27.3 实际问题与反比例函数 第3课时 建立反比例函数模型解决问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“建立反比例函数模型解决实际问题”，通过气体压强与体积的实验数据导入，结合知识回顾中反比例函数的图像、性质，搭建从理论知识到实际应用的学习支架，帮助学生衔接已有认知与新探究内容。 其亮点在于以“分析数据-选择模型-建立模型-检验模型-解决问题”为主线，通过砗磲生长速率、屏幕像素密度等真实案例，发展学生模型观念与数据意识。学生在经历用数学思维推理模型合理性的过程中提升应用能力，教师可借助中考对接练习高效开展教学。

第二十七章 反比例函数 27.3 实际问题与反比例函数 第3课时 建立反比例函数模型解决问题 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 建立反比例函数模型解决问题 5. 课堂小结 6. 当堂小练 CONTENTS 3. 新课导入 2. 知识回顾 7. 对接中考 1. 能够根据数据和图象特征，选用合适的函数模型解决问题，发展模型观念. 2. 会用反比例函数模型解决实际问题中的估计与预测. 学习目标 知识回顾 反比例函数 y=(k≠0) y=(k≠0) k>0 k<0 图象 图象位置 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y 随x的增大而减小 在每一个象限内，y 随x 的增大而增大 对称性 反比例函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是原点O，对称轴是直线y=x 和直线y=-x 新课导入 前面几节课，我们解决的都是能用反比例函数准确刻画的问题. 但在现实生活中，很多时候我们只有一堆实验数据，就像这组气体压强和体积的数据，我们不清楚变量之间是否存在一定的函数关系，如果存在，怎么选择合适的函数模型近似描述气体的压强和体积之间的关系，进而解决相关问题？ 下面让我们一起来探究吧！ 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 新课讲解 知识点 建立反比例函数模型解决问题 探究 某物理实验小组研究气体的压强 p（单位：kPa）与体积V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据（如表）. 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强 p 与体积 V 是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132 kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）. 分析：由表可知，压强 p 是体积V的函数. 由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. 新课讲解 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 (1) 为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图（图(1)）. 观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点. 可以发现，图(2)中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强 p 与体积 V 之间的关系. 新课讲解 (2) 建立模型. 设函数解析式为 p（V>0），根据表(1)中的数据，分别求出 k 的值，列出表(2). 表(1) 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2 016 1 968 2 030 1 956 2 010 表(2) 计算所有 k 值的平均值，得 k(2 000+2 016+1 968+2 030+1 956+2 010) ≈ 1 997. 我们把这个平均值1 997作为 k 的值，就得到一个函数模型 k值不相同怎么办？ 新课讲解 V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2 016 1 968 2 030 1 956 2 010 (3) 检验模型. 将已知数据代入 ，或画出函数 的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强  与体积  的关系. (4) 求解问题. 将 p=132 代入p，得 132 解得 15.13(mL). 因此，当压强为 132  kPa 时，气体的体积约为 15.13  mL. 新课讲解 回顾“探究”，回答以下问题： (1) 表中的有些数对只能近似满足函数解析式 p（V>0），即图中的点并没有完全落在函数p的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ 以往所学的函数模型(如一次函数、二次函数)通常通过已知条件确定唯一函数解析式，所有已知点都完全满足该解析式； 而本题的函数模型是通过实验数据拟合得到的，利用多组数据计算k=pV的平均值作为参数，得到的模型是近似模型(并非所有已知点都完全满足)，但能较好地反映整体变化规律. “拟合”在科学实验和数据分析中，通俗来说，就是寻找一条最能代表数据点变化趋势的“线”（或公式）的过程. 新课讲解 回顾“探究”，回答以下问题： (2) 结合“探究”和问题 (1) 所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤. ①分析数据，选择函数类型：通过散点图观察数据分布特征(如本题曲线形似双曲线的一支)，选择合适的函数类型(如反比例函数)； ②建立模型：设出函数解析式(如)，利用已知数据计算待定系数(如本题计算所有k值的平均值)； ③检验模型：将已知数据代入模型，验证模型与实际数据是否基本吻合； ④求解问题：利用建立的函数模型解决实际问题(如估计未知数据). 新课讲解 例 岁 0 5 10 15 20 25 /天 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 1. 综合与实践：生物生长规律的模型研究. 如图①，砗磲 是地球上最大的双壳类软体动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄 （单位：岁）与平均日生长速率（单位： /天）的数据如下表：#1.1 【模型构建1】如图②，数学小组 在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图②中点的分布情况，猜想其函数图象是过 的抛物线，设解析式为 . 新课讲解 (1) 选取两个点， ，求抛物线的解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄. 解：将，代入 ， . 该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁. 新课讲解 【模型构建2】数学小组观察表格中数据，发现后四组数据中与 的乘积分别为，，， ，猜想当时与符合反比例函数关系，设解析式为 . (2) 为减少偏差，取 ，求反比例函数的解析式. 解：当时， ， . 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低. (3) 为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说 明选择的理由并计算. 解：由模型1可知，当时，随 的增大而增大，不符合砗磲的生长规律； 又由模型2可知，当时，随 的增大而减小，符合砗磲的生长规律， 选择模型2.当时， . 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为 /天. 新课讲解 例 2. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个程序，即需要将材料煅烧到800℃，然后停止煅烧，进行锻造操作.如图27.3-5所示：煅烧时，温度y(单位：℃)与时间x(单位：min)成一次函数关系；锻造时，温度y(单位：℃)与时间x(单位：min)成反比例函数关系. 已知该材料初始温度是32℃，第8 min时，材料温度降为600℃. (1) 分别求出材料煅烧和锻造时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； 解：设锻造时y关于x的函数解析式为y=(k≠0)，则600=，解得k=4800， ∴ y= . 当y=800 时，x=6， ∴ 锻造时y关于x的函数解析式为y= (x>6)，且点B的坐标为(6，800). 设煅烧时y 关于x 的函数解析式为y=ax+b(a≠0)， 则解得 ∴ 煅烧时y 关于x 的函数解析式为y=128x+32(0 ≤ x ≤ 6). 新课讲解 例 2. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个程序，即需要将材料煅烧到800℃，然后停止煅烧，进行锻造操作.如图27.3-5所示：煅烧时，温度y(单位：℃)与时间x(单位：min)成一次函数关系；锻造时，温度y(单位：℃)与时间x(单位：min)成反比例函数关系. 已知该材料初始温度是32℃，第8 min时，材料温度降为600℃. (1) 分别求出材料煅烧和锻造时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； y=128x+32(0 ≤ x ≤ 6). (2) 根据工艺要求，锻造期间当材料温度低于480 ℃时，需停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 解：当y=480 时，x= =10. 10-6=4( min). 因此锻造的操作时间有4 min. 新课讲解 练一练 … 40 50 60 … … 15 12 10 … 1. 某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度 匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化.大量测试后得到下表（不完整） (1) 变量， 之间的关系恰好满足某一函数模型.请先判断函数类型（说明理由）再求其解析式. 解： ， 变量， 之间的关系满足反比例函数， ， 函数解析式为 . 新课讲解 练一练 (2) 一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了 ，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于 ，则 的最大值是多少？ 解：该车充满电可行驶的总路程为 ，根据题意得， ，解得， 的最大值为120. 新课讲解 练一练 2. 生活中有各式各样的电子屏幕. 在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密度也会不同. 下表记录了当分辨率为 1 920×1 080 时，某些电子屏幕的尺寸x (单位：英寸)与像素密度y(单位：PPI) 的相关数据. (1) 试确定屏幕像素密度 y 关于屏幕尺寸 x 的函数解析式； 观察到：随着屏幕尺寸x 增大，屏幕像素密度y逐渐减小；散点分布形似反比例函数图象的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述屏幕像素密度 y与屏幕尺寸x 之间的关系. 屏幕尺寸x/英寸 5 7 15 24 27 屏幕像素密度y/PPI 440 314 147 92 81 解： (1) ①根据表格数据画出散点图如图. 新课讲解 练一练 ②建立模型. 设函数解析式为 (x>0). 根据表中的数据分别求出k的值，列出表如下： 计算所有k值的平均值，得 k=× (2 200+2 198+2 205+2 208+2 187) =2 199. 6 ≈ 2 200. 我们把这个平均值2 200 作为 k 的值，就得到一个函数模型 y=. 屏幕尺寸x/英寸 5 7 15 24 27 屏幕像素密度y/PPI 440 314 147 92 81 k 2 200 2 198 2 205 2 208 2 187 新课讲解 练一练 ③检验模型. 将已知数据代入y= ，或画出函数 y= (x>0) 的图象如图，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映屏幕像素密度 y (PPI) 与屏幕尺寸 x (英寸)的关系. 综上所述，屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式为y=(x>0). 新课讲解 练一练 (2) 某电子屏幕的分辨率为1 920×1 080，屏幕像素密度约为40 PPI，则该屏幕尺寸为多少（结果取整数）？ 解：(2) 将 y=40 代入 y， 得 x=55. 因此，当屏幕像素密度约为 40 PPI 时，该屏幕尺寸约为 55 英寸. 课堂小结 建立函数模型 解决实际问题 ①分析数据，选择函数类型：通过散点图观察数据分布特征(如“探究”中的曲线形似双曲线的一支)，选择合适的函数类型(如反比例函数); ②建立模型：设出函数解析式，利用已知数据计算待定系数; ③检验模型：将已知数据代入模型，验证模型与实际数据是否基本吻合; ④求解问题：利用建立的函数模型解决实际问题(如估计未知数据). 当堂小练 1. 家用电灭蚊器的发热部分使用了 PTC 发热材料，电阻 R（单位：）随温度 t（单位：℃）（在一定范围内）变化而变化. 通电后，下表记录了发热材料温度从10℃（初始温度）上升到 30℃的过程中，电阻与温度的部分数据. t/℃ 10 15 20 30 5.8 4 3.1 2 (1) 根据表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出实数对 (t,R) 的对应点，猜测并确定当10≤t≤30时，R 与 t 之间的函数解析式，并画出其图象； 解：描出实数对 (t，R) 的对应点如图所示， 猜想当10≤t≤30时，R是t 的反比例函数. 设 R 与 t 之间的函数解析式为R(k≠0).根据表中数据分别求出 k 的值为 58, 60, 62, 60，计算所有 k 值的平均值，得k60 ∴ R 与 t 之间的函数解析式为R(10≤t≤30)画出其图象如图所示. 检验：可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合. 当堂小练 1. 家用电灭蚊器的发热部分使用了 PTC 发热材料，电阻 R（单位：）随温度 t（单位：℃）（在一定范围内）变化而变化. 通电后，下表记录了发热材料温度从10℃（初始温度）上升到 30℃的过程中，电阻与温度的部分数据. t/℃ 10 15 20 30 5.8 4 3.1 2 (2) 当 t≥30 时，R 与 t 之间的函数解析式为 Rt-6，家用电灭蚊器在使用过程中，估计温度在什么范围内发热材料的电阻不超过 6 kΩ. 解：在函数 Rt-6中，当 R=6 kΩ 时，t=45； 在反比例函数 R 中，当 R=6 kΩ 时，t=10 ℃. 根据函数的增减性，估计温度在 10 ℃≤ t ≤45 ℃时，发热材料的电阻不超过 6 kΩ. R(10≤t≤30) 当堂小练 2. 某学校准备修建一个面积为100 m2 的矩形花圃，设矩形花圃的一边长为x m，相邻的另一边长为y m． (1)求y关于x的函数解析式； (2)若矩形的一边长x满足x>50，求另一边长y的取值范围； (3)杭杭在实践后得到如下结论：在面积为100 m2 的情况下，不存在周长为30 m的矩形．请判断他的说法是否正确，并说明理由． 解：(1) 根据题意，得xy=100，∴ y= ． (2) ∵ k=100>0，∴当x>0 时，y 随x 的增大而减小. ∵ x>50，∴ y<，即y<2.又∵ y>0，∴ 0<y<2. (3) 杭杭的说法正确. 理由如下： 假设存在周长为30 m的矩形，根据题意，得2(x+y)=30，即2(x+)=30， 整理，得x2-15x+100=0.∵Δ =(-15)2-4×1×100=-175<0， ∴原方程没有实数根.∴假设不成立，即杭杭的说法正确． 对接中考 1. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15 天内( 含15天 )排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段 AC表示前3 天的变化规律，第3 天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L.从第3天起， 所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)满足下面表格 中的关系： 时间x/ 天 3 5 6 9 … 硫化物的浓度y/(mg/L) 4.5 2.7 2.25 1.5 … (1) 求在整改过程中，当0 ≤ x<3 时，硫化物的浓度y与时间x的函数解析式. 解：设线段AC的函数解析式为y=kx+b. 将A(0，12)，C(3，4.5)的坐标分别代入，得解得 ∴当0 ≤ x<3 时，硫化物的浓度y 与时间x 的函数解析式为y=-2.5x+12. 对接中考 (2) 求在整改过程中，当x ≥ 3 时，硫化物的浓度y与时间x的函数解析式. 解：∵ 3×4.5=5×2.7=… =13.5， ∴当x ≥ 3 时，y 是x 的反比例函数. ∴此时硫化物的浓度y 与时间x 的函数解析式为y= . (3) 该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15 天以内不超过最高允许的1.0 mg/L ？为什么？ 解：该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15 天以内不超过最高允许的1.0 mg/L. 理由：当x=15 时， y= =0.9<1. ∵在第一象限内，y 随x 的增大而减小， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15 天以内不超过最高允许的1.0 mg/L． 对接中考 点 A 与点O 的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 120 a 2. 小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(①)，有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的物体，且OB=1 m. 若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离 l 时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如下表： (1) 表格中a 的值是______. 解：根据表格中的数据发现： 1×300=1.5×200=2×150=2.5×120=300， 因此点A与点O的距离l与拉力F 的乘积不变， 故a= =100. 100 对接中考 (2) 小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象. 解：如图 ②所示. (3) 根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由. 解：减小.理由：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当OA的长增大时，拉力F减小. $