广东深圳市罗湖区2025-2026学年第一学期期末质量检测高三数学试卷

绝密★启用前 试卷类型：A 2025-2026罗湖高三期末质检试题 数学试题答案及评分参考 2026.01 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的、 题号 1 2 4 5 6 7 答案 B B D B A A D 8.解析：由数量积的几何意义可知，M中任意两个元素的数量积最大值为 444不44141e0s至=5×2×5=3，应选D 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 BC ACD ABD 11. 解析：设甲箱中每次抽到红球概率为乃一6了 42 乙箱中每次抽到红球概率为P,= 31,由 62’ 于参与者选择箱子是随机的。∴P风-=分P心闭-分 在事件A发生的条件下（即选择了甲箱），每次抽 到红球的概率为， 且各次抽取相互独立.两次总得分为2分，即两次均抽到红球，其概率为 Pa0=- 故选项A正确， 在事件A发生的条件下（即选择了乙箱），每次抽到红球的概率为 两次均抽到红球概率为 141×1_25,故选项B正确.由 PB1刃=身=：由全概率公式，P()=P0P(8l0+P闭Pa1万=2*号+方*行分 于P0PO=x2525 =1×4-2=32 x1 P(AB)=P(AP(B 299144 显然，P(A)P(B)xP(A∩B)因此事件A与事件B不独立，故选项C错误. 142 由贝叶新公式，PAB)=P0PB_29=是=， .P(B) 2525 =25 故选项D正确，综上所述，应选ABD 722 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.-80: 13.25； 14.4-25. 14、解析：设AN=m,AC=n, C=交'N=AW=m,由余弦定理， .龙.2+(2-m)2-m2 cos 3 2n(2-m) 得-2n+4,令4-n=则1e0,4小且m户-6+业14-624W5-6 4-n 当且仅当【=，即1=25时，等号成立，当AN最短时，4C=4-25. 15.(13分)解：()在△ABC中，由余弦定理知4AC2=AB+BC2-2AB·BCco3∠ABC,1分 即5=1+BC2+√2，BC→BC2+√2BC-4=0, …2分 解得BC=√2， ………3分 Sac=4B-BC-sin乙ABc=x1x2x9-=号 …5分 22 (②)在△MBC中，由正弦定理知。4C BC …6分 "sin∠4BC sin∠BAC 解得sin∠B4C=5, …7分 又在△ABC中，∠BAC<(元-∠ABC)=E ÷cos∠BAC=V-sin2∠BAc_25 …8分 :∠CAD=2∠BAC, 4 .sin∠CAD=sin2∠BAC=2sin∠BAC.cos∠BAC=-, …9分 5 3 cos∠CAD=cos2∠LBAC=cos2LBAC-sin2∠BAC=亏' …10分 .在△ACD中，∠ACD=π-（∠CAD+∠D), sin∠4CD=sin(eCAD+∠D)=7Y2 …11分 10 在△1CD中，由正弦定理得4C AD sin∠Dsin∠ACD' 解得4D=75 ……l3分 5 16.(15分)解：()由等差数列的性质可得=5a,则马=5g,凸=0.…1分 设{an}的公差为d,从而有42a=(a-d(4+d)=-d2, S=4+42+4+a4=(a-2d)+(a-d)+4+(a+d)=-2d,…3分 从而-d=-2d,由于公差不为零，故d=2,…4分 .{an}的通项公式为an=马+(n-3)d=2n-6.…6分 2分 工=1x白+2x(+3x(+…+nx分， ……8分 =x3+2×++0m-0x+nx, …10分 两式相减得， =1-0+2分，即工=2-(2+m,neN. …13分 VnEN',(2+m)>0,VnEN',T<2. …15分 17、(15分)解：()证明：在△ABB中，有BB=AB2+AB,AB上AB,…1分 AB⊥BD,AB∩BD=B,AD,BDC平面ABCD, ∴.AB⊥平面ABCD, …2分 ADC平面ABCD,,AB⊥AD, …3分 在矩形ABCD中，有AD⊥AB, …4分 :AB∩AB=A,AB,:AB,c平面BDAA, ∴AD⊥平面BBAA，. …5分 BB,C平面B,BAA,.AD⊥BB. …6分 2)由(I)可知AB⊥AB,AB⊥AD,AD⊥AB, ∴如图所示，以A为原点，分别以A3,AD，AB所在直我为x轴，y轴，z轴建立空间直 角坐标系，A0,0,0),BL,0,0),B,(0,0V5),设A=m，且m>0，故D(0,m,0), BD=(-l,m,0),在四棱柱ABCD-4B,C,D,中，易得=CC=B丽=(-1,0，√5)，DC=A8=(,0,0y DC=DC+CC=丽+B8=A瓦=(0,0，V5), 设平面B0D,B的法向量为%=，K,马)，则%丽=-+5=0， %·丽=-，+my=0, 令出√5m,则%=(W3m,√5，m, …10分 设C,D与平面BDD,B所成角为a, √m 则sinacos<DC,n,= DCmL IDC,川m,lV5√4m2+37 解得m=1,%=(W5,V5,1), …11分 设平面ADD,4的法向量为m2=(,y2,2),则 m2A而=2=0， 424=-x+5z2=0, 令x=5,则m2=(5,0,1), …13分 设平面BDD,B,与平面ADD,A的夹角为B, 六cosB-cos<%,m,%L=3+1=2W万 ……14分 1%川21V7.√47 平面BDD,B与平面ADD,4夹角的余弦值为27 …15分 18.(17分)解：(1)由题意，动圆圆心P到点(2,0)的距离比其到直线x=-1的距离大1， …1分 ∴.圆心P到点C(2,0)的距离等于它到直线x=-2的距离， …2分 ∴.圆心P的轨迹E是以点C(2,0)为焦点，以直线x=-2为准线的抛物线， 设E的方程为y2=2px(p>0),则号=2，p=4, …3分 2 .E的方程为y=8x 000000 …4分 (2)()当直线1斜率为0时，1与抛物线有且只有一个交点， …5分 则可设直线1的方程为x=my+n,A(x,),B(x2,2), 联立 =8x”得y-8nmy-8m=0,4=64r2+32m>0, x=my+n, …6分 h+2=8m,hy2=-8n,… …7分 OA.O丽=2+h=(y+n(my%2+m）+h…8分 =(m2+lMh+m0y+z)+n2=72-8n=20,… …9分 ∴.n=10,或n=-2,由题n=-2（舍去)，则n=10, .l过定点M(I0,0).…10分 (),过C作C2上AB于点2，且由(0l过定点M0,0), .点卫在以N(6,0)为圆心，4为半径的圆上，…12分 ∴|POlinPNIi-rPN|lnin-4,…l3分 设P%%),且%2=8元’20， 1PW卡(6-6)2+%2=62-12.，+36+%2， …14分 =2-126+36+8=(6-2)2+32,名20，…15分 六当6=2时，1PWl=4V2, …l6分 ∴lP2LPWL-4=4V2-4,即|P21的最小值为42-4. …17分 19.（17分)解：(1)易知f)的定义域为(0，+o),了)=2hx, …1分 当x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(，+o)时，f(x)>0,f(x)单调递增， f()在区间(0，)上单调递减，在区间(，+∞)上单调递增.…3分 (2)依题意可知方程血2x-b=a有三个不同实数根， …5分 令函数F=h2x-b,则F=2nx-n2x+b, x x2 当b≤-1时，F'(x)≤0，F(x)单调递减，F(x)=a至多一个实数根，不合题意；…7分 当b>-1时，y=2lnx-ln2x+b恰有两个零点，设为x,x2(x<x), ∴F()在区间(0，x)单调递减，在区间(：，x)单调递增，在区间(6，+∞)单调递减， 又当x→0时，F(x)→+o,当x→+0时，F(x)-→0， :存在aeR,使得方程nx-b=口有三个不同实数根， .b的取值范围为(-山，0).… …9分 (3)g'=2hx-2mx-》,设)=g因，则h0=0,且h)=20=n为-2m, x 设0=20-h-2m,则p0=2-2m,p树=22nx-。 x2 ·()在区间(0，e)单调递减，在区间（三，+∞）上单调递增， …10分 当m>1时，0<0，e=子-2n<0,9%e)=2孔。g】-2m>20-0-m1-2=0, e2- ∴存在x。∈(e",),使得(x)=0, ∴.当x∈(，e2)时，(x)<0,h)单调递减，即g(x)单谓递减， .当x∈(3，)时，g(x)>g)=0, ∴8)在区间(3，)单调递增。在区间，e)单调递减。 g()的极大值点为1，不符题意： …12分 当m=1时，h')=0,白)=4e2-2>0, ∴g'()在区间（仁，1）单调递增，在区间(L,e)单调递减，：g'(0)=0, 当x(,c2)时，g()≤0，g(x)单调递减，不合题意；…14分 当m≤0时，h()>0,h(e)=-m20,h(白)=4e2-m>0, 当x∈(e9)时，h()>0,g(单调递增， :g'()=0,·g()在区间（二，1）单调递减，在区问(，)单调递增， .g(x)的极小值点为1，符合题意： 当0<m<1时，h(e)=-m<0,h)>0,h白)=4e2-m>0, e 存在x∈(1，e),使得h'(3)=0, 当xE()时，h(>0,8单调递增， :g0=0,六g(在区间哈)上单调递减。在区同)上单调道0， ∴g(x)的极小值点为1，符合题意， …17分 综上所述，m的取值范围为（∞，）. 62025-2026学年第一学期期末质量检测 高三数学 2026.2 注意事项： 1、本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2、答卷前，考生务必将自己的学校、班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码 3、作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 4、非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不得使用铅笔和 涂改液 5、考试结束后，考生上交答题卡 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.已知复数z满足i·z+1=2i,则|z= A√3 B.5 C.3 D.5 2。已知集合4=号s0,8=<x<,则4UB A.{x|-2≤x<4} B.{x|-2≤x≤3} C.-{x|-2≤x<3} D.{x|-2<x<4} 3.己知双曲线C:￡-上=1的离心率为正，则C的渐近线方程为 4 m 2 3 Ay=± B.y=±x C.y=t -x D.y=t 4 4.已知a=,b= 0.4 ，c=l0go30.4,则 A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 5.已知定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0，+oo)时，f(x)=e“+a(a∈R),则“a≠0” 是“f(x)是单调函数”的 A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D,既不充分也不必要条件 6.在四面体ABCD中，AB,AC,AD两两垂直，且AB=3,AC=4,AD=5,若A, B,C,D均在球的球面上，则O的表面积为 A,50元 B.100元 C.150π D.200π 2025-2026学年第一学期期末质量检测高三数学第1页共4页 7.在平面直角坐标系xOy中，若角a、B的终边关于y轴对称，则 A.sin2+sin2= B.sin+cos=1 2 2 +sm2号=1 C.cos2 D.cos2 -cos2-0 2 8.已知正六边形AA2AAAA的边长为1，集合M={AA,|i,j=1,2,3,4,5,6},则M中任 意两个元素的数量积最大值为 A月 B.√5 C.2 D.3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求：全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82,90,65， 68,80,92,80,依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为 有效数据，则 A.有效数据的极差是10 B.有效数据的平均数是80 C.有效数据的第80百分位数是86 D.有效数据的方差是50 10.已知直线1：y=x+√2与圆0：x2+y2=4交于M,N两点，则 A.1恒过定点 B.IMN|不存在最小值 C.|MN|不存在最大值 D.△OMN面积的最大值为2 11.某商场举行抽奖活动，规则如下：参与者从甲、乙两个箱子中随机选择一个，然后从该 箱中有放回地抽取小球两次，每次抽取1个球，已知甲箱中有4个红球和2个白球，乙 箱中有3个红球和3个白球，每次抽到红球记1分，抽到白球记0分，设事件A=“参 与者选择甲箱”，事件B=“两次抽球总得分为2分”，则 4 A.P(B|A)=。 9 B.P(B)=72 25 C.A与B相互独立 D.P(AB)= 25 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(-2x)”的展开式中x的系数为 2025-2026学年第一学期期末质量检测高三数学第2页共4页 小已知椭圆C:x 。+3=1(Q>b>0)的左、右焦点分别为F,E,过F的直线交C于P) Q两点，若△PQF为等边三角形，则C的焦距为： 14、某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某条直线对折.现有一张边 长为2的等边三角形纸ABC,点M,N分别在边AB和AC上，现将三角形纸沿MN 对折，A点恰好落在边BC上且记为A',当AN最短时，CA'= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 如图，在平面四边形ABCD中，已知AB=1,AC=5,∠ABC=3弧 4 (1)求△ABC的面积： (2)若∠CA0=2∠B4C,且∠D-=年，求AD的长. B (第15题图) 16.(15分) 记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若4=S，a2a4=S4: (1)求{an}的通项公式： (2)设6，=器，记Z为数列仫}的前n项和，证明：ne小心，无<2. 2025-2026学年第一学期期末质量检测高三数学第3页共4页 17、(15分) 如图，在四棱柱ABCD-AB,CD中，底面ABCD是矩形，BB=2AB=2,AB=√5， AB⊥BD (1)求证：AD⊥BB: (2)若CD与平面BDD,8所成角的正弦值为 入， 求平面 BDDB与平面ADDA夹角的余弦值 B (第17题图) 18.(17分) 在直角坐标系xOy中，动圆P与圆C:(x-2)2+y2=1外切，且与直线x=-1相切，记P 的轨迹为E, (1)求E的方程： (2)若直线1与E交于x轴异侧两点A,B,且OA·OB=20: (①证明：1过定点： ()过C作C2⊥AB于点2，求|PQI的最小值. 19.(17分) 已知函数f(x)=ln2x. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若存在a∈R,使得关于x的方程f(x)=+b有三个不同的实数根，求b的取值 范围： (3)若函数g(x)=f(x)-m(x-)的极小值点为1，求m的取值范围. 2025-2026学年第一学期期末质量检测高三数学第4页共4页