第一章集合与常用逻辑用语单元测试（一） -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 《集合与常用逻辑用语》高一数学单元卷，覆盖集合运算、命题否定、充要条件等核心知识，通过基础题与创新题梯度设计，适配单元复习检测，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|命题否定、集合交并补|第1题巩固命题否定基础，第8题结合元素余数性质提升分析能力| |多选题|3/18|集合概念辨析、关系应用|第9题辨析集合基本性质，第11题推理元素乘积规律，体现逻辑思维| |填空题|3/15|列举法、子集性质|第12题用列举法表示集合，第13题通过三元子集乘积反推集合元素，考查数学表达| |解答题|5/77|充要条件、集合变换|第16题结合必要不充分条件，第19题定义变换探究元素和最小值，培养创新应用能力|

《集合与常用逻辑用语》单元测试（一） 高一 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“” 的否定是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 6．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 7．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列关于集合的说法正确的有（    ） A．若且，则 B．空集是任何集合的真子集 C．集合与是同一个集合 D．若，则 10．（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 11．已知非空实数集满足：任意，均有；任意，均有.则下列说法正确的是（    ） A． B．中所有元素之积可能为 C．中所有元素之积可能为1 D．若由四个元素组成，且所有元素之和为3，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．用列举法表示集合______________________． 13．若集合的所有三元子集的三数之积构成集合，则________ 14．已知且，集合，．若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知全集，集合或. (1) 求； (2)求. 16． （15分） 已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 17． （15分） 已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 18．（17分） 已知，命题：，不等式恒成立；命题：，使得成立. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）当时，若和一真一假，求实数的取值范围. 19．（17分） 设集合，定义变换：对任意有序数组，经过变换得到，其中，其中表示，中的最小者．记为数组所有元素之和． (1)若，求与； (2)当时，有序数组经过变换得到，再经过变换得到，求的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《集合与常用逻辑用语》单元测试（一）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A C D D B AD BCD 题号 11 答案 BCD 1．D 【详解】命题“” 的否定是“”. 2．C 【详解】因为，所以 3．A 【分析】由题意得，求解即可 【详解】因为，所以，解得，又a是正实数， 所以则正实数的取值范围为， 故选：A 4．A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 5．C 【详解】从中任取一个元素，一定是偶数，所以； 从中任取一个元素，所以. 所以. 6．D 【详解】根据充分不必要条件的定义，， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 7．D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 8．B 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52 9．AD 【详解】对于A，若且，则，故A正确； 对于B，空集是任何非空集合的真子集，故B错误； 对于C，，， 集合与不是同一个集合，故C错误； 对于D，若，则，故D正确． 10．BCD 【详解】∵，∴. ①若，则，解得. ∵，， ∴，且，解得. 此时. ②若，则，解得，符合题意． 综上，实数满足即可. 11．BCD 【分析】根据题意若，则，则；若，则，则，则；由此逐项判断即可. 【详解】对于A选项：假设，则，又因为，则无意义，与题意矛盾，故A错误； 对于B选项：假设，则，则，则， 若中有3个元素，则，此时中所有元素之积，故B正确； 对于C选项：假设，则，则，则，则， 若中有4个元素，则，此时中所有元素之积，故C正确； 对于D选项：若由四个元素组成，则， 所有元素之和为3，即，化简得， 两边同时除以得， 所以或， 当时，， 当时，, 所以 所以，满足题意，故D正确. 故选：BCD. 12． 【详解】已知， 因为， 所以， 故必须为整数，否则为分数，不可能是正整数， 因此是6的约数，即的可能取值为1，2，3，6， 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 综上，符合条件的y的取值为1和5，故该集合为． 13． 【详解】 因为所有三元子集中每个元素共出现3次， 所以所有三元子集的元素之积， 所以， 用120分别除以中的元素即得． 14．5 【分析】利用集合相等则元素和相等先求出的可能值，结合集合元素性质排除不符合的解，再匹配对应元素求出，最终计算. 【详解】若，则两个集合元素之和相等，中元素和为，因此的元素和也为， 即 解得或. 若，则，但时中元素均不为，矛盾，排除； 若，则，结合，得元素乘积相等，即， 化简得，结合得，此时，符合条件. 所以. 15．(1)或. (2)或. 【分析】（1）根据并集的概念求解； （2）先利用补集的概念求出，再利用并集的概念求解； 【详解】（1）∵集合或， ∴或. （2）∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或. 16．(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值； （2）若是的子集,则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解. 【详解】（1） 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . （2） ①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 18．（1）；（2）. 【分析】（1）转化为，可求得，代入解不等式即得解； （2）当时，若为真命题，即，分真假，假真两种情况讨论即可. 【详解】（1）对任意，不等式恒成立， 令（），则， 当时，，即，解得. 因此，当为真命题时，的取值范围是. （2）当时，若为真命题，则存在，使得成立，所以；故当命题为真时，. 又，中一个是真命题，一个是假命题. 当真假时，由，得； 当假真时，由或，且，得. 综上所述，的取值范围为. 19．(1)， (2) 【分析】（1）根据变换的定义可得； （2）分析可知要使最小，须使最小，即在一次变换后，尽可能取到数组中较小的数，由此分析可得. 【详解】（1）根据变换的定义， 若，则， . （2）当时，有序数组由依不同顺序组成， 要使最小，须使最小，即在一次变换后，尽可能取到数组中较小的数， 因此最大的两个数不相邻，也不能排在和中间. 由于每个数最多被取到两次，所以最小时，中含两个1，两个2，一个3， 且两个1相邻，两个2相邻（首项与尾项看作相邻）； 此时，中包含3个1，两个2，且3个1相邻，两个2相邻. 所以的最小值为. 例时，，，. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $