求出，，根据零点存在性定理可得，，求出在上是单调递增函数，求出，，根据零点存在性定理可得，，求出在上是单调递增函数，，，根据零点存在性定理可得，，从而得到结论. 【详解】都是上单调递增函数，是上的单调递增函数， ，， 根据零点存在性定理可得，， 均在上是单调递增函数， 在上是单调递增函数， ，， 根据零点存在性定理可得，， 均在上是单调递增函数， 在上是单调递增函数， ，， 根据零点存在性定理可得，， . 故选：A. 7．（25-26高一上·浙江·期末）已知函数，的零点分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先令得到，再逐项分析即可. 【详解】由题意得，，即， ，即，令，， 故都为方程的解， 令，单调递增，也单调递增，故在单调递增， 又， ，即，故B错误， 对于A，，对勾函数在上单调递减，， ，故A错误， 对于C，，两边同时取以2为底的对数得， ，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：C. （多选）8．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期末）设函数 ，则（   ） A． B．有3个零点 C．当时，仅有1个零点 D．当时，的零点之和为1 【答案】BD 【分析】观察分段函数,当时为开口向下，对称轴为的二次函数，当时为函数值非负的对数函数，逐次分析计算各个选项即可得出正确答案. 【详解】对于A，代入可得，故A错误； 对于B，若，由，解得或，满足; 若，由，解得,满足，3个零点均满足题意，故B正确； 对于C，由，得，而二次函数的对称轴为, 当从左侧趋近于1时，函数值趋近于-3，所以当时，有2个零点，故C错误； 对于D，当时，的零点即为的零点， 当时，由，解得，满足; 当时，由，解得,满足， 所以的零点之和为，故D正确. 故选：BD. （多选）9．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．为偶函数 B．有两个零点 C．在区间上单调递减 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义与判定方法，可判定A正确；令，求得，可判定B正确；结合复合函数的单调性的判定方法，可判定C错误；根据对数型函数值域求法求解，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数，则满足，解得或， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又由，所以函数为偶函数，所以A正确； 对于B，令，可得，即，解得， 所以函数有两个零点，所以B正确； 对于C，令，因为，可得，且， 因为二次函数在为单调递增函数，且在也是单调递增函数， 根据复合函数单调性的判定方法，可得函数在为单调递增函数，所以C错误； 对于D，由函数的定义域为， 令，则，即t取遍所有正数，所以函数的值域为， 即函数的值域为，所以D正确. 故选：ABD. （多选）10．（25-26高一上·新疆塔城·月考）下列命题为真命题的有（       ） A．函数（且）的图像恒过定点 B．函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则 C．函数的零点是， D．函数的零点所在区间可以是 【答案】ABD 【分析】根据指数型函数的性质可判定A正确；根据函数奇偶性求出函数的周期为4，从而可判定B正确；根据函数零点的定义和解法可判定C错误；根据零点存在性定理可判定D正确. 【详解】对于A：函数（且）, 令，即，代入得， 所以函数（且）的图像恒过定点，故A正确； 对于B：因为是定义在上的奇函数，所以且， 又是偶函数，所以， 所以，， 所以是以为周期的周期函数， 所以，故B正确； 对于C：令得和， 所以函数的零点是和1， 函数的零点是使的自变量的值（不是点）,故C错误； 对于D：函数是定义域为上的连续函数，且在时单调递增， 又，，所以的零点所在区间可以是，故D正确； 故选：ABD. 题型二 函数零点的个数问题 判断函数零点个数的方法 （1）直接求出函数的零点进行判断。 （2）结合函数图像进行判断。 【例题精讲】 1．（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数，则关于直线与函数的图像的交点的个数说法错误的是（    ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 【答案】D 【分析】作出，，的函数图像，根据图像的交点以及的范围进行分类讨论，由此判断即可. 【详解】直线与直线有一个交点， 联立直线，解得或， 所以直线与直线的交点为，， 在同一平面直角坐标系中作出，，的图像如图所示， 当时，有3个公共点，分别为，A正确. 当时，有且只有1个公共点，为，B正确. 当时，有2个公共点，分别为，C正确. 当时，①时，有3个公共点，分别为；时，有2个公共点，分别为，D错误. 2．（25-26高一下·山西运城·期中）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上有5个零点 D． 【答案】B 【分析】根据函数周期的定义、偶函数单调性的性质，结合函数零点的定义、指数的运算性质逐一判断即可. 【详解】对选项A：由可知函数的一个周期为2，所以在区间上的图像与在区间上相同. 又是偶函数，则时的单调性与时的单调性相反. 因时，单调递减，故时，单调递增，故时，单调递增，故A错误； 对选项B：，故B正确； 选项C：当时，令0，得，因为为偶函数，所以，又因为周期为2，所以，共6个零点，故C错误； 选项D：，， 因为当时，单调递减， 所以，即，故D错误. 3．（2026·江西九江·二模）定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数值为整数可求零点个数. 【详解】的零点即为的解， 而的函数值为整数，故或，其中， 由可得，且， 若为正整数，则， 若，则； 若为负整数，设，则为正整数， 则， 综上，当为整数时，总有，故，故； 由可得，同理可得， 故，所以，故， 而为整数，故与不相等， 故函数的零点个数为. 4．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系可得的解析式，将问题转化为函数与直线交点个数问题，采用数形结合的方式可求得结果. 【详解】，，，， ， ，； 函数的零点个数等价于函数与直线的交点个数； 作出与的图像如下图所示， 结合图像可知：当时，与在每个区间上有且仅有一个交点，则当时，与共有个交点； 当时，与没有交点，即当时，与没有交点； 当时，与有且仅有一个交点，即当时，与有且仅有个交点； 当时，，，二者没有交点，即当时，与没有交点； 综上所述：当时，函数的零点个数为个. 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图像法进行求解. 【详解】由，知函数的一个周期为2． 因为方程等价于． 令，又当时，， 由此作出函数与的图像， 如图所示．因为，，， 所以和的函数图像交点个数为4，故方程有4个实数根． 6．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得. 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 7．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）若幂函数的图像经过点，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由可求出的值，由可得，作出函数与的图像，数形结合可得出函数的零点个数. 【详解】根据题意，设，则，即， 所以，解得，所以， 由可得， 作出函数与的图像如图所示： 由图可知，函数与有且只有三个交点， 故函数的零点个数为. （多选）8．（25-26高二下·湖北宜昌·月考）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的对称轴是 B．在上单调递增 C．的值域为 D．恰有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数的对称性判断A；根据复合函数的单调性、值域判断BC；根据函数零点的定义求解判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为， 故的图像关于直线对称，A正确； 对于B，由， 因为在上单调递增，且在其定义域内单调递增， 所以在上单调递增，B正确； 对于C，当时，，故的值域为，C错误； 对于D，令，则，解得， 则有两解，且这两个解均在内，故D正确． （多选）9．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（   ） A． B． C． D．函数有8个零点 【答案】ABD 【分析】探讨函数的性质并作出图像，数形结合求解判断ABC；换元并求出的根，进而确定函数零点个数. 【详解】函数图像对称轴为，在上递减，在上递增， 函数在上递减，在上递增，在上递减，在上递增， ，在同一坐标系内作出函数的图像与直线， 方程有四个不同的根，即直线与函数的图像有4个交点， 对于A，，A正确； 对于B，由，得或或或，因此，B正确； 对于C，由，得，整理得， 又，则，因此，C错误； 对于D，令，由，得，解得或或或， 当时，无解；当时，有2个解； 当或时，各有3个解，因此函数有8个零点，D正确. （多选）10．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知定义在上的偶函数满足当时，，则（    ） A．曲线过定点 B．若，则 C．若，则有且仅有4个零点 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由于，故其所过点必含变量，根据对称性，分析可判断A的正误；根据偶函数的定义及条件，可得的解析式，整理变形，可判断B的正误；当时，求出的零点，分析各段的正负，结合偶函数的性质，分析可判断C的正误；根据的单调性及对数的运算性质，分析比较，即可判断D的正误. 【详解】对于A，注意到，故其所过点必含变量，对称性可得同理，故A错误； 对于B，时，，时， 故，故B正确； 对于C，当时，，令，解得或， 注意到当时，，当时，， 当时，由于指数函数增长速度远高于多项式函数，故， 于是有且仅有2个正零点， 由奇偶性知有且仅有4个零点，故C正确； 对于D，当时，，显然其在时单调递增， 且， 所以， 于是，故D正确. 题型三 零点存在性定理的概念和应用 【例题精讲】 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题得，令，由函数性质可知为增函数， 又，，根据零点存在性定理可知：， 即的取值范围为. 2．（25-26高一下·上海·月考）若二次函数在区间上是严格增函数，且满足，则方程在区间内（   ） A．至少有一个实根 B．至多有一个实根 C．没有实根 D．必有唯一一个实根 【答案】D 【分析】由零点存在性定理结合函数的单调性判断即可. 【详解】二次函数在区间上连续，且满足， 所以由零点存在性定理可知，在区间上至少存在一个零点， 又因为在区间上是严格增函数， 所以在区间上有且只有一个零点， 即方程在区间内必有唯一一个实根. 3．（25-26高一上·陕西西安·期末）若是函数的零点，是函数的零点，则（    ） A．4 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【分析】通过零点存在性定理，分别确定和的取值范围，再推出的范围，即可得解. 【详解】易知函数都单调递增，所以两个函数都最多有一个零点， 又，所以， 又，所以， 因此. 故选：C. 4．（25-26高一上·广西桂林·期中）若函数在上存在零点，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的零点存在性定理即可求解. 【详解】令，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，因此函数在上为增函数， 因此，函数在上存在零点的充要条件是且， 所以，即，解得 故选：B 5．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，由条件结合零点的性质列不等式求的范围. 【详解】因为函数和在都单调递增， 所以函数在都单调递增， 又函数在区间上存在零点， 所以，故， 所以, 所以的取值范围是. 故选：D. 6．（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 ﹣6.136 15.552 ﹣3.92 10.88 ﹣52.488 ﹣232.064 则函数至少有几个零点（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据零点存在性定理即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以函数至少有4个零点， 故选：D． 7．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间内无零点 B．在区间内有且仅有1个零点 C．的所有零点之和为 D．在上有且仅有2个零点 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理及函数单调性求解判断各选项即可. 【详解】对于A，由， 则，由零点存在性定理，在内有零点，故A错误； 对于B，计算，则， 由零点存在性定理，在内有零点， 任取，则， 因为，， 故，即，所以在内单调递减， 因此在区间内有且仅有1个零点，故B正确； 对于CD，由AB知，，，且， 且函数最多只有3个零点， 由零点存在性定理可知，函数有3个零点，不妨设为，故D错误， 则， 则，故零点之和为0，故C错误. 故选：B （多选）8．（25-26高一下·湖南·月考）下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．不等式对一切实数x恒成立的充要条件是 C．函数在区间上存在零点 D．若，，，则的最小值为4 【答案】ACD 【详解】对于A，由函数的定义域为， 令，得，则函数的定义域为，故A正确； 对于B，由对一切实数x恒成立， 则，解得， 所以不等式对一切实数x恒成立的充要条件是，故B错误； 对于C，因为函数在上连续，且， 则，根据零点存在性定理， 函数在区间上存在零点，故C正确； 对于D，由，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为4，故D正确. （多选）9．（25-26高一上·河南焦作·期末）定义在上的函数满足，都有，设函数，若，则下列正确的有（   ） A．单调递减 B． C．在上无零点 D． 【答案】BC 【分析】由函数单调性的定义可知函数单调递增，可判断A，C两项，由，得，利用单调性可判断B，D两项． 【详解】因为满足，满足，所以 即， 由函数单调性的定义可知函数单调递增，故A错误； 令，易得 ，因为，则，故B正确； 易得，且单调递增，所以在上无零点，故C正确； 令，易得得， 则，故D错误. 故选：BC. （多选）10．（25-26高一上·四川成都·月考）已知函数，，.则下列说法正确的是（   ） A．函数与函数互为反函数 B．函数在区间内有零点 C．若，，均为正实数，且满足，则 D．若函数的图像与函数的图像和函数的图像在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 【答案】ABD 【分析】根据反函数的定义、零点存在定理、函数的图像等知识逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，所以与互为反函数，A正确； 对于B： 令，即， 当时，；当时，， 根据零点存在定理，则函数在区间内有零点，B正确； 已知函数，，，画出图像为： 如图符合题意，而，所以C错误； 对于D： 令，则，令，则. 因为函数的图像与函数的图像和函数的图像在第一象限内交点的横坐标分别为，， 所以①，②，假设，则. 将其代入①式中得，与②式相同，所以D正确； 故选：ABD. 题型四 判断零点所在区间 【例题精讲】 1．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因函数与都是上的增函数，则也是上的增函数， 又， 故函数有唯一的零点，其所在区间为. 2．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的单调性，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】由题意，易知在上单调递增， , 所以函数的零点所在区间是. 3．（25-26高一下·重庆·月考）已知方程的解为，求所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先构造函数判断单调性，再用零点存在定理算端点值判断零点所在区间即可. 【详解】设，因为和都是上的单调递增函数， 因此是上的单调递增函数，原方程的解就是的唯一零点. 当时，， 当时，， 由，可知单调函数的零点. 4．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）已知函数，则该函数零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为与均在R上单调递增， 所以在R上单调递增， 又，，则， 所以在区间上存在唯一零点. 5．（24-25高一上·四川宜宾·期末）函数的零点在下列区间内（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的单调性，结合函数的零点存在定理判断即可． 【详解】函数在定义域上连续，且为增函数， 又， ， 故函数的零点在区间内. 6．（25-26高一下·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数为上的增函数， 故函数在有且仅有一个零点， 因为，， 所以函数的零点所在的区间为． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知单调递增函数的零点在区间内，且，则n的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由解析式知在定义域上单调递增，且， 所以的零点在，故. （多选）8．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）下列命题正确的有（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．方程的解在内 C．“”是“不等式对一切实数恒成立”的充要条件 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】A由存在性量词命题的否定可判断；B由零点存在性定理判断；C根据一元二次函数的性质求出的范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断；D作差法判断. 【详解】由存在性量词命题的否定可知，A正确； 令，在上单调递增， 又，， 则由零点存在性定理可知，在内存在零点， 故方程的解在内，故B正确； 当时，显然对一切实数恒成立； 当时，不等式对一切实数恒成立， 则，得， 则的取值范围是， 故“”是“不等式对一切实数恒成立”的充分不必要条件， 故C错误； 若，，则，则，故D正确. 故选：ABD （多选）9．（25-26高一上·四川成都·月考）已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（      ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用零点存在性定理直接判断即可. 【详解】因函数的图像是一条连续不断的曲线， 且由表格数据可知，即函数在区间内存在零点； 同理,,因此函数在区间内均存在零点. 故选：BC （多选）10．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的性质判断函数在内单调递增，最多有一个零点，判断的正负，证明区间上存在零点，由此判断结论. 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 所以在单调递增，即最多有一个零点. ，， ， 因为函数在单调递增，所以， 因为函数在区间上连续且单调递增，，， 故函数在区间上存在唯一零点， 又，， 所以区间，内存在的零点，在区间和上都没有零点， 故选：BC. 题型五 用二分法求函数零点近似值 【例题精讲】 1．（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图像在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法判断即可得出结果. 【详解】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 3．（25-26高一上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如下表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】由零点存在定理及二分法求解即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内， 且， 结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C． 4．（25-26高一上·江西景德镇·期末）用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 【答案】A 【分析】根据题意数据结合二分法分析求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且函数在定义域内单调递增， 则函数在定义域为内单调递增，所以函数至多有一个零点， 因为，，可知在内有零点，且； 第一次等分，可得，可知在内有零点，且； 第二次等分，可得，可知在内有零点，且； 第三次等分，可得，可知在内有零点，且； 第四次等分，可得，可知在内有零点，且， 所以对区间最少等分次数为4，零点近似值为. 故选：A. 5．（25-26高一上·河南·月考）已知函数的图像如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据零点的概念以及二分法的概念，可得答案. 【详解】函数的图像与轴有4个交点，左右函数值异号的交点有3个，所以可以用二分法求近似值的零点个数为3. 故选：C. 6．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 7．（25-26高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解. 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. （多选）8．（25-26高一上·四川绵阳·月考）给出下列结论，其中正确的结论是（    ） A．函数在中存在零点，用二分法求零点时，若要求精确度为，则运算次数至少为次 B．已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是 C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于直线对称 D．若，则的值为 【答案】ACD 【分析】根据二分法的精确度，代入公式，即可判断A的正误；根据a的范围，可得为减函数，根据的范围，可求得的范围，分别讨论和两种情况，分析即可判断B的正误；根据与互为反函数，即可判断C的正误；根据题意，可求得、的值，根据对数的运算性质，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A选项，二分法精确度为，所以，可得，故至少运算次，A对； 对于B选项，因为，所以为减函数， 因为函数（且）在上是减函数，则，解得， 当时，在上单调递增，故舍去， 当时，在上单调递减，满足题意， 所以实数的取值范围是，B错； 对于C选项，函数与互为反函数，所以函数与的图像关于直线对称，C对； 对于D选项，因为，所以， 因为，所以， 所以，D对. 故选：ACD. （多选）9．（25-26高一上·四川南充·期末）下列命题正确的有（    ） A．函数的反函数是 B．函数过定点 C．对于函数，能用二分法求函数零点近似值 D．已知为奇函数，当时，，则时， 【答案】AB 【分析】选项A，根据反函数的定义判断；选项B，根据对数函数的性质求出定点；选项C，根据二分法的适用条件判断；选项D，根据奇函数的性质求出时的函数表达式. 【详解】选项A：函数，其定义域为，值域为， 且是单调递增函数，则它存在反函数， 两边取自然对数可得，将互换，得到， 所以函数的反函数是，故选项A正确； 选项B：对数函数 ，当 时，， 在函数 中， 令 ，即 ，此时 ， 因为 （ 且 ），所以 ， 即函数 过定点 ，故选项B正确； 选项C：对于函数 ， 令 ，即 ，解得 ， 当 时，，不存在区间 使得 ， 所以不能用二分法求函数零点近似值，故选项C错误； 选项D：因为 为奇函数，则 ， 当 时，， 当 时，，则 ， 因为 是奇函数，所以 ，而非 ，故选项D错误. 故选：AB. （多选）10．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数在内有零点 B．函数的零点是， C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，，，则零点近似值在区间上 【答案】AC 【分析】根据零点存在性定理，结合函数的性质逐项判断可得. 【详解】对于A，因为函数在内连续，且， 所以函数在内有零点，所以A正确； 对于B，函数，令，则或，所以函数的零点是，所以B错误； 对于C，作函数与的图像，可知，当时，函数与的图像有且只有一个交点. 当时，函数与的图像有两个交点，分别为. 所以函数有三个不同的零点. 所以C正确；    对于D，因为，根据用二分法求函数在区间内的零点近似值方法，知零点近似值在内，又，零点近似值在上，所以D错误. 故选：AC. 题型六 已知函数的零点求参问题 探究函数 的图像与 轴公共点的坐标均可转化为探究函数 和 图像的交点情况。 观察图像，数形结合，易于解决问题。 【例题精讲】 1．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，将问题转化成与的图像有个交点，作出的图像，数形结合，即可求解. 【详解】令，得到，令，因为的零点个数为， 则与的图像有个交点， 当时，，易知在区间上单调递增，又时，，且，所以当时，， 当时，，作出的图像，其图像如图所示， 由图知，. 2．（25-26高一下·湖南岳阳·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作出分段函数的图像，再通过对方程因式分解讨论分析，求解实数范围即可. 【详解】 原方程因式分解得，因此方程等价于或. 分析的实根个数，是分段函数，所以 当时，，解得或，共个正根； 当时，，得（无解），解得，共个负根， 因此总共个不同实根，题目要求总共有个实根，故需要有个不同实根. 分析（）的实根个数， 分区间讨论的性质，时，，最大值为， 时，时无实根；时，时有个实根； 时，时有个实根；时，时有个实根； 时，时有个实根；时，时无实根. 时，， 时个实根；时个实根；时个实根。 要使得总共有个实根，只有两种情况： ，此时总根个数为，符合要求，对应； 时，此时总根个数为，符合要求，对应. 综上，的取值范围是. 3．（2026·湖南·一模）已知定义在上的函数满足当，，其中，当时，，若方程有无穷多个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的周期性，结合二次函数的单调性、零点的定义进行求解即可. 【详解】注意到时，，由周期性可知在定义域上， 而当时， 若，则在上单调递增， 注意到， 可知在上的值域为， 于是当时，与在上有交点， 故在上必有无穷个交点，符合要求． 当时，时有，时，故交点个数有限． 当时，注意到， 可知有无穷个零点，符合要求． 当时，注意到时， 故时，故在上的交点个数有限， 而时，可得交点个数有限．综上，由题意知． 4．（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，按分段，结合一元二次方程实根分布列式求解. 【详解】方程， 当时，方程为，则，即，当时，方程有且只有一个实根； 当时，方程为，显然是此方程的一个实根， 当时，方程化为，要使方程有4个不同的实数解， 当且仅当方程有两个不同的正根，则，解得， 所以的取值范围是. 5．（25-26高三下·辽宁·开学考试）设函数，若方程有且仅有三个解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数图像及与图像，由图像观察即可得. 【详解】如下图：作出函数图像及与图像， 由图像可知，当时，与有且仅有三个交点， 故实数的取值范围为. 6．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）若函数有两个零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的零点即方程的解，化简得， 解得或， 由于函数在R上单调递增，值域为， 函数有两个零点，则方程和各有一个不同的解， 所以，解得，即实数b的取值范围为. 7．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知函数若有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的每段函数的零点情况分析，再由参数分类讨论函数的零点情况即得. 【详解】由题意，当时，，由， （可知，否则此时函数无零点，而时，最多有2个零点，不合题意）， 可得，即，要使这个零点存在，需使，解得； 当时，由，可得和，因， 要使在上有2个零点，需使且. 由上分析可得： 当时，在上有2个零点和，在上有一个零点，共有3个零点，符合题意； 当时，在上没有零点，在上有2个零点和，不合题意； 当时，在上没有零点，在上只有1个零点，不合题意； 当时，在上有2个零点和，在时无零点，不合题意； 当时，在上有1个零点，在时无零点，不合题意. 综上，实数的取值范围是. 故选：B. （多选）8．（25-26高一下·浙江·期中）已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则不等式的解集为 C．若在上单调递减，则 D．当函数恰有2个零点，则 【答案】BD 【分析】A选项，利用分段函数求值即可；B选项，分段解不等式即可；C选项，保证函数在每一段上单调递减且同时满足分段点左侧函数值大于等于右侧函数值即可；D选项，分和分类讨论即可. 【详解】对于A：当时，， ，故A错误； 对于B：当时，， 当时，由，即，不成立， 当时，由，即， 所以，即，所以， 综上，不等式的解集为，故B正确； 对于C：若在上单调递减，则，解得：，故C错误； 对于D：（1）当时，，对称轴为． 所以在上单调递减，与只有一个交点． 在上单调递减．，与没有交点．故舍去. （2）当时，在上单调递增，与直线有一个交点， 所以只要在与有一个交点即可， （i）当时，对称轴， 在上单调递减， 只需时，．即，解得． （ii）当时，对称轴， 此时在上单调递减，在上单调递增， 又因为当时，， 所以要使它与只有一个交点，即有两个相等的实数解，则，即， 因为方程在时无解，所以不满足， 综上所述：，故D正确. （多选）9．（2026·山东菏泽·一模）函数的图像是由函数，与函数，的图像“拼接”而成.则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．若有三个零点，则 D．若关于的方程存在实数解，则实数满足或 【答案】ACD 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，易知在上单调递增，故由， 得，得，故B错误， 对于C，函数有三个零点，等价于方程有三个不相等的实数根， 等价于函数的图像与直线有三个交点， 又直线恒过定点，如图， 当直线位于与之间（不包括两条直线）时满足条件， 当直线位于时，； 当直线位于时，联立与，消去整理得， 由相切，得，解得，又，则， 由图可知，故C正确， 对于D，由上图得函数的值域为， 而的图像是由的图像向右平移个单位得到， 故的值域为， 将条件转化为关于的方程存在实数解， 所以，解得或，故D正确. （多选）10．（25-26高一上·四川成都·月考）下列说法正确的有（ ） A．“”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件 B．不等式的解集是，则m的取值范围是 C．函数的最小值为1 D．使得对数有意义的实数的范围是 【答案】ABD 【分析】根据一元二次方程根的分布和充分、必要条件的定义A正确；根据可知B正确；利用换元法和对勾函数单调性可知C错误；根据对数底数和真数范围的基本要求可构造不等式组求得D正确. 【详解】A，若，则， 关于的方程存在两根， ， 两根必是一正一负，充分性成立； 若关于的方程有一个正根一个负根，则，解得，必要性成立； “”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件，A正确； B，要使不等式的解集是，则，解得，B正确； C，令，则， 由对勾函数单调性知：在上单调递增， ， 无最小值，C错误； D，若对数有意义，则，解得：， 实数的取值范围为，D正确. 题型七 二次函数的零点分布问题 1. 两零点分布在相同区间的控制条件： 图像 区间 控制条件 总结 两零点在同一区间：需要考虑 3 种控制条件，一是判别式， 二是对称轴， 三是区间端点值 2. 两根分布在不同区间的控制条件： 图像 区间 控制条件 总结 两零点分布在不同区间： 只需要考虑区间端点值。 【例题精讲】 1．（2026·陕西安康·三模）若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解，结合有且只有一个零点，即无解或有等根，分类计算后即可参数的取值范围． 【详解】， 因为有且只有一个零点，即无解，或有两个等根为 所以，或，解得． 2．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知, 关于x的方程有两个小于1的正根，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求出“方程有两个小于1的正根”的等价条件，再利用充分必要条件判断即得. 【详解】设，为方程的两个小于1的正根， 则，且，， 因且等价于且， 则得，且， 故是的必要条件； 当，时，若取，， 此时方程无实根，故不是的充分条件. 综上可得，p是q的必要不充分条件. 3．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数在区间上有两个零点，即函数在上与x轴有两个交点，则需要满足，根据二次函数图像列出不等式即可求解. 【详解】由函数在区间内有两个零点，得到函数在上与x轴有两个交点， 所以，即， 整理得，解得 所以则的取值范围为. 故选：A. 4．（25-26高一上·河南郑州·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根，然后分类讨论结合一次方程和二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根， 当时，方程可化为，解得，满足题意； 当时，方程为一元二次方程，其对称轴为，. 若，，此时方程的解为，满足题意； 若，即当且时， 由题意只需，解得且， 又时，，即， 其实数根为，满足题意， 时，，即， 其实数根为，满足题意， 所以且； 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 5．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为有两个不等正根为，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】设的两个不等正零点为， 即的两个不等正根为， 故，解得， 故的取值范围是. 故选：C 6．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 7．（25-26高一上·山东淄博·期中）已知函数，若图像上存在两组关于原点对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在函数的区间上的图像上任取点，则点在函数在的图像上，整理可知函数有两个不等的正零点，根据二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】在函数在上的图像上任取点，则， 则点在函数的的图像上，即，即， 所以，整理得， 令，则函数有两个不等的正零点， 所以，解得. 故实数的取值范围是. 故选：D. （多选）8．（25-26高一下·河南平顶山·月考）已知函数有两个零点，，则（    ） A． B． C． D．当取得最小值时， 【答案】BCD 【分析】应用特殊值法判断A，应用不等式性质判断B，C，结合基本不等式计算并应用零点存在定理判断D. 【详解】由题意可得，A错误. 当时，，则. 由二次函数的性质可知，，则，所以的取值范围是，B正确. 因为，所以，所以. 因为，所以，C正确. 因为，，，则， 当且仅当时等号成立，此时， 设， 因为，且函数连续， 所以存在，满足， 所以有负数解，此时，D正确. （多选）9．（25-26高一上·浙江杭州·期末）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A．或 B．不存在，使得 C．若，则 D．已知，且，则或3 【答案】ABC 【分析】利用判别式、根与系数关系列方程或不等式，结合基本不等式及分式型函数性质求参数范围，判断各项的正误. 【详解】由题意或，A对， 且，则，B对， 由，则，且，故， 在上单调递减，所以，C对， 由，则，可得或 又 ，则无解，故无解，D错. （多选）10．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数，若关于的方程有3个实数解 ，则（　　） A． B． C． D．关于的方程有3个实数解 【答案】AC 【分析】画出的图像，结合图像，得到，可判定A不正确；根据题意，求得，结合指数函数的性质，可判定B不正确；分别求得且，可判定C正确；求得，设，得到，结合对数函数的性质和一元二次方程的性质，可判定D错误. 【详解】作出函数的图像，如图所示， 对于A，因为方程有3个实数解 ， 即函数与的图像有三个不同的交点， 结合图像，可得，故A正确； 对于B，当时，，可得其对称轴为，所以， 当时，由，即，解得，即， 因为，可得，则， 所以，故B错误； 对于C，当时，由，可得，所以， 当时，由，即，即， 则，故C正确； 对于D，当时，由， 可得在上为单调递减函数，且，即， 设，则， 由方程，即，其中， 当时，可得，即，解得，方程有唯一解； 当时，可得，则，解得， 因为，当，此时不满足，舍去； 当，此时满足，所以此时有唯一的解， 综上可得，方程只有两个实数解，所以D错误. 故选：AC. 课时精练 ( 28 ) 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．（25-26高一上·广西崇左·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数的单调性，结合零点存在定理即可得解. 【详解】因为在上单调递增， 所以在上单调递增，则至多有一个零点， 又，， 所以在上有且只有一个零点， 即的零点所在的区间为. 故选：C. 2．（25-26高一上·广东汕头·期末）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的单调性，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】是上的减函数， 由，根据零点存在性定理，能确定零点不在区间内， 由，根据零点存在性定理，能确定在区间内存在唯一零点， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 故选：B 3．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可. 【详解】定义域为， ，所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故选：C. 4．（22-23高一·江苏·暑假作业）关于的函数的两个零点为，且，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦达定理列式可求出结果. 【详解】依题意得是方程的两不等实根， 所以， ，， 所以，即， 又，所以. 故选：A 5．（20-21高一上·河南开封·期中）若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据零点存在性定理，由题中条件列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为的零点所在的区间为， 所以只需， 即，解得. 故选：B. 6．（25-26高一上·广东深圳·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零点存在定理进行判断即可. 【详解】，因为均为增函数，所以为增函数， 又，，所以的零点所在区间为. 故选：C 7．（22-23高一上·河南商丘·月考）已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元法转化得在上有解，然后参数分离解决即可. 【详解】由题知，在区间上有零点， 令， 所以在上有解， 所以，在上有解， 因为，根据满足对勾函数特点，可作下图 由图知在上单调递增， 所以 的最小值为； 的最大值为； 所以实数的取值范围是 故选：C 8．（2026·广东汕头·一模）溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（    ） A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B．已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C．溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D．溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 【答案】C 【详解】对于A，令，则摩尔/升，故A错误； 对于B，胃酸的，故B错误； 对于C，当摩尔/升时， 根据可得当越大时，越小，故酸性越大，故C正确； 对于D，当摩尔/升时， 根据可得若溶液的碱性越大，则越大，故越小， 故D错误. 故选：C 二、多选题 （多选）9．（25-26高一上·辽宁·期中）若函数有且只有两个正零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用判别式和韦达定理求解. 【详解】函数有且只有两个正零点，设这两个正零点为， ，， 故选：BCD. （多选）10．（24-25高三下·黑龙江·月考）已知函数，若函数存在两个零点，则的取值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】BCD 【分析】化简，作出图像，由图像即可得到的取值范围，得出答案. 【详解】，图像如图 则在上共有3个零点， 即在上有3个根，，，. 又因为函数在上存在两个零点，故. 故选：BCD. （多选）11．（25-26高一上·安徽池州·期中）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（    ） A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 【答案】AC 【分析】根据题中所给的进出水量的图表进行分析判断可得. 【详解】对于A：从0点到3点，蓄水量从0增加到6t，蓄水的速度为， 两个进水口同时进水速度为，与蓄水速度一致，所以A正确； 对于B：从3点到4点，蓄水量减少了1t，用时是1小时， 如果不进水只出水，则应该减少2t而不是1t，所以B错误； 对于C：从3点到4点，蓄水量减少了1t，所以C正确； 对于D：从4点到6点，蓄水量保持5t不变，并非不进水不出水，只是进出水达到平衡， 比如，两个进水口同时进水，一个出水口同时出水，也能使蓄水量保持不变，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏南京·月考）设为实数，若函数有且只有一个零点，则的值是__________. 【答案】 【分析】根据计算可得. 【详解】因为函数有且只有一个零点， 所以，解得. 故答案为： 13．（22-23高一上·北京昌平·期中）已知函数的两个零点分别为和，则的值为______． 【答案】18 【分析】根据函数零点的定义以及韦达定理可得结果. 【详解】因为函数的两个零点分别为和， 所以和是的两个实根， 所以，， 所以. 故答案为：18. 14．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用数形结合法，把方程的根的个数转化为图像与直线的交点个数，即可求得参数的取值范围. 【详解】作出函数图像：    因为，，所以在处是连续的， 根据方程有四个不等实数解，则直线与函数的图像有四个交点， 即a的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数 (1)在如图所示的坐标系中画出函数的大致图像； (2)写出函数的单调递增区间； (3)试讨论实数解的情况． 【答案】(1)图像见解析 (2)， (3)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）去绝对值符号，利用函数图像变换分段画出函数图像； （2）根据函数的图像，直接求出函数的单调区间； （3）根据函数的图像，分类讨论确定函数的图像与的图像交点个数，即可讨论方程根的情况. 【详解】（1）函数的大致图像如下： （2）由图像可知，函数的单调递增区间为，． （3）通过函数的图像与直线的交点个数确定， 结合图像可知，当时，方程有3个实数解； 当时，方程有2个实数解； 当时，方程有1个实数解； 当时，方程，有0个实数解． 16．（2025高三·全国·专题练习）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意列不等式组即可求解. 【详解】由已知可得 即， 解得． ∴此时的取值范围是． 17．（24-25高一·江苏·暑假作业）求下列函数的零点： (1)； (2). 【答案】(1)无零点 (2)1 【分析】令得到方程，求出零点 【详解】（1）在中令，得， 又此方程无解， 所以函数无零点. （2）在中令，得， 解得， 所以函数的零点为1. 18．（24-25高一上·吉林·月考）某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 【分析】（1）由题意求出的函数即可；（2）由分段函数的性质，分和两段，分别求出最大值，取两者之中的较大者即可； 【详解】（1）由题意可得， ，所以 （2）当时，的图像为开口向上的抛物线，对称轴， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 19．（24-25高一上·湖南衡阳·月考）某华为平板电脑体验店预计年月到年月全年可以销售台平板，已知该平板电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，则每批需付运费元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入台，则全年需付运费和保管费元. (1)求全年所付运费和保管费之和关于的函数； (2)若全年只有元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量：如果不够用，最少还需补多少？ 【答案】(1) (2)每批应购入平板电脑台，全年运费和保管费最少，此时还需补元 【分析】（1）根据已知条件构造函数模型，利用待定系数法即可求解； （2）直接由基本不等式即可求解. 【详解】（1）设保管费与电脑总价值的比例系数为， 则 当时，，解得， 所以； （2）由（1），， 当且仅当，即时，等号成立， 所以每批应购入平板电脑台，全年运费和保管费最少，为元，此时还需补元. $ 4.5 函数的应用（二） 题型一 求函数的零点 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】BD 9．【答案】ABD 10．【答案】ABD 题型二 函数零点的个数问题 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】ABD 9．【答案】ABD 10．【答案】BCD 题型三 零点存在性定理的概念和应用 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】ACD 9．【答案】BC 10．【答案】ABD 题型四 判断零点所在区间 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】ABD 9．【答案】BC 10．【答案】BC 题型五 用二分法求函数零点近似值 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】ACD 9．【答案】AB 10．【答案】AC 题型六 已知函数的零点求参问题 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】BD 9．【答案】ACD 10．【答案】ABD 题型七 二次函数的零点分布问题 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】BCD 9．【答案】ABC 10．【答案】AC 课时精练 ( 28 ) 学科网（北京）股份有限公司 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】BCD 10．【答案】BCD 11．【答案】AC 12．【答案】 【分析】根据计算可得. 【详解】因为函数有且只有一个零点， 所以，解得. 故答案为： 13．【答案】18 【分析】根据函数零点的定义以及韦达定理可得结果. 【详解】因为函数的两个零点分别为和， 所以和是的两个实根， 所以，， 所以. 故答案为：18. 14．【答案】 【分析】利用数形结合法，把方程的根的个数转化为图像与直线的交点个数，即可求得参数的取值范围. 【详解】作出函数图像：    因为，，所以在处是连续的， 根据方程有四个不等实数解，则直线与函数的图像有四个交点， 即a的取值范围是. 故答案为： 15．【答案】(1)图像见解析 (2)， (3)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）去绝对值符号，利用函数图像变换分段画出函数图像； （2）根据函数的图像，直接求出函数的单调区间； （3）根据函数的图像，分类讨论确定函数的图像与的图像交点个数，即可讨论方程根的情况. 【详解】（1）函数的大致图像如下： （2）由图像可知，函数的单调递增区间为，． （3）通过函数的图像与直线的交点个数确定， 结合图像可知，当时，方程有3个实数解； 当时，方程有2个实数解； 当时，方程有1个实数解； 当时，方程，有0个实数解． 16．【答案】 【分析】根据题意列不等式组即可求解. 【详解】由已知可得 即， 解得． ∴此时的取值范围是． 17．【答案】(1)无零点 (2)1 【分析】令得到方程，求出零点 【详解】（1）在中令，得， 又此方程无解， 所以函数无零点. （2）在中令，得， 解得， 所以函数的零点为1. 18．【答案】(1) (2)当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 【分析】（1）由题意求出的函数即可；（2）由分段函数的性质，分和两段，分别求出最大值，取两者之中的较大者即可； 【详解】（1）由题意可得， ，所以 （2）当时，的图像为开口向上的抛物线，对称轴， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 19．【答案】(1) (2)每批应购入平板电脑台，全年运费和保管费最少，此时还需补元 【分析】（1）根据已知条件构造函数模型，利用待定系数法即可求解； （2）直接由基本不等式即可求解. 【详解】（1）设保管费与电脑总价值的比例系数为， 则 当时，，解得， 所以； （2）由（1），， 当且仅当，即时，等号成立， 所以每批应购入平板电脑台，全年运费和保管费最少，为元，此时还需补元. $ 4.5 函数的应用（二） 题型一 求函数的零点 2 题型二 函数零点的个数问题 3 题型三 零点存在性定理的概念和应用 5 题型四 判断零点所在区间 6 题型五 用二分法求函数零点近似值 7 题型 六 已知函数的零点求参问题 9 题型 七 二次函数的零点分布问题 11 课时精练 13 【基础回顾】 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 函数零点的概念 （1）一般地，如果函数 在实数 处的函数值等于零，即 ，则称 为函数 的零点。 （2） 是函数 零点的充分必要条件是， 是函数图像与 轴的公共点。 知识点 2：二次函数零点与对应方程根的关系 （1） 当 时，方程 的解集中有两个元素 ，且 是 的两个零点， 的图像与 轴有两个公共点 . （2）当 时，方程 的解集中只有一个元素 ， 且 是 唯一的零点， 的图像与 轴有一个公共点。 （3）当 时，方程 没有实数根，此时 无零点， 的图像与 轴没有公共点。 总结： 方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点。 知识点 3: 函数零点存在定理 如果函数 在区间 上的图像是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数 在区间 内至少有一个零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的解。 注意： （1）此判定定理只能判断出零点的存在性， 而不能判断出零点的个数。 如图①②，虽然都有 ，但图①中有 4 个零点，而图②中仅有 1 个零点。 （2）此判定定理是不可逆的，因为 函数 在区间 内存在零点。 但是已知函数 在区间 内存在零点不一定推出 . 如图③，在区间 内函数有零点，但 . ①② ③ 知识点 4: 用二分法求方程的近似解 对于在区间 上图像连续不断且 的函数 ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二， 使所得区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫作二分法。 知识点 5：二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度 ，用二分法求函数 零点 的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点 的初始区间 ，验证 . （2）求区间 的中点 . （3）计算 ，并进一步确定零点所在的区间： ①若 （此时 ），则 就是函数的零点； ②若 （此时 ），则令 ； ③若 （此时 ），则令 . （4）判断是否达到精确度 : 若 ，则得到零点的近似值 （或 b ） ; 否则重复步骤 (2)~(4). 由函数零点与相应方程解的关系， 我们可以用二分法来求方程的近似解。 题型一 求函数的零点 函数的零点就是对应方程的根， 求函数的零点常有两种方法： （1）令 ，方程 的根就是函数的零点； （ 2 ）作函数 的图像，图像与 轴公共点的横坐标就是函数的零点。 【例题精讲】 1．（25-26高一下·山西阳泉·开学考试）下列说法错误的是（ ） A．集合与集合不是同一个集合 B．已知，满足条件的集合的个数有7个 C．代数式的值组成的集合是 D．函数的零点为 2．（25-26高一上·辽宁大连·期末）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知为实数，是函数的零点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 4．（25-26高一上·山东临沂·期末）函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2026·河南濮阳·一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江·期末）已知函数，的零点分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期末）设函数 ，则（   ） A． B．有3个零点 C．当时，仅有1个零点 D．当时，的零点之和为1 （多选）9．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．为偶函数 B．有两个零点 C．在区间上单调递减 D．的值域为 （多选）10．（25-26高一上·新疆塔城·月考）下列命题为真命题的有（       ） A．函数（且）的图像恒过定点 B．函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则 C．函数的零点是， D．函数的零点所在区间可以是 题型二 函数零点的个数问题 判断函数零点个数的方法 （1）直接求出函数的零点进行判断。 （2）结合函数图像进行判断。 【例题精讲】 1．（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数，则关于直线与函数的图像的交点的个数说法错误的是（    ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 2．（25-26高一下·山西运城·期中）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上有5个零点 D． 3．（2026·江西九江·二模）定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）若幂函数的图像经过点，则函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高二下·湖北宜昌·月考）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的对称轴是 B．在上单调递增 C．的值域为 D．恰有两个零点 （多选）9．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，则（   ） A． B． C． D．函数有8个零点 （多选）10．（25-26高三下·河北沧州·月考）已知定义在上的偶函数满足当时，，则（    ） A．曲线过定点 B．若，则 C．若，则有且仅有4个零点 D．若，则 题型三 零点存在性定理的概念和应用 【例题精讲】 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·上海·月考）若二次函数在区间上是严格增函数，且满足，则方程在区间内（   ） A．至少有一个实根 B．至多有一个实根 C．没有实根 D．必有唯一一个实根 3．（25-26高一上·陕西西安·期末）若是函数的零点，是函数的零点，则（    ） A．4 B．8 C．9 D．18 4．（25-26高一上·广西桂林·期中）若函数在上存在零点，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山东枣庄·月考）已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 6 ﹣6.136 15.552 ﹣3.92 10.88 ﹣52.488 ﹣232.064 则函数至少有几个零点（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间内无零点 B．在区间内有且仅有1个零点 C．的所有零点之和为 D．在上有且仅有2个零点 （多选）8．（25-26高一下·湖南·月考）下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．不等式对一切实数x恒成立的充要条件是 C．函数在区间上存在零点 D．若，，，则的最小值为4 （多选）9．（25-26高一上·河南焦作·期末）定义在上的函数满足，都有，设函数，若，则下列正确的有（   ） A．单调递减 B． C．在上无零点 D． （多选）10．（25-26高一上·四川成都·月考）已知函数，，.则下列说法正确的是（   ） A．函数与函数互为反函数 B．函数在区间内有零点 C．若，，均为正实数，且满足，则 D．若函数的图像与函数的图像和函数的图像在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 题型四 判断零点所在区间 【例题精讲】 1．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·重庆·月考）已知方程的解为，求所在的区间为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·湖北咸宁·期中）已知函数，则该函数零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川宜宾·期末）函数的零点在下列区间内（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·云南·开学考试）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知单调递增函数的零点在区间内，且，则n的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 （多选）8．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）下列命题正确的有（    ） A．命题“，”的否定是“，” B．方程的解在内 C．“”是“不等式对一切实数恒成立”的充要条件 D．若，，则 （多选）9．（25-26高一上·四川成都·月考）已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（      ） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 题型五 用二分法求函数零点近似值 【例题精讲】 1．（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如下表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 4．（25-26高一上·江西景德镇·期末）用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 5．（25-26高一上·河南·月考）已知函数的图像如图所示，可以用二分法求近似值的零点个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·四川绵阳·月考）给出下列结论，其中正确的结论是（    ） A．函数在中存在零点，用二分法求零点时，若要求精确度为，则运算次数至少为次 B．已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是 C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于直线对称 D．若，则的值为 （多选）9．（25-26高一上·四川南充·期末）下列命题正确的有（    ） A．函数的反函数是 B．函数过定点 C．对于函数，能用二分法求函数零点近似值 D．已知为奇函数，当时，，则时， （多选）10．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法正确的是（   ） A．函数在内有零点 B．函数的零点是， C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，，，则零点近似值在区间上 题型六 已知函数的零点求参问题 探究函数 的图像与 轴公共点的坐标均可转化为探究函数 和 图像的交点情况。 观察图像，数形结合，易于解决问题。 【例题精讲】 1．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南岳阳·月考）已知函数，若方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南·一模）已知定义在上的函数满足当，，其中，当时，，若方程有无穷多个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·北京顺义·一模）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·辽宁·开学考试）设函数，若方程有且仅有三个解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）若函数有两个零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知函数若有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一下·浙江·期中）已知函数，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则不等式的解集为 C．若在上单调递减，则 D．当函数恰有2个零点，则 （多选）9．（2026·山东菏泽·一模）函数的图像是由函数，与函数，的图像“拼接”而成.则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．若有三个零点，则 D．若关于的方程存在实数解，则实数满足或 （多选）10．（25-26高一上·四川成都·月考）下列说法正确的有（ ） A．“”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件 B．不等式的解集是，则m的取值范围是 C．函数的最小值为1 D．使得对数有意义的实数的范围是 题型七 二次函数的零点分布问题 1. 两零点分布在相同区间的控制条件： 图像 区间 控制条件 总结 两零点在同一区间：需要考虑 3 种控制条件，一是判别式， 二是对称轴， 三是区间端点值 2. 两根分布在不同区间的控制条件： 图像 区间 控制条件 总结 两零点分布在不同区间： 只需要考虑区间端点值。 【例题精讲】 1．（2026·陕西安康·三模）若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知, 关于x的方程有两个小于1的正根，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河南郑州·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 7．（25-26高一上·山东淄博·期中）已知函数，若图像上存在两组关于原点对称的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一下·河南平顶山·月考）已知函数有两个零点，，则（    ） A． B． C． D．当取得最小值时， （多选）9．（25-26高一上·浙江杭州·期末）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则下列结论正确的是（   ） A．或 B．不存在，使得 C．若，则 D．已知，且，则或3 （多选）10．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知函数，若关于的方程有3个实数解 ，则（　　） A． B． C． D．关于的方程有3个实数解 课时精练 ( 28 ) 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．（25-26高一上·广西崇左·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东汕头·期末）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 4．（22-23高一·江苏·暑假作业）关于的函数的两个零点为，且，则＝（　　） A． B． C． D． 5．（20-21高一上·河南开封·期中）若的零点所在的区间为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东深圳·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·河南商丘·月考）已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·广东汕头·一模）溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（    ） A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B．已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C．溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D．溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 二、多选题 （多选）9．（25-26高一上·辽宁·期中）若函数有且只有两个正零点，则（   ） A． B． C． D． （多选）10．（24-25高三下·黑龙江·月考）已知函数，若函数存在两个零点，则的取值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．3 （多选）11．（25-26高一上·安徽池州·期中）一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图①②.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③.则下列说法中一定正确的有（    ） A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 三、填空题 12．（25-26高一上·江苏南京·月考）设为实数，若函数有且只有一个零点，则的值是__________. 13．（22-23高一上·北京昌平·期中）已知函数的两个零点分别为和，则的值为______． 14．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是_________． 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数 (1)在如图所示的坐标系中画出函数的大致图像； (2)写出函数的单调递增区间； (3)试讨论实数解的情况． 16．（2025高三·全国·专题练习）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，求实数的取值范围． 17．（24-25高一·江苏·暑假作业）求下列函数的零点： (1)； (2). 18．（24-25高一上·吉林·月考）某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 19．（24-25高一上·湖南衡阳·月考）某华为平板电脑体验店预计年月到年月全年可以销售台平板，已知该平板电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，则每批需付运费元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入台，则全年需付运费和保管费元. (1)求全年所付运费和保管费之和关于的函数； (2)若全年只有元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量：如果不够用，最少还需补多少？ $