第25章一元二次方程章节测试 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程单元复习卷，含选择、填空、解答题，覆盖定义、解法、根与系数关系、判别式及实际应用，以甲型流感传染、劳动教育实践基地等现实情境为载体，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|7|一元二次方程定义（1题）、配方法（3题）、实际应用（6-7题）|基础概念与现实情境结合，如流感传染模型（6题）| |填空题|5|根的代入（8题）、韦达定理（9题）、几何应用（11-12题）|运算能力与几何直观融合，如道路面积计算（11题）| |解答题|5|三角形形状判断（13题）、销售利润模型（16题）、矩形运动问题（17题）|综合应用与创新意识，如多问设计的运动面积问题（17题）|

第25章一元二次方程章节测试 一．选择题（共7小题） 1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x+1＝0 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．ax2+bx+c＝0 3．用配方法解方程x2+4x+3＝0时，配方后得到的方程为（　　） A．（x+2）2＝1 B．（ x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝1 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．2 D．﹣2 5．关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有实数根，则a的值可能是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 6．进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（　　） A．1+x+x（x+1）＝81 B．1+（1+x）+x（x+1）＝81 C．1+x+x2＝81 D．x（x+1）＝81 7．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地．如图，设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） （7题）（11题） A．x（6+x）＝8 B．6（1+x）2＝8 C．x（6﹣2x）＝8 D．x（6﹣x）＝8 二．填空题（共5小题） 8．已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　 　 ． 9．已知关于x的方程3x2+kx﹣18＝0的一个根是2，则另一个根为 　 　 ． 10．已知关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围为　 　 ． 11．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为　 　 　 ． 12．如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，CB＝40m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB向点B以3m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 13．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 14．解下列方程： （1）2（x+3）2＝4（x+3）； （2）． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围： （2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 16．景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量y（件）与销售单价x（元）（x≥50）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该纪念品的月销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 17．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第25章一元二次方程章节测试 一．选择题（共7小题） 1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得m＝1． 故选：A． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣2x+1＝0 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．ax2+bx+c＝0 【解答】解：A．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项A符合题意； B．∵方程x2+3不是整式方程， ∴方程x2+3不是一元二次方程，选项B不符合题意； C．∵方程x2﹣2y+4＝0含有两个未知数， ∴方程x2﹣2y+4＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意； D．当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，选项D不符合题意． 故选：A． 3．用配方法解方程x2+4x+3＝0时，配方后得到的方程为（　　） A．（x+2）2＝1 B．（ x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝1 【解答】解：x2+4x＝﹣3， x2+4x+4＝1， （x+2）2＝1． 故选：A． 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．2 D．﹣2 【解答】解：∵a＝1，c＝﹣5， ∴． 故选：A． 5．关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有实数根，则a的值可能是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：Δ＝（﹣3）2﹣4a≥0，解得， 故2，3，4，5中，a的值只可能是2． 故选：D． 6．进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（　　） A．1+x+x（x+1）＝81 B．1+（1+x）+x（x+1）＝81 C．1+x+x2＝81 D．x（x+1）＝81 【解答】解：设每轮传染中一人可以传染x个人， 第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（x+1）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝81． 故选：A． 7．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地．如图，设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．x（6+x）＝8 B．6（1+x）2＝8 C．x（6﹣2x）＝8 D．x（6﹣x）＝8 【解答】解：设矩形的一边长为x米， 根据题意得，x（6﹣x）＝8． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 8．已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　2　 ． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 9．已知关于x的方程3x2+kx﹣18＝0的一个根是2，则另一个根为 　﹣3　 ． 【解答】解：∵关于x的方程为3x2+kx﹣18＝0， ∴此方程的两根之积为﹣6． 又∵方程的一个根为2， ∴方程的另一个根为﹣3． 故答案为：﹣3． 10．已知关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围为k＜﹣1　 ． 【解答】解：根据根的判别式可得：（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＜0， 解得：k＜﹣1． 故答案为：k＜﹣1． 11．如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为　 　（32﹣x）（20﹣x）＝540　 ． 【解答】解：∵道路的宽为x米， ∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形． 依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540． 故答案为：（32﹣x）（20﹣x）＝540． 12．如图，在Rt△ABC中，AC＝50m，CB＝40m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB向点B以3m/s的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 　10s或s ． 【解答】解：50÷2＝25（s），40÷3（秒）． 设运动时间为xs． 当0＜x时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝3xm， 依题意得：（50﹣2x）•3x＝450， 整理得：x2﹣25x+150＝0， 解得：x1＝10，x2＝15（不合题意，舍去）； 当x＜25时，PC＝（50﹣2x）m，CQ＝40m， 依题意得：40（50﹣2x）＝450， 解得：x． 故答案为：10s或s． 三．解答题（共5小题） 13．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴2a＝2b， ∴a＝b， ∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0， ∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0， 即x2﹣x＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． 14．解下列方程： （1）2（x+3）2＝4（x+3）； （2）． 【解答】解：（1）原方程移项可得： 2（x+3）2﹣4（x+3）＝0， ∴2（x+3）[（x+3）﹣2]＝0， ∴2（x+3）（x+1）＝0， ∴x+3＝0或x+1＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣1； （2）方程两边同时乘以（x﹣3）得x﹣1+2（x﹣3）＝1， 去括号得x﹣1+2x﹣6＝1， 移项，合并同类项得3x＝8， 系数化为1得， 检验：当时，x﹣3≠0， ∴是原方程的解． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围： （2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＝8m﹣4≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m； （2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5， ∵x1x2+x1+x2＝m2+6， ∴﹣2m+5+4＝m2+6， 整理得：m2+2m﹣3＝0， 解得：m1＝﹣3（不符合题意，舍去），m2＝1， ∴m的值为1． 16．景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量y（件）与销售单价x（元）（x≥50）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该纪念品的月销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（50，1000），（60，800）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+2000（x≥50）； （2）根据题意得：（x﹣50）（﹣20x+2000）＝12000， 整理得：x2﹣150x+5600＝0， 解得：x1＝70，x2＝80． 答：该纪念品当月的销售单价为70或80元． 17．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵B在PQ的垂直平分线上， ∴PB＝BQ， ∴10﹣2t＝4t， 解得， ∴当时，点B在PQ的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由勾股定理得PQ2＝PB2+BQ2， ∴（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （3）由题意得，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm， ∵△PQC的面积等于32cm2， ∴， ∴， ∴t＝1或t＝7（舍去）， ∴当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/10 15:05:19；用户：微信用户；邮箱：orFmNt2XaOr9WnQX9Pu3xO--ahwI@weixin.jyeoo.com；学号：43689588 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $