1.3 一元二次方程的根与系数的关系（讲义）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系，系统梳理韦达定理内容及注意事项，构建从基础考点（定理应用、变形公式）到题型探究（已知根求参数、降次求值等）再到分层通关的学习支架，衔接方程解法与代数变形。 该资料以分层设计和题型聚焦为特色，通过6类典型题型及变式训练培养推理意识，结合降次技巧、构造方程等应用提升抽象能力与应用意识。课中辅助教师系统教学，课后分层练习助力学生查漏补缺，强化知识迁移。

1.3 一元二次方程的根与系数的关系 目录 Part1考点突破 考点1：一元二次方程根与系数的关系 考点2：根与系数关系的应用 Part2 题型探究 题型1：已知一根求另一根及参数 题型2：根与系数关系直接求值 题型3：降次求值 题型4：根与系数关系求参数 题型5：根与系数关系关联判别式 题型6：构造方程与综合应用 Part3 分层通关 【考点1：一元二次方程根与系数的关系】 1、韦达定理 若一元二次方程（）的两根为、，则，。这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。 2、注意事项 （1）根与系数的关系成立的前提是方程有两个实数根，即Δ≥0；（2）使用时要先将方程化为一般形式，准确确定a、b、c的值；（3）两根之和是-b/a，不要漏掉负号。 【考点2：根与系数关系的应用】 1、常见变形公式 （1）；（2）； （3）；（4）。 2、主要应用 （1）不解方程，求关于两根的代数式的值；（2）已知方程一根，求另一根及方程中字母的值；（3）已知两根的关系，求方程中字母的值；（4）与根的判别式相结合，解决综合题；（5）利用根与系数关系构造新方程。 3、降次技巧 当所求代数式中含有根的高次幂时，利用方程根的定义进行降次：若x₁是方程ax²+bx+c=0的根，则ax₁²+bx₁+c=0，即x₁²，将高次幂逐步降为一次式，再结合根与系数的关系整体代入求值。 【题型1：已知一根求另一根及参数】 【例1】已知x＝0是方程x2+2x+a＝0的一个根，则方程的另一个根为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2 【答案】C 【解答】解：∵x＝0是方程x2+2x+a＝0的一个根， ∴a＝0， ∴x2+2x＝0， ∴x＝0或﹣2， ∴方程的另一个根为﹣2， 故选：C． 【变式1】若x＝1是一元二次方程x2﹣x﹣3m2+m＝0的一个根，则方程的另一根为　 　 ． 【答案】0． 【解答】解：设方程另一个根为x＝t，根据题意得t+1＝1， ∴t＝0， 则方程的另一个根是0． 故答案为：0． 【变式2】已知关于x的一元二次方程．若，是该方程不相等的两个实数根，如果，那么a的值为（   ） A．2或 B．或4 C．3或 D．或4 【答案】A 【分析】先结合，是该方程不相等的两个实数根，得出，以及再整理得，然后将用表示的与的代数式代入该展开式中计算，最后验算，当时，则；当时，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵，是该方程不相等的两个实数根， ∴ ∴ ∴ 则 ∴ ∵， ∴， 则 ∴ ∴ ∴ 解得 当时，则； 当时，则； ∴a的值为2或． 【变式3】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则m的值为_____________ 【答案】4 【分析】由韦达定理得出x1+x2=6，x1·x2=m+4，将已知式子3x1= |x2|+2去绝对值，对x2进行分类讨论，列方程组求出x1、x2的值，即可求出m的值. 【详解】由韦达定理可得x1+x2=6，x1·x2=m+4， ①当x2≥0时，3x1=x2+2， ，解得， ∴m=4； ②当x2＜0时，3x1=2﹣x2， ，解得，不合题意，舍去. ∴m=4. 故答案为4. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，其中对x2分类讨论去绝对值是解题的关键. 【题型2：根与系数关系直接求值】 【例2】一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【答案】A 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝2， 故选：A． 【变式1】已知，是方程的两个根，则________． 【答案】/ 【分析】根据根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解： ，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得 ，， 对通分得 ， 将，代入得 原式． 【变式2】若a，b是方程的两个根，则的值为___． 【答案】4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到与的值，代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得，， ∴． 【变式3】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个实数根，则代数式的值为（　　） A．8 B．16 C．24 D．28 【答案】B 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝5，x1x2＝3， 所以原式＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝52﹣3×3＝16． 故选：B． 【题型3：降次求值】 【例3】已知，是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．1 B．3 C．-1 D．-3 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键． 根据一元二次方程解的定义以及根与系数的关系可得，，进而得到，然后对所求代数式变形并整体代入原式即可解答． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴，即， ∴ ． 故选B． 【变式1】设a，b是方程x2+x﹣2017＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2019 B．2018 C．2015 D．2016 【答案】D 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2017＝0的实数根， ∴a2+a﹣2017＝0， ∴a2+a＝2017， ∵a，b是方程x2+x﹣2017＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2017+（﹣1）＝2016． 故选：D． 【变式2】设、是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系．根据方程的解得到，根据根与系数的关系得到，然后将表达式进行变形，利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：因为α是方程的实数根， 所以， 即． 因为α，β是方程的两个实数根， 所以根据根与系数的关系，． ∴ 故答案为：． 【变式3】若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．先根据题意得到，，则，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2025． 【题型4：根与系数关系求参数】 【例4】若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则 ． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分， ，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 【变式1】关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且，则k的值是　 　 ． 【答案】1． 【解答】解：由根与系数的关系得x1+x2＝2k，， ∵， ∴， ∴（2k）2﹣2（k2﹣k）＝4， 整理可得k2+k﹣2＝0， 解得k＝﹣2或k＝1， ∵一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）＝4k≥0， ∴k≥0， ∴k＝1． 故答案为：1． 【变式2】定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意得出该方程为，由一元二次方程根的判别式得出，设两实数根为，，则，，结合方程的两实数根的平方和为12，列出关于的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，该方程为， ∵方程的两实数根的平方和为12， ∴， ∴， 设两实数根为，，则，， ∵ ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 故选：C． 【变式3】已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为 　 　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵n2+2n﹣1＝0， ∴n≠0， 将n2+2n﹣1＝0的两边同时除以n，得：10． 即， 又∵m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m． ∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ∴2+1＝3， 故答案为：3． 【题型5：根与系数关系关联判别式】 【例5】关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 【答案】C 【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由题意得：方程可化为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：， ∴该方程的两个根为一正一负， 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 【变式1】关于的一元二次方程有一个正根、一个负根，且正根的绝对值不大于负根的绝对值，则的取值范围是_____________ 【答案】且m≠0 【分析】根据根与系数的关系判断即可． 【详解】设方程得两个根为，， ∴ ∵于的一元二次方程有一个正根、一个负根， ∴且m≠0 解得且m≠0 故答案为：且m≠0． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟记是解题的关键． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣x1x2＝6，求k的值． 【答案】（1）见解析；（2）k的值为﹣4． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4k ＝k2+4k+4﹣4k ＝k2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k+2），x1x2＝k， ∴﹣（k+2）﹣k＝6， 解得：k＝﹣4． 【变式3】已知：关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若两实数根、满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用； （1）利用一元二次方程有两个实数根时，判别式，列不等式求解的取值范围 （2）根据一元二次方程根与系数的关系，用含的代数式表示两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解，再结合第一问中的取值范围舍去不符合题意的解． 【详解】（1）解： 对于方程， 其中，， ∵方程有两个实数根 ， ∴，即， 解得； （2）解： ∵、是方程的两个实数根 ∴， ∵ ∴ 整理得 因式分解得 解得或 又∵由（1）知 ∴不符合题意，舍去 ∴ 【题型6：构造方程与综合应用】 【例6】若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是把a、b看作是方程的解，然后根据根与系数的关系解题．分两种情况：当时，直接计算表达式；当时，将a和b视为方程的两个根，利用根与系数关系求和，再化简表达式即可． 【详解】解：①当时： ∵a和b满足，且（因为代入得）， ∴原式； ②当时： ∵a和b是方程的两个根， ∴，， 原式， ∵， ∴分子，分母， ∴原式， 综上所述，原式的值为2或． 故选：C． 【变式1】思维拓展：已知实数s，t分别满足，则____________ 【答案】 【分析】根据题意可知s与是方程的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根的积，代入代数式即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， 方程两边除以得到：， 即， ∴s与是方程的两个根， ∴，， ∴， 故的值为． 【变式2】已知实数、、满足，，则实数的最大值为______． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题关键是利用根与系数的关系构造一元二次方程． 由已知条件，将和视为二次方程的两个根，利用根与系数的关系构造一元二次方程，根据实数根的条件判别式非负，求解的取值范围，从而得到最大值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且和为实数， 以、为根的二次方程有实数根， 即判别式， 将，代入， 得， 解得， 即的最大值为2． 故答案为：2． 【变式3】已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0 （1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）9 【解答】（1）证明：根据题意得：Δ＝[﹣（3k+3）]2﹣4（2k2+4k+2）＝（k+1）2． ∵无论k为何值，总有（k+1）2≥0， ∴无论k为何值，原方程都有实数根； （2）∵关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0的两实数根是x1、x2， ∴x1+x2＝3k+3，x1x2＝2k2+4k+2， ∴由x1x2+2x1+2x2＝36，得2k2+4k+2+2（3k+3）＝36， 整理，得（k+7）（k﹣2）＝0． 解得k1＝﹣7（舍去），k2＝2． ∴x1x22（k+1）2＝（2+1）2＝9． 即菱形的面积是9． 【基础通关练】 1．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 【答案】A 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝2，mn， 所以4． 故选：A． 2．已知、是方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C．95 D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先设，，则可用、表示，，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，的值，然后将两个式子相加即可得． 【详解】解：设，， ∴， ， ∵、是方程的两根， ∴，， ∴， ∵， ∴（负值已舍去）， ∴， ， 将两个式子相加得：， ∴， 即， 故选：A． 3．若，是方程的两根，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式展开整理，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴ ． 4．一元二次方程的两个根分别是，，那么代数式的值为______． 【答案】 【分析】先化为一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与积，将代数式完全平方公式变形，再代入求值，即可求解． 【详解】解：化为一般形式为 ∵一元二次方程的两个根分别是，， ∴ ∴ 5．已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是_______ 【答案】4051 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：4051． 6．如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是_______． 【答案】2029 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．先根据根与系数的关系得出，，再利用一元二次方程解的定义得到，，从而得到，，则原式化简为，最后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根 ，，， ， ，即 故答案为：2029． 【提升通关练】 1．已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值_____． 【答案】﹣2 【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值． 【详解】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①； 由=﹣b﹣3得：b2+3b+c=0②； ∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c； ∴+﹣=====﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键． 2．已知，且，，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】由题意可得、是一元二次方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵，且，， ∴、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 3．已知﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则b＝　 　 ，另一个根是　 　 ． 【答案】﹣2，3． 【解答】解：由题知， 因为﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根， 所以（﹣1）2﹣b﹣3＝0， 解得b＝﹣2． 因为方程x2+bx﹣3＝0的两根之积为﹣3，且一个根为﹣1， 所以方程的另一个根为3． 故答案为：﹣2，3． 4．若m，n是方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，得到和，并将表达式中的转化为，从而简化原式． 【详解】解：m，n是方程的两个根， ，， ， ， 故选：A． 5．如果x＝﹣2是关于x的一元二次方程（x﹣4）2﹣n＝0的一个根，求n的值及方程的另一个根． 【答案】n＝36，方程的另一个根为10． 【解答】解：将x＝﹣2代入得：（﹣2﹣4）2﹣n＝0， 解得：n＝36， ∴方程为：（x﹣4）2﹣36＝0， ∴（x﹣4）2＝36， 解得：x1＝﹣2，x2＝10， ∴另一根为：x＝10． 6．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根是，求它的另一个根及的值． 【答案】(1) (2)4， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）把代入方程，可求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴，即， 解得：， ∴m的取值范围是． （2）解：把代入方程得：， 解得：， ∴原方程为， 设方程的另一个根为a， ∵方程有一个根是， ∴， 解得：， 即方程的另一个根为，的值为． 7．关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根； (2)若是关于的方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟记一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，由已知得到或，代入整理得到，然后解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵（时取等号），（时取等号）， ∴， ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴且或， ∴， 当时，，（舍去）， 当时，，， ∴，， ∴，即， 解得或． 8．已知x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）3；（2）． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根， 所以． （1） ＝3； （2） ． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，另两边AB、BC恰好是该方程的两个根，请求出k的值． 【答案】（1）见解析；（2）12． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k） ＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k ＝1＞0， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：x， 解得x1＝k，x2＝k+1， ∵两边AB、BC恰好是该方程的两个根， ∴AB＝k+1，BC＝k， ∴∠C＝90°， ∴k2+52＝（k+1）2， 解得k＝12， 即k的值为12． 【培优通关练】 1．【知识技能】 材料：小明在学习一元二次方程解时，发现：若关于的一元二次方程 的两个实数根为，和系数，，有如下关系： ，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，则． 【数学理解】 （1）若一元二次方程的两个实数根为，，则___________，____________． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了根与系数的关系，通过完全平方公式进行变形求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （）利用根与系数的关系即可求解； （）利用根与系数的关系得，，然后根据即可求解． 【详解】（）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， 故答案为：，； （）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 2．关于的方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围． 若，试说明此方程有两个负根． 在的条件下，若，求的值． 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）． 【分析】（1）根据判别式的意义得到△=4（k-1）2-4k2＞0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2（k-1），x1•x2=k2，由于k＜，k≠0，所以x1+x2=2（k-1）＜0，x1•x2=k2＞0，然后根据有理数乘法的运算性质得到x1，x2都为负数； （3）先根据x1，x2都为负数，去绝对值得到-x1+x2=4，两边平方后变形得到（x1+x2）2-4x1x2=16，则4（k-1）2-4k2=16，然后解方程即可． 【详解】（1）根据题意得， 解得； （2）∵，， ∴，， ∴，都为负数，即此方程有两个负根； （3）∵，都为负数，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac以及一元二次方程的根与系数的关系，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见解析；（2）m＝1；2 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4×2m ＝（m﹣2）2≥0， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得1+t＝m+2①，1×t＝2m②， ②﹣①得﹣1＝m﹣2， 解得m＝1， 把m＝1代入②得t＝2， 所以m的值为1，方程的另一个根为2． 4．已知在关于x的分式方程2①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个实数根x1，x2，且满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），k为负整数时，试判断m2≤4是否成立，并说明理由． 【答案】（1）k≥﹣1且k≠1，2，（2）成立，理由见解答． 【解答】解：（1）解分式方程①得x． ∵方程①的根为非负数， ∴，解得k≥﹣1且k≠1． 又一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0中，2﹣k≠0，所以k≠2． 综上所述可知k≥﹣1且k≠1，2． （2）m2≤4成立．理由如下： ∵k是负整数，k≥﹣1且k≠1，2， ∴k＝﹣1． ∵方程②有两个实数根x1，x2， ∴ ∴n． 化简x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），得（x1+x2）2＝3x1x2+k2，将代入，得（﹣m）2＝3n+（﹣1）2， ∴m2﹣4n＝1，n③，Δ＝（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n＝9m2﹣48n＞0④，把③代入④得9m2﹣480， 整理，可得m2≤4． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 目录 Part1考点突破 考点1：一元二次方程根与系数的关系 考点2：根与系数关系的应用 Part2 题型探究 题型1：已知一根求另一根及参数 题型2：根与系数关系直接求值 题型3：降次求值 题型4：根与系数关系求参数 题型5：根与系数关系关联判别式 题型6：构造方程与综合应用 Part3 分层通关 【考点1：一元二次方程根与系数的关系】 1、韦达定理 若一元二次方程（）的两根为、，则，。这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。 2、注意事项 （1）根与系数的关系成立的前提是方程有两个实数根，即Δ≥0；（2）使用时要先将方程化为一般形式，准确确定a、b、c的值；（3）两根之和是-b/a，不要漏掉负号。 【考点2：根与系数关系的应用】 1、常见变形公式 （1）；（2）； （3）；（4）。 2、主要应用 （1）不解方程，求关于两根的代数式的值；（2）已知方程一根，求另一根及方程中字母的值；（3）已知两根的关系，求方程中字母的值；（4）与根的判别式相结合，解决综合题；（5）利用根与系数关系构造新方程。 3、降次技巧 当所求代数式中含有根的高次幂时，利用方程根的定义进行降次：若x₁是方程ax²+bx+c=0的根，则ax₁²+bx₁+c=0，即x₁²，将高次幂逐步降为一次式，再结合根与系数的关系整体代入求值。 【题型1：已知一根求另一根及参数】 【例1】已知x＝0是方程x2+2x+a＝0的一个根，则方程的另一个根为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2 【变式1】若x＝1是一元二次方程x2﹣x﹣3m2+m＝0的一个根，则方程的另一根为　 　 ． 【变式2】已知关于x的一元二次方程．若，是该方程不相等的两个实数根，如果，那么a的值为（   ） A．2或 B．或4 C．3或 D．或4 【变式3】已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，满足，则m的值为_____________ 【题型2：根与系数关系直接求值】 【例2】一元二次方程x2﹣2x+1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【变式1】已知，是方程的两个根，则________． 【变式2】若a，b是方程的两个根，则的值为___． 【变式3】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两个实数根，则代数式的值为（　　） A．8 B．16 C．24 D．28 【题型3：降次求值】 【例3】已知，是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．1 B．3 C．-1 D．-3 【变式1】设a，b是方程x2+x﹣2017＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2019 B．2018 C．2015 D．2016 【变式2】设、是方程的两个实数根，则的值为_______． 【变式3】若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 【题型4：根与系数关系求参数】 【例4】若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【变式1】关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且，则k的值是　 　 ． 【变式2】定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 【变式3】已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为 　 　 ． 【题型5：根与系数关系关联判别式】 【例5】关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 【变式1】关于的一元二次方程有一个正根、一个负根，且正根的绝对值不大于负根的绝对值，则的取值范围是_____________ 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣x1x2＝6，求k的值． 【变式3】已知：关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若两实数根、满足，求的值． 【题型6：构造方程与综合应用】 【例6】若实数a，b满足，，则的值为（    ） A． B．或20 C．2或 D． 【变式1】思维拓展：已知实数s，t分别满足，则____________ 【变式2】已知实数、、满足，，则实数的最大值为______． 【变式3】已知关于x的方程x2﹣（3k+3）x+2k2+4k+2＝0 （1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根； （2）若该方程的两实数根x1、x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2＝36，求k值及该菱形的面积． 【基础通关练】 1．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 2．已知、是方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C．95 D． 3．若，是方程的两根，则的值为_____． 4．一元二次方程的两个根分别是，，那么代数式的值为______． 5．已知、是方程的两个实数根，则代数式的值是_______ 6．如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是_______． 【提升通关练】 1．已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值_____． 2．已知，且，，则的值为___________． 3．已知﹣1是方程x2+bx﹣3＝0的一个根，则b＝　 　 ，另一个根是　 　 ． 4．若m，n是方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 5．如果x＝﹣2是关于x的一元二次方程（x﹣4）2﹣n＝0的一个根，求n的值及方程的另一个根． 6．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求的取值范围； (2)若该方程的一个根是，求它的另一个根及的值． 7．关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根； (2)若是关于的方程的两个根，且，求的值． 8．已知x1，x2是关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，求下列各式的值． （1）； （2）． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，另两边AB、BC恰好是该方程的两个根，请求出k的值． 【培优通关练】 1．【知识技能】 材料：小明在学习一元二次方程解时，发现：若关于的一元二次方程 的两个实数根为，和系数，，有如下关系： ，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，则． 【数学理解】 （1）若一元二次方程的两个实数根为，，则___________，____________． 【拓展探索】 （2）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，在不解方程的情况下，求的值． 2．关于的方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围． 若，试说明此方程有两个负根． 在的条件下，若，求的值． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 4．已知在关于x的分式方程2①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个实数根x1，x2，且满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），k为负整数时，试判断m2≤4是否成立，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $