27.2 第2课时 反比例函数性质的的综合运用2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数性质的综合运用，涵盖k的几何意义、与一次函数综合等核心知识点。通过复习反比例函数的图象（双曲线）及k对象限、增减性的影响导入，搭建前后知识支架，帮助学生衔接旧知与新知。 其亮点在于以合作探究和推理证明为核心，如通过取点计算矩形面积归纳k的几何意义，培养学生的抽象能力和几何直观（数学眼光），结合推理意识（数学思维）。采用典例精讲与归纳总结，学生能提升数形结合能力，教师可借助清晰结构高效教学。

M A T H E M A T I C S (General Form) 用函数读世界 用图象写未来 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 数学课件 教 学 设 计 教 学 课 件 大自然这本书，是用数学语言写成的 —— 伽利略 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 1 第二十七章 反比例函数 27.2　反比例函数性质的的综合运用 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 目录页 新课导入 讲授新课 当堂练习 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 3 新课导入 教学目标 教学重点 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 4 1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系 中图形的面积计算中. (重点、难点) 2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重点、难点) 3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想方法，进一步 提高对反比例函数相关知识的综合运用能力. (重点、难点) 学习目标 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？ 反比例函数的图象是双曲线 当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大. 问题1 问题2 复习引入 新课导入 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 6 讲授新课 典例精讲 归纳总结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 7 用待定系数法求反比例函数的解析式 典例精析 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限， 所以这个函数的图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 1 例1 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 8 (2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ， 因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 . 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的解析式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，解得 k = 6. ∴ 这个函数的解析式为 .　　 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 10 (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式， 因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函数的图象上． 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 反比例函数图象和性质的综合 (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ O x y 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限， 所以另一支必位于第三象限. 又因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0， 解得m＞5. 2 例2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0， 所以在这个函数图象的任一支上， y 都随 x 的增大而减小， 因此当x1＞x2时， y1＜y2. O x y 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 1.如图，是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是( ) A．－1 B．3 C．1 D．0 O x y B 图象在第二、四象限，则1-k＜0，k＞1 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 2.点(2，y1)和(3，y2)在函数 的图象上，则y1 y2 (填“>”“<”或“=”). < -2＜0，在每个象限，y随x的增大而增大 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 反比例函数解析式中 k 的几何意义 1. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向x 轴、y 轴 作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格： 合作探究 3 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 5 1 2 3 4 -1 5 x y O P S1 S2 P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k -5 -4 -3 -2 1 4 3 2 -3 -2 -4 -5 -1 Q 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1,S2与 k 的关系 P (－1，4) Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=－k y x O P Q S1 S2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是反比例函数 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是 S矩形 AOBP=|k| . 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k. y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b)，∵点 P (a，b) 在函数 的图象上， A B ∴ ，即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， B P A 综上，S矩形 AOBP=|k|. 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 点 Q 是其图象上的任意一点， 作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴， 矩形AOBQ的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= . 推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是S△QAO=S△QBO= . Q 对于反比例函数 ， A B |k| y x O 归纳： 反比例函数的面积不变性 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB 如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则 ( ) y x O A B C C 根据前面探究的归纳，这三个矩形的面积均为1 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直 x 轴于 点 C，且 △AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式． 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)， ∵点 A 在反比例函数 的图象上， ∴ xA·yA＝k， 又∵ S△AOC＝ ·k＝2， ∴ k＝4， ∴反比例函数的解析式为 例3 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 1. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . －12 y x O P A k的绝对值为12 图象在第二、四象限，k＜0 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴 作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形PMON 的面积为 3， 则这个反比例函数的解析式是 . 或 根据面积得出k的绝对值为3，未说明图象经过的象限，因此k等于3或-3 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是 S2 S3. 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 例4 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 . S1 = S2 < S3 解析：由反比例函数面积的不变 性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3 F S1 S2 S3 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S ABCD =___. 5 方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.  例5 y D B A C x 3 2 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于A，B 两点，过 点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D y x O C A B D 4 4 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 反比例函数与一次函数的综合 在同一坐标系中，函数 　　和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 合作探究 ① x y O x y O ② 4 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 k2 <0 b <0 k1 <0 k2 <0 b >0 ③ x y O k1 >0 ④ x y O 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案. 函数 y=kx－k 与 的图象大致是 ( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0 k＜0 由一次函数增减性得k＞0 由一次函数与y轴交点知－k＞0， 则k＜0 x 例6 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1(a≠0) 的图象可能是( ) A. y x O B. y x O C. y x O D. y x O B a＞0 a＜0，矛盾 a＞0 a＞0，成立 不满足与y轴交点为（0,1） a＜0 a＞0，矛盾 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 . －2 3 y x 0 －2< x <0 或 x >3 解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3. 方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了. 例7 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 如图，一次函数 y1= k1x + b (k1≠0) 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1＞y2时，x 的取值范围是 ． －1< x <0 或 x >2 －1 2 y x 0 A B 练一练 讲授新课 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 当堂练习 当堂反馈 即学即用 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 37 1 (4分) 选择题 如图，双曲线y＝ k x 与直线y＝mx相交于A，B两点， 点B的坐标为(－2，－3)，则点A的坐标为（　） A．(－2，－3) B．(2，3) C．(－2，3) D．(2，－3) 答案 答案：B 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 2 (4分) 填空题 一次函数y1＝－x＋b与反比例函数y2＝ k x (x＞0)的图象如图所示， 当y1＜y2时，自变量x的取值范围是________． 答案 答案：0＜x＜2或x＞4 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 3 (4分) 填空题 已知函数y＝ k x (k≠0)的图象如图所示，且矩形ABOC的面积为4， 则k＝________． 答案 答案：－4 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 4 (8分) 解答题 函数y＝x的图象与函数y＝ 的图象相交于点P(2，m)． (1)求m的值； (2)求反比例函数的解析式． 答案 解：(1)把P(2，m)代入y＝x，得m＝2. (2)把P(2，2)代入y＝ ，得k＝4. ∴反比例函数的解析式为y＝ 当堂练习 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 课堂小结 归纳总结 构建脉络 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 42 反比例函数中k的几何意义 反比例函数性质的综合运用 反比例函数增减性的应用 反比例函数与一次函数的综合 课堂小结 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 43 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 E N D O F C L A S S · 感谢您的聆听 再会 愿函数与变化之间的探索，成为你日常的乐趣。 人教版 · 初中数学 · 九年级 · 上册 · 反比例函数性质的的综合运用 人教版 · 初中数学 · 九年级上册 反比例函数性质的的综合运用 44 $