函数与导数培优检测卷-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

**基本信息** 聚焦函数与导数核心知识，覆盖基础概念到综合应用，题型多样且注重数学思维与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题|定义域、奇偶性判断|从函数定义到性质推导，构建概念体系| |性质应用|5题|单调性、零点、不等式恒成立|结合导数工具，实现性质到应用的转化| |导数综合|6题|极值、最值、切线问题|以导数为核心，串联函数与方程思想| |实际应用|2题|PCR扩增、仓库建造|体现数学模型意识，解决现实问题|

函数与导数培优检测卷 一、单选题 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 3．（2026·云南·三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江西赣州·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北武汉·三模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 7．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西·三模）已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·湖南·一模）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．当时， C．的零点个数为3 D．不等式的解集为且 10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．则下列说法正确的是（   ） A．对任意恒成立 B．在处取得最小值 C．方程有且仅有一个实数根 D．当时，单调递增 11．（2026·河南·模拟预测）已知且，函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为增函数 B．若，则的解集为 C．若，则的图象关于直线对称 D．，，恒为常数 三、填空题 12．（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则__________． 13．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 14．（2024·上海宝山·一模）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是___________. 四、解答题 15．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 16．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数． (1)若是的极值点，求； (2)若有两个零点，求的取值范围． 17．（2025·浙江杭州·一模）已知函数，为的导数，其中为自然对数的底数. (1)求； (2)证明：当时，； (3)设，对任意的，若，求证：. 18．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在其定义域内恰好有两个零点，求实数的取值范围； (3)当时，求证：函数在的最小零点处取得最小值. 19．（2026·山东聊城·一模）对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．已知函数的不动点为，数列满足，，它的前项和为． (1)证明：； (2)若，证明：当为偶数时，； (3)若，证明：当时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数培优检测卷 一、单选题 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为0即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0即可判断B；根据对数函数真数大于0即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D. 【详解】对A，，由可知其定义域为，故A错误； 对B，，由知其定义域为，故B错误； 对C，，由，解得，则其定义域为，故C错误； 对D，，显然其定义域为，故D正确. 2．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】C 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 3．（2026·云南·三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 【答案】D 【分析】由条件列方程求，由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得． 【详解】由题意知，当时，，代入， 得， 整理得：，也就有， 将代入， 得， 整理得：， 故，但由于扩增次数必须为整数， 故至少需要27次扩增，即. 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，. 选项A，为上的奇函数，且，，符合题意； 选项B，是非奇非偶函数，不合题意； 选项C，是定义在上的偶函数，不合题意； 选项D，是定义在上的奇函数，， ，不合题意. 5．（2026·江西赣州·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明不等式和，然后利用这两个不等式可比较三者的大小. 【详解】设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立， 故当时，，即. 令，由可得， 而，故. 6．（2026·湖北武汉·三模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（    ） A．71 B．-71 C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，所以， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以为周期的函数， . 7．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可. 【详解】由在上单调递减知； 由在上单调递减知： 当，即满足题意； 当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 8．（2026·陕西·三模）已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 二、多选题 9．（2026·湖南·一模）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．当时， C．的零点个数为3 D．不等式的解集为且 【答案】AD 【详解】，由，解得， 由，解得或， 所以在和上单调递减，在区间上单调递增， 所以，分别为的极小值点和极大值点， 则有两个极值点，故A正确； 因为，所以， 根据在区间上单调递增，所以，故B错误； ，，， 结合的单调性，作出的大致图象，由下图可知，有两个零点，故C错误； 结合图象可知不等式的解集为且，故D正确． 10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．则下列说法正确的是（   ） A．对任意恒成立 B．在处取得最小值 C．方程有且仅有一个实数根 D．当时，单调递增 【答案】ABD 【分析】根据函数的导数求出函数的极小值即可判断AB，方程可化为，构造函数，利用导数分析函数的单调性、极小值，即变化趋势可判断C，设，利用导数判断函数单调性及可判断D. 【详解】因为，所以， 当时，；当时，． 因此在处取得极小值，也是最小值， 所以，故AB正确． 方程即,令, 因为，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， , ，所以方程有两个实根．故C错误． 设，则． 令，则，且， 所以当时，，从而，故在上单调递增，D正确． 11．（2026·河南·模拟预测）已知且，函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为增函数 B．若，则的解集为 C．若，则的图象关于直线对称 D．，，恒为常数 【答案】ABD 【分析】作出分段函数的图象可判断AB；举反例可判断C；构造函数，利用零点存在定理证明存在使得，即方程有解即可判断D； 【详解】对于A，B，当时，的图象如图，可知A，B正确； 对于C，，，可得点，连线的斜率并不恒为，C错误； 对于D，若存在满足，则对任意正整数，次复合后结果恒为，是常数. 当时，令，是连续函数， 当时，，故；且， 由零点存在定理，存在使得，即，因此存在满足要求的， D正确. 三、填空题 12．（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则__________． 【答案】 【详解】，当时，切点坐标为， 求导得，则， 切线方程为：，即， 代入点得，，解得． 13．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 14．（2024·上海宝山·一模）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据题意得甲工程队整体报价，由题意可得 ，孤立参数根据对勾函数的性质确定函数单调性从而得最小值即可得实数的取值范围. 【详解】若仓库前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程整体报价为， 若乙队要确保竞标成功则 ， 所以，则， 因为，所以函数， 当且仅当时，即时，函数有最小值， 所以函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案； （2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . 16．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数． (1)若是的极值点，求； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零构造方程求解，注意最后要检验； （2）把有两个零点，转化为方程有两个正实数根，分离参数得到，令问题转化为与的交点个数，令求导，并分析的单调性求出最小值，再分段讨论求解． 【详解】（1）函数求导得，已知是极值点， 则，解得． 当时，， 当时，；当时，，故是极小值点，符合题意． 故． （2）已知有两个零点，即方程有两个正实数根， 则， 设，问题转化为与的交点个数， 令，则， ，令，得， 当时，，单调递减； 当且时，，单调递增； 当时，在处取得极小值，， 故在处取得极小值，为； 当和时，； 当时，且单调递增，故单调递增且， 故方程最多有一个零点； 要使有两个零点，需满足与在内有两个交点，即． 17．（2025·浙江杭州·一模）已知函数，为的导数，其中为自然对数的底数. (1)求； (2)证明：当时，； (3)设，对任意的，若，求证：. 【答案】(1)1 (2)证明：设， ， 所以在上单调递增，当时，， 所以，当时，成立. (3)证明：因为，则， 由（2）知，即， ∴ 所以. 原式 【分析】（1）求导数，代入即可求得结果； （2）令，求导数由基本不等式得到最值，然后得到函数在上单调，从而得到最值，即可得证； （3）由（2）得到，然后得到的不等式，从而可求得不等式左边的范围，从而得证. 【详解】（1）， 所以； （2）略 （3）略 18．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在其定义域内恰好有两个零点，求实数的取值范围； (3)当时，求证：函数在的最小零点处取得最小值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3)当时，由（2）知在上单增，在上单减，有两个零点，且 当时，， 当时，，则， 由于函数和在上都单调递增， 所以在上单调递增； 当时，， 则， 由于，则， 下证：，只要证：. 由于，，且在上单调递增， 即证：，即证：（**）， 因为当时，，， 则， 即（**）一定成立， 所以，即在上单调递减， 综上所述，，原命题得证. 【分析】（1）先求定义域，求导分析导函数得符号，从而求出单调区间； （2）按正负分类讨论单调性，利用最大值大于0建立不等式，再构造新函数借助导数研究最值从而确定参数范围； （3）通过去绝对值分段研究的单调性，借助放缩法证明导数的符号，结合单调性即可证明最小值. 【详解】（1）当时，，则， 由，得， 所以当时，，单调递增 当时，，单调递减 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为（）， 当时，，在定义域上单调递增，舍去； 当时，由，得， 所以在定义域上单调递增，舍去； 当时，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，；时，， 所以在处取得最大值， 由题意知，必须（*）. 设，则， 由，得，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，故在取得最小值， 即，即（*）式恒成立， 所以，所求实数的取值范围是. （3）略 19．（2026·山东聊城·一模）对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．已知函数的不动点为，数列满足，，它的前项和为． (1)证明：； (2)若，证明：当为偶数时，； (3)若，证明：当时，． 【答案】(1)证明：由题意，有，即． 记，则， 求导得，于是在上单调递增． 而，， 由零点存在定理，得，即． (2)证明：已知，先证明，即证明， 记，则，于是在上单调递增． 当时，，即；当时，，即. 易知在单调递减． 因为，所以， 即，于是， 因，，则． 依次反复操作，易推得，，且，①． 于是当为偶数时，． (3)先证明，，②． 由已知可得，假设，， 易知在单调递减，于是，即， 于是，即，于是结论②成立． 由（1）可知，在上单调递增， 又，于是，结合（1）可知． 由（2）知，在上单调递增， 因为，，所以，即，即． 因为，所以，即，即． 当且为偶数时， ， ； 当且n为奇数时， ， ． 综上，当时，． 【分析】（1）构造单调函数，利用零点存在与单调性锁定零点区间，快速证得; （2）先归纳得到数列奇偶项分处两侧，再构造递增函数证相邻两项和小于，偶数项求和放缩即得结论； （3）根据(2)问结论，构造函数，借助函数的单调性得到相邻两项和上下界，再分奇偶对分类放缩求和，结合的范围完成不等式证明. 【详解】（1）略. （2）略. （3）略. 1 学科网（北京）股份有限公司 $