广西壮族自治区柳州市柳州地区民族高级中学2026-2027学年高二上学期9月数学自主练习（1）

2028届地高高二（上）数学自主练习（1) 注意：请在20：10-21：10完成1-15题，剩余大题本周内完成 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U={xeZ-4≤x<3},集合M={-4,-3},则CM=（) A.{-2,-1} B.{-2,-1,0} C.{-2,-1,0,1}D.{-2,-1,0,12} 2,的模等于() 2.复数 A.2 B. 25 5 c. D 3.从1,2,3，.，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为() B号 c 7 D. 20 4.已知向量a=10,1),b=(-2,2,1),c=(3,4,),若a,b,c共面，则2等于（) A.-9 B.9 C.-5 D.5 5.已知a,B都是锐角，casa-cosa+)=,则cosP的值是() A. 14 B.月 C. D.14 6.函数f(x)=V2.-7x+3的单调递减区间为() A.（）)B.（m D.(3,+∞) 7.如图，在平行六面体ABCD-AB,C1D中，以顶点A为端点的三条棱长均为6， ∠AAB=∠AAD=6,DA⊥AB,则BD的长为（) A.66 B.6V5 C.6W5 D.6√2 8.在△4BC中，点D为AC边上的点，且ER,使得BD=元 BA BC BA Bcl 若BC=2CD=2, BD=√6，则△4BC的面积为() A. 2V10 15 3v15 3 B. 4 C. D. 15V5 4 试卷第1页（共4页） 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.射击运动员在一次射击测试中射靶10次，每次命中的环数如下：7,8,7,9,5， 4,9,10,7,4.以下说法正确的是（) A.这10个数的极差是3 B.这10个数的平均数是7 C.这10个数的第60百分位数是7D.这10个数的方差是4 10.已知函效)-2x 2co2x,则() A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f()在0牙上单调递减 C.函数f(y的图象关于0对称 D.将函数f()的图象向左平移个单位得到奇函数 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，P是BC上的动点（不包括端点）， 以下说法正确的是() A.过A,D,P三点的平面和正方体ABCD-AB,CD的截面是三角形 D B.DP/平面AB,D B C.三棱锥D-ABP的体积是定值 D.DP+D,P的最小值是26 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某高中调研学生对世界杯的关注程度，已知该校高一有600人，高二有650人， 高三有750人，现采用分层抽样的方法抽取80人进行调研，则高一应抽取的人数 是 13.已知点A(1,1,1),点B(2,1,0),则点P(1,1,0)到直线AB的距离为 14.已知四面体D-ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC为等边三角形，且△ABC 的面积为2√3，DA=DB=DC=2,则球O的体积为 试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形， 且PA=AB. (I)证明：AB⊥平面PAD; (2)求直线PD与平面PAC所成角的大小. 16.（15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为4，b,c,且i=(2b-a,cosA)与 =(c,cosC)共线： (1)求C: (2)若c=4,求△ABC周长的最大值 17.（15分)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC,BC=2AB=4,∠BCD=60°， E是BC的中点，AE∩BD=M,将梯形ABCD沿着AE翻折成B,-AECD,使B,D=V6, (I)求证：B,M1平面AECD: (2)求平面B,CE与平面B,AD夹角的正弦值. 试卷第3页（共4页) 18.（17分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形， E、F分别是AB、PD的中点.若PA=AD=3,CD=√6. P (1)求证：AF/平面PCE: (2)求点F到平面PCE的距离： (3)求直线FC与平面PCE所成角的正弦值. B 19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2√2， AD=2BC=2AB=4,AD∥BC,∠BAD=90°. (1)证明：平面PAC⊥平面PCD: (2)求三棱锥B-PAD的体积： (3)在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD与平面CDM的夹角为30°？若存在， 求出点M的位置；若不存在，说明理由. B 试卷第4页（共4页） 《2028届地高高二（上)数学自主练习(1)》参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A B C B C BD AC BC 1.D【详解】依题意，全集U={-4,-3,-2,-1,0,1,2},而集合M={4,-3},所以CwM={-2,-1,0,1,2} 25.2i2+0)=41-2-2+4i,所以 2.B【详解】因为2-2-(2+)55了 5 3.A【详解】1,2,3，，20中能被3整除的有3,6,9,12,15,18，共6个，所以所求概率为200 63 4.B【详解】向量a=1,0,1),b=(-2,2,1),c=(3,4,),由于a,b,c共面，所以存在元∈R,使得a=b+c,即 [1=-2元+34 1,0,1)=(-2,21,2)+(3弘，4，=)=(-22+34,22+4,1+0）.所以 0=21+4,解得1=-7,4= 2 ,2=9 1=元+2u 5.C【详解]】因为&，B都是绕角，所以a,Be（0a+Be0).因为cosa-)co(a+p)=- 14 所以ina=-esa-45,m(a+A)--coea+A-5 ,所以 7 14 cB-o[a+趴]=o(a+pea+ma+网na=-片+5iS 14*7+7x142 6.B【详解1由2-7+320，得x兮或x≥3，即西数)的定义发为(o.因为西数 y=2以-x+3在〔一星到上单洞道减。在（保网上单调道，所以由复合医数单调性，可知函数(）的单 调递减区间为题 7.C【详解】由题意可得BD=AD-AB+DD,以顶点A为端点的三条棱长均为6，∠AAB=∠AAD=60°， D1Lh8得D=-D6,40A8=0丽丽-6x6x分18ADD丽=6x6×18,则： 2 B0-NAD-AB+D0-D+B+D0-2ADA-24亚.D西+2DD西 =√36+36+36-0-36+36=6√5，故选：C. 8.C【详解】根据单位向量定义 BA BC IBAI BCI 分别是BA,BC方向上的单位向量， B 网与汽的和回蓝在ZBC的角平分线上，即D点在乙ABC附角￥分线上，防以01 DC BC 因为=2可列-2，故8c=2,CD-1,设4D=,8=,则有放4D= 因此4C=4D+DC-若1，CD中，sD=V6,BD=BC+CD-2 C,解得cosC-寻则 nC=,在a4BC中，4B=y,BC-2,AC=+l,AB=BC+AC2-2 BeACc,即 ”=2+-2x2后+-（解得）=4，即=4，内t40-c4Cac= 4 9.BD【详解】将10次射击命中的环数由小到大排列为：4,4,5,7,7,7,8,9,9,10， 对于A,这10个数的极差是6，A错误；对于B,这10个数的平均数4+4+5+7+7+7+8+9+9+10=7，B 10 正确：对于C,由10×609%=6，得这10个数的第60百分位数是7+8=75，C错误：对于D,这10个数的 2 方差是3)+-3+(-2+0+0+0+12+2+2+3”-4，D正确 10 答案第1页（共5页） 10Ac【详】对于AJ9m2-5。 2 cos2.x=sin 2x.cos cos 2x.sin 3=sin 2r- 3 则效/流小业调期T受，放A业确：对针B当〔0引时，2分兮-合引白 2 4 于正花质数)mr在引上竿游进培收时照)4(0》上中涧流备，收山沿谈：对于心当x-君。 可得日)n2名)-0，故函数)的图象关于（信）对格，故口正确：对于D,将还数)的图 家向在平移号个草议。.可得v=m千哥到引如2x+写引其不足音强数，茂D贷关。 11.BC【详解】选项A,过点P作直线I/1BC,且与CC1,BB分别交于E,F,连接AF,DE,则四边形AFED为 过A,D,P三点的平面和正方体ABCD-AB,CD的截面，在正方体中有AD/IBC,EF=AD,因为 EF/IBC,EF=BC,，所以EFI/AD,EF=AD,即四边形AFED为平行四边形，A错误： 选项B,连接BD,C,D,如图，作出符合题意的图形， D D :AB/1GD,AB=CD,四边形ABCD为平行四边形， AD /IBC,BCc平面BDC1,ADE平面BDC1, AD∥平面BDC,同理四边形ADCB,为平行四边形， AB,I/DC1,DCC平面BDC,ABC平面BDC, ∴AB/I平面BDC1,'AB∩AD=A,ABC平面ABD,ADC平面ABD, .平面BDC 11平面ABD,DPC平面BDC,DP/I平面ABD,B正确；选项C,连接BP,DP,在正 方体中，BC1IIAD,ADC平面ABD,BC￠平面ABD,所以BC1平面ABD,即直线BC上的点到平 面ABD的距离相等，因为P是BC1上的动点，所以点P到平面ABD的距离相等，即三棱锥P-ABD的高为 定值，又因为△AB,D的面积为定值，所以三棱锥D-AB,P的体积'ABP=V,,B为定值，C正确： 选项D,沿BC1将平面ABC1D,BDC1展开如下图所示，在正方体中DC1=2,BD=BC1=DC1=2W2,所以 ∠BCD=60°，即展开图中∠DCD=150°，在△DDC中，由余弦定理得 DD=DC+DC-2DC·DC cos∠DCD=12+4W6,所以DP+DP的最小值是VI2+46,D错误. 12.24【详解】，该校高一有600人，高二有650人，高三有750人， D .∴.全校总人数为600+650+750=2000 :采用分层抽样方法抽取80人，∴抽样比为 801 200025 :高一应抽取的人数为600×=24. 25 13.5【详解】由点4L1,B2,10),P1,10),得：B=(10,-,=(0.0,-), |AP2=02+02+(←102=1，AP.AB=1x0+0x0+(-1)×(1)=1,1ABVP+02+(←1=√2 根据空间点到直线的距离公式d= AP.AB g-59 【详解】已知△4BC为等边三角形，设边长为a,其面积S二3ad2=2W3,解得a=8,即 设底面△ABC的外接圆半径为r,2r= 2N526,因为DA=DB=DC=2,所以D在底面ABC上 3 的钱影班为4C的外车直角a0中，南DM=4-:-示-，4侵29 3 设四面体D-ABC外接球的球心为O,半径为R,球心O必在高线DH所在的直线上；设OH=x,由于D到 平面的距离为h=25,球心到平面ABC的距离为x,则R=r+O- 3 3 点D的距离也为R,则x2=(DH-R)}, 答案第2页（共5页） 12 R巴23超R=B,电此可知0在D1延长线上，侧球的体积何 3 15.(I)因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA⊥AB,…1分 由底面ABCD是正方形，可得AB⊥AD,…2分 又PA∩AD=A,且PA,ADC平面PAD,3分 得AB⊥平面PAD…4分 (2)设PA=AB=1,以A为原点，分别以AB、AD、AP的方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，…5分 则A(0,0,0),P(0,0,1),D(0,1,0),C(1,1,0),…6分 PD=(0,1-1),AP=(0,0,1),AC=(11,0),7分 设平面PAC的法向量为元=(K,y),则亚，4P=0 nAC= 即{20 +y=0’8分 令x=1,得y=-1,z=0,即平面PAC的一个法向量为i=(1,-1,0),…9分 PD.i 设直线PD与平面PAC所成角为O,则sin8= PD网 …10分 因为PD=0×1+1x(1)+(-1)x0=1,PD=V0+P+(←1)=5，园=2+（仁1+02=V2, 所以sn6=。1=1 V2x22,…11分 又9[引，所以0-君…1s分 6 16.(1)在△4BC中，A+B+C=元， :m与i共线，.(2b-)cosC=c cosA,…1分 由正弦定理可得(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA…2分 .2sin Bcos C-sin AcosC sinC cos A, ∴.2 sin Bcos C=sin Acos C+sinC cosA=sin(A+C)=sinB,…4分 sma40easc号又cea,所以c .…7分 3 (2)由(1D知C=骨又c=4,由余弦定理e-d+6-2 2ab os,…8分 得16=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(a+b)2-16=3ab,…10分 因为(0生，当卫仅当a=b时学号使立，分 a16-地3生，即6：61,3分 则a+b≤8,8<a+b+c≤12，所以△4BC周长的最大值为12.…15分 17.(1)等腰梯形ABCD中，ADBC,E是BC的中点，所以BE=AB=2, 所以四边形ABED为菱形，所以AE⊥BD,即AE⊥BM,…2分 又∠ABE=∠BCD=60°，所以B,M=DM=V3, B,D=V6,所以BMP+DM2=B,D,即MD⊥B,M,…4分 AE∩MD=M,AE,MDC平面AECD, 所以B,M⊥平面AECD.