综合检测卷03 集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用-2027届高三数学一轮复习单元集训专题

**基本信息** 聚焦集合、函数、导数等核心模块，以“概念-性质-应用”逻辑链整合知识，突出跨模块综合与数学思维考查。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-4、多选9|概念辨析与简单应用|集合为基础，常用逻辑用语与不等式构建数学表达| |函数性质与导数应用|单选2、6、8、填空13-14、解答16-17|导数工具性与函数性质综合|函数性质（单调性、极值）通过导数深化，切线问题体现几何直观| |综合应用|单选5、7、多选10-11、填空12、解答15、18-19|跨模块结合与实际情境建模|牛顿冷却定律等实际问题体现模型意识，零点问题综合函数与方程思想|

综合检测卷03　集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则集合中元素的个数为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【详解】若，则；若，则；若，则； 若，则；若，则； 所以，共个元素. 2．曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由求导得. 则，. 所以曲线在处的切线方程为. 即. 该切线经过点，则得. 解得. 3．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 4．已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】由得，利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 6．若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数存在减区间的问题转化为导数小于0的存在性问题，通过分离参数法，结合反比例函数的值域求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 函数在区间上存在减区间， 等价于存在，使得成立， 即在上有解. 当时，， 故，即实数的取值范围是. 7．已知函数的定义域为，满足且，则（     ） A．1 B．-1 C．0 D．2026 【答案】C 【分析】通过赋值法得到数列是以2为周期的数列及，即可得解. 【详解】因为，， 令，则，所以，得， 令，则，所以，得， 令，则，所以，得， 所以数列是以2为周期的数列. , . 8．若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由极值点的定义，将问题等价于导函数求零点，利用导数与函数单调性的关系，可得答案. 【详解】由，求导可得， 由题意可得函数存在唯一变号零点，则方程存在唯一解， 即方程存在唯一解， 令，求导可得，由，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，则，当时，， 易知当，即时，方程存在唯一解， 当时，，易知方程的解为， 由当时，，，则，同理可得当时，， 所以此时函数无极值点，不符合题意； 当时，，易知函数在上单调递增，符合题意. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【分析】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误. 【详解】由题意可知，则， 对于A，所以且，故A正确， 对于B，， 故B错误； 对于C，不等式，故C正确； 对于D，不等式，又， 可得，所以或，故D错误. 故选：AC. 10．设函数，.则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．在处取得最小值 C．方程有且仅有一个实根 D．对任意，都有 【答案】ABC 【详解】函数，则. 由于，所以. 因此. 故是偶函数，A正确； 求导得.当时，；当时，. 所以在处取得最小值，B正确； 方程. 令，则，所以，即. 由于，唯一解为. 因此对应唯一实根，C正确； 当时，，而. 因此当足够大时，，D错误. 11．已知函数，其中，则下列说法正确的有（    ） A．存在实数使得为上的奇函数 B．若为增函数，则的取值范围为 C．对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点 D．若，则方程有三个不同的实数根 【答案】BC 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：分和两种情况，结合恒成立运算求解；对于C：令，，结合零点存在性定理分析判断；对于D：分析可知函数在定义域内单调递减，且值域为，即可判断结果. 【详解】对于选项A：因为， 即，可知不为奇函数，故A错误； 对于选项B：若为增函数，可知函数连续不断， 当时，则，可得恒成立， 则，可得； 当时，则，可得恒成立， 则，可得； 综上所述：的取值范围为，故B正确； 对于选项C：当时，令， 因为，， 可知函数在内存在零点，即方程在内有根， 所以对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点，故C正确； 对于选项D：若，则有： 当时，则，可得恒成立， 可知函数在内单调递减，则， 且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为； 当时，则，可得恒成立， 可知函数在内单调递减，则， 且当x趋近于时，趋近于，所以函数在内的值域为； 综上所述：函数在定义域内单调递减，且值域为， 所以方程有且仅有1个实数根，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是偶函数，且，当时，，则等于____. 【答案】 【分析】先求出函数的周期，再根据偶函数及已知条件求解即可. 【详解】因为， 所以函数的周期为， 又因为当时，，且是偶函数， 所以. 13．点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为________． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义及点到线的距离计算. 【详解】因到直线的距离最小，故过与直线平行的直线与曲线相切， 由题意可知：,令，得 易得函数在单调递增，且为零点. 此时点M的坐标为. 此时M到直线的距离， 所以点M到直线的距离的最小值为. 14．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题意得出，由此得出，于是得出，然后对实数的取值进行分类讨论，结合极大值点的定义进行验证即可. 【详解】因为，所以， 由题知，则， 令可得或. 若，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在处取得极小值，不合乎题意； 若，即当，则对任意的恒成立， 此时，函数在上单调递增，无极值点； 若，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数在、上单调递增，在上单调递减， 此时，函数在处取得极大值，合乎题意. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由中对应项系数相等可得； （2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论． 【详解】（1）当时，， ， 得，； （2），，， 由可得， 整理并代入得， 即， 已知，若，即时，或， 若，即时，， 若，即时，或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16．已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)当时，讨论函数的极值; 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求导后令得到，通过讨论的大小关系来确定函数单调性； （2）根据（1）确定的函数单调性来求极值. 【详解】（1）, 令，得，注意， 当，即时， 令得，函数单调递增， 令得，函数单调递减； 当，即时， 令得，函数单调递增， 令得或，函数单调递减； 当，即时， 令得，函数单调递增， 令得或，函数单调递减； 当，即时，恒成立，函数单调递减； 综上所述： 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递减； （2）若，由（1）得 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减， 的极小值为， 极大值为， 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 的极小值为， 极大值为， 当时，函数在上单调递减，无极值. 17．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)要证，即证． 又，即证． 设，， 所以在上单调递增． 所以．所以 (3)． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）通过构造函数，利用导数求出在时的最小值即可； （3）由函数在上是增函数，可得，构造，利用导数求出的单调性即可. 【详解】（1）因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）略. （3）因为，所以当时，且，即，所以在上是增函数， 因为，， 若对恒成立，则， 设，， ①时，显然，所以在单调递增， 当时，，所以对任意有，即，所以符合题意． ②当时，显然，． ↘ 极小值 ↗ 由上表知，． 依题意，所以． 综上可知的取值范围为． 18．已知函数 (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在的最大值和最小值之差不超过，求的取值范围； (3)已知函数只有一个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或或. 【详解】（1）当时，，由，得，即，即，即，所以，解得或， 所以不等式的解集是； （2）因为在定义域上单调递减且， 所以在区间上的最大值是，最小值是， 依题意得，即对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令，则， 当，;当，， 所以，故，所以的取值范围是； （3）因为只有一个零点， 所以方程只有一个根， 所以只有一个根， 整理得，， 即，即， ①若，此时，代入真数知真数大于0，符合题意； ②若，此时，代入真数知真数大于0，符合题意； ③若使得真数大于0，使得真数小于等于0，即时符合题意，此时； ④若使得真数小于等于0，使得真数大于0，即时符合题意，此时无解． 综上所述，的取值范围为. 19．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)若，对任意两个不相等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)极大值为，极小值为 (3) 【分析】（1）利用导数求出切点斜率后利用点斜式方程即可求出切线方程； （2）把代入方程后利用导数求出极值即可； （3）利用导数可求得单调性，从而将恒成立的不等式转化为单调递减，进而得到恒成立，采用分离变量法可求得结果． 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，， ，切线斜率， 故切线方程为或. （2）当时，，， 令，得或， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 故函数的极大值为，极小值为. （3）的定义域为， 因，则，则在上单调递增， 设，则， 则由得：， 令，则有，故在上单调递减， 故在上恒成立，即， 设，则， 当时，；当时，； 即在上单调递增，在上单调递减，故， ，即实数的取值范围为． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合检测卷03　集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则集合中元素的个数为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 2．曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 4．已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 5．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 6．若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是(   ) A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，满足且，则（     ） A．1 B．-1 C．0 D．2026 8．若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 10．设函数，.则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．在处取得最小值 C．方程有且仅有一个实根 D．对任意，都有 11．已知函数，其中，则下列说法正确的有（    ） A．存在实数使得为上的奇函数 B．若为增函数，则的取值范围为 C．对于任意实数，的图象上都存在关于原点对称的点 D．若，则方程有三个不同的实数根 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是偶函数，且，当时，，则等于____. 13．点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为________． 14．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 16．已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)当时，讨论函数的极值; 17．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设，若对恒成立，求的取值范围． 18．已知函数 (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在的最大值和最小值之差不超过，求的取值范围； (3)已知函数只有一个零点，求的取值范围． 19．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)若，对任意两个不相等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $