1.2 一元二次方程的解法（讲义）2026-2027学年苏科九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的解法这一核心知识点，系统梳理直接开平方法、配方法、根的判别式、公式法、因式分解法的定义、适用形式及解题步骤，通过考点解析、题型探究与分层通关构建完整学习支架，帮助学生逐步掌握从基础解法到综合应用的知识脉络。 该资料以分层设计为特色，基础、提升、培优三级练习适配不同学情，题型涵盖常规解法与换元法等特殊技巧，如配方法求代数式最值培养推理意识，根的判别式求参数范围提升抽象能力。课中辅助教师实施差异化教学，课后助力学生查漏补缺，强化数学思维与应用能力。

1.2 一元二次方程的解法 目录 Part1考点突破 考点1：直接开平方法 考点2：配方法 考点3：根的判别式 考点4：公式法 考点5：因式分解法 Part2 题型探究 题型1：直接开平方法 题型2：配方法解方程 题型3：配方法的应用 题型4：根的判别式与求参数 题型5：公式法解方程 题型6：因式分解法解方程 题型7：换元法解特殊方程 Part3 分层通关 【考点1：直接开平方法】 1、定义 根据平方根的意义，直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。 2、适用形式 适用于形如或（）的一元二次方程。 3、解题步骤 （1）将方程化为x²=p或(x+n)²=p的形式；（2）直接开平方化为两个一元一次方程；（3）解两个一元一次方程得到原方程的解。当p<0时，方程无实数根。 【考点2：配方法】 1、定义 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为(x+n)²=p的形式，如果右边是非负数，就可以利用直接开平方求解，这种方法叫做配方法。 2、一般步骤 （1）移项：把常数项移到方程右边；（2）化1：二次项系数化为1；（3）配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）开方：左边写成完全平方式后直接开平方；（5）求解：解两个一元一次方程。 3、配方法的应用 配方法不仅用于解方程，还可用于求代数式的最值、比较代数式大小、证明不等式等。关键是将代数式化为完全平方式与常数的和（差）的形式，利用完全平方的非负性求解。 【考点3：根的判别式】 1、定义 对于一元二次方程（），式子叫做根的判别式，通常用希腊字母表示，即。 2、根的情况 （1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程无实数根。 3、应用 （1）不解方程判断根的情况；（2）根据根的情况求字母系数的取值范围，注意二次项系数不为0的条件。 【考点4：公式法】 1、求根公式 当时，方程的实数根为，这个式子叫做求根公式。将各系数直接代入求根公式解方程的方法叫做公式法。 2、解题步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）求出Δ=b²-4ac的值；（3）若Δ≥0，代入求根公式求出方程的根；若Δ<0，方程无实数根。 【考点5：因式分解法】 1、定义 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。 2、理论依据 若，则或。 3、常用方法 （1）提取公因式法；（2）公式法（平方差公式、完全平方公式）；（3）十字相乘法。因式分解法适用于左边易于因式分解、右边为0的一元二次方程。 【题型1：直接开平方法】 【例1】方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【变式1】方程的根为（    ） A． B． C． D． 【变式2】方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【变式3】方程的根是__________． 【题型2：配方法解方程】 【例2】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】配方：______=（______）；（______）． 【变式2】（1）将一元二次方程配方后，得________． （2）将一元二次方程配方后，得________． 【变式3】将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【题型3：配方法的应用】 【例3】通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【变式1】将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【变式2】已知，则的取值范围是___． 【变式3】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题： （1）填空：分解因式 ； （2）把写成后，求出的值； （3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【题型4：根的判别式与求参数】 【例4】问题“解方程”：小李说“其中一个解是”；小珍说“，此方程无实数根”；小邓说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，判断下列结论正确的是（    ） A．小李说得对 B．小珍说得对 C．小邓说得对 D．三名同学说法都不对 【变式1】若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【变式2】已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 【变式3】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【题型5：公式法解方程】 【例5】是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【变式1】方程x2+x﹣1＝0的根是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 【变式2】一元二次方程的根是___________． 【变式3】解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【题型6：因式分解法解方程】 【例6】用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为（       ） A． B． C． D． 【变式1】一元二次方程x（x﹣2）＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 【变式2】一元二次方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．， 【变式3】用因式分解方法解方程：． 【题型7：换元法解特殊方程】 【例7】已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【变式1】已知a、b满足（a2﹣b2）（a2﹣b2+4）+4＝0，则代数式a2﹣b2的值为（　　） A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．2 【变式2】关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 【变式3】【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 【基础通关练】 1．方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 2．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．方程的解是______． 4．方程的根是_________． 5．已知关于的方程没有实数根，那么k的取值范围是__________. 6．一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是 　　 ． 【提升通关练】 1．方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m=_____． 2．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2+1＝2x C．x2﹣2x＝0 D．x2﹣2x＝3 3．已知方程x2－6x＋q＝0配方后是（x－p）2＝7，那么方程x2＋6x＋q＝0配方后是（    ） A．（x＋p）2＝7 B．（x＋p）2＝5 C．（x－p）2＝7 D．（x－p）2＝5 4．解方程：． 5．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 6．若关于x的方程kx2+2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≤1 B．k≥1 C．k≥1且k≠0 D．k≤1且k≠0 7．佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下： 解： 移项，得．……① 配方，得．……② 即．……③ 解得，．……④ (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号） (2)写出正确的解答过程． 8．已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0 （1）当k＝1时，请判断此方程根的情况． （2）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根． （3）若等腰△ABC的一边长为a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长． 9．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； (2)若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 【培优通关练】 1．若关于x的一元二次方程a（x+m）2+n＝0的两根分别为x1＝﹣2，x2＝1，则关于x的一元二次方程a（x+m﹣2025）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝2023，x2＝2026 C．x1＝﹣2023，x2＝2026 D．x1＝﹣2027，x2＝﹣2022 2．若是一个直角三角形两条直角边的长a，b，满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为 　 ． 3．阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 4．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4． ∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2+4≥4． ∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+4的最小值． （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值． （3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 一元二次方程的解法 目录 Part1考点突破 考点1：直接开平方法 考点2：配方法 考点3：根的判别式 考点4：公式法 考点5：因式分解法 Part2 题型探究 题型1：直接开平方法 题型2：配方法解方程 题型3：配方法的应用 题型4：根的判别式与求参数 题型5：公式法解方程 题型6：因式分解法解方程 题型7：换元法解特殊方程 Part3 分层通关 【考点1：直接开平方法】 1、定义 根据平方根的意义，直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。 2、适用形式 适用于形如或（）的一元二次方程。 3、解题步骤 （1）将方程化为x²=p或(x+n)²=p的形式；（2）直接开平方化为两个一元一次方程；（3）解两个一元一次方程得到原方程的解。当p<0时，方程无实数根。 【考点2：配方法】 1、定义 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为(x+n)²=p的形式，如果右边是非负数，就可以利用直接开平方求解，这种方法叫做配方法。 2、一般步骤 （1）移项：把常数项移到方程右边；（2）化1：二次项系数化为1；（3）配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）开方：左边写成完全平方式后直接开平方；（5）求解：解两个一元一次方程。 3、配方法的应用 配方法不仅用于解方程，还可用于求代数式的最值、比较代数式大小、证明不等式等。关键是将代数式化为完全平方式与常数的和（差）的形式，利用完全平方的非负性求解。 【考点3：根的判别式】 1、定义 对于一元二次方程（），式子叫做根的判别式，通常用希腊字母表示，即。 2、根的情况 （1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程无实数根。 3、应用 （1）不解方程判断根的情况；（2）根据根的情况求字母系数的取值范围，注意二次项系数不为0的条件。 【考点4：公式法】 1、求根公式 当时，方程的实数根为，这个式子叫做求根公式。将各系数直接代入求根公式解方程的方法叫做公式法。 2、解题步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）求出Δ=b²-4ac的值；（3）若Δ≥0，代入求根公式求出方程的根；若Δ<0，方程无实数根。 【考点5：因式分解法】 1、定义 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。 2、理论依据 若，则或。 3、常用方法 （1）提取公因式法；（2）公式法（平方差公式、完全平方公式）；（3）十字相乘法。因式分解法适用于左边易于因式分解、右边为0的一元二次方程。 【题型1：直接开平方法】 【例1】方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，． 【变式1】方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式2】方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， 或， ∴，， 故选：． 【变式3】方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 【题型2：配方法解方程】 【例2】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ，即． 【变式1】配方：______=（______）；（______）． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式． 根据完全平方公式进行配方即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，，． 【变式2】（1）将一元二次方程配方后，得________． （2）将一元二次方程配方后，得________． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法把一元二次方程的左边化成完全平方式. 根据一元二次方程配方法的步骤解题. （1）移项：先化把常数项移到右边； （2）再化二次项系数为1； （3）配方：左右两边加上一次项系数一半的平方，左边写成完全平方式即可得到答案. 【详解】解：（1）对，移项得：， 方程两边同除3，得：， 配方，得：即. 故答案为：. （2）对，移项得：， 方程两边同除5，得：， 配方，得：即. 故答案为：． 【变式3】将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 【题型3：配方法的应用】 【例3】通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出，结合即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴ 代数式的最小值是1． 故选：B． 【变式1】将代数式配方后，发现它的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：∵， 又∵对任意实数都有， ∴当 时，代数式取得最小值，最小值为． 【变式2】已知，则的取值范围是___． 【答案】大于等于6 【分析】本题考查完全平方公式，配方法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知得，代入，即可求出，的式子，再利用配方法得出完全平方公式，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ， ， ∴的取值范围是：大于等于． 故答案为：大于等于． 【变式3】阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题： （1）填空：分解因式 ； （2）把写成后，求出的值； （3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）等边三角形，理由见解析 【分析】（1）直接利用完全平方公式变形得出答案； （2）通过配方后，化为的形式，再=，即可得出答案； （3）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出a，b，c的关系，进而得出△ABC的形状． 【详解】解：（1）4a2-4a+1=（2a-1）2； 故答案为：； （2）解： ， ， ， ， （3）解： ， ， ， ，，， 即． 为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键． 【题型4：根的判别式与求参数】 【例4】问题“解方程”：小李说“其中一个解是”；小珍说“，此方程无实数根”；小邓说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为”，判断下列结论正确的是（    ） A．小李说得对 B．小珍说得对 C．小邓说得对 D．三名同学说法都不对 【答案】B 【详解】解：对于一元二次方程， ，，， ， 方程无实数根， 小李的说法错误，小邓说方程有两个实数根的说法也错误，只有小珍说得对． 【变式1】若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【答案】B 【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m≥0， 解得m≤1， 故选：B． 【变式2】已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题需分类讨论方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况，分别根据方程有实数根的条件确定的取值范围，综合后即可解答． 【详解】解：当，即时，原方程可化为，该一元一次方程有实数根，因此符合题意； 当时，该方程为一元二次方程，方程有实数根，则根的判别式大于等于，即， 整理得， 解得． 综上，的取值范围是． 【变式3】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 且， 由得， 化简得：，解得或， ． 【题型5：公式法解方程】 【例5】是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程公式法求解，通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定系数a、b、c的值，从而匹配对应方程 【详解】解：一元二次方程， ， ， ，即；，即； ， ， 故方程为， 故选：A 【变式1】方程x2+x﹣1＝0的根是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 【答案】D 【解答】解：x2+x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， 故x， 故选：D． 【变式2】一元二次方程的根是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；对于一元二次方程，由于无法直接因式分解，采用求根公式求解，先计算判别式，再代入公式求解即可． 【详解】解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【变式3】解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 【题型6：因式分解法解方程】 【例6】用因式分解法解一元二次方程时，原方程可化为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由x(x−3)=x−3，x(x−3)−(x−3)=0，(x−3）(x−1)=0，故选B. 【变式1】一元二次方程x（x﹣2）＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 【答案】C 【解答】解：∵原方程为x（x﹣2）＝0， 根据因式分解法求解可得： x＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝0，x2＝2． 故选：C． 【变式2】一元二次方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．， 【答案】C 【解答】解：x2＝3x， x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， 则x﹣3＝0或x＝0， 所以x1＝3，x2＝0． 故选：C． 【变式3】用因式分解方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．提取公因式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解： 解：， ∴或， ∴，． 【题型7：换元法解特殊方程】 【例7】已知实数x满足，则代数式的值是（   ） A．7 B．4 C．7或 D．或3 【答案】A 【分析】本题把看作整体，将原方程转化为一元二次方程，用因式分解法求解，再根据平方的非负性舍去不合理的解，最后代入计算即可. 【详解】解：∵， 令，由平方数的非负性得， 原方程可化为， 因式分解得， ∴或， 解得或， ∵， ∴不符合题意舍去，得， ∴． 【变式1】已知a、b满足（a2﹣b2）（a2﹣b2+4）+4＝0，则代数式a2﹣b2的值为（　　） A．﹣2 B．4 C．﹣2或4 D．2 【答案】A 【解答】解：设x＝a2﹣b2，方程化为x2+4x+4＝0， ∴（x+2）2＝0， 解得：x＝﹣2， ∴a2﹣b2＝﹣2， 故选：A． 【变式2】关于的方程的根是，，（，，均为常数，），则关于的方程的根是_____________________． 【答案】， 【分析】令，再利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：令，则关于的方程可化为， ∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根是，，即，． 【变式3】【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 【答案】（1）原方程的解为，，，； （2）四个连续自然数是2，3，4，5． 【分析】本题考查了换元法的思想应用及一元二次方程的解法． （1）利用换元法解方程即可； （2）通过设第一个数，将乘积式转化为方程，再用换元法简化计算即可． 【详解】解：（1）设， 原方程可变为， 则， ∴或， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴原方程的解为，，，； （2）解：设四个连续自然数为n，，，， 由题意得， 整理得，即， 设，则方程化为， 即， 因式分解得， （舍去），， 当时，，即， 因式分解得，， ∴，（舍去）， ∴四个连续自然数是2，3，4，5． 【基础通关练】 1．方程的根为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接解一元二次方程，得到两个根，再对比选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即，， 故选：C． 2．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 3．方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程.根据解一元二次方程的直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解： 移项得：， 两边同时除以得：， 开平方得：， 故答案为：，． 4．方程的根是_________． 【答案】， 【详解】解：移项得， 对等式两边开平方得， 即，． 5．已知关于的方程没有实数根，那么k的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题意可知， 解得： 故答案为. 【点睛】此题考查的是完全平方的非负性和一元二次方程无实数根的关系. 6．一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是 　　 ． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【解答】解：x2﹣9＝0， 移项得，x2＝9， 解得，x1＝3，x2＝﹣3． 故答案为：x1＝3，x2＝﹣3． 【提升通关练】 1．方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m=_____． 【答案】1 【详解】试题解析：x2+2x-1=0， x2+2x=1， x2+2x+1=2， （x+1）2=2， 则m=1； 故答案为1． 2．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2+1＝2x C．x2﹣2x＝0 D．x2﹣2x＝3 【答案】B 【解答】解：A、x2+1＝0，Δ＝02﹣4×1＜0，所以方程没有实数解； B、x2﹣2x+1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1＝0，所以方程有两个相等的实数解； C、x2﹣2x＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，所以方程有两个不相等的实数解； D、x2﹣2x﹣3＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1（﹣3）＝16＞0，所以方程有两个相等的实数解． 故选：B． 3．已知方程x2－6x＋q＝0配方后是（x－p）2＝7，那么方程x2＋6x＋q＝0配方后是（    ） A．（x＋p）2＝7 B．（x＋p）2＝5 C．（x－p）2＝7 D．（x－p）2＝5 【答案】A 【分析】根据完全平方公式展开，求出p的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵方程x26x+q=0配方后是（xp）2=7， ∴x22px+p2=7， ∴6=2p， 解得：p=3， 即（x3）2=7， ∴x26x+97=0， ∴q=2， 即（x+3）2=7， 即（x+p）2=7， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 4．解方程：． 【答案】 ，． 【详解】解：移项，得，即， 配方，得，即， 开方，得， ∴，． 5．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 6．若关于x的方程kx2+2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k≤1 B．k≥1 C．k≥1且k≠0 D．k≤1且k≠0 【答案】A 【解答】解：∵关于x的方程 kx2+2x+1＝0有实数根， ∴当k≠0时，Δ＝4﹣4k≥0， ∴k≤1， ∴k≤1且k≠0， 当k＝0时， 此时方程为3x+1＝0，满足题意， 故选：A． 7．佳佳在解一元二次方程时出现错误，解答过程如下： 解： 移项，得．……① 配方，得．……② 即．……③ 解得，．……④ (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误；（填序号） (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法解，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤． （1）观察解答过程可得答案； （2）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9； 故答案为：②； （2）解：移项得：， 配方得：，即， 开平方，得． 解得，． 8．已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0 （1）当k＝1时，请判断此方程根的情况． （2）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根． （3）若等腰△ABC的一边长为a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长． 【答案】（1）方程有两个相等的实数根；（2）见解析；（3）三角形的周长为16或22． 【解答】（1）解：∵Δ＝[﹣（3k+1）]2﹣4×1×（2k2+2k） ＝（k﹣1）2， 当k＝1时，Δ＝0，则方程有两个相等的实数根； （2）证明：Δ＝[﹣（3k+1）]2﹣4×1×（2k2+2k） ＝k2﹣2k+1 ＝（k﹣1）2， ∵（k﹣1）2≥0， ∴Δ≥0， 所以无论k取什么实数值，方程总有实数根； （3）解：原方程因式分解得：（x﹣2k）（x﹣k﹣1）＝0， 解得：x1＝2k，x2＝k+1， ∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k，c＝k+1， 当a、b为腰，则a＝b＝6，而a+b＞c，a﹣b＜c，所以三角形的周长为：6+6+4＝16； 当b、c为腰，则k+1＝2k，解得k＝1， ∴b＝c＝2，这种情况不成立； 当a、c为腰k+1＝6则k＝5， ∴b＝10， ∴三角形的周长为：6+6+10＝22． 综上，三角形的周长为16或22． 9．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； (2)若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，勾股定理，分类思想，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及其应用． （1）因式分解法解方程，从而可得到两个因式的积为0，从而可求解； （2）由（1）求出方程的两个根为，，然后分类进行讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 解得，， ∴无论k为何值，此方程总有一个根是定值5； （2）解：若斜边为，则另两直角边分别为5和k， ∴， 解得， ∵边长， ∴； 若斜边为k，则另两直角边分别为5和， ∴， ∴解得， ∵边长， ∴； 综上：或． 【培优通关练】 1．若关于x的一元二次方程a（x+m）2+n＝0的两根分别为x1＝﹣2，x2＝1，则关于x的一元二次方程a（x+m﹣2025）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝2023，x2＝2026 C．x1＝﹣2023，x2＝2026 D．x1＝﹣2027，x2＝﹣2022 【答案】B 【解答】解：令y＝x﹣2025， 由a（x+m﹣2025）2+n＝0可得a（y+m）2+n＝0， ∵a（x+m）2+n＝0的两根分别为x1＝﹣2，x2＝1， ∴a（y+m）2+n＝0的两根分别为y1＝﹣2，y2＝1， ∴﹣2＝x﹣2025或1＝x﹣2025， 解得x1＝2023，x2＝2026； 故选：B． 2．若是一个直角三角形两条直角边的长a，b，满足（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为 　 ． 【答案】 【解答】解：∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长 设斜边为c， ∴（a2+b2）（a2+b2+1）＝12，根据勾股定理得：c2（c2+1）﹣12＝0 即（c2﹣3）（c2+4）＝0， ∵c2+4≠0， ∴c2﹣3＝0， 解得c或c（舍去）． 则直角三角形的斜边长为． 故答案为： 3．阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【答案】，（舍去）；，；， 【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：②当时，原方程化为， ， 或 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，； ， ①当时，即时，原方程化为： ∴ ， 或 解得，（舍去）； ②当时，即时，原方程化为 ， ， ， ， ， 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，． 4．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4． ∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2+4≥4． ∴y2+4y+8的最小值是4． （1）求代数式m2+m+4的最小值． （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值． （3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）5；（3）最大面积是50m2 【解答】解：（1）m2+m+4＝（m）2， 因为（m）2≥0， 所以（m）2， 则m2+m+4的最小值是 （2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5， 因为﹣（x﹣1）2≤0， 所以﹣（x﹣1）2+5≤5， 则4﹣x2+2x的最大值为5， 答：4﹣x2+2x的最大值为5； （3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x， 因为﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，﹣2（x﹣5）2≤0， 所以﹣2（x﹣5）2+50≤50， 所以﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5， 则当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50m2， 答：当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50m2， 学科网（北京）股份有限公司 $