…6分 (2)由(1)知B,M⊥平面AECD,且MD LAE, 以M为原点，以MB,MD,MB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，…7分 所以B(0,0,V3),A(-1,0,0)C(2,B,0),E(1,0,0),D(0,V3,0)，…8分 B,C=(2,V5,-V3),EC=1,V3,0)…9分 设面B,CE的法向量为m=(5,片，三)， 答案第3页（共5页） B,C.m=2x1+V3y-V31=0 则 ,…10分 EC.m=y=0 取y=-1,则x=√3，z=1,则m=(3,-1,1),…11分 设面B,AD的法向量为n=(x2,y2,3), AB=1,0,V3),AD=1,V3,0) ABi=x,+32,=0ABi=x2+V,=0 则 AD.m=x23v2=0ADm=x2+3v2=0 取y=1,则x=-√3，z=1,则n=(←V3,1,1),…13分 设平面B,CE与平面BAD夹角为O, 则cos0=osm川= =人3-1+1 3 m阿V3+11x3+1中7方…15分 94 所以sin0=-c0s6=V1-255 …16分 所以平面B,CE与平面B,AD夹角的正弦值为 .…17分 18.(1)如图建立空间直角坐标系A-xz,A(0,0,0),P(0,0,3),D(0,3,0), E C(W63,0),取PC的中点G,连结EG,则G V633 2’22 …2分 ……3分 2’2 .AF/EG.即AF/1EG.…4分 又AF丈平面PCE,EGc平面PCE,…5分 .AF/平面PCE.…6分 a设半0同为i=,（a反-0 …7分 6 EP=0 +3z=0 即 2 取y=-1,得n=(N6,-1,1).…9分 iEC=0 2x+3y=0 故点F到平面PCE的距离为d= 厂2232..…12分 22 4 )-6 设直线FC与平面PCE所成角为6…13分 FC.n 3 √2I sin0Hcos(FC,n片 *22 FCm√21 14· …16分 ·直线C与平面PCB所成角的正弦值为Y2.。 …17分 14 19.(1)设DC中点G,连接PG,AC, AD=2BC=2AB=4,ADI∥BC,∠BAD=90°，所以AC=√AB2+BC2=2N2, 因为CD=2√2，所以有AC2+CD=AD2,则AC⊥CD,…1分 因为PC=PD,G为CD中点，所以PG⊥CD,…2分 因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD, 所以PG⊥平面ABCD,3分 因为ACc平面ABCD,所以PG⊥AC,…4分 因为PG∩CD=G,所以AC⊥平面PCD,…5分 答案第4页（共5页） 因为ACc平面PAC,所以平面PAC⊥平面PCD.…6分 (2)由(1)可知，PG⊥平面ABCD,因为PC=PD=CD=22,所以PG=V6,7分 则n加=m-专9G-}4x2x6-45…9分 1 11 32 3 (3)在棱PA上存在点M,使得平面PCD与平面CDM的夹角为30°，M为PA上靠近P的三等分点.， 证明如下： 由(1)得PG⊥平面ABCD,因为CB,CQc平面ABCD,则PG⊥CB,PG⊥CQ, 过C作PG的平行线CN,则以C为原点，CO所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CN所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图，…10分 由题意得CD=2√2，则C(0,0,0),D(2,-2,0),A(2,2,0), 因0G=CD=5m=25.则G-6,放P1.-10 则PA=1,3,-6),C严=4，-1，V6),cD=(2,-2,0, 设PM=PA,由题可知0<元<1， CM=CP+PM=CP+PA=1+,3-1,V6-√6)，…11分 设平面PCD法向量为=(：，4，)， 则C严美-片65=0，令5=1，则=l5=0,4-L0,…2分 h·CD=2x1-24=0 设平面CDM的法向量为乃=(c2,2,22), 则匹-CM=Q++32-1%+50-g=0 ,CD=2x2-2y2=0 42 42 令61.则=1562-D元L6D …14分 因为平面PCD与平面CDM的夹角为30°， 4巧 所以cos4,乃 V2x,/2+162 =c0s30°=V3 …15分 V6(-1 2 化简得32+22-1=0，即32-2+)=0，又0<<1，则2=3…16分 所以M为PA上靠近P的三等分点.…17分 答案第5页（共5页）