2026年江苏省常州市中考数学试题

常州市2026年中考数学试卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．计算的结果是 A． B． C． D． 2．64的立方根是 A． B． C． D． 3．如图，数轴上表示3的倒数的点在 A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 4．如图，直线，被直线所截．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 6．CT平扫是临床常用的影像检查之一，利用射线穿透人体，通过计算机重建出人体断层图像（人体截面的扫描成像）．如图，以下几何体静止放置在水平面上，若分别对这些几何体沿水平方向在不同高度截取3个截面，则同一几何体的3个截面不可能都全等的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 7．如图，全球单机容量最大的16兆瓦漂浮式海上风电平台“三峡领航号”投产发电后，预计每年发出的电能可满足2.4万户三口之家全年用电．若按平均每户三口之家全年用电约计算，则“三峡领航号”每年发出的电能约为（ ） A． B． C． D． 8．如图1，小明做摆球实验，在水平操作台上方的位置由静止释放小球，小球左右摆动，最低位置为．一段时间内，小球距离操作台台面的高度（单位：）随时间（单位：）变化的图像如图2所示，则下列说法中错误的是（ ） A．释放小球的位置距离操作台台面的高度是 B．小球距离操作台台面的最低高度是 C．当时，小球在的右侧 D．当从增大到时，小球距离操作台台面的高度越来越大 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．的相反数是__________． 10．分解因式：__________． 11．若式子有意义，则实数的值可以为__________．（填一个符合要求的的值即可） 12．正方形的周长关于它的边长的函数表达式为__________． 13．“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是__________事件．（填“不可能”“随机”或“必然”） 14．如图，四边形内接于，连接，．若，，则的度数为__________． 15．如图，小慧将2块相同的含角的直角三角尺摆放在平面直角坐标系中，其中三角尺的斜边落在轴上，三角尺的顶点的纵坐标为3，则点的坐标为__________． 16．如图，一架无人机在高的点处可探测到的水平地面区域的宽度，再垂直上升，到达点处，可探测到的水平地面区域的宽度为，已知，，，则__________． 17．八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为__________．（精确到，硬纸盒不可变形且纸盒壁、碗壁厚度均忽略不计，参考数据：） 18．如图，在矩形中，，．矩形的顶点，，，分别在边，，，上（点与点，不重合，）．若对于定点，矩形唯一确定，则的长为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 20．（8分）计算：（1）． （2）． 21．（8分）中央广播电视总台马年春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”，“骐骥驰骋”出自《离骚》，以“骐骥”喻千里马，象征开拓进取、驰而不息的民族精神．小亮设计了一个拼字游戏：将“马”“其”“冀”分别写在3张相同的卡片上，将卡片的背面朝上并洗匀． （1）任意抽取1张卡片，抽到“马”的概率为__________． （2）先任意抽取1张卡片，不放回，再从余下的2张卡片中任意抽取1张．求抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率． 22．（8分）为了解12:00～13:00某路口行人信号灯设置是否合理，数学兴趣小组在这个时段随机调查了该路口5个信号灯周期内行人等红灯的时间，记录数据并整理成下图（每个点都对应一个行人等红灯的时间）． 回答下列问题． （1）本次调查采用的是__________．（填“全面调查”或“抽样调查”） （2）下列说法中正确的是__________．（填所有正确说法的序号） ①东西向行人等红灯的时间的众数是； ②南北向行人等红灯的时间的中位数超过； ③南北向行人等红灯的时间的极差比东西向大． （3）根据本次调查，对12:00~13:00该路口的行人信号灯设置提出一条合理建议． 23．（8分）如图，，分别是线段，上的点，，，连接，，相交于点． （1）求证：， （2）连接，是等腰三角形吗？证明你的结论． 24．（8分）如图，某小区有一个圆形活动广场，为丰富居民户外活动，物业向广场外围拓宽铺设宽的彩色环形塑胶跑道．改造后，含跑道的圆形活动区域的总面积为原来的4倍，求该广场原来的半径（单位：）． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． （1）求一次函数、反比例函数的表达式． （2）点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 26．（10分）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． （1）__________． （2）若点，在抛物线上，且，求的取值范围． （3）连接．若，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，当最大时，求的值． 27．（10分）如图，在四边形中，点在边上，，连接，．将绕点按顺时针方向旋转，得到，，，分别是点，，的对应点． （1）点在线段__________上．（填“””或“”） （2）若，求的长． （3）若点在边上，求的值． 28．（10分）综合与实践：试衣镜的摆放 小丽购买了一块脚撑式无边框平面试衣镜（如图），镜面的长为、宽为．小丽的身高为，眼睛距离地面的高度为． 【垂直摆放】小丽调节脚撑，使镜面与地面垂直，然后直立在试衣镜的正前方． （1）在图1中，用直尺和圆规补全小丽的像．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）如图2，小丽能从镜中看到自己像上的最高位置为，求的长． 【倾斜摆放】小丽再次调节脚撑，使镜面后倾，与地面的夹角为，然后直立在试衣镜的正前方． （3）当小丽能从镜中看到自己的全身像时，她和试衣镜下边沿的最远、最近距离分别为，．如图3是小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图，求的值，并在图4中画出小丽和试衣镜下边沿的距离为时的示意图（无需尺规作图），再列出关于的方程（无需化简和解方程）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市2026年中考数学试卷 1．C 2．D 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B 8．C 9．2026 10． 11．1（答案不唯一） 12． 13．随机 14． 15． 16．120 17．20 18． 19．解析：本题考查了一元一次不等式组的解法．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们解集的公共部分，最后在数轴上表示出来即可． 解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 将不等式组的解集表示在数轴上如图所示． 20．解析：本题考查了实数的混合运算及整式的化简．（1）先分别对零次幂、平方、负整数指数幂进行化简，再计算即可．（2）先根据完全平方公式和平方差公式将式子展开，再合并同类项即可． 解：（1）原式． （2）原式． 21．解析：本题考查了用列表法或画树状图法求事件的概率、概率公式．（1）直接利用概率公式求解即可．（2）先列表或画树状图得出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果，最后利用概率公式求解即可． 解：（1）由题意可知，任意抽取1张卡片，抽到每张卡片的可能性是相同的，抽到“马”的概率为． 故答案为 （2）画树状图如图所示，由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中可以拼成“骐”字的结果有2种，抽取的2张卡片可以拼成“骐”字的概率为． 22．解析：本题考查了调查方式、众数、中位数、极差、用样本估计总体．（1）根据全面调查和抽样调查的定义判断即可．（2）根据统计图对各选项的说法分别进行判断即可．（3）结合（2）中的分析提出建议，答案不唯一，合理即可． 解：（1）抽样调查 （2）由统计图可知，东西向行人等红灯的时间中，出现了4次，出现的次数最多，因此众数是，故①正确；南北向行人等红灯的时间中，排在中间的时间在之间，即中位数超过，故②正确；由统计图可知，南北向行人等红灯的时间的极差明显比东西向小，故③错误．综上所述，说法正确的是①②． 故答案为①②． （3）答案不唯一，如：适当缩短东西向行人信号灯红灯的时间． 23．解析：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定．（1）根据“SAS”直接证明即可．（2）先由得到，再由得到，根据角的和差关系即可得到，从而得到，即可得出是等腰三角形． （1）证明：在和中， ． （2）解：是等腰三角形．证明如下： 如图，连接． ，． 由（1）知，，， ，即， ，是等腰三角形． 24．解析：本题考查了一元二次方程的实际应用．先找出等量关系，再列出一元二次方程，最后求解即可． 解：由题意可知，含跑道的圆形活动区域的半径为． 根据题意，得，解得或（不符合题意，舍去）． 答：该广场原来的半径为． 25．解析：本题考查了用待定系数法求函数表达式、三角形的面积公式．（1）将点，的坐标分别代入即可求得，的值，将点的坐标代入即可求得的值，从而可得一次函数与反比例函数的表达式．（2）分射线交轴于点和射线交轴于点两种情况进行讨论，结合，即可得到，两点的横（或纵）坐标关系，进而可求得点的坐标． 解：（1）将点，的坐标分别代入， 得解得 一次函数的表达式为． 将点的坐标代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）分情况讨论： ①当射线交轴于点时， ，，， 将代入，得，点的坐标为； ②当射线交轴于点时， ，，， 将代入，得，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 26．解析：本题考查了用待定系数法求函数表达式、二次函数的图像与性质、二次函数图像上点的坐标特征．（1）将点的坐标代入二次函数表达式即可求得的值．（2）先令求得，再令和分别求得的值，最后结合函数图像即可求得的取值范围．（3）先用待定系数法求得直线的函数表达式，从而得到点，，，的坐标，再结合得到，的长，进而得到关于的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质即可求得当最大时的值． 解：（1）将点的坐标代入，得，解得． 故答案为． （2）由（1）知，二次函数表达式为． 令，得． 令，得，解得或． 令，得，解得或． 如图，结合函数图像可知，当点，在抛物线上，且时，的取值范围为或． （3）令，得，解得或．． 令，得，． 设直线的函数表达式为． 将点，的坐标分别代入． 得解得 直线的函数表达式为． ，． 由题意可知，，，，，且点在点上方，点在点上方， ，， ． ，当时，取得最大值，即当最大时，的值为． 27．解析：本题考查了旋转的性质、勾股定理、解直角三角形的应用、锐角三角函数的定义．（1）由题意可知，，，则点的对应点必在线段上．（2）在中利用勾股定理可求得，从而得到，再在中利用勾股定理即可求得的长．（3）过点作于点，设，则，，从而得到．在中利用锐角三角函数可求得的长，在和中利用勾股定理可依次求得，的长，再由锐角三角函数的定义即可求得的值，由旋转可知，，即可求得的值． 解：（1）将绕点按顺时针方向旋转，得到，是点的对应点，则，．是点的对应点，点在线段上． 故答案为． （2）由旋转可知，，． 在中，， ． ，， 在中，， ． （3）如图，过点作于点． 设，则，，． ，． 在中，． 在中，． 在中，， ． 由旋转可知，， ． 28．解析：本题考查了尺规作图、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质．（1）过点作直线的垂线，再在的垂线上截取即可．（2）过点作于点，交于点，设，则，．证明即可得到，解方程即可求得的长．（3）连接，交的延长线于点，由对顶角和轴对称的性质分别求得和的度数，即可求得的度数，在中解直角三角形即可求得的长，从而求得的值．连接，交的延长线于点，分别延长，交于点，连接，易证明为等边三角形，从而求得，的长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，易得，并求得，的长，从而可得，分别求得，，，的长，代入，即可得出关于的方程（方程表示形式不唯一，正确即可）． 解：（1）如图1，即为所求作． （2）如图2，过点作于点，交于点，则四边形，，均为矩形．设，则，，． 由题意可知，，，，． ，， ，即，解得，即的长为． （3）如图3，小丽和试衣镜下边沿的最远距离为，则眼睛、试衣镜下边沿、点在一条直线上，连接，交的延长线于点，则，，． 在中，，，即． 如图4，小丽和试衣镜下边沿的最近距离为，则眼睛、试衣镜上边沿、点在一条直线上，连接，交的延长线于点，分别延长，交于点，连接，交于点． 点，关于直线对称， ，， ， ， 为等边三角形． 在中，， ． 过点作于点，过点作于点，过点作于点，则，，， ． ， ， ， ， 关于的方程为．（方程表示形式不唯一，正确即可） 学科网（北京）股份有限公司 $