新疆维吾尔自治区喀什第二中学2026-2027学年高二上学期开学收心考试数学试题

**基本信息** 聚焦必修一、二核心内容，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，助力开学初学情精准诊断，体现数学抽象、逻辑推理与空间观念素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数零点、立体几何直观图|基础概念辨析，如第3题结合直观图考查空间形式转化| |多选题|3/18|复数几何意义、三角函数图像变换|多角度能力考查，如第10题辨析图像变换路径| |填空题|3/15|命题否定、独立事件概率、球表面积|简洁考查数学表达，如第13题结合实际问题强化数据意识| |解答题|5/77|三角函数性质、立体几何证明与计算、统计案例、解三角形、函数单调性与奇偶性|综合应用导向，如第17题以“天文知识竞赛”为情境培养数据分析能力，第19题函数探究发展创新意识|

2026-2027学年收心考试 考试范围：必修一、必修二； 考试时间：120分钟； 命题人：贺贞 审批人：任红梅 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.样本数据，，，，的平均数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】样本数据，，，，的平均数为． 故选：． 2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题得， 所以． 故选： 3.如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中的长度为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查直观图和原图形之间的关系，斜二测画法的规则，属于基础题． 由直观图作出原图形，得出原图形中线段长、图形结构，然后计算可得． 【解答】 解：在已知直观图中，，如图， 在原图形中，，，， ． 故选：． 4.函数的零点所在区间是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题． 由在上是增函数且连续，再通过计算、、的值，发现，即可得到零点所在区间． 【解答】 解：函数在上单调递增， ，，，， 根据零点存在性定理可知的零点所在区间为． 5.已知，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：因为，故． 故选：． 6.函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：令得，代入得，定点． 将代入直线，得，，． ， 等号成立条件：，联立， 解得，满足，． 故选：． 先求出对数函数恒过定点，代入直线得到，线性约束，乘定值配凑齐次式后用基本不等式求最小值． 本题主要考查对数函数定点、基本不等式求最值，属于中档题． 7.设、为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题正确的是(    ) A. 若，，，则 B. 若不垂直于，，则必不垂直于 C. 若，，则 D. 若、是异面直线，，，，，则 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，是基础题． 根据空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可． 【解答】 解：对于，若，，，则，可能平行、相交或异面，故A错误 对于，若不垂直于，且，则有可能垂直于，故B错误 对于，若且，则或，故C错误 对于，若、是异面直线，，，，， 则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，， 又，则，，，所以， 又，，，，所以，故D正确． 8.已知函数，定义域均为，函数为偶函数，函数是奇函数，若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】利用两函数的奇偶性推得的周期性，求出在个周期内的函数值，利用周期性求解． 【详解】因为函数为偶函数，所以，则可得， 因为函数为奇函数，所以，即， 已知，则可得， 则，即， 将代入，可得，则得， 两式相减得，即为的个周期， 由可得也是函数的个周期， 因，由式，令得，令，得，即 令，得，故，， 又由，可得， ，故有， 又，故． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是(    ) A. 复数的虚部是 B. C. 复数的共轭复数是 D. 复数的共轭复数对应的点位于第四象限 【答案】CD  【解析】【分析】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念、几何意义、共轭复数，属于基础题． 利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后逐一计算即可得答案． 【解答】 解：， 对于，复数的虚部是，故A错误 对于，，故B错误； 对于，复数的共轭复数是，故C正确； 对于，，在复平面内，对应点的坐标为，位于第四象限，故D正确， 故选CD． 10.为了得到函数的图象，只需将图象上的所有点(    ) A. 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位 B. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位 C. 向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的倍 D. 向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的 【答案】BD  【解析】解：对于，，不是； 对于，，是； 对于，，不是； 对于，，是． 故选：． 11.如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则(    ) A. B. C. 最大值为 D. ，，三点共线时， 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查平面向量数量积，平面向量的线性运算，向量共线定理，属于中档题． 由为中点，可得，可判断；利用向量数量积公式可判断；以为坐标原点，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，求出各点坐标，设，，利用数量积的坐标运算以及三角函数性质，可判断，利用三点共线，求出点坐标，结合向量坐标的线性运算求出，，即可判断． 【解答】 解：直角三角形中，，故， 因为，故为中点，故， 故，A正确； ， 故，B错误； 以为坐标原点，方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 故，，，设，， 故，， ， 因为，所以，故的最大值为，C正确； ，， 若，，三点共线，则存在非零常数，使得， 则，可得，此时， 又， 即，可得， 故，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.命题“”的否定是           【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查含有量词命题的否定，属于基础题． 根据全称量词命题的否定是存在量词命题求解即可． 【解答】 解：命题“”的否定是． 故答案为． 13.甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知甲攻克该题的概率为，乙攻克该题的概率为，则该题至少被一人攻克的概率为          ． 【答案】  【解析】解：记“甲攻克该题”为事件，“乙攻克该题”为事件，由题意知与相互独立，，， “该题至少被一人攻克”的对立事件为“甲、乙两人都未攻克该题”，即事件， 又、为独立事件，与也相互独立， 可得，， 则， 故该题至少被一人攻克的概率为． 14.已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查球的表面积与体积，考查数学补形思想方法，是中档题． 由题意可知，四面体的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，设出过一个顶点的三条棱长，由已知求出三条棱长，则可求． 【解答】 解：由题意可知，四面体的对棱都相等， 故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示： 设，，， 则， 又， 可得，． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数其中，的最大值为，最小正周期为． 求函数的解析式；    求的值；   求函数的单调递增区间． 【答案】解：由题意得  ，  ，解得  ， 故解析式为  ；   ； 令  ，  ， 解得  ，  ， 故函数的单调递增区间为  ，  ．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.本小题分 在三棱柱中，，，是线段上的一个动点． 若，求证：平面平面； 若的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】解：因为，平面 所以，又，，、平面， 所以， 因为平面， 所以平面平面； 过点作于，连接， 因为平面，平面，所以． 又，，、平面，所以平面， 故就是直线与平面所成的角， 因为，，，所以， 故是以角为直角的三角形， 又，所以又 所以． 故直线与平面所成角的正弦值为．   【解析】本题考查面面垂直判定、线面角的求解，属于基础题． 由题意证得，再由面面垂直判定定理证明即可； 过点作于，连接，可得就是直线与平面所成的角，再求解即可． 17.本小题分 为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名，统计他们的成绩，其中成绩不低于分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图． 估计参加这次竞赛的学生成续的第百分位数； 若在抽取的名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于分的学生中随机抽取人，再从人中选择人作为学生代表，求被选中的人均为航天达人的概率； 已知组的方差为，组的方差为，试估计参加此次竞赛的学生不低于分的成绩方差结果保留整数； 【答案】解：由频率分布直方图可知， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 所以成绩在分以下的学生所占的比例为， 成绩在分以下的学生所占的比例为， 所以成绩的第分位数一定在内， 即， 因此估计参加这次竞赛的学生成绩的百分位数为； 因为， ， ， 所以从成绩在，内的学生中分别抽取了人，人，人， 其中有人为航天达人，设为，有人不是航天达人，设为， 则从人中选择人作为学生代表， 有， ， 共种， 其中人均为航天达人有 ， 共种， 所以被选中的人均为航天达人的概率为； 内的频率为， 内的频率为， 内的平均数为， 内的平均数为， 内的平均数为 ， 又组的方差为， 组的方差为， 所以这次竞赛的学生不低于分的成绩方差为 ．   【解析】本题考查百分位数，古典概型及其计算，分层随机抽样的方差，分层随机抽样，频率分布直方图，属于中档题． 根据百分位数计算规则计算可得； 先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解 利用分层抽样的方差公式计算可求方差． 18.本小题分 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，． 求角的大小； 若，的面积为，求的周长． 若，求周长的取值范围． 【答案】解：由，得，由正弦定理，，，为外接圆半径，代入约去得，由，代入得， ，，，即，又，故； 已知，，由面积公式，代入，得，化简得，由余弦定理，代入，得， ，，故周长为； 已知，，由正弦定理得，故，， ，，，周长， 展开，代入得，由辅助角公式得， 故，，，，则 故  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题分 对于函数． 判断函数的单调性，并证明； 是否存在实数使函数为奇函数？ 若，且对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：是上的单调递增函数，证明如下： 任取且， 则， ，是上的增函数， ，即，又，， 故，即， 故为上的单调递增函数 存在实数使为奇函数，推导如下： 若为奇函数且定义域为，则，代入得，解得， 当时，，对任意，， 满足奇函数定义，故存在使为奇函数 当时，是上的奇函数且单调递增， 原不等式变形为， 由单调性得， 整理得，该不等式对任意恒成立， 分情况讨论：当时，不等式化为，对任意恒成立，符合要求； 当时，上式为二次不等式，需满足， 化简得，解得， 综上，的取值范围是．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高二年级收心考试 数学试卷 考试范围：必修一、必修二； 考试时间：120分钟； 命题人：贺贞 审批人：任红梅 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.样本数据，，，，的平均数为(    ) A. B. C. D. 2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中的长度为: A. B. C. D. 4.函数的零点所在区间是(    ) A. B. C. D. 5.已知，则(    ) A. B. C. D. 6.函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.设、为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题正确的是(    ) A. 若，，，则 B. 若不垂直于，，则必不垂直于 C. 若，，则 D. 若、是异面直线，，，，，则 8.已知函数，定义域均为，函数为偶函数，函数是奇函数，若，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是(    ) A. 复数的虚部是 B. C. 复数的共轭复数是 D. 复数的共轭复数对应的点位于第四象限 10.为了得到函数的图象，只需将图象上的所有点(    ) A. 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位 B. 横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位 C. 向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的倍 D. 向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的 11.如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则(    ) A. B. C. 最大值为 D. ，，三点共线时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.命题“”的否定是           13.甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知甲攻克该题的概率为，乙攻克该题的概率为，则该题至少被一人攻克的概率为          ． 14.已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分已知函数其中，的最大值为，最小正周期为． 求函数的解析式；    求的值；   求函数的单调递增区间． 16. 本小题分在三棱柱中，，，是线段上的一个动点． 若，求证：平面平面； 若的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17.本小题分为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名，统计他们的成绩，其中成绩不低于分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图． 估计参加这次竞赛的学生成续的第百分位数； 若在抽取的名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于分的学生中随机抽取人，再从人中选择人作为学生代表，求被选中的人均为航天达人的概率； 已知组的方差为，组的方差为，试估计参加此次竞赛的学生不低于分的成绩方差结果保留整数； 18.本小题分在中，角、、所对的边分别为、、，且，，． 求角的大小； 若，的面积为，求的周长． 若，求周长的取值范围． 19.本小题分对于函数． 判断函数的单调性，并证明； 是否存在实数使函数为奇函数？ 若，且对任意的恒成立，求实数的取值范围． 高二年级 收心考试 数学试卷 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $