2027年高考数学一轮复习培优卷（范围：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式～第三章 一元函数的导数及其应用）（全国通用）

**基本信息** 聚焦集合、不等式与导数综合应用，通过新考法、新情境题型构建知识网络，强化逻辑推理与模型应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与常用逻辑用语|选择1-2,4,9-10,填空12|基础概念辨析、新考法结合不等式求范围、充分必要条件判断|以集合为载体，逻辑用语为工具，构建概念到条件判断的推理链条| |不等式|选择6,填空13,解答15-16|新情境应用（传令兵问题）、含参不等式有解/解集问题|作为工具贯穿集合范围、函数定义域及导数应用中的参数讨论| |导数及其应用|选择3,5,7-8,11,填空14,解答17-19|切线斜率、函数最值、新定义“关联函数”、单调性与零点讨论|以导数为核心，连接函数性质研究，体现从几何意义到综合应用的拓展|

2027年高考数学一轮复习培优卷 （范围：第一章 集合与常用逻辑用语、第二章 不等式、第三章 一元函数的导数及其应用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·四川巴中·一模）下列命题中为真命题的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A：,都有，所以，故不存在使得成立，故A错误. 对于B：当时，，故B错误. 对于C：，为非负整数，且自然数集包含所有非负整数，故C正确. 对于D：，，故不存在，故D错误，故选C 2．（新考法）（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则，解得或， 所以若，则的取值范围为. 3.（2026·福建·三模）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为曲线，所以，， 在处的切线的倾斜角为，则则. 4．（2026·湖南长沙·三模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合，所以“”是“”的必要不充分条件． 5．（2026·山东济南·模拟预测）函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，令，得或. 当时，，递增，当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点.要使上存在最大值， 需，又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上. 6．（新情境）（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】已知传令兵的行进速度为， 则传令兵从排尾到排头所需时间为，从排头到排尾所需时间为， 则往返共用时间，即①， 由传令兵回到排尾时，全队正好前进了，得②， 由①②得，解得，（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立． 7．（新考法）（2026·山西忻州·模拟预测）设在上的最小值为0，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】函数． 要求在上的最小值为0． 当时，对称轴在区间左侧，函数在上递增，最小值为，最小值小于，矛盾． 当时，对称轴在区间内，最小值为． 令，得． 当时，对称轴在区间右侧，函数在上递减，最小值为，最小值小于，矛盾． 所以，又，即， 故，元素个数为2． 8．（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵对数函数定义域上单调递增，且，所以， ， 令函数，，且， 则导数，当时，，函数单调递减， ∴，即， ∴. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由，得，所以，A正确． 因为，所以，所以0，所以，B正确． 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，C正确． 因为，所以，D错误． 故选：ABC． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【解析】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 11．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．则下列说法正确的是（   ） A．在处取得最小值 B．方程有且仅有一个实根 C．对任意，函数关于单调递增 D．对任意，都有 【答案】ABC 【解析】由，得． 当时，；当时，． 所以在处取得最小值．故A正确； 方程等价于， 即，令． 则，且． 除外，， 故严格递增，只有一个零点0．所以方程有且仅有一个实根．故B正确． 对任意，． 对求导得． 所以关于单调递增．故C正确． 当时，． 令，有． 故不可能对任意都有．D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2026·云南红河·模拟预测）已知全集，集合均为的子集，且，则满足条件的集合的个数是_____ 【答案】 【解析】，，， 满足条件的集合的个数为. 13.若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】解法一 、令， ①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件． ②当时，的图象的对称轴方程为， 若，则在上单调递减，则只需满足，得； 若，则，且时已满足条件． 综上，实数的取值范围为． 解法二、时，，由得， 则在上有解． 令，则当时，； 当时，， 又在单调递增，所以，即， 故实数的取值范围为． 14．（新情境）设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】令得，设函数， 则直线与函数在区间上的图象有两个交点， ，令，可得，列表如下： 极大值 ，，如图所示： 由图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）（2026·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【解】（1）（1）由，解得且， 所以集合且， ………………………………2分 不等式可化为 当时，不等式可化为为， 所以，故集合， ………………………………4分 又或， ………………………………5分 所以或或； ………………………………7分 （2）因为是的充分条件，所以是的子集， 又且， 当时，，满足题意， ………………………………8分 当时，， 所以或，结合解得，， ………………………………10分 当时，， 所以，得. ………………………………12分 综上，实数的取值范围为. ……………………………13分 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【解】（1）因为的解集为， 若，得，符合题意； ………………………………2分 若时，则， ………………………………5分 解得； ………………………………6分 综上所述：实数的取值范围是. ………………………………7分 （2）由不等式，化简得， 即，其对应方程的两根为， …………………9分 当，即时，不等式的解集为或； ………………………………11分 当，即时，解集为R； ………………………………12分 当，即时，不等式的解集为或； ………………………………14分 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. ………………………………15分 17.（本小题满分15分）（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【解】（1）．   当时，恒成立，故函数在单调递增；   ………………………………2分 当时，令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， …………………5分 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； ………7分 （2）令，，， ………………………………8分 ，，． ………………………………9分 令，， 而在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； ………………………………11分 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，时，， 所以在单调递减，在上单调递增， ………………………………13分 故由可知，时，与在恒成立矛盾； ………………14分 综上，实数的取值范围是． ………………………………15分 18．（本小题满分17分）（2026·山东德州·三模）已知函数． (1)求的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，讨论在区间上零点的个数． 【解】（1）由，则，， ………………………1分 当时，；当时，， ………………………………3分 在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； ………………………………5分 （2），此时， 法一：分离参数法， 从而， ………………………………6分 令，则， ………………………………8分 所以；， 所以在单调递减，在单调递增， 因此，故的取值范围为； ………………………………10分 法二：必要性探路， ， ………………………………6分 令，， ………………………………7分 下证：，时，恒成立， 由一次函数在上递减， 则， 在和上恒成立，且时， ……………………9分 所以恒成立，故的取值范围为； ………………………………10分 （3）在区间上有3个零点， 理由如下： 由于，所以是函数的一个零点， ， ①当时，此时恒成立，又恒成立， 从而恒成立，所以在区间上没有零点； ………………………………12分 ②当时，此时，， 设，， 由于恒成立，所以，即在上单调递减， 从而存在使得， 即在区间上递增，区间上递减，从而， 又， 所以在有唯一零点，即在上有唯一零点， ………………………………14分 ③当时，此时，， 所以 从而， 由于，，，所以， ， ………………………………16分 又，从而在上恒成立， 所以在区间上单调递减， 因为，， 因此在区间上有唯一零点， 综上所述，函数在区间上有3个零点 ………………………………17分 19.（新定义）（本小题满分17分）（2026·上海·模拟预测）已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． (1)设，求集合； (2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； (3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 【解】（1）由定义得， 而，，， ………………………………1分 故解得，， ………………………………3分 综上，． ………………………………5分 （2）必要性：若函数为偶函数，， 则对任意的，有， 对上式两边同时求导，可得：， 故函数是奇函数，， ………………………………6分 若，则，即， 进而有，即， 故对任意，，故必要性成立； ……………………………8分 不充分性：不妨取，， 此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立………9分 综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件 …………10分 （3）由对任意且，都有， 可得：对任意 且，都有， 即函数在上是不减函数，即恒成立， 由，可得：， ………………………………12分 设， 则， 则对恒成立，即对恒成立， 令，，故， 故函数在和是减函数，在是增函数， ………………………14分 大致图像如图，， （i）当时，不等式可化为，此时， （ⅱ）当时，不等式可化为， 此时，故； （ⅲ）当时，不等式可化为， 此时，故； 综上，实数的取值范围是． ………………………………17分 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考数学一轮复习培优卷 （范围：第一章 集合与常用逻辑用语、第二章 不等式、第三章 一元函数的导数及其应用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·四川巴中·一模）下列命题中为真命题的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 2．（新考法）（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2026·福建·三模）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B．2 C． D． 4．（2026·湖南长沙·三模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·山东济南·模拟预测）函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（新情境）（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 7．（新考法）（2026·山西忻州·模拟预测）设在上的最小值为0，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 11．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．则下列说法正确的是（   ） A．在处取得最小值 B．方程有且仅有一个实根 C．对任意，函数关于单调递增 D．对任意，都有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2026·云南红河·模拟预测）已知全集，集合均为的子集，且，则满足条件的集合的个数是_____ 13.若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______． 14．（新情境）设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）（2026·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 16．（本小题满分15分）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 17.（本小题满分15分）（2026·湖北·三模）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分）（2026·山东德州·三模）已知函数． (1)求的极值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，讨论在区间上零点的个数． 19.（新定义）（本小题满分17分）（2026·上海·模拟预测）已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． (1)设，求集合； (2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； (3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考数学一轮复习培优卷 （范围：第一章 集合与常用逻辑用语、第二章 不等式、第三章 一元函数的导数及其应用） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C B D C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC BD ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．8 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）（1）由，解得且， 所以集合且， ………………………………2分 不等式可化为 当时，不等式可化为为， 所以，故集合， ………………………………4分 又或， ………………………………5分 所以或或； ………………………………7分 （2）因为是的充分条件，所以是的子集， 又且， 当时，，满足题意， ………………………………8分 当时，， 所以或，结合解得，， ………………………………10分 当时，， 所以，得. ………………………………12分 综上，实数的取值范围为. ……………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）因为的解集为， 若，得，符合题意； ………………………………2分 若时，则， ………………………………5分 解得； ………………………………6分 综上所述：实数的取值范围是. ………………………………7分 （2）由不等式，化简得， 即，其对应方程的两根为， …………………9分 当，即时，不等式的解集为或； ………………………………11分 当，即时，解集为R； ………………………………12分 当，即时，不等式的解集为或； ………………………………14分 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. ………………………………15分 17.（本小题满分15分） 【解】（1）．   当时，恒成立，故函数在单调递增；   ………………………………2分 当时，令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， …………………5分 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； ………7分 （2）令，，， ………………………………8分 ，，． ………………………………9分 令，， 而在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； ………………………………11分 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，时，， 所以在单调递减，在上单调递增， ………………………………13分 故由可知，时，与在恒成立矛盾； ………………14分 综上，实数的取值范围是． ………………………………15分 18.（本小题满分17分） 【解】（1）由，则，， ………………………1分 当时，；当时，， ………………………………3分 在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； ………………………………5分 （2），此时， 法一：分离参数法， 从而， ………………………………6分 令，则， ………………………………8分 所以；， 所以在单调递减，在单调递增， 因此，故的取值范围为； ………………………………10分 法二：必要性探路， ， ………………………………6分 令，， ………………………………7分 下证：，时，恒成立， 由一次函数在上递减， 则， 在和上恒成立，且时， ……………………9分 所以恒成立，故的取值范围为； ………………………………10分 （3）在区间上有3个零点， 理由如下： 由于，所以是函数的一个零点， ， ①当时，此时恒成立，又恒成立， 从而恒成立，所以在区间上没有零点； ………………………………12分 ②当时，此时，， 设，， 由于恒成立，所以，即在上单调递减， 从而存在使得， 即在区间上递增，区间上递减，从而， 又， 所以在有唯一零点，即在上有唯一零点， ………………………………14分 ③当时，此时，， 所以 从而， 由于，，，所以， ， ………………………………16分 又，从而在上恒成立， 所以在区间上单调递减， 因为，， 因此在区间上有唯一零点， 综上所述，函数在区间上有3个零点 ………………………………17分 19.（新定义）（本小题满分17分） 【解】（1）由定义得， 而，，， ………………………………1分 故解得，， ………………………………3分 综上，． ………………………………5分 （2）必要性：若函数为偶函数，， 则对任意的，有， 对上式两边同时求导，可得：， 故函数是奇函数，， ………………………………6分 若，则，即， 进而有，即， 故对任意，，故必要性成立； ……………………………8分 不充分性：不妨取，， 此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立………9分 综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件 …………10分 （3）由对任意且，都有， 可得：对任意 且，都有， 即函数在上是不减函数，即恒成立， 由，可得：， ………………………………12分 设， 则， 则对恒成立，即对恒成立， 令，，故， 故函数在和是减函数，在是增函数， ………………………14分 大致图像如图，， （i）当时，不等式可化为，此时， （ⅱ）当时，不等式可化为， 此时，故； （ⅲ）当时，不等式可化为， 此时，故； 综上，实数的取值范围是． ………………………………17分 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $