新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州第一中学2026-2027学年高二第一学期期初质量监测数学试题

**基本信息** 昌吉州高二年级期初数学监测卷，以复数、向量、三角函数等核心知识为载体，通过筒车运动、扇形内接矩形等情境设计，考查数学抽象、几何直观与数学建模能力，适配开学初基础巩固与能力诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、斜二测画法、向量分解、三角函数图像变换|第8题以筒车运动为背景，考查三角函数模型构建，体现数学眼光| |多选题|3/15|向量数量积、圆与正方形综合、坐标运算|第10题结合正方形与圆的动态关系，考查几何直观与逻辑推理| |填空题|3/15|投影向量、函数零点、线性规划|第14题通过圆的切线背景，考查参数取值范围，渗透数学思维| |解答题|5/80|三角恒等变换、概率应用、函数图像与性质、扇形面积优化|第19题扇形内接矩形面积最值问题，综合考查数学建模与运算能力，符合高考命题趋势|

昌吉州第一中学2026-2027学年第一学期期初质量监测 高二年级数学试题卷 考试时长：120分钟 满分：150 分 一、单选题 1．复数（    ） A． B． C． D． 2．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为的等边三角形，则顶点到轴的距离是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ） A． B． C． D． 4．函数（，）的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．若平面向量两两的夹角相等，且，，，则（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．1或2 6．设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（    ）A．6 B． C． D．4 7．已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ） A． B． C． D．向量，夹角为 10．如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（    ） A．是定值 B．是定值 C．是定值 D．是定值 11．已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为 . 13．已知函数，当时，关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围为 . 14．如图所示， ，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．已知的三个内角满足：. (1)求的值； (2)求角的大小. 16．已知函数. （1）若，求的值. （2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 17．一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. (1)用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； (2)分别求事件A，B，C发生的概率； (3)求事件A，B，C中至少有一个发生的概率. 18．函数的部分图像如图所示，    (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值. 19．如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记. (1)将矩形的面积表示成关于的函数的形式； (2)求的最大值，及此时的角. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 昌吉州第一中学2026-2027学年第一学期期初质量监测 高二年级数学参考答案与解析 1-5 CACCC 6-8DCD 9．AC 10．ABD 【详解】根据题意，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示： 不妨设正方形边长为，圆的半径为，点坐标为； 则可得，且； 易知； 所以对于A选项，，为定值，即A正确； 对于B选项， ，为定值，所以B正确； 对于C选项，易知表达式中不能表示成只含有边长和半径的式子， 即与有关，故其不是定值，所以C错误； 对于D选项， ，为定值，故D正确；故选：ABD 11．AC【详解】A：，，所以，，故，正确；B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误；故选：AC 12． 13．14． 【详解】连接，则，，因为，所以,因为点是圆及其内部任意一点， 所以，且当三点共线时，取得最值， 当取得最大值时，以为对角线，以为邻边方向作平行四边形,则和为等边三角形，所以，所以， 所以的最大值为，同理可求得的最小值为， 所以，故答案为： 15．【详解】（1），因为， ，故为锐角且.所以. （2）因为，，故为锐角且， 故，故，而，故. 16．详解（1）由可得：.. （2）由余弦定理得：，整理可得：，，，又，，，，则，，即的取值范围为. 17． 详解（1）样本空间，共有12个基本事件； （2）事件A的基本事件为：共6个基本事件，所以，事件B的基本事件为：共3个基本事件，所以， 事件C的基本事件为：共4个基本事件，所以，（3）事件A，B，C中至少有一个发生的基本事件为：共9个基本事件，所以. 18．【详解】（1）由图易知，，得到，所以， 又图象过点，所以，得到， 又，所以，故函数的解析式为， 由，得到， 所以的单调递增区间为. （2）由题知，又因为，所以， 令，则， 由的图象知，，且， 得到，又由图知，所以 又，得到， 所以， 又因，所以. 19．【详解】（1）在中，，，，， ，，（）； （2），，， 因为，，当，即时，取得最大值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $