专题2.3 一元二次方程的根与系数的关系（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题2.3 一元二次方程的根与系数的关系 【本节预习目标】 1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能准确写出一元二次方程的两根之和与两根之积。 2.能运用根与系数的关系求常见对称代数式的值，已知一根求另一根及参数，根据条件构造一元二次方程。 3.能结合根的判别式，根据根的情况求解参数的取值范围，提升综合运算与逻辑推理能力。 4.体会整体代换、降次转化的数学思想，能运用韦达定理解决几何、实际情境中的问题，发展数学建模素养。 【前置旧知回顾】 旧知模块 核心内容 本节新知关联 一元二次方程求根公式 当时，方程的根为 根与系数关系的推导依据，通过求根公式计算两根和与积，得到韦达定理 根的判别式 决定方程实数根的个数 使用韦达定理的前提条件，涉及参数的问题必须结合检验 代数式恒等变形 完全平方公式、分式运算、绝对值运算等 将待求代数式转化为只含、的形式，是韦达定理应用的核心技能 知识点1：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.定理内容 对于一元二次方程，当根的判别式时，方程的两个实数根、满足： 即两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比值。 2.简化形式 当一元二次方程的二次项系数为1，即形如时，根与系数的关系简化为： >注意：使用根与系数的关系时，必须保证方程是一元二次方程（）且有实数根（），二者缺一不可。 知识点2：常见对称代数式的变形 利用根与系数的关系求代数式的值时，需将代数式转化为只含和的形式，常见变形如下表： 代数式 变形公式 【基础巩固题型】 【题型1】直接求方程的两根和与两根之积 1.核心知识点 一元二次方程的一般形式；根与系数的关系公式 2.解题方法技巧 ①先将方程化为的一般形式，准确确定a,b,c的符号与数值； ②直接代入公式、计算，注意和的符号不要遗漏负号； ③计算前可先判断的符号，确认方程有实数根后再使用韦达定理。 【例题1】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系求出的值，再根据可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【答案】 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于方程可得 ， ∴． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·福建福州·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，直接代入计算两根之和即可得到结果； 【详解】解：，是方程的两个实数根， 故； 【变式题1-3】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为_______ 【答案】 【分析】由根与系数的关系得到的值，再根据求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴． 【题型2】已知一根求另一根及参数的值 1.核心知识点 一元二次方程的解的定义；根与系数的关系 2.解题方法技巧 ①方法一：将已知根代入原方程，先求出参数的值，再解方程得到另一根； ②方法二：利用根与系数的关系，通过两根之积或两根之和直接列式求另一根与参数； ③两种方法可相互验证，确保结果准确。 【例题2】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·江西宜春·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之积等于是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接由两根之积求另一个根. 【详解】解：∵方程的一个根是1，设另一个根为， ∴由根与系数的关系，两根之积为， ∴，即另一个根是． 故选：A． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程两根之和的关系，结合已知的一个根即可求出另一个根． 【详解】解：由题意可知，一元二次方程中，，， 根据根与系数的关系，可得， ∵， ∴，即方程的另一个根为． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知关于x的一元二次方程：的一个根是，则它的另一个根为_________． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系式是解题关键． 根据根与系数的关系：，，求出另一个根即可． 【详解】解：设方程的另一个根是， 根据根与系数的关系，得， 解得， 故答案为：． 【题型3】简单对称代数式的求值 1.核心知识点 完全平方公式、分式运算等恒等变形；根与系数的关系 2.解题方法技巧 ①先根据方程写出与的值； ②将待求代数式通过恒等变形，转化为只含和的形式； ③整体代入数值计算，注意符号运算与化简的准确性。 【例题3】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据题意a，b是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）设，是方程的两个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后，整体代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系可得：，， 对所求代数式因式分解：， 整体代入得：原式． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 【答案】C 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式通分后代值计算即可． （2）将所求代数式通分后代值计算即可． （3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴ ， ． 【题型4】根的符号分布判定 1.核心知识点 根与系数的关系；有理数的符号法则 2.解题方法技巧 ①两根均为正：满足，，； ②两根均为负：满足，，； ③两根一正一负：满足，； ④判定时必须先保证方程有实数根，再结合和与积的符号综合判断。 【例题4】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 【答案】D 【分析】先计算根的判别式判断根的个数，再根据两根之积的符号判断根的符号，即可得到结论． 【详解】∵对于一元二次方程，，，， ∴根的判别式， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根为，，由根与系数的关系得， ∴方程的两根异号， ∴方程有两个不相等的异号实数根． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·山东聊城·期末）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，A、B通过根的判别式进行判断，C、D结合根与系数的关系得结论． 【详解】解：∵一元二次方程的各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故A错误，符合题意；B正确，不符合题意； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故C正确，不符合题意； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为， ∴方程有两个异号实数根，故D正确，不符合题意， 故选：A． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个相等的实数根且两根同号 C．有两个不相等的实数根且两根异号 D．没有实数根 【答案】C 【分析】先将方程整理为一元二次方程一般形式，通过根的判别式判断根的个数，再根据两根之积判断两根符号，即可得出结论． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 因此方程有两个不相等的实数根 设方程的两根为， 因此方程的两根异号 因此方程有两个不相等的实数根且两根异号． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·河北保定·期末）若是一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（   ） A．与的和一定是正数 B．与的和一定是负数 C．与的积一定是正数 D．与的积一定是负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． 先将一元二次方程化为标准形式，再利用一元二次方程根与系数的关系分析各选项． 【详解】解：∵ 将方程化为标准形式为， ∴ 由一元二次方程根与系数的关系可知，两根之和，两根之积， ∵ ， ∴ 与的和一定是正数，故A正确，B错误． ∵ 的值不确定，可正、可负、可为0， ∴ 与的积不一定是正数或负数，故C、D错误． 故选：A． 【培优提升题型】 【题型5】结合根的判别式求参数的取值 1.核心知识点 根的判别式；根与系数的关系；不等式求解 2.解题方法技巧 ①先根据方程有实数根的条件，由列出关于参数的不等式，得到参数的初步范围； ②再根据题目给出的两根关系（如和、积满足的等式），利用韦达定理列方程，求出参数的值； ③将求得的参数代入判别式的范围检验，舍去使方程无实根的参数值。 【例题5】.（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】(1)实数的取值范围是 (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． （2） 利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式得到关于的方程，求解后结合（1）中的范围筛选得到正确的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ ，解得． 即实数的取值范围为． （2）解：∵一元二次方程的两个实数根，， ∴， ， 又∵， ∴ ，解得，． 由（1）知，故不符合要求舍去，因此． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据根与系数的关系用表示和，再代入已知等式得到关于的方程，结合（1）中的范围筛选出符合条件的值即可； 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 【题型6】同构方程的根与系数关系应用 1.核心知识点 一元二次方程的定义；根与系数的关系；转化思想 2.解题方法技巧 ①观察两个代数式满足的方程，通过变形化为结构完全相同的一元二次方程； ②将两个字母看作该一元二次方程的两个实数根，直接利用韦达定理得到和与积； ③注意两数相等与不等的分类讨论，当两数可能相等时需单独验证。 【例题6】.（25-26九年级上·福建莆田·期中）阅读下面的材料： 材料一：∵和3是方程的解． ∴； 材料二：如果实数a，b满足，则可以将a，b看作是方程的两实数根． 问题解决： (1)若两个不同的实数m、n满足，，求的值； (2)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)7 (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义． （1）根据、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （2）将、看作是方程的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：∵，实数、满足，， 即实数、满足，， ∴、可看作方程的两根， ， ∴． （2）解：∵，， ∴将看作是方程的两实数根； ， 而， ， ∴，即， ∴的最大值为1． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）直接根据材料给出的一元二次方程根与系数的关系计算即可； （2）由条件可知是方程的两个不相等实根，利用根与系数关系得到和的值，对所求式子因式分解后代入计算即可； （3）将第二个方程变形为，分和两种情况，分别计算所求式子的值即可． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 其中，， 根据根与系数的关系，可得， （2）解：由题意得，实数满足，，且 因此是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得， 所以 （3）解：将方程变形可得， 又， 分两种情况讨论：①当时， ②当时，和是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得 由，得， ∴， 综上，的值为或． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·四川巴中·阶段检测）阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，， 则， 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， 所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______． (2)类比探究： 已知实数，满足，，且，求的值： (3)思维拓展： 已知实数、分别满足，，且．求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、一元二次方程根与系数的关系、代数式求值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系可得答案； （2）由题意得出、可看作方程的两个不相等的实数根，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意可得：，； 故答案为：；； （2）解：，，且， 、可看作方程的两个不相等的实数根， ，， ； （3）解：把变形为，又， ∴实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式； （3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，， ，； （2）解：当时， 实数、满足，， 、可看作方程的两根， ，， 原式， 当时，则原式； 综上所述，原式的值为或2； （3）解：，， ∴，， 将、看作是方程的两实数根， ， 又∵，即， ， ，即， 的最大值为1． 【压轴素养题型】 【题型7】几何情境中的韦达定理应用 1.核心知识点 根与系数的关系；矩形、菱形、直角三角形的性质 2.解题方法技巧 ①结合几何图形的边长、对角线、面积等关系，得到两根的和或积对应的几何意义； ②利用韦达定理将几何条件转化为关于参数的方程，求解参数； ③得到结果后结合几何实际意义检验，舍去边长为负等不符合题意的解。 【例题7】.（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）已知关于x的一元二次方程：． (1)设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； (2)当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积是3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求菱形的面积，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及求菱形的面积的方法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系， 可得，，再将变形为，即可求解； （2）当时，，即可代入菱形面积公式求解． 【详解】（1）解：对于关于x的一元二次方程， ，，， ，， ； （2）解：当时，， 此时菱形的面积为． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的四条边相等，所以方程有两个相等的实数根，所以有，解方程即可求出的值； （2）四边形为矩形，所以方程一定有两个实数根，所以有，解不等式求出的取值范围，因为矩形对角线的长度为，所以，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：四边形为菱形， 方程有两个相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：； （2）解：四边形为矩形， 一定有两个实数根， ， ， ， ，， 矩形对角线的长度为， ， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·广东佛山·期末）综合与实践 从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为． 【特例感知】 （1）已知原矩形，，其2倍矩形长为______，宽为______； 【类比探究】 （2）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； 【一般验证】 （3）求证：无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 【答案】（1）12，2（2）不存在，理由见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根与系数的关系等知识，解题的关键是： （1）设其2倍矩形长为，宽为，根据“2倍矩形”定义列出方程组，然后解方程组即可； （2）设其倍矩形长为，宽为，根据“倍矩形”定义列出方程组，将二元方程组转化为一元二次方程，然后判断即可； （3）设其2倍矩形长为，宽为，根据“2倍矩形”定义列出方程组，然后解方程组，将二元方程组转化为一元二次方程，然后判断即可． 【详解】解：（1）设其2倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 解得或（不符合题意，舍去）， 故答案为12，2； （2）不存在， 理由：设其倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴方程组无解， ∴不存在； （3）设其2倍矩形长为，宽为， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程有解， 又，， ∴方程有正数解， ∴方程组有正数解， ∴无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在四边形中，有三个角为直角的四边形为矩形，矩形的对边相等 (1)如图1，在矩形中，若点在对角线上，，求的最小值； (2)如图2，若在矩形内任意一点，连接，令． ①求证： ②若，与之和为11，请写出一个以为根且二次项系数为的一元二次方程（要有过程）． 【答案】(1) (2)①见解析；②，见解析 【分析】本题主要考查勾股定理、解一元二次方程等： （1）根据“两点之间，线段最短”可知，当为最小值时，即为与的交点． （2）①过点作，，，，分别交，，，于点，，，，容易求得，同理可得，，；②根据题意可得，可求得或． 【详解】（1）解：在上， 当为最小值时，即为与的交点． 在中，． 的最小值为． （2）解：①过点作，，，，分别交，，，于点，，，，如图所示． 在中． 同理可证，，． ，． ． ②， ． ， ． ． ，． ，或． 以，为根且二次项系数为的一元二次方程为． 【题型8】新定义背景下的韦达定理应用 1.核心知识点 新定义运算的理解；根与系数的关系；一元二次方程的解法 2.解题方法技巧 ①准确解读新定义的规则，将新定义问题转化为常规的一元二次方程问题； ②结合根与系数的关系，将新定义下的条件转化为关于两根和、积的等式； ③求解后结合定义验证结果的合理性。 【例题8】.（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的伴随方程，其中a，b，c为常数（且a，）．根据此定义解决下列问题： (1)若是一元二次方程的伴随方程的一个根，求出c的值． (2)若m，n为一元二次方程的两个根，且． （ⅰ）若，，求一元二次方程的伴随方程． （ⅱ）求证：一元二次方程的伴随方程的两个根分别为，． 【答案】(1) (2)（i）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）由题意得出一元二次方程的伴随方程为，将代入求解即可； （2）（ⅰ）根据一元二次方程根与系数关系得出，结合，求出．结合，即可得，．根据一元二次方程根与系数关系得出，即可求出，得出一元二次方程的伴随方程； （ⅱ）根据一元二次方程根与系数关系得出，．再根据题意得出一元二次方程的伴随方程为，设的两个根为，，根据一元二次方程根与系数关系得出，．又，，即，，即可证明； 【详解】（1）解：由题意可知一元二次方程的伴随方程为， 将代入中，得，解得． （2）解：（ⅰ）∵m，n为一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ， 解得． ， ，． ，， ， 解得， 一元二次方程的伴随方程为． （ⅱ）证明：，n为一元二次方程的两个根， ，． 一元二次方程的伴随方程为， ∴设的两个根为，，则，． ，， ，， 一元二次方程的伴随方程的两个根分别为，． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【答案】(1) (2)， (3)所有可能的快乐数为和 【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）首先表示出 ，得到，然后利用根与系数的关系得到，，表示出 ，得到，根据题意求出或4，进而求解即可． 【详解】（1）解：方程的“快乐数”为 ； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数， ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是； （3）解：根据题意得， ， ∴， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称；若关于的多项式关于对称，则 ； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求关于的方程：的根． (3)关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值2，且关于的方程：只有一根大于3，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的不同的解法以及配方法的应用，能够对多项式进行配方是解题的关键． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对进行配方，根据新定义分别求出a，c的值，再把a，c的值代入，对方程进行求解即可； （3）对进行配方，根据新定义分别求出m，n的值，再把m，n的值代入中，并用因式分解法求解，再根据只有一根大于3，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式关于对称； ∵关于的多项式关于对称， ∴； 故答案为：，． （2）解：∵关于的多项式关于对称，， ∴， 解得． ∵当时，多项式的值为5， ∴， ∴． ∴方程为， ∵， ∴，， 即关于的方程：的根为， ． （3）解：∵关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值2， ∴， 解得，， ∴方程为， ， ，， ∵只有一根大于3，， ∴， 解得． 易错点 1、忽略使用前提：使用根与系数的关系时，忘记验证的条件，导致求出的参数值使方程无实数根。 2、公式记忆错误：记错两根之和的符号，将误记为，导致计算结果符号相反。 3、非对称式变形失误：遇到高次、非对称的代数式时，不会利用方程根的定义降次，无法转化为和与积的形式。 4、构造方程符号出错：逆用韦达定理构造方程时，一次项系数的符号处理错误，漏写负号导致方程构造错误。 重点 1、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的内容，能准确计算两根之和与两根之积。 2、常见对称代数式的恒等变形方法，能利用韦达定理整体代入求代数式的值。 3、结合根的判别式，根据根的情况求解参数的取值范围或值。 难点 1、高次代数式的降次求值，以及同构方程的识别与韦达定理的应用。 2、根的分布、最值问题等综合题型的分析思路，以及多条件限制下参数范围的准确求解。 一、单选题 1．已知关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为（     ） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个根为 ，则 ，据此求解即可． 【详解】解：∵给定一元二次方程为 ，可得，， ∴． 2．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 3．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件，利用根与系数的关系列方程求出和的值，再计算所求方程两根的和与积，构造出一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得， ∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴，， 将代入得：， 整理得． 将代入得：， 化简得 把代入， 解得 ∵， ， ∴所求一元二次方程为． 二、填空题 4．已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】 【分析】对于一元二次方程，若是它的两个根，则，，据此求解即可． 【详解】解：方程中，，， ∵，是方程的两个根 ∴， ∴． 5．已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 【答案】 【分析】设矩形两条边长分别为，，由题意得，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理表示出矩形对角线长，利用完全平方公式变形计算即可得到结果． 【详解】解：设矩形的两条边长分别为，． 由题意得，，是一元二次方程的两个根， ∴，． ∵矩形的对角线长为， ∴． 6．在方程中，小金解得，则______． 【答案】 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， 解得. 三、解答题 7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)另一个实数根为 (2)或 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 9．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 【答案】(1)不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； (2)或0 (3)或 【分析】（1）解方程，根据题意即可判断； （2）解方程，根据题意列方程即可解答； （3）设方程的根为，根据根与系数的关系得到关于的方程，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； （3）解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 10．根据以下素材，解决问题． 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 【答案】(1)解：该一元二次方程不存在实数根，理由如下： 由题意得，， ∴该一元二次方程不存在实数根； (2) (3) 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，由方程的解的定义得到，，则可推出，，可推出，据此代入求值即可； （3）由根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ，， ∴，， ∴ ； （3）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或； ∵原方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 一元二次方程的根与系数的关系 【本节预习目标】 1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能准确写出一元二次方程的两根之和与两根之积。 2.能运用根与系数的关系求常见对称代数式的值，已知一根求另一根及参数，根据条件构造一元二次方程。 3.能结合根的判别式，根据根的情况求解参数的取值范围，提升综合运算与逻辑推理能力。 4.体会整体代换、降次转化的数学思想，能运用韦达定理解决几何、实际情境中的问题，发展数学建模素养。 【前置旧知回顾】 旧知模块 核心内容 本节新知关联 一元二次方程求根公式 当时，方程的根为 根与系数关系的推导依据，通过求根公式计算两根和与积，得到韦达定理 根的判别式 决定方程实数根的个数 使用韦达定理的前提条件，涉及参数的问题必须结合检验 代数式恒等变形 完全平方公式、分式运算、绝对值运算等 将待求代数式转化为只含、的形式，是韦达定理应用的核心技能 知识点1：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.定理内容 对于一元二次方程，当根的判别式时，方程的两个实数根、满足： 即两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比值。 2.简化形式 当一元二次方程的二次项系数为1，即形如时，根与系数的关系简化为： >注意：使用根与系数的关系时，必须保证方程是一元二次方程（）且有实数根（），二者缺一不可。 知识点2：常见对称代数式的变形 利用根与系数的关系求代数式的值时，需将代数式转化为只含和的形式，常见变形如下表： 代数式 变形公式 【基础巩固题型】 【题型1】直接求方程的两根和与两根之积 1.核心知识点 一元二次方程的一般形式；根与系数的关系公式 2.解题方法技巧 ①先将方程化为的一般形式，准确确定a,b,c的符号与数值； ②直接代入公式、计算，注意和的符号不要遗漏负号； ③计算前可先判断的符号，确认方程有实数根后再使用韦达定理。 【例题1】.（25-26八年级下·吉林长春·期末）若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·重庆渝中·期末）若是一元二次方程的两实数根，则的值是___________． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·福建福州·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为________． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为_______ 【题型2】已知一根求另一根及参数的值 1.核心知识点 一元二次方程的解的定义；根与系数的关系 2.解题方法技巧 ①方法一：将已知根代入原方程，先求出参数的值，再解方程得到另一根； ②方法二：利用根与系数的关系，通过两根之积或两根之和直接列式求另一根与参数； ③两种方法可相互验证，确保结果准确。 【例题2】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【变式题2-1】.（25-26九年级上·江西宜春·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（） A． B． C．1 D．2 【变式题2-2】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知关于x的一元二次方程：的一个根是，则它的另一个根为_________． 【题型3】简单对称代数式的求值 1.核心知识点 完全平方公式、分式运算等恒等变形；根与系数的关系 2.解题方法技巧 ①先根据方程写出与的值； ②将待求代数式通过恒等变形，转化为只含和的形式； ③整体代入数值计算，注意符号运算与化简的准确性。 【例题3】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，，且，则_____． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）设，是方程的两个根，则代数式的值为______． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）一元二次方程的两个实数根为m和n，则代数式的值为（     ） A．17 B．6 C．33 D．26 【变式题3-3】.（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 【题型4】根的符号分布判定 1.核心知识点 根与系数的关系；有理数的符号法则 2.解题方法技巧 ①两根均为正：满足，，； ②两根均为负：满足，，； ③两根一正一负：满足，； ④判定时必须先保证方程有实数根，再结合和与积的符号综合判断。 【例题4】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 【变式题4-1】.（25-26九年级上·山东聊城·期末）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个相等的实数根且两根同号 C．有两个不相等的实数根且两根异号 D．没有实数根 【变式题4-3】.（25-26九年级上·河北保定·期末）若是一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（   ） A．与的和一定是正数 B．与的和一定是负数 C．与的积一定是正数 D．与的积一定是负数 【培优提升题型】 【题型5】结合根的判别式求参数的取值 1.核心知识点 根的判别式；根与系数的关系；不等式求解 2.解题方法技巧 ①先根据方程有实数根的条件，由列出关于参数的不等式，得到参数的初步范围； ②再根据题目给出的两根关系（如和、积满足的等式），利用韦达定理列方程，求出参数的值； ③将求得的参数代入判别式的范围检验，舍去使方程无实根的参数值。 【例题5】.（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求k的值． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 【题型6】同构方程的根与系数关系应用 1.核心知识点 一元二次方程的定义；根与系数的关系；转化思想 2.解题方法技巧 ①观察两个代数式满足的方程，通过变形化为结构完全相同的一元二次方程； ②将两个字母看作该一元二次方程的两个实数根，直接利用韦达定理得到和与积； ③注意两数相等与不等的分类讨论，当两数可能相等时需单独验证。 【例题6】.（25-26九年级上·福建莆田·期中）阅读下面的材料： 材料一：∵和3是方程的解． ∴； 材料二：如果实数a，b满足，则可以将a，b看作是方程的两实数根． 问题解决： (1)若两个不同的实数m、n满足，，求的值； (2)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·四川巴中·阶段检测）阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两个根为，， 则， 材料2：已知实数，满足，，且，求的值． 解：由题知，是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，， 所以． 根据上述材料解决以下问题： (1)材料理解： 一元二次方程的两个根为，，则______，______． (2)类比探究： 已知实数，满足，，且，求的值： (3)思维拓展： 已知实数、分别满足，，且．求的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）阅读材料： 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根． 根据上述材料解决下列问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则______，______； (2)已知实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【压轴素养题型】 【题型7】几何情境中的韦达定理应用 1.核心知识点 根与系数的关系；矩形、菱形、直角三角形的性质 2.解题方法技巧 ①结合几何图形的边长、对角线、面积等关系，得到两根的和或积对应的几何意义； ②利用韦达定理将几何条件转化为关于参数的方程，求解参数； ③得到结果后结合几何实际意义检验，舍去边长为负等不符合题意的解。 【例题7】.（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）已知关于x的一元二次方程：． (1)设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； (2)当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·广东佛山·期末）综合与实践 从“特殊”到“一般”是研究数学问题的一种常用策略．某综合实践小组以特殊四边形为背景，就“倍矩形（其周长为原矩形周长的倍，其面积亦为原矩形面积的倍）存在性问题”展开探究． 设原矩形长为，宽为． 【特例感知】 （1）已知原矩形，，其2倍矩形长为______，宽为______； 【类比探究】 （2）上述第（1）问中原矩形的倍矩形存在吗？说明理由； 【一般验证】 （3）求证：无论原矩形，取何值，其2倍矩形一定存在． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在四边形中，有三个角为直角的四边形为矩形，矩形的对边相等 (1)如图1，在矩形中，若点在对角线上，，求的最小值； (2)如图2，若在矩形内任意一点，连接，令． ①求证： ②若，与之和为11，请写出一个以为根且二次项系数为的一元二次方程（要有过程）． 【题型8】新定义背景下的韦达定理应用 1.核心知识点 新定义运算的理解；根与系数的关系；一元二次方程的解法 2.解题方法技巧 ①准确解读新定义的规则，将新定义问题转化为常规的一元二次方程问题； ②结合根与系数的关系，将新定义下的条件转化为关于两根和、积的等式； ③求解后结合定义验证结果的合理性。 【例题8】.（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的伴随方程，其中a，b，c为常数（且a，）．根据此定义解决下列问题： (1)若是一元二次方程的伴随方程的一个根，求出c的值． (2)若m，n为一元二次方程的两个根，且． （ⅰ）若，，求一元二次方程的伴随方程． （ⅱ）求证：一元二次方程的伴随方程的两个根分别为，． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称；若关于的多项式关于对称，则 ； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求关于的方程：的根． (3)关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值2，且关于的方程：只有一根大于3，求的取值范围． 易错点 1、忽略使用前提：使用根与系数的关系时，忘记验证的条件，导致求出的参数值使方程无实数根。 2、公式记忆错误：记错两根之和的符号，将误记为，导致计算结果符号相反。 3、非对称式变形失误：遇到高次、非对称的代数式时，不会利用方程根的定义降次，无法转化为和与积的形式。 4、构造方程符号出错：逆用韦达定理构造方程时，一次项系数的符号处理错误，漏写负号导致方程构造错误。 重点 1、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的内容，能准确计算两根之和与两根之积。 2、常见对称代数式的恒等变形方法，能利用韦达定理整体代入求代数式的值。 3、结合根的判别式，根据根的情况求解参数的取值范围或值。 难点 1、高次代数式的降次求值，以及同构方程的识别与韦达定理的应用。 2、根的分布、最值问题等综合题型的分析思路，以及多条件限制下参数范围的准确求解。 一、单选题 1．已知关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为（     ） A． B．5 C．2 D． 2．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 3．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知，是方程的两个根，则_______． 5．已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 6．在方程中，小金解得，则______． 三、解答题 7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 9．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 10．根据以下素材，解决问题． 弗朗索瓦·韦达被誉为“代数学之父”，他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系，这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”，也被称为“根与系数的关系”． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $