第一章 集合与常用逻辑用语 单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学人教A版必修第一册第一章单元卷，覆盖集合运算、逻辑用语等核心知识，通过基础题与创新探究题梯度设计适配单元复习，培养数学抽象、逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合关系、充分必要条件|第1题结合不等式考查充要条件判断，强化逻辑推理| |多项选择|3/18|集合概念、子集关系|第9题辨析集合性质，培养严谨思维| |填空题|3/15|命题否定、真子集个数|第13题通过真子集个数求参数范围，体现数学抽象| |解答题|5/77|集合运算、条件关系、划分探究|第19题集合划分证明，渗透创新意识与数学建模|

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第一章 集合与常用逻辑用语 注意事项： 1．测试范围：高一数学人教A版必修第一册第一章。 2．考试时间：120分钟 试卷满分：150分。 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时可推出； 当时，，不一定得到， 故“”是“”的充分不必要条件. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 得. 3．已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 4．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则，解得， 因此当时，的取值范围为 5．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】． 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 7．已知集合，，若，则的取值是（    ） A．或0 B．或0 C．0或2 D．或2 【答案】C 【详解】由，得或，解得或或， 当时，，，满足要求； 当时，，，满足要求； 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求； 综上，的取值为0或2. 8．若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 【答案】B 【分析】对原方程进行变形，判断方程有解时代数式是奇数还是偶数，根据指数运算，判断有多少种情况. 【详解】由题可得，变形为，得， 令，则，， 因为，所以为偶数，则为奇数，与一奇一偶， 由得， 可得， 当为奇数，则，，此时为偶数，有2027种情况； 当为偶数，则，，此时为奇数，有2027种情况； 所以共有4054种情况，即集合的元素个数为4054. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。） 9．（多选）下列说法中，正确的是（     ） A．的近似值的全体构成一个集合 B． C．在整数集中，若，则 D．若，则且 【答案】BCD 【分析】结合集合的基本性质、集合间的关系、整数集的性质及子集定义的否定的对应概念逐一判断即可. 【详解】对于A，“的近似值”没有明确的精度标准，不能构成集合，故A错误； 对于B，集合，集合，显然，故B正确； 对于C，整数的相反数仍然是整数，因此若，则，故C正确； 对于D，的定义是“对任意，都有”，其否定即为“且”，也就是的等价表述，故D正确. 10．（多选）设集合，，则（    ） A． B． C．若集合，则 D．若集合，则 【答案】ACD 【详解】集合是模3余1的整数， 是模3余2的整数，则，故A正确； 3的倍数既不属于集合，又不属于集合，故，故B错误； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故C正确； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故D正确． 11．（多选）给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（    ） A． B．的值可能为 C．的最大元素不大于 D．的值可能为 【答案】AD 【分析】首先根据集合的定义确定其元素范围，结合、的约束条件，推导的元素个数最值、的最大元素范围，逐一判断选项. 【详解】∵ 集合 ，且 ， 可得 ，中最大元素为. 对于选项A， 题设明确，根据子集定义，可得 ，故A正确. 设中最小元素为，最大元素为，. ∵ ，即. ∵ ，故的最小元素为. ∵ ，故的最大元素为. 要满足，需保证的最大元素小于的最小元素， 即 ①. 对于选项C：若，则，， 满足，且，故C错误. 对于选项B、D：要使最大，可取为连续自然数集合，此时. 代入①得 . 又 ，当时，， 因为，所以， 代入得，且， 满足①式，此时符合所有条件，故可能为，故D正确. 当时，，因为，所以， 代入得，超出的元素范围，不可能成立，故B错误. 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．命题“”的否定是___________． 【答案】 【详解】根据全称量词命题的否定形式可知，需要将全称量词替换成存在量词，变量的范围保持不变， 所以题中命题的否定为. 13．设集合，，若的真子集个数是1，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据，分别求出的范围，再根据或即可求出. 【详解】， 因为的真子集个数是1，所以的元素个数是， 若，则，得； 若，则，得； 若，则或，得； 若，则或，得； 综上，实数的取值范围是. 14．实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． （本小题满分13分） 已知全集，集合，集合．求． 【答案】 【分析】根据题意，结合集合的运算即可求解. 【详解】已知全集，集合，集合， 所以，所以． 16．（本小题满分15分） 已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若：是：的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题目条件，求出集合，再根据集合的运算，求出结果即可； （2）根据必要条件和集合的关系，判断集合的包含关系，进而根据包含关系分类讨论，求出参数范围. 【详解】（1）当时，，则， 可知或，则. （2）若：是：的必要条件，则， 当时，可得，解得，此时符合条件， 当时，可得，解得， 综上所述，当是：的必要条件时，. 17．（本小题满分15分） 已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】先分别求出命题、为真时，实数的范围，再求两个范围的公共部分可得答案. 【详解】由为真命题，对恒成立，得；① 由为真命题，即方程有实根，得， 即或;② 对①②求交集，可得或， 综上，所求实数的取值范围为或. 18．（本小题满分17分） 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件列出不等式组，求解即得的取值范围. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 综上，的取值范围为． 19．（本小题满分17分） 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． (3)设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 【答案】(1)，， (2)该命题为假命题，理由如下： 假设命题为真，则不妨设中元素的最大值为，中元素的最小值为，由题可知：，所以， 因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以， 因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即命题不可能成立； (3)由于集合中有16个元素，所以，，中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素， 设，，，，，，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么，，，，， 又因为，，，，， 所以，，，，， 则，中必有一个集合至少包含，，，，中的3个元素， 不妨设这3个元素为， 由假设可知：，，， 对任意，，存在，， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，即存在，存在，，使得． 【分析】（1）根据题意，3 个元素拆成两非空子集，只能是 “1 个元素 + 2 个元素” 的组合，即可求解； （2）采用反证法，假设不同集合分别有最大值和最小值，则可推导出有理数不符合题意，即可证明； （3）利用反证法，假设任意集合内任意两数之差都不在这个集合内，以及元素与集合之间的关系即可证明； 【详解】（1）集合的所有不同的2划分为，， （2）略 （3）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第一章 集合与常用逻辑用语 注意事项： 1．测试范围：高一数学人教A版必修第一册第一章。 2．考试时间：120分钟 试卷满分：150分。 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知集合，，若，则的取值是（    ） A．或0 B．或0 C．0或2 D．或2 8．若集合，则集合的元素个数为（     ） A．4052 B．4054 C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。） 9．（多选）下列说法中，正确的是（     ） A．的近似值的全体构成一个集合 B． C．在整数集中，若，则 D．若，则且 10．（多选）设集合，，则（    ） A． B． C．若集合，则 D．若集合，则 11．（多选）给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（    ） A． B．的值可能为 C．的最大元素不大于 D．的值可能为 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．命题“”的否定是___________． 13．设集合，，若的真子集个数是1，则实数的取值范围是______. 14．实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． （本小题满分13分） 已知全集，集合，集合．求． 16．（本小题满分15分） 已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若：是：的必要条件，求的取值范围． 17．（本小题满分15分） 已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分） 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19．（本小题满分17分） 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． (3)设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $