精品解析：甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高三上学期第三次阶段性考试数学试题

平凉一中2025-2026学年度第一学期第三次月考试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟. 2.答题前，考生须在答题卡上正确填涂姓名､考号等相关信息. 3.所有试题均在答题卡上各题对应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷､草稿纸上作答无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知（是虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和共轭复数的意义即可得出. 【详解】，则. 所以的虚部为. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】， 则， 故选：D 3. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】含有量词的命题的否定，只需要改量词，否定结论即可. 【详解】命题，的否定为，， 故选：D． 4. 已知函数为奇函数，则m＝（ ） A. 5 B. 4 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数定义，结合余弦函数奇偶性列式求出值. 【详解】函数的定义域为，且是奇函数， 则，而不恒为0， 因此，所以． 故选：C 5. 在中，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合，化简得到，对照题设即得的值. 【详解】因为，可得， 所以， 又因为，所以. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦的两角和差公式，先求出，再用同角公式即可求解. 【详解】由， 因为，所以， 则， 又因为可得由， 可知即， 所以. 故选:D. 7. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】利用归纳可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出结论. 【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS，， 以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS， 由，可得， 所以，， 所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS， 故选：C. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解. 【详解】因为，所以为上的奇函数． 又因为， 所以在上单调递增. 又恒成立， 所以，则， 因此恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，因此． 故选：C． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 向量的夹角为 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，直接由夹角公式计算即可；对于B，转换成即可验算；对于C，由向量平行的充要条件即可求解；对于D，由投影向量的定义即可求解. 【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为，即向量的夹角为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，若，则存在实数，使得， 因为，所以不共线，所以，故C正确； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D错误. 故选：AC. 10. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义判断A；根据奇函数的性质求解判断B；举例判断C；先求出函数在时的极值点，结合奇函数的特征判断D. 【详解】对于是定义在上的奇函数，则，故A正确； 对于B，当时，，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，则， 令，解得或， 当时，0，此时单调递减，当时，，此时单调递增， 则是的极小值点，又因为是定义在上的奇函数， 由对称性可知，是的极大值点，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期是，则 B. 当时，图象的对称中心的坐标为 C. 当时， D. 若在区间上单调递增，则 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项根据周期公式求解，B选项根据正切函数的对称中心坐标公式求解，C选项直接代入求解，D选项根据正切函数的单调区间代入求解. 【详解】A选项，当的最小正周期是时，，则,故正确 B选项，当时，，所以令， 解得，所以函数图象的对称中心的坐标为，故正确. C选项，当时，，，故错误. D选项， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增，所以， 解得， 另一方面，即，所以， 又因为，所以由，得，由，得， 所以的取值范围是，故错误. 故选：AB 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】借助平面向量的三角形法则，用作为基底，分别表示向量，然后用平面向量的线性运算和数量积即可得解. 【详解】因为在单位正方形，点是边上一点，又，所以，， 所以. 故答案为： 13. 的内角的对边分别为的面积为，且，则边上的中线长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角形面积公式得到，由向量法即可求得答案． 【详解】由，解得， 设的中点为D，则， 则 ， 则， 即边上的中线长为． 故答案为：． 14. 设函数，若恒成立，则的最小值为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】分，，，可得，从而有，令，利用导数求解即可. 【详解】要使恒成立，需分情况讨论： 当，即时，， 即对恒成立，所以. 当，即，时，，恒成立； 当，即，时，， 即对恒成立， 所以， 综上，，则. 令， 对求导，. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在时取得最小值，， 即的最小值为2. 故答案为：2. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量与的夹角为，且. （1）若，用表示，并求； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量的线性关系得到关于和的表达式，再利用向量的数量积求出，最后通过向量模长公式求出. （2）先根据向量的线性关系得到的表达式，再由向量垂直的性质列出关于的方程，进而求解的值. 【小问1详解】 由题意得，在中，，如图， 则， 因此. 由，且与的夹角为，得， 所以 . 【小问2详解】 由，得，则. 由，得， 所以 ， 解得. 16. 在中，角所对应的边分别为且满足． （1）求的大小； （2）角的平分线与边相交于点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简即可； （2）根据得出，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由得， 由正弦定理得， 因为，所以， 即， 即， 因为，所以， 若，则矛盾，故，所以， 而，所以． 【小问2详解】 因角的平分线为，则， 因，且，则， ∴，∴， 则， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 18. 目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰为，测得基站顶端的仰角为. （1）求出山高（结果保留一位小数）； （2）如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？ 参考数据：，，，. 【答案】（1） （2）时，视角最大 【解析】 【分析】（1）利用仰角差得，通过正弦定理求，结合直角三角形求山高即可. （2）用正切表示仰角，通过正切差公式表示视角的正切值，结合基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由题意可知，，，，， 在中，，所以， 在中，， 所以山高. 【小问2详解】 由题意知，，，且， 则， 在中，， 在中，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最大值， 又，所以此时视角最大. 综上，当时，视角最大. 19. 设函数． （1）证明：； （2）设函数的导数为，，当时，函数存在一个极值点，求实数a的取值范围； （3）证明：当时，． 【答案】（1）欲证，即证， 即， 令，则， 则得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则，即，故命题得证. （2） （3）由（1）可知，，即，等号成立时， 取，则， 则， 故， 故当时，. 【解析】 【分析】（1）构造函数，通过求导研究其单调性，求证； （2）通过构造函数研究其单调性，利用和的函数图象交点即可； （3）由（1）可知，，等号成立时，令，得，即可求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因在上存在一个极值点， 则在上存在一个变号零点， 令，则， 令，则， 故在上单调递减， 又，， 故使得， 则当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 又时，，， 则的图象大致为： 则欲使在上存在一个变号零点， 则和的函数图象存在一个交点， 且在交点的两侧使得一侧，另一侧， 则， 则实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2025-2026学年度第一学期第三次月考试题 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟. 2.答题前，考生须在答题卡上正确填涂姓名､考号等相关信息. 3.所有试题均在答题卡上各题对应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷､草稿纸上作答无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知（是虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知函数为奇函数，则m＝（ ） A. 5 B. 4 C. D. 1 5. 在中，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 7 B. C. D. 7. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ） （参考数据：，，） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 向量的夹角为 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若的最小正周期是，则 B. 当时，图象的对称中心的坐标为 C. 当时， D. 若在区间上单调递增，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则______. 13. 的内角的对边分别为的面积为，且，则边上的中线长为__________． 14. 设函数，若恒成立，则的最小值为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量与的夹角为，且. （1）若，用表示，并求； （2）若，求实数的值. 16. 在中，角所对应的边分别为且满足． （1）求的大小； （2）角的平分线与边相交于点，且，求的最小值． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 18. 目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰为，测得基站顶端的仰角为. （1）求出山高（结果保留一位小数）； （2）如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？ 参考数据：，，，. 19. 设函数． （1）证明：； （2）设函数的导数为，，当时，函数存在一个极值点，求实数a的取值范围； （3）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $