精品解析：广东深圳市新安中学（集团）燕川中学2025-2026学年第二学期高考考前适应性考试数学试卷

新安中学（集团）燕川中学2025-2026学年度第二学期 高考考前适应性考试 数学试卷 2026.05.25 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】集合中元素是非负实数，而集合中元素是直线上的点，所以. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，； . 3. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则＝（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以, 当时，，则, 则, 所以。 4. 已知向量 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先根据投影向量的定义，再结合向量模的计算公式求出，最后根据向量数量积的运算求出. 【详解】向量 在向量 上的投影向量为， 因为，所以，代入可得： ，所以， 则. 5. 已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设， 令，得； 令，得； 故． 7. 在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如图所示.如果学生甲在这次数学测试中得了110分，那么学生甲的成绩可能是（ ） A. 40%分位数 B. 60%分位数 C. 75%分位数 D. 85%分位数 【答案】B 【解析】 【详解】由表格可知，分数段的占比为，分数段的占比为，该区间的分数范围是分. 110分与90分的差值为分，因此分在的占比为：. 将低于分的占比与分在区间内的占比相加，即110分对应的百分位数为第百分位数. 8. 当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（ ）. A. ①②④ B. ②③④ C. ①④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列的前n项和为．下列说法正确的是（） A. 若是等差数列，且，，则公差为2 B. 若，，则数列是等差数列 C. 若是等比数列，且，公比，，则 D. 若是等比数列，且，则公比为 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用等差数列前项和公式算出A公差为判定A错误，再由递推式求出B数列为常数列符合等差数列定义，接着用等比数列求和公式求出C中、判定正确，最后由等比数列和的比值化简得，求出公比为判定D错误，综上正确选项为BC. 【详解】选项A：，解得，，故A错误. 选项B：，，计算得：，，数列为常数列，常数列是公差为的等差数列，故B正确. 选项C：等比数列前项和公式：，代入得：，化简：，，解得，，则，故C正确. 选项D：若数列的公比，则，矛盾，故， 由已知，解得，，故D错误. 10. 已知角的始边为轴的非负半轴，终边过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】根据三角函数定义得，，故A正确； 由二倍角公式得，故B错误； 由，故C正确； 因为角的终边过点，所以， 解得， 当时，，此时，， 由两角和的正弦公式得，故D错误. 11. 在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（   ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为1 D. 双曲线的离心率为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平面几何知识可判断AB，建立直角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程可判断CD. 【详解】由题意底面半径为1，圆锥高， 对于A，为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，A正确； 对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作，垂足为， 为母线的中点，，， 椭圆的长轴长，B错误； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为， 以为原点，为x轴，在平面中建立平面直角坐标系， 则，， 设抛物线方程为，则，解得：， 则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误. 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系， 坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上，    则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为， 设双曲线方程为， 则，将代入双曲线方程得，解得， 所以，故双曲线的离心率为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 【答案】5 【解析】 【分析】设直线与曲线相切于点，进而结合导数几何意义求得切点为，再代入直线方程求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由得， 所以，整理得，解得或（舍去）， 所以，即切点为 所以将代入直线方程得，解得． 13. 在中，，，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系得，由正弦定理求得BC，再有余弦定理求得 【详解】在中，由，可得， 由正弦定理得，，即，解得， 由余弦定理得，，整理得，， 即， 解得舍去或， 故答案为: 14. 某市为迎接即将到来的省辩论大赛，准备在全市高中生范围内选择成员，经过第一轮比赛，9人脱颖而出，其中5名女生，4名男生，并且男生和女生中各有一名参加过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛，若至少有1名参加过去年比赛的被选中条件下，两名去年参赛的都被选中的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用组合的知识与古典概型分别求得事件的概率，再利用条件概率公式即可得解. 【详解】设事件“至少有1名参加过去年比赛的被选中”， 事件“两名去年参赛的都被选中”， 则， ， 则， 即所求概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且． （1）求的通项公式； （2）设函数，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）观察递推式，发现其可凑成完全平方形式，进而推出是首项为，公差为1的等差数列，求出，平方即得通项； （2）先对求导，后将和代入函数，最后用裂项相消法求和，得． 【小问1详解】 由已知得， 显然，所以， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即. 【小问2详解】 由题意知， 所以 ． 16. 已知函数，为的导函数． （1）求的单调区间； （2）记，．当时，证明：． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为． （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （2）记，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 依题意，有． 令，得，得， 令，得，得． 因此单调递增区间为， 单调递减区间为． 【小问2详解】 易知，记． 由题意知，则， 从而． 当时，，，则， 因此，在区间上单调递减，． 当时， ． 17. 如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为圆柱的一条母线，为的中点，且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据图形特征结合勾股逆定理先证，，再由线线垂直得线面垂直，进而根据线面垂直的性质可得面面垂直；或根据定义证得为二面角 是直二面角，进而得面面垂直. （2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 思路一： 由BC是直径可知，则是等腰直角三角形，故， 由圆柱的特征可知平面ABC，又平面ABC，所以， 因为，，平面，则平面， 而平面，则， 因为，则，所以 ， ， 所以 ， 所以，即， 因为，，，，平面， 所以平面， 又平面，故平面平面. 思路二：因为，则，，， 所以 ， 所以，即， 同理可证， 在二面角 中且， 所以为二面角 的平面角， 由思路一知，所以二面角 为直二面角，即平面平面 【小问2详解】 由题意及（1）易知，AB，AC两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，，， 由（1）知平面，故平面的一个法向量是， 设是平面的一个法向量， 则有，取，可得 设平面与平面夹角为， 所以， 则平面与平面夹角的大小为. 18. 某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. （1）求顾客第2次取出红球的概率. （2）记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). （3）该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 【答案】（1） （2）10 （3）顾客甲应该选择新增抽奖方案，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）根据题意，写出离散型随机变量求出 的分布列，从而利用期望公式即可求解. （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元，写出离散型随机变量求出的分布列，求得关于的期望，比较即可. 【小问1详解】 设＂第1次取出红球＂为事件 ，则 ， 设＂第2次取出红球＂为事件 ， 若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ， 若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ， 由全概率公式得： 答：顾客第2次取出红球的概率为 . 【小问2详解】 由题意知， 的可能取值为0,20,40； ， ， 所以 的分布列为： 0 20 40 , 【小问3详解】 设顾客甲获得奖励的总金额为 元。 由题意， 的可能取值为。 ， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 6 12 18 ， 因为 ， 所以顾客甲应该选择新增抽奖方案. 19. 已知双曲线E的方程为，是一个定点． （1）若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率； （2）若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点． （i）当M是的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程； （ii）当时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】第（1）问将点M代入双曲线的渐近线中求出关系，再结合离心率公式求出离心率；第（2）问先设P，Q两点坐标和将M代入双曲线方程中，在（i）问中运用重心公式和斜率求出关系，从而求出双曲线方程；在（ii）问主要设直线PQ的方程，并与双曲线的方程联立，进行化简看是否能求出一个定圆. 【小问1详解】 双曲线E的渐近线方程为，若点M在双曲线E的渐近线上， 则，所以； 【小问2详解】 设P，Q的坐标分别为，，因为点M在双曲线E上， 所以， （i）因为P，Q在双曲线E上，所以， 作差可得，即， 因为M是的重心，所以 ，即，， 又因为直线PQ的斜率为2，所以 ，即， 代入解得， 所以双曲线E的方程为； （ii）因为，当直线PQ不垂直于y轴，设直线PQ的方程为， 代入，化简得 ， 所以， 因为，所以，即， 即 ， 化简得 ， 所以原点到直线PQ的距离 ，存在定圆与直线PQ相切； 当直线PQ垂直于y轴，易得，直线PQ也与该圆相切； 所以存在定圆与直线PQ相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新安中学（集团）燕川中学2025-2026学年度第二学期 高考考前适应性考试 数学试卷 2026.05.25 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则＝（ ） A. B. 1 C. D. 3 4. 已知向量 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 （ ） A. B. C. 5 D. 10 5. 已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在一次数学测试中，某校学生的数学成绩与人数占比如图所示.如果学生甲在这次数学测试中得了110分，那么学生甲的成绩可能是（ ） A. 40%分位数 B. 60%分位数 C. 75%分位数 D. 85%分位数 8. 当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（ ）. A. ①②④ B. ②③④ C. ①④ D. ①② 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列的前n项和为．下列说法正确的是（） A. 若是等差数列，且，，则公差为2 B. 若，，则数列是等差数列 C. 若是等比数列，且，公比，，则 D. 若是等比数列，且，则公比为 10. 已知角的始边为轴的非负半轴，终边过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（   ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为1 D. 双曲线的离心率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若直线与曲线相切，则实数的值为___________. 13. 在中，，，，则__________. 14. 某市为迎接即将到来的省辩论大赛，准备在全市高中生范围内选择成员，经过第一轮比赛，9人脱颖而出，其中5名女生，4名男生，并且男生和女生中各有一名参加过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛，若至少有1名参加过去年比赛的被选中条件下，两名去年参赛的都被选中的概率是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且． （1）求的通项公式； （2）设函数，求． 16. 已知函数，为的导函数． （1）求的单调区间； （2）记，．当时，证明：． 17. 如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为圆柱的一条母线，为的中点，且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的大小. 18. 某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. （1）求顾客第2次取出红球的概率. （2）记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). （3）该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 19. 已知双曲线E的方程为，是一个定点． （1）若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率； （2）若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点． （i）当M是的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程； （ii）当时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $