专题 2.2（3） 一元二次方程的解法（公式法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的公式法解法，系统梳理从配方法推导求根公式，到根的判别式判断根的情况，再到公式法标准解题六步骤及与直接开平方法、配方法的择优对比，构建完整知识支架。 资料亮点在于知识梳理逻辑清晰，题型设计分层递进，包含基础夯实与综合提升，如根的判别式与几何函数综合题。通过“解题六步骤”培养规范表达（数学语言），根的判别式应用提升推理能力（数学思维），助力教师系统授课，学生课后分层练习查漏补缺。

专题 2.2（3） 一元二次方程的解法（公式法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】求根公式推导（配方法推导，必考理解） 1 【知识点二】根的判别式 2 【知识点三】公式法标准解题六步骤（考试满分模板） 2 【知识点四】三种解法对比（解题择优） 2 二．题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】熟悉求根公式 2 【题型 2】利用公式法解一元二次方程 4 【题型 3】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 8 【题型 4】利用根的判别式求参数的值或取值范围 10 【题型 5】利用根的判别式求值与证明 12 三.题型精析（综合提升） 15 【题型 6】选择合适（指定）方法解一元二次方程 15 【题型 7】根的判别式与几何、函数综合 18 四.同步检测 21 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 21 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 25 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 28 一.知识梳理与解读 【知识点一】求根公式推导（配方法推导，必考理解） 对一元二次方程一般形式 进行配方： ① 二次项系数化为1：； ② 移项： ； ③ 配方（两边加一次项系数一半的平方）：； ④ 整理完全平方： ； ⑤ 开方求解（右侧非负才有实根）： . 【知识点二】根的判别式 判别式三大结论： ① ：方程有两个不相等的实数根； ② ：方程有两个相等的实数根（重根）； ③ ：方程无实数根。 关键提醒：必须先保证 ，否则不是一元二次方程，不能用判别式。 【知识点三】公式法标准解题六步骤（考试满分模板） 1：化一般式——整理成 ，右侧必须为0； 2：定系数——找准 （带符号代入，负号不能丢）； 3：算判别式——计算 ，判断根的情况； 4：判断可否开方——代入公式，直接写无实数根； 5：代入公式——； 6：化简结果——约分、最简根式，规范写出 。 【知识点四】三种解法对比（解题择优） 1. 直接开平方法：只适合平方型 ，最快； 2. 配方法：适合配方简单、需要求最值、变形题型； 3. 公式法：所有一元二次方程通用，计算稳定、不易错。 二．题型精析（基础夯实） 【题型 1】熟悉求根公式 【例题1】（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）若是一元二次方程的根，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断求解即可． 解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·云南昆明·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·山西晋城·阶段检测）用 公 式 法 解 关 于x的 一 元 二 次 方 程 ， 得 ， 则 该 一 元 二 次 方 程是 _________________． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题关键．根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案． 解：根据题意及求根公式得： ， ∴，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 【题型 2】利用公式法解一元二次方程 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再确定、、的值，代入求根公式求解； （2）先将方程整理为一般形式，再确定系数后用求根公式求解． 解：（1）解：整理，得． ， ， ，． （2）解：整理，得． ， ， ，． 【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是先将方程整理为一般形式，准确确定、、的值，再代入求根公式求解． 【变式1】（25-26八年级·全国·暑假作业）方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】D 【分析】先将原方程整理为标准一元二次方程，求解后判断选项，注意不要误将方程右边当成0直接求解． 解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 【变式2】（2026九年级上·广东佛山·竞赛）如图，点是反比例函数图象上一点，点B为直线上一点，点C为x轴上一点，则周长的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，轴对称的性质，两点间距离公式等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点坐标，再过点作直线的对称点，作轴的对称点，连接，得到，，，由，可知点共线时，周长取得最小值，即为，即可求解． 解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴将点代入，则， ∴， 过点作直线的对称点，作轴的对称点，连接， 则，， ∵反比例函数图象也是轴对称图形，且对称轴为直线，点在反比例函数图象上， ∴点关于直线的对称点也在反比例函数图象上， 设， ∴点的中点在直线上， ∴， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴， ∴， 当点共线时，周长取得最小值，即为的长， ∴， 故选：C． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）用公式法解方程： （1） （2） （3） （4）． 【答案】（1）；（2）该方程在实数范围内无解；（3）；（4） 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程并正确计算是解题的关键． （1）（2）（3）（4）各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值与0作比较，判断出方程根的情况，当判别式大于等于0时，代入求根公式，即可求解． 解：（1）解：， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）解：， 化简得， ， ， 故该方程在实数范围内无解． （3）解：， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （4）解：， 化简得， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． 【题型 3】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 【例题3】（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】证明： ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 解：略 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】通过计算判别式并判断其符号即可确定方程根的情况即可 解：对于一元二次方程， 其中，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此方程无实数根 【变式2】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）一元二次方程的根是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；对于一元二次方程，由于无法直接因式分解，采用求根公式求解，先计算判别式，再代入公式求解即可． 解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【变式3】（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知整式． （1）化简； （2）若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，得，即可作答． （2）由得，则即可作答． 解：（1）解： ； （2）解：由（1）得， 当时，则，， ∴ 此方程有两个不相等的实数根． 【题型 4】利用根的判别式求参数的值或取值范围 【例题4】（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）当时，请用适当方法解此方程； （2）若方程有两个相等的实数根，则的值为______； 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求参数，解题的关键是掌握配方法和根的判别式． （1）利用配方法进行求解即可； （2）根据根的判别式列出方程求解即可． 解：（1）解：把代入方程，得： ， ， ， ， ，； （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ， 解得，， 故答案为：3． 【变式1】（2025·河南郑州·三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】需同时满足二次项系数非零、二次根式被开方数非负、判别式大于0三个条件，取公共部分求解． 解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即． ∵二次根式有意义， ∴，即． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得． 综上，的取值范围是且． 【变式2】（25-26九年级下·湖南永州·单元复习）判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 【答案】 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 没有实数根 【分析】对于一元二次方程，根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，先确定每个一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，再计算根的判别式的值，根据判别式与0的大小关系判断根的情况． 解：①方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ②方程中，，，， ，因此该方程有两个相等的实数根； ③方程中，，，， ，因此该方程有两个不相等的实数根； ④方程中，，，， ，因此该方程没有实数根． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围； （2）若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【答案】（1）且；（2）， 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，根据判别式大于零列出不等式求解即可； （2）根据k 的取值范围和k 为正整数确定的值，代入方程后求解方程的根． 解：（1）解：判别式且， 解得且； （2）解：根据题意得，k为最小正整数， 则， 方程为 解得，． 【题型 5】利用根的判别式求值与证明 【例题5】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 【答案】证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴是非负数． 【分析】首先根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，然后代入得，即可得出结论． 解：略 【变式1】（2025·山东潍坊·模拟预测）函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据函数图象可得函数中，，再运用一元二次方程根的判别式，有两个不相等的实数根，，有两个相等的实数根，，方程无实数根的方法进行判定即可求解． 解：根据图示可得，函数中，， 关于的一元二次方程， ∴， ∴有两个不相等的实数根． 【变式2】（25-26九年级下·山东德州·开学考试）若关于的一元二次方程（有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】一元二次方程有两个不相等实数根需同时满足两个条件：①二次项系数不为0，保证是一元二次方程；②判别式，保证两根不等．联立两个不等式即可求出的取值范围． 解：由原方程是关于的一元二次方程， ， 解得：， 又原方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 即的取值范围是：且． 【变式3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【答案】（1）证明：对于方程， 其中， ， ， 恒成立， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2） 【分析】（1）证明恒大于0； （2）若该方程两个根的平方和为25，求的值． 解：（1）略 （2）解：由（1）知，利用求根公式： 解得：； 三.题型精析（综合提升） 【题型 6】选择合适（指定）方法解一元二次方程 【例题6】（25-26八年级下·山东日照·期末）解方程： （1）用配方法解方程：； （2）用适当方法解方程：． 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解： ，； （2）解： 或 ，． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用适当方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先展开整理为一元二次方程，再利用因式分解法解方程． 解：（1）解：， ， ∴或， 解得； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得． 【变式2】（25-26九年级上·重庆綦江·期末）用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法计算即可； （2）利用因式分解法计算即可． 解：（1）解： ， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得． 【变式3】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 解：（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解： 或 ∴，； （4）解： 或 ∴，． 【题型 7】根的判别式与几何、函数综合 【例题7】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知：反比例函数和一次函数相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求出两个函数的另外一个交点B点的坐标； （3）根据图象，直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围 ． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）联立方程组求出点B坐标即可； （3）数形结合直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围即可． 解：（1）解：∵点在一次函数图象上， ∴， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立方程组， 整理得，， ∴， 解得或， ∴； （3）解：如图， 由图象可知一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：或． 【变式1】（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 【变式2】（2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 【变式3】（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，其中． （1）求反比例函数表达式； （2）若把一次函数的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b的值． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意是解本题的关键； （1）把代入可得，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把一次函数的图象向下平移b个单位，平移后的解析式为，再结合一元二次方程根的判别式可得答案． 解：（1）解：把代入可得： ∴， ∴； ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）∵把一次函数的图象向下平移b个单位， ∴平移后的解析式为， ∴， ∴， 整理得：， ∵与反比例函数的图象只有一个交点， ∴有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴或， 解得：， ∴或． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断方程是否有实数根． 解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 2．（2024·辽宁营口·模拟预测）关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以一元二次方程无实数根的条件，利用判别式列不等式求解． 解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴，解得． 3．（25-26八年级下·北京房山·期末）关于方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题通过计算一元二次方程的判别式的值，根据判别式的意义判断根的情况． 解：∵方程中，，，， ∴， 根据判别式的意义，当时，方程有两个相等的实数根， ∴该方程有两个相等的实数根． 4．（2026·北京·三模）若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式关系列出不等式求解即可． 解：关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ，解得， 观察四个选项，只有． 5．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 6．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记公式法解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 先将题中一元二次方程化为一般式，再由求根公式代入求解即可得到答案． 解：用公式法解方程时，得， 先化为一元二次方程一般式：， ， ， 则“□”处应填， 故选：A． 7．（25-26九年级上·上海·阶段检测）点在线段上，且，如果，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 解：设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， 故选：B． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可得到答案，熟悉一元二次方程的常见解法是解决问题的关键． 解：， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 9．（25-26九年级上·天津南开·期中）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式， 一次函数的性质，先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 解：根据题意得， 解得， 所以一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 10．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 【答案】D 【分析】根据题意得出前行的点数和公式，进而列一元二次方程求解即可． 解：第一行有1个点，第二行有2个点，……第行有个点， 前行的点数和为． A、若和为100，则，即，解得：，无正整数解，故A不符合题意； B、若和为93，则，即，解得：，无正整数解，故B不符合题意； C、若和为86，则，即，解得：，无正整数解，故C不符合题意； D、若和为78，则，即，解得或（舍去），即前12行的点数之和为78，故D符合题意． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 12．（25-26九年级上·新疆·期中）方程无实数根，则点位于第______象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，点的坐标所在的象限．分类讨论，由方程无实数根的条件，通过判别式求得m的取值范围，再根据点P的坐标符号判断其所在象限，即可． 解：当时，即时， 方程为， 有实数根，不符合题意， 故； 当时，方程化为一般形式：， ∵方程无实数根， ∴， 解得， ∴，， ∴点位于第四象限． 故答案为：四 13．（2025·湖南郴州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____． 【答案】 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 14．（2026·河南三门峡·三模）解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为方程有实数根，所以，再结合是整数，即可作答． 解：∵方程有实数根， ∴， 即， ∵是整数， ∴可以是． 15．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为_______________． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，直接利用求根公式进行求解即可． 解：∵根的判别式的值是， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，由点在第四象限，得出，，从而可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解． 解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，, ∴， ∴关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 17．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． 【答案】 或 【分析】（1）通过平方比较法判断与的大小，从而确定二者中的最大值； （2）根据的正负分类讨论的取值，分别建立方程求解并结合前提条件筛选出符合要求的解． 解：（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）由题意得，，即， 当时，，即， 解得，， ∵，， ∴x的值为； 当时，， 即，解得，， ∵，， ∴． 综上，的值是或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 18．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程 （1）；（公式法） （2）．（配方法） 【答案】（1），；（2），． 解：（1）解： 整理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解： ， ， ， ， ∴，． 19．（25-26九年级上·江西赣州·期末）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法．解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法． （1）根据完全平方公式求值； （2）将方程展开整理成一般形式后，用求根公式求解． 解：（1）解：， 原方程可化为， 解得； （2）解：， 原方程可化为， ， ． ，． 20．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 【答案】是直角三角形，面积为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据已知条件得出，将等式变形，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后由勾股定理求解，再由三角形面积公式求解． 解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为， ∴ 所以其面积． 21．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）若，是方程的两个根，且，求的值，并求出此时方程的两个根． 【答案】（1）见分析；（2），， 【分析】本题考查一元二次方程的判别式与韦达定理，运用代数推理思想，关键是通过判别式证明根的存在性，利用韦达定理列方程求参数，易错点为判别式计算或韦达定理应用时的符号错误； （1）计算判别式并证明其非负；（2）利用韦达定理列方程求，再解方程求根． 解：（1）证明： 无论取何值，原方程总有两个实数根； （2），即， ， 此时方程为：， ， ， 解得：，. 22．（24-25九年级下·江苏徐州·自主招生）【阅读材料】小智同学设计一道习题并给出答案，但被老师打了两个“” 小智设计习题： 当时，求的值为多少？ 答案：11 小智订正了一处错误： 订正：的值为5 【参与究错】小智没有看懂另一处错误，请用两种方法帮助小智分析另一处错误． 【答案】另一处错误是不存在满足的实数x，题干给出的已知条件本身不成立． 【分析】方法一：由得到不能等于； 方法二：由得到，整理得到，令，得到，然后利用判别式判断即可． 解：方法一：由题可知， ∴， ∵， 不能等于， ∴另一处错误是不存在满足的实数x，题干给出的已知条件本身不成立； 方法二：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴方程无解， ∴另一处错误是不存在满足的实数x，题干给出的已知条件本身不成立． 23．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】（1） （2）当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． （3）或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 解：（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 24．（25-26八年级下·河北张家口·期末）【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 （1）正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 （2）若，求的值； （3）在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】根据图形即可求解； 剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为，由剪拼后图形的面积不变，得，然后把代入即可求解； 把，代入即可求解． 解：（1）解：由题图可得，拼成的正方形的边长为，长方形的长为， 故答案为：，； （2）解：剪成的四块图形中梯形的高为，三角形较长直角边的长为， 由剪拼后图形的面积不变，得， 当时，， 整理得， 解得或（舍去）， （3）解：∵，， ∴等腰三角形纸片的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.2（3） 一元二次方程的解法（公式法）（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】求根公式推导（配方法推导，必考理解） 1 【知识点二】根的判别式 2 【知识点三】公式法标准解题六步骤（考试满分模板） 2 【知识点四】三种解法对比（解题择优） 2 二．题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】熟悉求根公式 2 【题型 2】利用公式法解一元二次方程 3 【题型 3】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 3 【题型 4】利用根的判别式求参数的值或取值范围 4 【题型 5】利用根的判别式求值与证明 4 三.题型精析（综合提升） 5 【题型 6】选择合适（指定）方法解一元二次方程 5 【题型 7】根的判别式与几何、函数综合 5 四.同步检测 6 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 8 一.知识梳理与解读 【知识点一】求根公式推导（配方法推导，必考理解） 对一元二次方程一般形式 进行配方： ① 二次项系数化为1：； ② 移项： ； ③ 配方（两边加一次项系数一半的平方）：； ④ 整理完全平方： ； ⑤ 开方求解（右侧非负才有实根）： . 【知识点二】根的判别式 判别式三大结论： ① ：方程有两个不相等的实数根； ② ：方程有两个相等的实数根（重根）； ③ ：方程无实数根。 关键提醒：必须先保证 ，否则不是一元二次方程，不能用判别式。 【知识点三】公式法标准解题六步骤（考试满分模板） 1：化一般式——整理成 ，右侧必须为0； 2：定系数——找准 （带符号代入，负号不能丢）； 3：算判别式——计算 ，判断根的情况； 4：判断可否开方——代入公式，直接写无实数根； 5：代入公式——； 6：化简结果——约分、最简根式，规范写出 。 【知识点四】三种解法对比（解题择优） 1. 直接开平方法：只适合平方型 ，最快； 2. 配方法：适合配方简单、需要求最值、变形题型； 3. 公式法：所有一元二次方程通用，计算稳定、不易错。 二．题型精析（基础夯实） 【题型 1】熟悉求根公式 【例题1】（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）若是一元二次方程的根，则的值为___________． 【变式2】（25-26九年级上·云南昆明·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·山西晋城·阶段检测）用 公 式 法 解 关 于x的 一 元 二 次 方 程 ， 得 ， 则 该 一 元 二 次 方 程是 _________________． 【题型 2】利用公式法解一元二次方程 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【变式1】（25-26八年级·全国·暑假作业）方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【变式2】（2026九年级上·广东佛山·竞赛）如图，点是反比例函数图象上一点，点B为直线上一点，点C为x轴上一点，则周长的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）用公式法解方程： （1） （2） （3） （4）． 【题型 3】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 【例题3】（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【变式2】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）一元二次方程的根是___________． 【变式3】（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知整式． （1）化简； （2）若的值为0，利用判别式判断此方程根的情况． 【题型 4】利用根的判别式求参数的值或取值范围 【例题4】（24-25九年级上·广东汕头·阶段检测）已知关于的一元二次方程． （1）当时，请用适当方法解此方程； （2）若方程有两个相等的实数根，则的值为______； 【变式1】（2025·河南郑州·三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【变式2】（25-26九年级下·湖南永州·单元复习）判断下列一元二次方程中根的情况： ①____________________     ②_____________________ ③____________________     ④________________________ 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围； （2）若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【题型 5】利用根的判别式求值与证明 【例题5】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 【变式1】（2025·山东潍坊·模拟预测）函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式2】（25-26九年级下·山东德州·开学考试）若关于的一元二次方程（有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【变式3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若该方程两个根的平方和为25，求的值． 三.题型精析（综合提升） 【题型 6】选择合适（指定）方法解一元二次方程 【例题6】（25-26八年级下·山东日照·期末）解方程： （1）用配方法解方程：； （2）用适当方法解方程：． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用适当方法解下列方程： （1）； （2） 【变式2】（25-26九年级上·重庆綦江·期末）用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【变式3】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）解方程（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解 （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 【题型 7】根的判别式与几何、函数综合 【例题7】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知：反比例函数和一次函数相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求出两个函数的另外一个交点B点的坐标； （3）根据图象，直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围 ． 【变式1】（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【变式2】（2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【变式3】（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，其中． （1）求反比例函数表达式； （2）若把一次函数的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b的值． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁营口·模拟预测）关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京房山·期末）关于方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．（2026·北京·三模）若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 6．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）用公式法解方程时，得，则“□”处应填（  ） A． B． C．5 D．7 7．（25-26九年级上·上海·阶段检测）点在线段上，且，如果，那么的长为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时所得到的解正确的是（ ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·天津南开·期中）已知关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第行有个点，前行的点数和可能是以下哪个结果（    ） A．100 B．93 C．86 D．78 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． 12．（25-26九年级上·新疆·期中）方程无实数根，则点位于第______象限． 13．（2025·湖南郴州·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为_____． 14．（2026·河南三门峡·三模）解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是______． 15．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段检测）关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为_______________． 16．（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是______． 17．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 18．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程 （1）；（公式法） （2）．（配方法） 19．（25-26九年级上·江西赣州·期末）解下列一元二次方程： （1）； （2）． 20．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 21．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个实数根； （2）若，是方程的两个根，且，求的值，并求出此时方程的两个根． 22．（24-25九年级下·江苏徐州·自主招生）【阅读材料】小智同学设计一道习题并给出答案，但被老师打了两个“” 小智设计习题： 当时，求的值为多少？ 答案：11 小智订正了一处错误： 订正：的值为5 【参与究错】小智没有看懂另一处错误，请用两种方法帮助小智分析另一处错误． 23．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 24．（25-26八年级下·河北张家口·期末）【动手实践】如图，将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，通过变换，将块图形进行拼接，恰能拼成一个既不重叠、又不留空隙的正方形或长方形（含拼接线）． 【观察发现】 （1）正方形的边长为________，长方形的长为________；（用含，的代数式表示） 【探索应用】 （2）若，求的值； （3）在的条件下，直接写出等腰三角形纸片的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $