专题 2.1 一元二次方程的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念，系统梳理定义（整式、一元、二次）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）、解（根）及核心注意要点（二次项系数不为0等），构建从基础认知到应用的学习支架，题型覆盖基础识别、参数求解到综合的解估算、列方程及整体求值。 资料特色是分层设计与核心素养结合，基础题型如方程识别强化抽象能力（数学眼光），综合题型如矩形步道问题列方程培养模型意识（数学语言），解的估算通过表格数据训练推理思维（数学思维）。同步检测题量适中、题型全面，课中辅助分层教学，课后助力巩固基础、查漏补缺，提升知识应用能力。

专题 2.1 一元二次方程的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】一元二次方程的定义 1 【知识点二】一元二次方程的一般形式 2 【知识点三】一元二次方程的解 2 【知识点四】一元二次方程的解（根） 2 【知识点五】核心注意要点 2 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】一元二次方程的识别 3 【题型 2】一元二次方程的一般形式 3 【题型 3】利用一元二次方程定义求参数 4 三.题型精析（综合提升） 4 【题型 4】一元二次方程解的估算 4 【题型 5】列一元二次方程 5 【题型 6】一元二次方程的解（根）求值（整体思想） 6 四.同步检测 6 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 6 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 8 一.知识梳理与解读 【知识点一】一元二次方程的定义 等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程.一元二次方程的解通常也称为一元二次方程的根。 【特别提示】（1）等号两边必须都是整式，不能出现分母含有未知数、根号内含有未知数的形式；（2）方程中只含有一个未知数，也就是 “一元”；（3）未知数的最高次数为2，也就是 “二次”，三者同时满足才是一元二次方程。另外，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 【知识点二】一元二次方程的一般形式 关于的一元二次方程的一般形式是（是常数，）.其中, 分别叫做二次项、一次项和常数项，， 分别叫作二次项系数、一次项系数. 【特别提示】（1）二次项系数；（2）确定二次项系数、一次项系数和常数项时，要先化为一元二次方程的一般形式。 【知识点三】一元二次方程的解 关于的一元二次方程的一般形式是（是常数，）.其中, 分别叫做二次项、一次项和常数项，， 分别叫作二次项系数、一次项系数. 【特别提示】（1）二次项系数；（2）确定二次项系数、一次项系数和常数项时，要先化为一元二次方程的一般形式。 【知识点四】一元二次方程的解（根） 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一 元二次方程的根. 【要点提示】一元二次方程的解常常用来求参数值或通过整体思想求值. 【知识点五】核心注意要点 （1）二次项系数不为0：是核心条件，若，二次项消失，方程变为一元一次方程，不再是一元二次方程。 （2）一次项、常数项可为0：可以为任意常数（包括0），、、均为一元二次方程。 （3）统一书写规范：一元二次方程需整理为等号右侧为0，左侧按二次项、一次项、常数项的顺序降幂排列。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】一元二次方程的识别 【例题1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【变式3】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【题型 2】一元二次方程的一般形式 【例题2】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）； （2）． 【题型 3】利用一元二次方程定义求参数 【例题3】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． （1）如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； （2）如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【变式1】（25-26八年级下·安徽池州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 三.题型精析（综合提升） 【题型 4】一元二次方程解的估算 【例题4】（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． （1）请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． （2）通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【变式2】（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【题型 5】列一元二次方程 【例题5】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西吕梁·一模）如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20，宽15的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为，设步道的宽度为，则可列方程___________． 【变式3】（24-25九年级上·广东广州·期中）一个直角三角形的两条直角边的长相差，面积是，设较短的直角边的长为，根据题意．可列方程为______________． 【题型 6】一元二次方程的解（根）求值（整体思想） 【例题6】（2025·广东潮州·二模）已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 【变式1】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【变式2】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【变式3】（23-24九年级上·北京顺义·期末）已知是方程的根，求代数式的值． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B．4x+8=0 C． D． 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期末）一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 4．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 6．（24-25八年级下·江苏·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·上海·期中）下列说法正确的是（     ） A．是二元二次方程 B．是二项方程 C．是无理方程 D．是分式方程 8．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）观察下列表格，一元二次方程的其中一个解的取值范围是（    ） x 0 1 2 3 4 13 30 49 A． B． C． D． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）把一元二次方程化为一般形式为______________________ 10．（25-26八年级上·上海·期末）已知关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是________． 11．（25-26八年级下·山东济南·期末）若关于的方程是一元二次方程，则________． 12．（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 13．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 14．（25-26八年级·全国·暑假作业）（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 15．（2026·四川广元·二模）若是方程的根，则代数式的值是____． 16．（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 18．（25-26九年级上·北京·期中）已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 19．（24-25九年级上·天津·阶段检测）已知关于的方程．若方程的一个根是，求的值及另一个根． 20．（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． （2）已知是关于的凤凰方程，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.1 一元二次方程的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】一元二次方程的定义 1 【知识点二】一元二次方程的一般形式 2 【知识点三】一元二次方程的解 2 【知识点四】一元二次方程的解（根） 2 【知识点五】核心注意要点 2 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】一元二次方程的识别 3 【题型 2】一元二次方程的一般形式 4 【题型 3】利用一元二次方程定义求参数 6 三.题型精析（综合提升） 7 【题型 4】一元二次方程解的估算 7 【题型 5】列一元二次方程 10 【题型 6】一元二次方程的解（根）求值（整体思想） 12 四.同步检测 13 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 13 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 17 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 20 一.知识梳理与解读 【知识点一】一元二次方程的定义 等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程.一元二次方程的解通常也称为一元二次方程的根。 【特别提示】（1）等号两边必须都是整式，不能出现分母含有未知数、根号内含有未知数的形式；（2）方程中只含有一个未知数，也就是 “一元”；（3）未知数的最高次数为2，也就是 “二次”，三者同时满足才是一元二次方程。另外，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 【知识点二】一元二次方程的一般形式 关于的一元二次方程的一般形式是（是常数，）.其中, 分别叫做二次项、一次项和常数项，， 分别叫作二次项系数、一次项系数. 【特别提示】（1）二次项系数；（2）确定二次项系数、一次项系数和常数项时，要先化为一元二次方程的一般形式。 【知识点三】一元二次方程的解 关于的一元二次方程的一般形式是（是常数，）.其中, 分别叫做二次项、一次项和常数项，， 分别叫作二次项系数、一次项系数. 【特别提示】（1）二次项系数；（2）确定二次项系数、一次项系数和常数项时，要先化为一元二次方程的一般形式。 【知识点四】一元二次方程的解（根） 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一 元二次方程的根. 【要点提示】一元二次方程的解常常用来求参数值或通过整体思想求值. 【知识点五】核心注意要点 （1）二次项系数不为0：是核心条件，若，二次项消失，方程变为一元一次方程，不再是一元二次方程。 （2）一次项、常数项可为0：可以为任意常数（包括0），、、均为一元二次方程。 （3）统一书写规范：一元二次方程需整理为等号右侧为0，左侧按二次项、一次项、常数项的顺序降幂排列。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】一元二次方程的识别 【例题1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·浙江丽水·期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：选项A的方程，整理得，未知数最高次数为1，不符合一元二次方程定义； 选项B的方程含有2个未知数，不符合一元二次方程定义； 选项C的方程不是整式方程，不符合一元二次方程定义； 选项D的方程是整式方程，只含1个未知数，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程定义． 【变式2】（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 【变式3】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，是整式方程，未知数最高次数为2． 解：A、中含有2个未知数，是二元一次方程，不符合定义； B、，整理得，只含一个未知数，是整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义； C、中 是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义； D、，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义． 【题型 2】一元二次方程的一般形式 【例题2】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数是，一次项系数是，常数项是9 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．把化为一般形式，即可得到答案． 解：， 即， 则二次项系数是，一次项系数是，常数项是9． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 【变式2】（25-26八年级下·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】，， 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）； （2）． 【答案】（1）方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为；（2）方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义． （1）移项，将方程化为一般形式，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，将方程化为一般形式，即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【题型 3】利用一元二次方程定义求参数 【例题3】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知方程． （1）如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； （2）如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】（1），二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11；（2）或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 解：（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 【变式1】（25-26八年级下·安徽池州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 【变式2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 解：（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 三.题型精析（综合提升） 【题型 4】一元二次方程解的估算 【例题4】（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． （1）请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． （2）通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】（1）见分析；（2）矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 解：（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 【变式2】（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：通过表格可知，当时， ， 当时，输出值为， ∴当时，． 【变式3】（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 【题型 5】列一元二次方程 【例题5】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长与宽的和表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可 解：设长为步，长和宽的和为步 宽为步 矩形面积长宽，已知矩形面积为平方步 可列方程为 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据连续偶数的差值为2，由给出的较大数表示出较小偶数，再根据两数乘积为168即可列出方程． 解：∵较大的偶数为，则较小的连续偶数为， ∴根据题意，可得方程． 【变式2】（2026·山西吕梁·一模）如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20，宽15的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为，设步道的宽度为，则可列方程___________． 【答案】 解：改造后种植区的长为，宽为， 根据改造后种植区的面积为，可列方程． 【变式3】（24-25九年级上·广东广州·期中）一个直角三角形的两条直角边的长相差，面积是，设较短的直角边的长为，根据题意．可列方程为______________． 【答案】 【分析】根据直角三角形的面积公式列方程即可． 解：∵两条直角边的长相差，且较短的直角边的长为， ∴较长的直角边的长为， ∵面积是， ∴可得． 【题型 6】一元二次方程的解（根）求值（整体思想） 【例题6】（2025·广东潮州·二模）已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式得化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键． （1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可； （2）根据方程的解满足方程得到，代入化简式子中求解即可． 解：（1）解： ； （2）解：∵若a为方程的一个解， ∴，即， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，首先根据是关于的一元二次方程的根，可得：，再利用整体代入法求代数式的值即可． 解：是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 解：是方程的一个根， ，即， ． 【变式3】（23-24九年级上·北京顺义·期末）已知是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，求代数式的值，先根据方程根的定义推出，然后将进行化简，再把代入化简后的代数式中计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B．4x+8=0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可； 解： ∵一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，②只含一个未知数，③未知数的最高次数为2. 选项A． 满足所有三个条件，是一元二次方程； 选项B． 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C． 未知数最高次数为3，不符合要求； 选项D． 中 是分式，该方程不是整式方程，不符合要求； 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 3．（25-26八年级下·江苏南通·期末）一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 4．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可． 解：， 或， 解得：，． 故选：C． 5．（25-26八年级下·安徽六安·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，方程的根满足原方程，将代入原方程变形即可得到所求代数式的值． 解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 6．（24-25八年级下·江苏·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 7．（23-24八年级下·上海·期中）下列说法正确的是（     ） A．是二元二次方程 B．是二项方程 C．是无理方程 D．是分式方程 【答案】A 解：A、含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是二元二次方程，说法正确，符合题意； B、含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程，是一元二次方程，不是二项方程，说法错误，不符合题意； C、的分母含有未知数，属于分式方程，不是无理方程，说法错误，不符合题意； D、的分母是常数5，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程，说法错误，不符合题意． 8．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）观察下列表格，一元二次方程的其中一个解的取值范围是（    ） x 0 1 2 3 4 13 30 49 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解.的解是二次函数图象与x轴的交点的横坐标，再利用二次函数的增减性可估算解的范围． 解：观察表格可得： 当时，， 当时，， 从到的这个过程中图象一定会与x轴的相交， 所以的一个解的范围为． 故选：B． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 解：， ∴， ∴. 10．（25-26八年级上·上海·期末）已知关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的定义．根据关于x的方程有两个实数根，得，，且，再计算，即可作答． 解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， 故答案为：且． 11．（25-26八年级下·山东济南·期末）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 12．（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 【答案】2 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程求解即可． 解：一元二次方程的一个根为， 将代入方程得：，解得：． 14．（25-26八年级·全国·暑假作业）（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【答案】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 15．（2026·四川广元·二模）若是方程的根，则代数式的值是____． 【答案】2029 【分析】利用方程的根的定义，得到；两边同除以，构造出的形式；对平方，求出的值；代入代数式，直接算出最终结果． 解：∵是方程的根， ∴， ， 方程两边同时除以，得： 整理得： ∴ 化简得： 移项得： 将其代入代数式得： ． 16．（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是__________． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可知要保证二次项系数不为，从而求出答案. 解：根据一元二次方程的定义可知，，解得． 故当时，这个方程是一元二次方程． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·北京·期中）已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．把方程的解代入原方程，可得，所求代数式可化简为，再将代入其中，即可求出结论． 解：将代入原方程得：， ， 原式 ． 19．（24-25九年级上·天津·阶段检测）已知关于的方程．若方程的一个根是，求的值及另一个根． 【答案】，另一个根是 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的根与系数的关系，将代入方程得出关于的一元一次方程，解方程求得，设另一个根为，根据根与系数的关系，即可求出答案． 解：∵关于的方程．方程的一个根是， ∴ 解得： 设另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系可得：， 解得：； 综上所述，，另一个根是． 20．（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由． （2）已知是关于的凤凰方程，求的值． 【答案】（1）解：是凤凰方程，理由如下： 由方程可得，，，， ∴， ∴一元二次方程是凤凰方程； （2） 【分析】（）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义判断即可； （）由方程得出的值，再根据凤凰方程的定义得到关于的方程解答即可； 本题考查了一元二次方程的解，理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． 解：（1）略 （2）解：由方程得，，，， ∵是关于的凤凰方程， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $