专题1.4 用一元二次方程解决问题 培优讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦用一元二次方程解决实际问题，系统梳理列方程解应用题的“审设列解验答”六步流程，整合平均增长（降低）率、销售利润、面积图形、传播分支、单双循环等常见模型，构建从基础步骤到综合应用的递进学习支架。 资料以分层题型设计为特色，基础题夯实模型应用，培优题强化几何与实际结合，压轴题提升动点探究能力。通过市场销售、园林规划等真实情境，培养学生抽象能力与模型意识，双重检验步骤强化数学思维的严谨性，课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺。

专题1.4 用一元二次方程解决问题 知识点1：列一元二次方程解应用题的基本步骤   1. 六步流程：审、设、列、解、验、答。审：审题，挖掘题干等量关系；设：设未知数，注意带上单位，可直接设元或间接设元；列：根据等量关系列出一元二次方程；解：选择合适解法求解方程；验：双重检验，一是检验是否是方程的根，二是检验根是否符合实际现实意义；答：规范书写完整答案，带上对应单位。   2. 核心提醒：一元二次方程一般有两个实数根，实际问题中负数、超出取值范围、不符合现实逻辑的根必须舍去，不能直接照搬方程的解作答。 知识点2：常见实际问题模型与等量关系 问题模型 核心等量关系 注意要点 平均增长（降低）率 ，为初始基数，为增长率 / 降低率，为两次变化之后的结果 增长率；降低率满足，仅适用于连续两次同等变化 销售利润问题 单件利润售价进价；总利润单件利润销售量 涨价销量减少，降价销量增加；留意售价、销量存在现实限制条件 面积图形问题 矩形面积长宽；甬道道路优先使用平移法拼接图形；围墙靠墙问题注意墙长限制 道路宽度、边长必须大于 0，且不能超过场地尺寸；靠墙题要检验边长不超过墙的最大可利用长度 传播、分支模型 两轮传播：；主干分支：主干支干小分支总数列等式 区分传染源是否计入总数量 单、双循环计数 单循环总次数：；双循环总次数： 握手、球赛单循环；互赠礼物、车票属于双循环 知识点3：几何动点类应用   1. 设运动时间为未知数，用含的代数式表达变化的线段长度。   2. 结合面积、勾股定理建立一元二次方程；求出之后，必须检验要符合动点运动的时间范围，舍去超出运动区间的解。 知识点4：探究型问题“能否”类题型思路   1. 假设结论成立，建立对应的一元二次方程。   2. 通过判别式判断方程实数根情况；有实数根还要检验根是否符合实际条件。   3. 并且根全部符合实际才有解；或者根不符合现实，则判定不能实现。 【基础必考题型】 【题型1】平均增长率与降低率求解 1.核心知识点   平均增长（降低）率公式；识别基数、变化次数、最终量；解后检验百分率实际取值范围。 2.解题方法技巧   ①找准初始基数和变化之后的数值；   ②看清是两次同等变化，直接套用模型列方程；   ③解方程得到根之后，舍去负数根，百分率要符合现实逻辑。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均增长率的等量关系，列方程即可. 【详解】解：由题意，可列方程为. 【变式题1-1】.（2026·云南玉溪·二模）某商场对一款书包进行降价促销，原价每个元，连续两次降价后每个元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“降价后价格降价前价格（1降价百分率）”，依次推导两次降价后的价格，再结合最终价格列出方程． 【详解】解：原价为元，每次降价的百分率为， 第一次降价后的价格为元， 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次降价， 第二次降价后的价格为元， 两次降价后价格为元， 可列方程为：． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）春节期间某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设每日票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平均每天票房的增长率为x，分别表示出三天的票房，根据三天累计票房为亿元列方程即可． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， ∵第一天票房约为3亿元，增长率为， ∴第二天票房为亿元，第三天票房为亿元， ∵三天累计票房为亿元， ∴可列方程． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·浙江温州·期末）某市机器人产业2023年总产值约为100亿元，到2025年增长至约144亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率． (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是180亿元，若机器人产业总产值年平均增长率保持不变，请通过计算说明该市能否完成目标． 【答案】(1) (2)，所以该市不能完成目标 【分析】（1）设这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程进而取符合题意的解，即可求解； （2）计算2026年机器人产业总产值，与亿元，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为x， 由题意得：，解得，（舍去） 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为． （2）略 【题型2】销售利润列式求解 1.核心知识点   销售问题基础等量关系：单件利润、总利润、售价、进价、销售量之间的数量关系；读懂“每涨/降价对应销量变化”条件。 2.解题方法技巧   ①设涨价或者降价的未知数，分别写出变化之后单件利润、销售量代数式；   ②总利润等于单件利润乘以销量建立方程；   ③结合题干价格限制条件，筛选符合题意的解。 【例题2】.（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 【答案】(1)460个 (2)售价应提高10元 【分析】（1）根据售价涨幅与销售量减少的对应关系，计算实际销售个数； （2）设提价金额为未知数，利用总利润的等量关系列方程，结合兼顾顾客利益的条件选取合适的解． 【详解】（1）解：售价提高金额为（元）， 销售量减少（个） 此时销售个数为（个）； （2）解：设售价应提高元，单个商品利润为元，销售量为个， 由总利润为8000元，得， 整理得， 解得，， ∵要尽量兼顾顾客的利益，即提价幅度尽可能小， ∴； 答：售价应提高10元． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元． 【分析】设每件商品应降价元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每天销售利润为1200元”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设每件商品应降价元． 由题意，得， 解得． 让顾客得到更大实惠， ． 故当每件商品降价20元时，该商店每天的销售利润为1200元． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． (1)设售价为x元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； (2)若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)售价定为70元 【分析】（1）根据当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件，得出（，且x为整数），即可作答． （2）分别表示出单件利润为元，销售量为件，再结合利润=单件利润×销售量进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（，且x为整数）； （2）解：依题意， 整理得： ∴ 解得 ∴售价定为70元． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·广东深圳·期末）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)设销售单价为每千克x元（），月销售利润为y元，用含x的式子表示________（直接写出）． (2)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【答案】(1) (2) 销售单价应为元. 【分析】 （1）根据单价变化得到销售量的变化，据此列出函数表达式； （2）将总利润8000代入函数表达式，解一元二次方程后，再根据“尽快减少库存”的要求对解进行取舍，得到符合要求的销售单价． 【详解】（1）解：由题意得，每千克利润为元， 销售单价相比50元上涨了元， 因此月销售量减少千克， 月销售量为千克， 因此总利润； （2）解： 将代入 得 整理得 解得， 当时，月销售量为（千克） 当时，月销售量为（千克） ∵要尽快减少库存，需要更大的月销售量 又∵ ∴ 答：销售单价应为元． 【题型3】矩形面积与甬道平移问题 1.核心知识点   矩形面积公式；平移转化思想，把分散道路平移到图形边缘，拼接得到完整小矩形。 2.解题方法技巧   ①平移道路，用原长、原宽减去道路宽度得到新矩形长与宽；   ②根据面积条件列一元二次方程；   ③道路宽度必须大于0，且小于原始图形边长，舍去不合理根。 【例题3】.（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，有一块矩形硬纸板，，，在它的四个角上剪去四个全等的小长方形，然后按内部虚线折起，和两边恰好重合且无重叠部分．就能制作成一个长方体收纳盒，其底面矩形的面积为，设矩形的宽，长． (1)用含的式子表示； (2)求矩形的长和宽． 【答案】(1) (2)矩形的长为，宽为 【分析】(1) 根据矩形纸板的长和宽，结合剪去的四个全等小长方形的边长关系，利用折叠后与重合的几何约束建立等式，从而用表示． (2) 根据底面矩形的面积公式建立关于的方程，求解得到矩形的长和宽． 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， ， 由折叠可知， ，， ， 由折叠性质及与两边恰好重合且无重叠部分可知， ，， ，， 且， ， ． （2）解：底面矩形的面积为， ， 即， 将代入得， ， ，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，， 此时，，符合题意， 矩形的宽，长 【变式题3-1】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意及平移规则可知，若设小路的宽度为米，则剩余部分可合成长为米，宽为米的矩形， ∴可列方程为． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】(1) (2)的值为8 (3) 苗圃的面积不可以达到．理由如下： 若可以达到，则， 化简得：， ，无解， ∴苗圃的面积不可以达到． 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键在于读懂题意，根据已知列方程求解． （1）根据木栏总长32米，如图所示的两处各留2米宽的门求出长； （2）根据题意得即可得到答案； （3）列出面积表达式，将代入判断即可． 【详解】（1）解：依据题意，， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， （舍去）， ； （3）略 【变式题3-3】.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元．    (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】(1) (2)每平方米草莓平均利润下调元 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 【题型4】传播与分支模型应用 1.核心知识点   两轮传播、植物分支数量关系；分清传染源是否计入总数量；建立一元二次方程求解。 2.解题方法技巧   ①读懂题目，区分传播类、树枝分支类不同模型；   ②准确写出每一轮之后的总数量表达式；   ③人数、分支数量为正数，舍去负根。 【例题4】.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·四川泸州·期中）某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支，进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，主干长出的支干数目与每个支干长出的小分支数目相同，故支干的数量也为x个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：B． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·周测）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出____________根支根． 【答案】12 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴这种植物的主根长出12根支根． 故答案为：12． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【答案】(1)每轮平均1人会传染8人 (2)三轮传染后，患病的人数会超过700 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）． 故每轮平均1人会传染8人． （2）解：三轮传染后的人数为． ， ∴三轮传染后，患病的人数会超过700． 【题型5】单双循环计数问题 1.核心知识点   单循环、双循环公式区分；握手、球赛、互赠礼物、车票等现实情境识别。 2.解题方法技巧   ①事件双方只发生一次作用，选用单循环公式；双方发生两次作用，选用双循环公式；   ②列方程求解，人数、球队数量必须正整数，舍去非整数、负数解。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 【答案】B 【分析】根据互赠贺卡的总张数与人数的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该合唱小组人数为人，根据题意，得 ． 整理得， 解得或（舍去）， ∴该合唱小组人数为6． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·河南驻马店·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 【答案】有5人参加聚会． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设有x人参加聚会，利用，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 【详解】解：设有x人参加聚会，根据题意， 化简得， 即． 解得或（舍去）． 答：有5人参加聚会． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 【答案】(1)应该邀请支球队参加比赛 (2)有支球队参加比赛 【分析】（1）设应该邀请支球队参加比赛，根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可． 【详解】（1）解：设应该邀请支球队参加比赛， ∵赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛， ∴ 整理得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）解：设有支球队参加比赛， ∵所有球队直接进行双循环赛，总共进行场比赛， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 答：有支球队参加比赛． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 【培优高频题型】 【题型6】围墙靠墙类面积问题 1.核心知识点   矩形面积；篱笆总长、墙长的双重限制；门的宽度处理；方程根要同时满足边长>0、边长不超过墙长。 2.解题方法技巧   ①分清哪一边靠墙，篱笆包含哪几条边，有门时要补上门的宽度；   ②列出方程求解；   ③重点检验平行墙的边长不能超过墙给定最大长度，超限直接舍去该解。 【例题6】.（25-26八年级上·山东济南·期末）用20米长的篱笆借助一面墙（墙足够长）围成一个矩形栅栏，使它的面积为40平方米．若设垂直于墙的一边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是根据篱笆用法正确表示平行于墙的边长． 设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，根据矩形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，由题意，得：； 故选B． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段检测）某学校有一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若围成的菜地面积为180平方米，此时菜地的宽为（   ）米． A．6 B．10 C．6或10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键． 设，则，依题意列方程计算即可． 【详解】解：设，则， 依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． ∴菜地的宽为10米， 故选：B 【变式题6-2】.（25-26九年级上·福建福州·期中）在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设米． (1)如果花园的面积为平方米，求的值； (2)如果在点处有一棵树到墙，的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），求花园面积的最大值． 【答案】(1)的值为米或米 (2)花园面积的最大值为平方米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解题关键． （1）根据题意列方程即可； （2）根据题意可得出二次函数的解析式，再根据二次函数的增减性即可求出花园面积的最大值． 【详解】（1）解：∵米，则， ∴由题意得，． 解得，，． ∴的值为米或米． （2）解：由题意知， 解得，． 设花园的面积为平方米， 由题意得，， ∵，开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，． 即花园面积的最大值为平方米． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为．计划建造车棚的面积为，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为，为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个宽的门． (1)求这个车棚的三边长分别应为多少米？ (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】(1)这个车棚的三边长分别应为米、米、米 (2)小路的宽度是1米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设车棚的靠墙一面的长为x米，即有，再表示出车棚的另一边的长度，根据面积列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设小路的宽为a米，即有，根据面积列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）设车棚的靠墙一面的长为x米，即有， 则车棚的另一边的长度为：， 根据车棚的面积：， 解得：（不符合题意舍去）， 则车棚的另一边的长度为：， 即：这个车棚的三边长分别应为米、米、米； （2）设小路的宽为a米，即有，如图，将小路平移， 则根据题意有：， 解得：（不符合题意舍去）， 即小路的宽度是1米． 【题型7】图表信息类实际应用 1.核心知识点   读取表格、图像信息，提取已知条件；从图表中找出等量关系建立一元二次方程；数据分析建模素养。 2.解题方法技巧   ①从图像、表格提取基数、变化条件；   ②把图表信息转化为文字条件，再列方程；   ③解完之后把结果代回图表，验证与数据匹配。 【例题7】.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）某学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2026.4.26 班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． 解决问题 (1)某天超市正好销售105千克的青菜，则青菜的售价为多少元/千克？ (2)若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？ 【答案】(1)青菜的售价为元/千克 (2)青菜的售价为元/千克或元/千克 【分析】（1）设售价为元/千克，根据销售量的变化关系列一元一次方程，即可求解； （2）根据“总利润每千克利润销售量”列一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：设青菜的售价为元/千克， 由题意得，， 解得． 答：某天超市正好销售105千克的青菜，则青菜的售价为2.9元/千克． （2）解：设青菜的售价为元/千克， 由题意得，， 解得，． 答：若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为3元/千克或4元/千克． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天均可多售出2件．现两店每件衬衫同时降价元． 任务解决 (1)任务1：降价后，甲店每天的销售量为 件（用含的代数式表示）； (2)当时，求甲店每天的盈利； (3)当每件衬衫降价多少元时，甲乙两店一天的盈利和为2244元． 【答案】(1) (2)1050元 (3)11元 【分析】（1）根据原销量加上降价增加的销量，列出含a的代数式； （2）根据总盈利=每件盈利×销售量，代入计算得到甲店盈利； （3）根据总盈利为甲乙两店盈利之和，设未知数列出一元二次方程，解方程得到降价金额． 【详解】（1）解：已知甲店原每天售出20件，每件降价1元多售出2件，现降价元，因此多售出件， ∴降价后甲店每天的销售量为件； （2）解：当时，甲店每件盈利为元，销售量为件， ∴甲店每天的盈利为（元）； （3）解：设每件衬衫降价元时，甲乙两店一天的盈利和为2244元． 根据题意列方程得：， 整理得：， 即， 解得， 答：当每件衬衫降价11元时，甲乙两店一天的盈利和为2244元． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·广东深圳·期中）为进一步推广全民健身理念、丰富市民文体生活，2025年春季，某市重磅推出万人马拉松赛事，以下为本次活动的详细相关信息： 项目 距离 报名费 马拉松 42千米 150元/人 半程马拉松 21千米 100元/人 健康跑 3千米 50元/人 (1)若某校选派选手参加了本次活动，参赛选手只完成半程马拉松或健康跑中的一个项目，学校共花费了报名费650元，派出的所有参赛选手完成挑战后跑过的距离总和为69千米．请求出该校报名半程马拉松和健康跑各几人？ (2)该校一直以来重视学生的体育锻炼，组建了长跑兴趣小组，已知2023年该校参加健康跑仅有4人，且2023年年参赛人数的增长率相同，在（1）的条件下，求该校参加健康跑人数的增长率？ 【答案】(1)有2名选手报名了半程马拉松，有9名选手报名了健康跑 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的增长率问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设有名选手报名了半程马拉松，有名选手报名了健康跑，根据共花费了报名费650元，派出的所有参赛选手完成挑战后跑过的距离总和为69千米．列出方程组，即可作答． （2）理解题意，设该校参加健康跑人数的增长率为，结合2023年该校参加健康跑仅有4人，且2023年年参赛人数的增长率相同，列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设该校有名选手报名了半程马拉松，有名选手报名了健康跑， 由题意得：， 解得：， 答：该校有2名选手报名了半程马拉松，有9名选手报名了健康跑； （2）解：设该校参加健康跑人数的增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该校参加健康跑人数的增长率为． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山西大同·期末）综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)21 【分析】（1）将售价x看作点的横坐标，日销售量y看作点的纵坐标，把所有的点的位置确定出来； （2）观察各点的分布规律，所有的点呈一条直线，确定售价x与日销售量y满足一次函数关系，利用待定系数法求出解析式； （3）根据利润公式确定一元二次方程，为尽可能让利于顾客，确定最终答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察函数图象发现，售价x与日销售量y满足一次函数关系， ∴设， 将、代入得， 解得， ∴； （3）解：设每个钥匙扣的售价应定为x元， 根据题意可得， 整理得， ∴， 解得：，， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个钥匙扣的售价应定为21元． 【压轴素养题型】 【题型8】数字与数学文化情境应用题 1.核心知识点   两位数、三位数的数位表示；古文数学史料情境建模；数位数字0‑9的现实限制。 2.解题方法技巧   ①读懂古文、诗歌类材料，翻译为数学数量关系；   ②正确用代数式表示多位数，注意最高位数字不能为0；   ③数字必须是0‑9的整数，舍去不符合数位条件的解。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 【答案】31 【分析】设原来两位数的个位数字为，根据数位表示法表示出原两位数和交换后的新两位数，根据题意给出的等量关系列一元二次方程，结合数字的性质舍去不合理的解即可得到结果． 【详解】解：设原来两位数的个位数字为，则十位数字为， 原来的两位数为，交换个位和十位后的新两位数为， 根据题意可得， 解得（舍去），， ， 十位数字为， 原来的两位数为． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 【答案】 98 8，9，10或 【分析】（1）设个位数字为x，则得十位数字为，根据个位数字与十位数字的乘积等于72，列出一元二次方程，求解即可； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则可表示出两边的整数，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设个位数字为x，则得十位数字为， 由题意得， 整理得， 解得（舍去）， 则十位数字为，所求的两位数为98； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则较小的整数为，较大的整数为， 由题意得， 整理得， 解得， 所以三个连续整数分别为8，9，10或． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为345，则这个最小数为？ 【答案】15 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设最小数为，则最大数为，根据最小的数与最大的数的乘积为345建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 解得，， 答：这个最小数为15． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设这个数为x，根据对话描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为x， 则， 整理得， ， 解得． 即这个数是． 【题型9】几何动点面积探究问题 1.核心知识点   动点运动规律；用含时间参数代数式表示线段；三角形、矩形面积公式；勾股定理；参数取值范围检验。 2.解题方法技巧   ①设运动时间，写出动点运动之后各条线段表达式；   ②利用面积或者勾股定理建立一元二次方程；   ③必须满足动点起止运动时间，舍去不在运动区间的根。 【例题9】.（2026·江西抚州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是BC边上的点，，点P是边上的动点，若是等腰三角形时，则________． 【答案】或或． 【分析】设，则，根据勾股定理结合矩形的性质用表示出、的长，根据是等腰三角形时，分腰长的不同情况列方程求解即可. 【详解】解：设，则， ∵在矩形中， ∴，， ， 又∵， ∴， ∴， ， ， 若是等腰三角形， ①当时，，解得：（负值已经舍去）， ②当时，，解得：， ③当时，，解得：，（不合题意舍去） 综上所述：或或． 【变式题9-1】.（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动.若使的面积为，则点P运动的时间是_____s． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，勾股定理的应用，理解题意，熟练地建立方程求解是解本题的关键．先求解，设运动时间为，可得，再利用面积建立方程求解，即可求出时间t． 【详解】解：， ， 设运动时间为， ， 的面积为， ， 解得：， 当时，，不成立，舍去， ． 故答案为：． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·福建福州·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线的图象过点A，并且与y轴交于点C． (1)直接写出A点的坐标及b的值； (2)如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线，于点D，E．设点P运动的时间为t，求当t为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由得，则，把代入即可得． （2）先用含有t的代数式表示出、、的长，然后根据勾股定理列方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：由， 得， ∴， 把代入， 得， 解得． （2）解：由题意得直线的表达式为，直线的表达式为，， ∵轴， ∴，， ∴，，， ∴， ， ， ∵是直角三角形， ∴， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴t为时，是直角三角形． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 【答案】(1)2， (2)秒 (3)米 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动21米用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． （3）根据（1）中结论得出小球滚动距离，再代入和作差即可解答． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， （2）解：设小球滚动21米用了秒，此时小球的末速度为 米/秒， 根据题意，得 整理得 解得 ， 当 时， ，不符合实际，舍去 因此 答：小球从开始到滚动21米用了3秒． （3）解：∵小球的滚动速度平均每秒减少，从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， ∴小球滚动距离， 当时，， ∴小球滚动25米后停止， 当时，， 故小球在最后一秒滚动了米． 易错点 1、解完应用题只解方程，省略检验步骤；只检验方程，忘记检验根的现实意义，保留负数、超范围的根。 2、增长率模型混淆基数，把变化之后的数值当成基数，列错方程。 3、甬道面积问题平移图形出错，长、宽加减道路宽度计算错误；靠墙围墙题目忽略墙长限制，不做取舍。 4、分不清单循环、双循环模型，公式混用，握手和互赠礼物问题列错方程。 5、销售利润问题，涨价降价之后，利润、销售量两个代数式只改动其中一个，另一个维持原始数值，等量关系建立错误。 6、动点问题，求出时间之后，不检验动点运动区间，保留动点已经停止运动的无效解。 重点 1、掌握列一元二次方程解应用题审、设、列、解、验、答完整六步流程，养成双重检验的答题习惯。 2、熟练掌握增长率、销售利润、面积图形、传播循环四大基础模型，能从文字情境中提取等量关系，正确列出方程。 3、掌握平移转化思想处理甬道面积；会处理靠墙围墙类问题，能够利用墙长条件筛选有效解。 4、会处理“能否”探究类题型，结合判别式和实际意义完整说理作答。 5、能够读懂图表、数学文化情境，把现实材料抽象为一元二次方程数学模型。 难点 1、复杂情境中准确挖掘隐藏等量关系，区分各个模型的适用条件，正确建立一元二次方程。 2、动点几何综合题型，用参数表示动态线段，结合面积、勾股定理列方程，并且结合运动范围筛选解。 3、多约束条件综合应用题，方程求出根以后，同时满足多个现实限制条件，完整筛选有效答案。 4、新情境、跨学科、探究说理题型，剥离背景信息，转化成熟悉数学模型，规范书写说理过程。 【对应练习题】 一、单选题 1．某市年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积达到亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为，根据增长规律列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为． 年改造面积为亩，经过两年增长后年改造面积为亩， ， 整理得 解得，（不符合题意，舍去）． 2．如表是小明输入某软件的对话，软件在思考几秒后，给出的正确答案是（     ） 某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为 ； A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为， ， 解得，（不符合题意，舍去）． 3．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 二、填空题 4．一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 【答案】10 【分析】设共有支队参加比赛，根据双循环赛制的场次关系列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设共有支队参加比赛， ∵双循环赛制每两队之间赛两场，总比赛场次为， 根据题意列出方程， ， 整理得， 解方程得或， ∵参赛队伍的数量为正整数， ∴舍去不符合题意的， ∴共有10支队参加比赛． 5．某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 【答案】 【分析】设每件降价元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列方程，结合尽快减少库存的要求选择符合题意的解． 【详解】解：设每件服装应降价元，根据题意，降价后每件利润为元， 降价元后每天的销售量为 件， 总利润达到元， 列方程为 ， ， ， 解得：，． 要尽快减少库存，降价越多，每天销售量越大，减少库存越快， 取，即每件应降价元． 6．根据题意列方程并化为一般形式： （1）将正方形的一边增加6，另一边增加2，所得的矩形的面积是原来正方形的2倍，设正方形的边长为x，则所列方程为________________； （2）把长为2的线段分成两段，使较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，设较长一段的长为x，则所列方程为_________________． 【答案】 【分析】（1）设正方形的边长为x，根据“所得的矩形的面积是原来正方形的2倍”，列出方程，即可； （2）设较长一段的长为x，根据“较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，”列出方程，即可． 【详解】解：（1）设正方形的边长为x，根据题意得： ， 整理得：； （2）设较长一段的长为x，根据题意得： ， 整理得：． 三、解答题 7．某地有两人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了6个人 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得， ， 或 解方程，得（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了6个人． 8．凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 【答案】该泥塑的售价上涨10元/件 【分析】根据月销售利润达到6000元列出一元二次方程并解方程，再根据题意即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该泥塑的售价上涨10元/件． 9．综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】(1)车道宽度符合标准 (2)每个车位月租金上涨25元 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． （2）解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 10．根据以下素材，探索完成任务． 探索池州霄坑绿茶的日销售利润问题 素材1 霄坑绿茶是安徽省池州市贵池区霄坑村的特产，中国地理标志产品．霄坑绿茶因高海拔导致发芽晚、出茶晚，汲取大自然的灵气与精华，香气高、滋味浓、色泽鲜艳，特别耐泡，是安徽本土较有代表性的高山生态绿茶，深受广大茶友喜爱． 素材2 某款霄坑绿茶的成本价为200元/盒．经销商在销售时发现：周销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决： (1)任务一：求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)任务二：市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每周获得8400元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为： (2)若该经销商要想每周获得8400元的销售利润，销售单价应定为260元 【分析】（1） 根据函数图象，运用待定系数法即可求解； （2）根据数量关系解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：任务一：设与之间的函数关系式为：， 由题意知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； （2）解：任务二：由题意知：， 整理得：， 解得：，， ， ， 答：若该经销商要想每周获得8400元的销售利润，销售单价应定为260元． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 用一元二次方程解决问题 知识点1：列一元二次方程解应用题的基本步骤   1. 六步流程：审、设、列、解、验、答。审：审题，挖掘题干等量关系；设：设未知数，注意带上单位，可直接设元或间接设元；列：根据等量关系列出一元二次方程；解：选择合适解法求解方程；验：双重检验，一是检验是否是方程的根，二是检验根是否符合实际现实意义；答：规范书写完整答案，带上对应单位。   2. 核心提醒：一元二次方程一般有两个实数根，实际问题中负数、超出取值范围、不符合现实逻辑的根必须舍去，不能直接照搬方程的解作答。 知识点2：常见实际问题模型与等量关系 问题模型 核心等量关系 注意要点 平均增长（降低）率 ，为初始基数，为增长率 / 降低率，为两次变化之后的结果 增长率；降低率满足，仅适用于连续两次同等变化 销售利润问题 单件利润售价进价；总利润单件利润销售量 涨价销量减少，降价销量增加；留意售价、销量存在现实限制条件 面积图形问题 矩形面积长宽；甬道道路优先使用平移法拼接图形；围墙靠墙问题注意墙长限制 道路宽度、边长必须大于 0，且不能超过场地尺寸；靠墙题要检验边长不超过墙的最大可利用长度 传播、分支模型 两轮传播：；主干分支：主干支干小分支总数列等式 区分传染源是否计入总数量 单、双循环计数 单循环总次数：；双循环总次数： 握手、球赛单循环；互赠礼物、车票属于双循环 知识点3：几何动点类应用   1. 设运动时间为未知数，用含的代数式表达变化的线段长度。   2. 结合面积、勾股定理建立一元二次方程；求出之后，必须检验要符合动点运动的时间范围，舍去超出运动区间的解。 知识点4：探究型问题“能否”类题型思路   1. 假设结论成立，建立对应的一元二次方程。   2. 通过判别式判断方程实数根情况；有实数根还要检验根是否符合实际条件。   3. 并且根全部符合实际才有解；或者根不符合现实，则判定不能实现。 【基础必考题型】 【题型1】平均增长率与降低率求解 1.核心知识点   平均增长（降低）率公式；识别基数、变化次数、最终量；解后检验百分率实际取值范围。 2.解题方法技巧   ①找准初始基数和变化之后的数值；   ②看清是两次同等变化，直接套用模型列方程；   ③解方程得到根之后，舍去负数根，百分率要符合现实逻辑。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026·云南玉溪·二模）某商场对一款书包进行降价促销，原价每个元，连续两次降价后每个元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）春节期间某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设每日票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·浙江温州·期末）某市机器人产业2023年总产值约为100亿元，到2025年增长至约144亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率． (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是180亿元，若机器人产业总产值年平均增长率保持不变，请通过计算说明该市能否完成目标． 【题型2】销售利润列式求解 1.核心知识点   销售问题基础等量关系：单件利润、总利润、售价、进价、销售量之间的数量关系；读懂“每涨/降价对应销量变化”条件。 2.解题方法技巧   ①设涨价或者降价的未知数，分别写出变化之后单件利润、销售量代数式；   ②总利润等于单件利润乘以销量建立方程；   ③结合题干价格限制条件，筛选符合题意的解。 【例题2】.（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 【变式题2-1】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【变式题2-2】.（25-26八年级下·云南曲靖·期末）某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． (1)设售价为x元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； (2)若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 【变式题2-3】.（25-26八年级下·广东深圳·期末）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)设销售单价为每千克x元（），月销售利润为y元，用含x的式子表示________（直接写出）． (2)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【题型3】矩形面积与甬道平移问题 1.核心知识点   矩形面积公式；平移转化思想，把分散道路平移到图形边缘，拼接得到完整小矩形。 2.解题方法技巧   ①平移道路，用原长、原宽减去道路宽度得到新矩形长与宽；   ②根据面积条件列一元二次方程；   ③道路宽度必须大于0，且小于原始图形边长，舍去不合理根。 【例题3】.（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，有一块矩形硬纸板，，，在它的四个角上剪去四个全等的小长方形，然后按内部虚线折起，和两边恰好重合且无重叠部分．就能制作成一个长方体收纳盒，其底面矩形的面积为，设矩形的宽，长． (1)用含的式子表示； (2)求矩形的长和宽． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元．    (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【题型4】传播与分支模型应用 1.核心知识点   两轮传播、植物分支数量关系；分清传染源是否计入总数量；建立一元二次方程求解。 2.解题方法技巧   ①读懂题目，区分传播类、树枝分支类不同模型；   ②准确写出每一轮之后的总数量表达式；   ③人数、分支数量为正数，舍去负根。 【例题4】.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·四川泸州·期中）某校“研学”活动小组参观一植物标本时，发现其主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．小明同学记录了该植物主干、支干和小分支的总数是31，要想知道这种植物每个支干长出的小分支个数，可设每个支干长出的小分支数目为x，则根据题意可列出方程（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（26-27九年级上·全国·周测）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出____________根支根． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·全国·课后作业）某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 【题型5】单双循环计数问题 1.核心知识点   单循环、双循环公式区分；握手、球赛、互赠礼物、车票等现实情境识别。 2.解题方法技巧   ①事件双方只发生一次作用，选用单循环公式；双方发生两次作用，选用双循环公式；   ②列方程求解，人数、球队数量必须正整数，舍去非整数、负数解。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 【变式题5-1】.（25-26九年级上·河南驻马店·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【培优高频题型】 【题型6】围墙靠墙类面积问题 1.核心知识点   矩形面积；篱笆总长、墙长的双重限制；门的宽度处理；方程根要同时满足边长>0、边长不超过墙长。 2.解题方法技巧   ①分清哪一边靠墙，篱笆包含哪几条边，有门时要补上门的宽度；   ②列出方程求解；   ③重点检验平行墙的边长不能超过墙给定最大长度，超限直接舍去该解。 【例题6】.（25-26八年级上·山东济南·期末）用20米长的篱笆借助一面墙（墙足够长）围成一个矩形栅栏，使它的面积为40平方米．若设垂直于墙的一边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段检测）某学校有一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若围成的菜地面积为180平方米，此时菜地的宽为（   ）米． A．6 B．10 C．6或10 D．12 【变式题6-2】.（25-26九年级上·福建福州·期中）在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设米． (1)如果花园的面积为平方米，求的值； (2)如果在点处有一棵树到墙，的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），求花园面积的最大值． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为．计划建造车棚的面积为，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为，为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个宽的门． (1)求这个车棚的三边长分别应为多少米？ (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【题型7】图表信息类实际应用 1.核心知识点   读取表格、图像信息，提取已知条件；从图表中找出等量关系建立一元二次方程；数据分析建模素养。 2.解题方法技巧   ①从图像、表格提取基数、变化条件；   ②把图表信息转化为文字条件，再列方程；   ③解完之后把结果代回图表，验证与数据匹配。 【例题7】.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）某学校八年级开展社会实践活动，如表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2026.4.26 班级人员 802王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2.5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价0.1元，每天少销售5千克． 解决问题 (1)某天超市正好销售105千克的青菜，则青菜的售价为多少元/千克？ (2)若超市想一天销售青菜获利100元，则青菜的售价为多少元/千克？ 【变式题7-1】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天均可多售出2件．现两店每件衬衫同时降价元． 任务解决 (1)任务1：降价后，甲店每天的销售量为 件（用含的代数式表示）； (2)当时，求甲店每天的盈利； (3)当每件衬衫降价多少元时，甲乙两店一天的盈利和为2244元． 【变式题7-2】.（25-26九年级上·广东深圳·期中）为进一步推广全民健身理念、丰富市民文体生活，2025年春季，某市重磅推出万人马拉松赛事，以下为本次活动的详细相关信息： 项目 距离 报名费 马拉松 42千米 150元/人 半程马拉松 21千米 100元/人 健康跑 3千米 50元/人 (1)若某校选派选手参加了本次活动，参赛选手只完成半程马拉松或健康跑中的一个项目，学校共花费了报名费650元，派出的所有参赛选手完成挑战后跑过的距离总和为69千米．请求出该校报名半程马拉松和健康跑各几人？ (2)该校一直以来重视学生的体育锻炼，组建了长跑兴趣小组，已知2023年该校参加健康跑仅有4人，且2023年年参赛人数的增长率相同，在（1）的条件下，求该校参加健康跑人数的增长率？ 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山西大同·期末）综合与实践 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 【压轴素养题型】 【题型8】数字与数学文化情境应用题 1.核心知识点   两位数、三位数的数位表示；古文数学史料情境建模；数位数字0‑9的现实限制。 2.解题方法技巧   ①读懂古文、诗歌类材料，翻译为数学数量关系；   ②正确用代数式表示多位数，注意最高位数字不能为0；   ③数字必须是0‑9的整数，舍去不符合数位条件的解。 【例题8】.（26-27九年级上·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为345，则这个最小数为？ 【变式题8-3】.（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 【题型9】几何动点面积探究问题 1.核心知识点   动点运动规律；用含时间参数代数式表示线段；三角形、矩形面积公式；勾股定理；参数取值范围检验。 2.解题方法技巧   ①设运动时间，写出动点运动之后各条线段表达式；   ②利用面积或者勾股定理建立一元二次方程；   ③必须满足动点起止运动时间，舍去不在运动区间的根。 【例题9】.（2026·江西抚州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是BC边上的点，，点P是边上的动点，若是等腰三角形时，则________． 【变式题9-1】.（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动.若使的面积为，则点P运动的时间是_____s． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·福建福州·期末）如图1，平面直角坐标系中，直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线的图象过点A，并且与y轴交于点C． (1)直接写出A点的坐标及b的值； (2)如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线，于点D，E．设点P运动的时间为t，求当t为何值时，是直角三角形？ 【变式题9-3】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 易错点 1、解完应用题只解方程，省略检验步骤；只检验方程，忘记检验根的现实意义，保留负数、超范围的根。 2、增长率模型混淆基数，把变化之后的数值当成基数，列错方程。 3、甬道面积问题平移图形出错，长、宽加减道路宽度计算错误；靠墙围墙题目忽略墙长限制，不做取舍。 4、分不清单循环、双循环模型，公式混用，握手和互赠礼物问题列错方程。 5、销售利润问题，涨价降价之后，利润、销售量两个代数式只改动其中一个，另一个维持原始数值，等量关系建立错误。 6、动点问题，求出时间之后，不检验动点运动区间，保留动点已经停止运动的无效解。 重点 1、掌握列一元二次方程解应用题审、设、列、解、验、答完整六步流程，养成双重检验的答题习惯。 2、熟练掌握增长率、销售利润、面积图形、传播循环四大基础模型，能从文字情境中提取等量关系，正确列出方程。 3、掌握平移转化思想处理甬道面积；会处理靠墙围墙类问题，能够利用墙长条件筛选有效解。 4、会处理“能否”探究类题型，结合判别式和实际意义完整说理作答。 5、能够读懂图表、数学文化情境，把现实材料抽象为一元二次方程数学模型。 难点 1、复杂情境中准确挖掘隐藏等量关系，区分各个模型的适用条件，正确建立一元二次方程。 2、动点几何综合题型，用参数表示动态线段，结合面积、勾股定理列方程，并且结合运动范围筛选解。 3、多约束条件综合应用题，方程求出根以后，同时满足多个现实限制条件，完整筛选有效答案。 4、新情境、跨学科、探究说理题型，剥离背景信息，转化成熟悉数学模型，规范书写说理过程。 【对应练习题】 一、单选题 1．某市年数字化改造茶园面积亩，经过两年的继续改造，该项目年数字化改造茶园面积达到亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（     ） A． B． C． D． 2．如表是小明输入某软件的对话，软件在思考几秒后，给出的正确答案是（     ） 某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为 ； A． B． C． D． 3．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 5．某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 6．根据题意列方程并化为一般形式： （1）将正方形的一边增加6，另一边增加2，所得的矩形的面积是原来正方形的2倍，设正方形的边长为x，则所列方程为________________； （2）把长为2的线段分成两段，使较长一段长的平方等于较短一段与全长的乘积，设较长一段的长为x，则所列方程为_________________． 三、解答题 7．某地有两人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人? 8．凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 9．综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 10．根据以下素材，探索完成任务． 探索池州霄坑绿茶的日销售利润问题 素材1 霄坑绿茶是安徽省池州市贵池区霄坑村的特产，中国地理标志产品．霄坑绿茶因高海拔导致发芽晚、出茶晚，汲取大自然的灵气与精华，香气高、滋味浓、色泽鲜艳，特别耐泡，是安徽本土较有代表性的高山生态绿茶，深受广大茶友喜爱． 素材2 某款霄坑绿茶的成本价为200元/盒．经销商在销售时发现：周销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决： (1)任务一：求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (2)任务二：市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每周获得8400元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $