1.1 一元二次方程（讲义）2026-2027学年苏科版 九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程核心知识点，系统梳理定义（含三个必备条件）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解（根）的概念，构建从概念理解到参数求解再到实际应用的学习支架。 资料以考点突破为基础，题型探究为核心，分层通关为延伸，通过例题与变式训练提升推理意识，结合《四元玉鉴》等实际问题培养模型意识，助力教师授课与学生课后查漏补缺，发展数学思维与应用能力。

1.1 一元二次方程 目录 Part1考点突破 考点1：一元二次方程的定义 考点2：一元二次方程的一般形式 考点3：一元二次方程的解（根） Part2 题型探究 题型1：一元二次方程的识别 题型2：由一元二次方程的定义求参数 题型3：一元二次方程的一般形式与各项系数 题型4：一元二次方程的解与求参数 题型5：由方程的解求代数式的值 题型6：根据实际问题列一元二次方程 Part3 分层通关 【考点1：一元二次方程的定义】 1、定义 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。 2、三个必备条件 一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程（分母中不含未知数）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。 3、易错提醒 判断一个方程是否为一元二次方程，不能只看形式，要先化简整理后再判断。例如方程x(x+1)=x²+1整理后为x=1，是一元一次方程，不是一元二次方程。含字母系数的方程要注意二次项系数不为0的条件。 【考点2：一元二次方程的一般形式】 1、一般形式 一元二次方程的一般形式是（），其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 2、注意事项 （1）a≠0是一般形式的重要条件，b和c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）各项都包含它前面的符号，确定系数时要带上符号。 3、特殊形式 当时，得；当时，得；当且时，得。 【考点3：一元二次方程的解（根）】 1、定义 使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 2、根的情况 一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根。判断一个数是否为方程的根，只需将该数代入方程，验证左右两边是否相等。 3、由根求参数 已知方程的一个根，将其代入方程可得到关于参数的方程（组），从而求出参数的值。注意要检验二次项系数不为0的条件。利用根的定义还可以进行整体代入求代数式的值。 【题型1：一元二次方程的识别】 【例1】下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查识别一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解答本题的关键． 本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、整理原方程，得，满足一元二次方程的所有条件，故此选项符合题意； B、原方程分母含有未知数，不是整式方程，故此选项不符合题意； C、原方程未说明，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、原方程中未知数最高次数为，是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式1】下列各式中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是不等式，不是方程，故A不符合要求． B．分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故B不符合要求． C．整理后为，未知数最高次数为2，是一元二次方程，故C符合要求． D．含有两个未知数，是二元一次方程，故D不符合要求． 【变式2】下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程整理得，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； D、方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】下列方程中，一元二次方程的个数有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：（1）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （2）对于， ∵含有x和y两个未知数， ∴不是一元二次方程； （3）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （4）对， ∵分母含有未知数x，不是整式方程， ∴不是一元二次方程． 综上，一元二次方程共有2个． 【题型2：由一元二次方程的定义求参数】 【例2】方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 【变式2】若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式3】已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 【题型3：一元二次方程的一般形式与各项系数】 【例3】将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程为 ， 先去括号，可得 ， 将所有项移到等号左侧，移项变号得 ， 合并同类项得 ． 【变式1】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需通过去括号、合并同类项、移项将方程化为（）的标准形式． 【详解】解： ， ， ， ∴该方程的一般形式为， 故选A 【变式2】一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】或 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程左边展开，然后移项使所有项位于左边，右边为0，最后合并同类项得到一般形式． 【详解】解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 方程两边同除以2，得， 故答案为：或． 【变式3】将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项的系数为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可． 【详解】解：， ， 所以，一次项系数为． 故答案为：． 【题型4：一元二次方程的解与求参数】 【例4】下列各数：，，，，，其中是一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过因式分解法求解一元二次方程，再从给定的数中匹配出方程的解，也可将选项代入方程验证是否成立． 【详解】解：∵ ∴对左边因式分解得 则或 解得或 根据题干所给的数中，观察选项可知，选项D符合， 故选：D． 【变式1】关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 【答案】B 【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1． 故选：B． 【变式2】已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义． 将已知根代入方程即可求出m的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 即， ∴， 解得． 故选：A． 【变式3】若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个解， ∴， ∴， ∴． 【题型5：由方程的解求代数式的值】 【例5】设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，再把，代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实根， ∴， ∴，， ∴ ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】方程的一个根是，则＝_____． 【答案】2023 【分析】把代入方程，得到，把看成是一个整体，代入代数式求值即可. 【详解】把代入方程得： 则： 原式 故填：2023. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解和代数式求值，采用整体代入法是解本题的关键. 【变式2】若m是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 根据一元二次方程的解的意义可得，则，将原式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即． ∴ ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式值是　 　 ． 【答案】﹣2026． 【解答】解：由题意可得：a2+a﹣1＝0，则a2+a＝1， 当a＝0时，﹣1＝0不成立， ∴a≠0， ∴a+10，即a1． ∴ ＝1+a2026 ＝﹣2025+a ＝﹣2025﹣1 ＝﹣2026． 故答案为：﹣2026． 【题型6：根据实际问题列一元二次方程】 【例6】元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 【变式1】俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　） A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50% 【答案】A 【解答】解：根据题意得：（1﹣x）2＝50%． 故选：A． 【变式2】《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为 　 ． 【答案】x（x+12）＝864． 【解答】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为（x+12）步． 依题意，得：x（x+12）＝864． 故答案为：x（x+12）＝864． 【变式3】一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系． 先利用个位数字与十位数字的和为9，用含的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等量关系列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． 根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为， 将其整理为一元二次方程的一般形式为． 故答案为：（或）． 【基础通关练】 1．有以下两个方程：甲：，乙：，其中（    ） A．甲是一元二次方程 B．乙是一元二次方程 C．甲和乙均是一元二次方程 D．甲和乙均不是一元二次方程 【答案】A 【详解】解：∵方程甲 只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴甲是一元二次方程； ∵方程乙 含有，两个未知数， ∴乙不是一元二次方程； 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程解答即可，掌握定义也是解题关键． 【详解】解：A．，未知数最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B．，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，符合题意； C．，不是整式方程，即不是一元二次方程，不符合题意； D．，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选B． 3．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、选项中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故不符合题意； 、选项中未说明，当时方程变为一元一次方程，故不符合题意； 、选项整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，一定是一元二次方程，符合题意； 、选项整理得，未知数最高次数为，是一元三次方程，不是一元二次方程，故不符合题意． 4．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，满足所有条件，是关于的一元二次方程； 选项B：是分式方程，不是整式方程，不符合定义，排除； 选项C：中，未说明，当时不是二次方程，排除； 选项D： 化简，得， 整理得，是一元一次方程，不符合定义，排除． 5．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】1 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 6．关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 【提升通关练】 1．将一元二次方程，化成的形式，则的值分别是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式及计算方法是解题的关键． 运用完全平方公式展开，再化成一元二次方程的一般式进行比较即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得，， 故选：A． 2．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 【答案】B 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项整理为一般式得， ，，． 3．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数为1，则一次项系数是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，通过乘以使二次项系数为1，再确定一次项系数． 【详解】解：∵ 原方程：， 展开：， 移项：， 为使二次项系数为1，乘以：， ∴ 一次项系数为． 故选：B． 4．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时， ，该选项不符合题意； B、当时， ，该选项符合题意； C、当时， ，该选项不符合题意； D、当时， ，该选项不符合题意． 故选：B． 5．将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 6．将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 【答案】 1 【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解： ， 所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是． 故答案为：1；；． 7．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：由一元二次方程的定义得 解得， 即， 解得， 因此的值为． 8．在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值． （1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是 　　 ． （2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵（）2﹣3＝13， ∴方程x2﹣8x+3＝0的中点值为4； 故答案为4； （2）∵3， ∴m＝6， 把x＝2代入x2﹣mx+n＝0得4﹣6×2+n＝0，解得n＝8， ∴mn＝6×8＝48． 9．请阅读下列材料： 问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得y2+2y﹣4＝0 故所求方程为y2+2y﹣4＝0． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： 　 ． （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2，﹣1，直接写出一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根为　 　 ． 【答案】（1）y2﹣y﹣2＝0； （2）3y2﹣7y+2＝0； （3）、﹣1． 【解答】解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y， 由条件可得y2﹣y﹣2＝0， 故答案为：y2﹣y﹣2＝0； （2）设所求方程的根是y，则，所以， 由条件可得， 化简，得3y2﹣7y+2＝0； （3）由（2）可知，对方程cx2+bx+a＝0两边同时除以x2， 得， 则方程cx2+bx+a＝0的两根是ax2+bx+c＝0（a≠0）两根的倒数， 所以方程cx2+bx+a＝0的两根分别是、﹣1， 故答案为：、﹣1． 【培优通关练】 1．关于的一元二次方程化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则表示的数为（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：设表示的数为， 化成一元二次方程一般形式是， ∵二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0， ∴， ∴表示的数为4， 故选：B． 2．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b， ∴b2﹣ab+b＝0， ∵﹣b≠0， ∴b≠0， 方程两边同时除以b，得b﹣a+1＝0， ∴a﹣b＝1． 故选：A． 3．若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得， 故答案为：． 4．要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，设相框边的宽度为x，则可列出关于x的一元二次方程　 　 ． 【答案】（29+2x）（22+2x）29×22． 【解答】解：设相框边的宽度为xcm，则可列方程为： （29+2x）（22+2x）29×22． 故答案为：（29+2x）（22+2x）29×22． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 一元二次方程 目录 Part1考点突破 考点1：一元二次方程的定义 考点2：一元二次方程的一般形式 考点3：一元二次方程的解（根） Part2 题型探究 题型1：一元二次方程的识别 题型2：由一元二次方程的定义求参数 题型3：一元二次方程的一般形式与各项系数 题型4：一元二次方程的解与求参数 题型5：由方程的解求代数式的值 题型6：根据实际问题列一元二次方程 Part3 分层通关 【考点1：一元二次方程的定义】 1、定义 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。 2、三个必备条件 一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程（分母中不含未知数）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。 3、易错提醒 判断一个方程是否为一元二次方程，不能只看形式，要先化简整理后再判断。例如方程x(x+1)=x²+1整理后为x=1，是一元一次方程，不是一元二次方程。含字母系数的方程要注意二次项系数不为0的条件。 【考点2：一元二次方程的一般形式】 1、一般形式 一元二次方程的一般形式是（），其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 2、注意事项 （1）a≠0是一般形式的重要条件，b和c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）各项都包含它前面的符号，确定系数时要带上符号。 3、特殊形式 当时，得；当时，得；当且时，得。 【考点3：一元二次方程的解（根）】 1、定义 使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 2、根的情况 一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根。判断一个数是否为方程的根，只需将该数代入方程，验证左右两边是否相等。 3、由根求参数 已知方程的一个根，将其代入方程可得到关于参数的方程（组），从而求出参数的值。注意要检验二次项系数不为0的条件。利用根的定义还可以进行整体代入求代数式的值。 【题型1：一元二次方程的识别】 【例1】下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列方程中，一元二次方程的个数有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2：由一元二次方程的定义求参数】 【例2】方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 【变式3】已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【题型3：一元二次方程的一般形式与各项系数】 【例3】将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】一元二次方程化成一般形式为________． 【变式3】将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，则一次项的系数为______． 【题型4：一元二次方程的解与求参数】 【例4】下列各数：，，，，，其中是一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1】关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 【变式2】已知关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【变式3】若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 【题型5：由方程的解求代数式的值】 【例5】设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式1】方程的一个根是，则＝_____． 【变式2】若m是方程的一个根，则的值为______． 【变式3】若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式值是　 　 ． 【题型6：根据实际问题列一元二次方程】 【例6】元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　　） A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50% 【变式2】《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为 　 ． 【变式3】一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【基础通关练】 1．有以下两个方程：甲：，乙：，其中（    ） A．甲是一元二次方程 B．乙是一元二次方程 C．甲和乙均是一元二次方程 D．甲和乙均不是一元二次方程 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 4．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 6．关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 【提升通关练】 1．将一元二次方程，化成的形式，则的值分别是（  ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 3．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数为1，则一次项系数是（   ） A．1 B． C．3 D． 4．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 5．将一元二次方程化为一般式为______． 6．将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 7．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 8．在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，则称a是该方程的中点值． （1）方程x2﹣8x+3＝0的中点值是 　　 ． （2）已知x2﹣mx+n＝0的中点值是3，其中一个根是2，求mn的值． 9．请阅读下列材料： 问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 【培优通关练】 1．关于的一元二次方程化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则表示的数为（   ） A． B．4 C．2 D． 2．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 3．若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 4．要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的四分之一，设相框边的宽度为x，则可列出关于x的一元二次方程　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $