2.3一元二次方程的根与系数的关系 （知识梳理+同步练习） 2026-2027学年苏科版九年级上册数学

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数的关系，核心知识点为韦达定理基础公式。课堂导入通过复习方程解法及根的判别式，自然过渡到根与系数关系，梳理标准与简化形式公式，搭建从已知到未知的学习支架。 同步练习涵盖选择、填空、解答题，结合矩形周长、等腰三角形等实际情境，培养学生用数学眼光观察现实世界。解答题中的推理与探究如“差根方程”证明，发展数学思维中的推理能力，详细解析助力学生用数学语言表达数量关系，提升应用意识与解题效率。

23一元二次方程的根与系数的关系（知识梳理+同步练习） 核心知识点：韦达定理基础公式 1.标准一般形式公式 若-元二次方程ax+bx+c=0a≠0)的两根为x1、X,且4≥0则 X*名=.b x后 2.简化形式公式 若方程为x2+px+q=0(仁次项系数为1)，两根为X1、X2: X1+X2=-p X1'X2=q 易错提醒 两根之和带有负号：b 两根乘积无负号： a 同步练习： 一、单选题 1.(25-26八年级下山东烟台期末)关于x的一元二次方程x2-c-2=0的根的情况 是() A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的同号实数根 D.有两个不相等的异号实数根 2.(25-26八年级下浙江丽水期末)已知矩形的两条邻边长是方程x2-10x+24=0的 两个根，则矩形的周长是() A.10 B.12 C.20 D.24 3.(26-27九年级上·全国课后作业)若a、P是方程x2+2x-2026=0的两个实数根 则aP的值为（) A.2026 B.2 C.-2 D.-2026 4.(25-26八年级下.山东烟合期未)若，是一元二次方程-2x-2026=0的两个 实数根，则-方+5的值是〔) A.2024 B.2026 C.2028 D.4052 5,(26-27九年级上·全国·单元复习)新定义：若关于x的一元二次方程 a2+bx+c=0(a≠0) 有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这 样的一元二次方程为倍根方程.若关于x的一元二次方程m-(2m+m)r+2m=0是倍 2m-n 根方程”，则代数式m+2n的值为（） A.或号 2 1 6.(26-27九年级上·全国·课后作业)甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在 化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为4和-5，乙在化简中写错了一次 项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（) A.x2-9x+18=0 B.x2+9x+18=0 C.x2+5x+18=0 D.x2-9x+14=0 7.(25-26八年级下湖南长沙期末)关于的一元二次方程++C=0a40),有 下列四个结论：①若x=c是该方程的一个根，则一定有aC+b+l=0成立；②若 a+c=b:则方程m2+hx+c=0有一根为x=-1:③若该方程的解为x=2和x=3,则 方程x-hr+a=0的解是x=3或x=2:④当a<0b+c>0b-c<0时，方程-定 有实数根.其中，正确的有() A.①2③④ B.2③④ C.②③ D.②④ 8.(25-26八年级下浙江台州期末)若实数ab,c满足a2b2-2ab2c+b2c2=0,且 ab<0,则一元二次方程r+伽+c-a=0a≠0的两个实数根，5满足的数量关系是 （) A.5=0 B.5 C.=-5 D.5=-1 9.(25-26八年级下安徽安庆.期末)已知，P是方程x2+2024x+1=0的两个根，则 （1+2026+r1+2026B+F）的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 10.(26-27九年级上·全国.单元复习)已知关于x的一元二次方程 ×-2k-x++2=0的两个实数根为x和5，设1= k,则t的最大值为() A.4 B.4 C.6 D.6 二、填空题 11：(25-26八年级下.浙江衢州期末)一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根 分别是1,2，则这个方程的常数项是 12.(25-26八年级下福建泉州期末)已知，是方程-3x-8=0的两个根，则 xx+x+x2= 13.(25-26八年级下福建厦门·期末)设关于x的方程x2-3x-m+1=0的两个实数根 分别为a,B,若B=2,那么实数m的值是 14.(25-26八年级下陕西咸阳期末)若方程-4r-2=0的两个根分别是，.则 L+ x的值为 15.(25-26八年级下浙江台州期未)若a,P是方程x2+2x-6=0的两个实数根 则a+3a+B 的值为 16.(25-26八年级下.陕西西安期末)等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于 X的方程-10x+k=0 的两个根，则的值为 17.(2026河北邯郸三模)如园，直线，y=-x+6与反比例函数y-x>0)的图象文 于C,D两点，且CD=42,则k D 18.(25-26八年级下.浙江台州·期末)若方程x2+mx+n=0的两根分别是方程 x2+x+m-V5=0 的两根的相反数则mn= 19.(25-26八年级下安徽池州期末)已知实数a,b,c满足a+b-2c=10, b-50=2c,则a-h-C的值为 20.(25-26九年级下.山东·自主招生)关于x的方程x2-+4a=0只有整数根，则满 足条件的所有正实数a的和为 三、解答题 21.(25-26八年级下北京房山期末)已知关于x的一元二次方程 x2-(m+2)x+2m=0 (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根互为相反数，求m的值· 22.(25-26八年级下安徽阜阳期末)已知四边形ABCD相邻两边AB,AD的长度分 别是关于x的-元二次方程+(2a-小x+d2- 的两个实数根，戈 (1)若四边形ABCD为菱形，求a的值， (②若四边形4CD为矩形，且该矩形对角线4C的长度为N7,求“的值. 23.(26-27九年级上全国单元复习)关于x的一元二次方程+(2k+10x+K+1=0 (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围， (②若方程有两个实数根5、5日满足+5求k的值。 24.《25-25八年级下吉林长春期末)在复习一元二次方程++0=0a≠0)时 旺仔同学总结了三个知识点： 知识点-：根的判别式△=b2-4ac; 知识点二：求根公式x=2a. I识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，女2，+x 59 a a. 根据以上知识点完成下列问题：， (1)若一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围； 2若一元二次方程”-2x-1=0的两个实数根为， ①计算+戈= XX2= ②求s-≤-的值： 1+1=k-1 (3)若一元二次方程x2-2x+k+1=0的两个实数根为，x,且，，直接写出 k 的值 25.(25-26八年级下.广东深圳期末)已知关于x的一元二次方程a2+bx+c=0有两 个实数根，为，若满足内1，则此类方程叫做差根方程.根据差根方程的定 义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程"的是 (填写序号) ①x2-x=0；②x2-4x-5=0 (2)已知关于x的方程x2+2a=0是“差根方程"，求a的值. ③)已知△MBC是直角三角形，斜边BC的长为V7,若△MBC的两边AB、4C的长是 个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”. 26.(25-26八年级下·江苏苏州期末)我们在探究一元二次方程根与系数关系中发现： 关于的一元=次方程㎡+b加+c=0u*0)的两个根是与，郑么可推出5+5=台 :.请运用这一结论，解决下列问题： 【问题提出】 (1)若a,B是方程产-4+1=0的两根则a+B=一， aB= (2a+1)(2B+1)= 【问题探究】 ②如果关于*的一元二次方程+伽+c=0的两个根是=2.与=3，那么关于'的一 元二次方程2y-少+b(2y-)+c=0是否有实数根，如果有实数根，请求出方程的解 如果没有，请说明理由； 【问题解决】 倒若关于x的方程“+c+C=0a≠0)的两根之和是P,两根之积是9，请求出关于1 的方程a(21+1旷+b(2r+)+c=0(a≠0)的两根之积的值（用字母P,9表示） 答案 题号 1 2 6 7 8 9 10 答案 D C D C B B D A D D 1.D 【详解】对于一元二次方程x2-a-2=0,a=1,b=-k,c=-2 根的判别式 △=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-2)=k2+8 k2≥0 ·△=k2+8>0,方程有两个不相等的实数根 设方程的两根为x,,:由根与系数的关系得5=。=-2<0 a ∴方程的两根异号， ·方程有两个不相等的异号实数根. 2.C 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为， 是方程-10x+24=0的两个根 由根与系数的关系得+5=10 矩形的周长为2(：+3)=2×10=20 3.D 【详解】解：，P是方程x2+2x-2026=0的两个实数根， aB=-2026 =-2026 1 4.C 【详解1解：·5是一元二次方程-2x-2026=0的实数根 ￥-2x-2026=0 7=2x+2026 -x+为=2x+2026-x+x2=(5+x)+2026 :,是一元二次方程-2x-2026=0的两个实数根， +龙=2 -5+%=2+2026=2028 5.B 【详解1解：mr-(2m+m)x+2n=0 .(mx-n)(x-2)=0 解得5=2,5品 关于×的一元二次方程m-(2m+m)x+2n=0是倍根方程 分两种情况：①当2=2份时，即mm此时 2m-n_2m-m_1 m+2n m+2m 3 2m-n_2m-4m2 2当2x2-所时。即n=4m此时m+2阳+8”-9 2m-n 2 综上所述，代数式m+2n的值为3或9 6.B 【详解】解：设原一元二次方程为x2+bx+c=0, ,甲写错常数项，一次项系数正确，两根为4和-5， ÷根据根与系数的关系，-b=4+(5)=-9 .b=9 ·乙写错一次项系数，常数项正确，两根为2和9， ∴.根据根与系数的关系，c=2×9=18 .原方程为x2+9x+18=0. 7.D 【详解】解：①将x=c代入方程ax2+bx+c=0,得ac2+bc+c=0, 提取公因式得c(ac+b+)=0 当c=0时等式恒成立，不一定满足aC+b+l=0,故①错误； ②将x=-1代入方程，得a-(-+h-)+0=a-b+c.由条件a+c=b,可得 a-b+c=0 因此x=-1是方程的根，故②正确： 3原方程心+r+c=0的解为x=2和，则原方程可写为(-2儿》-0 展开得a2-70x 号=0即6=c=9 3t+ 3 Γ3 20x+7x 代入新方程cr2-hr+a=0得： +3x+a=0,at0 整理得2x2+7x+3=0 解得x=3或x=2: 故③错误； ④由条件a<0,b+c>0,b-c<0, 可得b<c 若c<0,则b<c<0, 可推出b+c<0,与b+c>0矛盾， 因此c>0 方程判别式△=b2-4ac 因为a<0,c>0,所以-4ac>0 ∴.△=b2-4ac>0 ,方程一定有实数根，故④正确. 综上，正确结论为②④. 8.A 【详解】解：a2b2-2ab2c+bc2=0 对左边变形得(d-2ac+c)=0 即b(a-c=0 又ab<0, b≠0，即b2≠0， (a-cy2=0 得c=a, 将c=a代入-元二次方程ar+br+c-a=0(a≠0) 得ax2+bx+a-a=0, 整理得ax2+br=0, 对于一元二次方程x2+bx=0,常数项为0， 由根与系数的关系得x= 0-0 9.D 【详解】解：，P是方程x2+2024x+1=0的两个根 :m2+2024a+1=0B+2024B+1=0aB=1 1+2026a+a2=(a2+2024a+l+2a=2a 同理可得1+2026B+P=2B :（1+2026a+a2)(1+20266+B2）=2a-2B=4aB=4×1=4 10.D 【详解1解：由题意可知a=1,6=-2(k-)c=k+2 ·4=4k-02-4(k2+2)=-8M-4≥0 ·x+龙=2(k-） 122-2 k 当=时最入1-6 11.6 【详解】解：设该-元二次方程为r+x+c=0(a≠0) 由题意可知“=3，方程的两个根分别为=1,6=2 根据根与系数的关系，得西= a 入得2-写 解得c=6 ∴这个方程的常数项是6. 12.-5 【详解1解：.是方程r-3x-8= 的两个根， 则古+3=35=-8 故5++为=-8+3=5 13.-1 【详解】解：：关于x的方程x2-3x-m+1=0的两个实数根分别为a,B ∴.p=-m+1 ∴.-m+1=2 ∴.m=-1 此时A=(3-4x1x+)=9-8=1>0,故m=-1符合题意. 14.-2 【详解】解：：方程-4x-2=0的两个根分别为.马 +西=-6=4，=9=-2 b a a 安指号2 15.4 【详解】解：：a,P是方程x2+2x-6=0的两个实数根 a+B=-b=-2 a α是方程的根，满足方程等式 ∴.a2+2a-6=0,即a2+2a=6, 2+3a+B=(a2+2a)+(a+)=6+(-2)=4. 16.25 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为腰长时， 另两边是方程x2-10x+k=0的两个根 其中一个根为3 设另一根为a, 由根与系数的关系得3+a=10,解得a=7,此时三角形三边长为3,3,7， ,3+3=6<7,不满足三角形三边关系 这种情况，舍去 ②当3为底边长时 :另两边是等腰三角形的两腰，为方程x2-10x+k=0的两个根 设腰长为b, 由根与系数的关系得b+b=10,解得b=5,此时三角形三边长为3,5,5 ·,3+5>5,满足三角形三边关系， .k=5×5=25 17.5 【详解1解：设点C的坐标为：，-+6)，点D的坐标为：，x+6) 联立直线与反比例函数可得， x+6=飞 x 整理，得x2-6x+k=0 两个函数有两个交点， △=(-6}°-4k=36-4h>0 解得k<9 由根与系数的关系可得，方+=6，=k 由勾股定理可得，CD=(:-x》+[(-x+6)-(x+6)] (:-x+(x-3}=32 .(:-2=16 (6-=(x+x}-4x西，=16 .36-4k=16 解得k=5,符合题意· 5 18.-4 【详解】解：设方程+m+n=0的两根为， 由照意可知，方程++侧-5=0的两根为 根据一元二次方程根与系数的关系， 对r+mr+n=0可得+名=-m.=” 对x+x+m-5=0可得-x)+(-)=-n.（)(-)=m-V5 整理得+戈=n,=m-V5 -m=n 联立得方程组ln=m-5 m= 5 2 解得 5. n=- 19.-5 【详解】解：a+b=10+2c,ab=2c2+50, a,b为方程的-(10+2c)r+(2c+50)=0的两实根 ·A=[-(10+2c]-4(2c2+50)=-4(c-5}≥0 ∴.c=5,a+b=20,ab=100 ÷a(20-a)-=100.即a2-20a+10=0,解得：4=4，=10 ∴a=b=10 .a-b-c=10-10-5=-5 20.59 【详解】解：设方程的两个整数根为m,n 根据题意得4=d-l6a=aa-16)≥0 .a>0 .a-16≥0 a≥16 根据根与系数的关系得m+n=a≥16，mn=4a≥64 ∴.m、n同号且为正整数， (m-4)(n-4)=16 不妨设m≤n .m-4=1,n-4=16或m-4=4,n-4=4或m-4=2,n-4=8, 解得m=5,n=20或m=8,n=8或m=6,n=12 .a=25或16或18， ∴满足条件的所有正实数a的和=25+16+18=59. 21.@证明：对于-元二次方程-+2r+2加=0根的判别式4=m+2-41k2m 展开化简得A=m+4m+4-8m=(0m-2 任意实数的平方为非负数 m-22≥0 即420 ∴该方程总有两个实数根. (2)解：设方程的两个实数根为， 由一元二次方程根与系数的关系可得+名=m+2 两个实数根互为相反数 +5=0 即m+2=0 解得m=-2 1 22.(1)4 (2)-1 【详解】(1)解：四边形ABCD为菱形 ∴方程+(2a-)r+口=0有两个相等的实数根 ∴.△=(2a-1)2-4a2=0 整理可得：1-4a=0, 1 解得：a=4 (2)解：四边形ABCD为矩形 :x+(2a-)x+心=0一定有两个实数根 .△=(2a-12-4a2≥0 ∴.1-4a≥0 1 ∴.a≤ 4 .x+x2=1-2axx2=a2 “矩形对角线1C的长度为7 AC2-x2+x2=(x+}-2xx2=(1-2a}-2a2=(N7 整理可得：a2-2a-3=0, 解得：43 (不符合题意，舍去)，4=- ∴.a=-1 25.0> (2)k=1 【详解】（1)解：方程有两个不相等的实数根， .△=(2k+1)2-4(2+1)=4k-3>0 解得 4 (2)解：关于x的-元=次方程+(2k+1x+2+1= 有两个实数根、。 +3=-2k-1x=k2+1 2+2=(G+/-2xx=(-2k--2(k2+1=5 解得4=3飞=1 方程有两个实数根， 六△=(2k+-4(k2+1)=4-3≥0，解得k≥3 .k=1 24.(1)k<1 (2)①2，-1；②-2 3=-5 【详解】(1)解：一元二次方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根， “判别式4=(-2}-4x1xk>0 解得：k<1, . <1 的取值范围为 (2)解：①根据题意得：方程x2-2x-1=0, 由根与系数的关系得：无+，=-子-25=1， 1 ②6-5-1) =xx2-为-x2+1 =x2-(x+x2)+1 =-1-2+1 =-2; (3)解：方程x2-2x+k+1=0有两个实数根 “判别式4=(-2)}°-4(k+1)≥0 解得：k≤0 由根与系数的关系得：5+x=-子-2、4名=-k+1￥0， 1 1 .k≠-1 :1+1=5+五=k-1 x x2 xx2 14 整理得：(k+k-1)=2 解得：k=5或k=一5 :k≤0 :k=-V5 25.(1)① (2)a=±} 2 3r-v13x+3=0 【详解】(1)解：①x2-x=0 解得：=引或=0 k-x=1-0=1 ① 是“差根方程”； ②x2-4x-5=0 解得：=5为=-1 x-=5-(-1=61 ∴②不是“差根方程” (2）解：方程x2+2=0 因式分解得： x(x+2a)=0 解得：=0书=-2a 方程x2+2ac=0是“差根方程”， ∴l0-(-2a=1 .l2d=1 ∴.2a=12a=-1 或 2或a-{ 解得：a= 21 (3)解：设B=为、4C=5 △1BC是直角三角形斜边BC的长为万 ∴.AB2+AC2=BC2 x2+x号=7 :、是“差根方程的两个实数根， x-x2=1 (x-x2=1 .x+x号-2xx2=1 .7-2xx2=1 ￥x2=3 (x+x)2=x+x+2xx2=7+2×3=13 :、是三角形的边长。均为正数， 为+x2=V3 方程二次项系数为1， 六所求差根方程为-13x+3=0 26.(1)4,1,13 3 (2)有实数根，方程的解为片=2，乃=2 a2-4 【详解】(1)解：a,P是方程x2-4x+1=0的两根，a=1,b=-4,c=1. “根起根与系数关系行a+分-名-4a-日} .(（2a+102B+l)=4ap+2a+2B+1=40+2(a+p)+1=4x1+2x4+1=13 (2)解：设u=2y-,则关于y的方程2y-少+b(2y-)+c=0可化为2+bM+c=0 ~方程r+r+c=0两根为=2,5=3 4=2,4=3 当u=2时，2y-1=2 能彩为号 当w-3时，2y-1=3 解得2 3 ·该方程有实数根，根为%=2：乃=2· (3)解：设原方程“++c=0a≠0)两根为5 由题意，得+五=D5=g 设关于‘的方程两根为5令=21+1 号期4=4 变形得1= 2 两根之积： 4-任-1s-_5-+)19-p+1 4 4 4 小两粮之积为”