三角函数的方法体系（上）图象与变换 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数图象与性质核心考点，涵盖由图象求解析式、图象变换、周期性与奇偶性三大模块，按知识点梳理-方法突破-真题演练逻辑架构，通过三步定参数、平移伸缩规律总结等策略，结合各地模拟真题讲解，帮助学生构建系统知识网络。 讲义创新采用“问题-方法-应用”教学链，如由图象求解析式强调“先A后ω再φ”顺序，培养数学思维的严谨性，通过分层练习（单选、多选、解答）适配不同学情，助力学生在有限时间内掌握高考高频题型解法，为教师把控复习节奏提供精准教学资源。

三角函数的图象与性质（上） 图象与变换 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点五　由图象求解析式 正弦型函数的一般形式是 ，四个参数各有几何含义： 是振幅， 是平衡位置的高度（图象上下平移量）， 决定周期， 是初相。 读图的顺序固定为三步。 第一步求 与 ：，。若图象关于 轴对称（最高点与最低点互为相反数），则 、 就是最高点的纵坐标。 第二步求 ：先读周期，再由公式换算。图上几段常用的距离要记牢： 相邻最高点与相邻最低点的横坐标之差等于 ；相邻两个零点之差也等于 ；相邻零点与峰值点之差等于 。 读出 后，（正弦余弦）或 （正切），由此解出 。题目通常给 ，若没给要讨论正负。 第三步求 ：挑一个特殊点代入。选点优先级是「最高点 最低点 与 轴的交点 其他零点」，因为最高点对应 ，只有一个方程要解，不必讨论两个分支。 ⚠ 代完特殊点得到的是 的通解（含 ），要用题目给的 、 这类范围把它筛成唯一值。 ★ 三步的顺序不能颠倒： 和 没定下来就代点， 一定算错，而且错误会带到后面所有小问。 知识点六　图象变换 所有变换都作用在「」或「」本身，理解这一点就不会记错方向。 左右平移：， 时图象左移 个单位（左加右减）。上下平移：， 时上移 。 ⚠ 当 前面有系数时，平移量要按「 本身的变化量」算。把 的图象右移 ，做法是把括号里的 换成 ： 。右移量是 而不是 。 横向伸缩：（）表示横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变。纵向伸缩： 表示纵坐标变为原来的 倍。 ★ 由 得到 ，两条路线都通，但平移量不同： 路线一（先平移后伸缩）：左移 得 ，再横坐标缩为 得 ； 路线二（先伸缩后平移）：先横坐标缩为 得 ，再左移 才得到同一个结果。 两条路线的平移量相差一个 倍，混着用必错。稳妥做法是每一步都把当步的解析式写出来。 ⚠ 为负时先化正（利用 ），再讨论平移与伸缩，否则方向会判反。 ★ 判断两个函数能否由平移相互得到，只需比较：振幅是否相同、 是否相同、相位差是否是 的整数倍。三条都满足才能重合。 知识点七　周期性与奇偶性 周期的定义：存在非零常数 ，使对定义域内一切 都有 。最小正周期是其中最小的正数。 ★ 常用周期公式： 与 的最小正周期为 ； 的最小正周期为 。正切的周期是正弦、余弦的一半，这一条与它的定义域（每隔 出现一次间断点）相配。 ★ 两处会让周期改变的地方： 一是加绝对值： 的最小正周期是 ，等于原来的一半——原图中 轴下方的部分被翻折到上方，图形重复得更快； 二是取平方： 用降幂公式化成 ，角频率翻倍，所以周期也减半，为 。 多个函数相加时，若各自的周期分别是 ，则和的周期也是 ；若周期不同，需找它们的最小公倍数型周期（高中阶段只需判断是不是周期函数）。 ★ 奇偶性由初相决定。以 为例： 它是奇函数当且仅当 （此时 ）； 它是偶函数当且仅当 （此时 ）。余弦函数把这两个条件对调。 ★「平移后成为奇函数（或偶函数）」的做法：先写出 的相位 ，把 整体当作新的初相，再令它等于 （要奇函数）或 （要偶函数），解出 。 ★ 判断周期先看三样：有没有绝对值、有没有平方、是不是正切。这三样都会让「」失效。 二、方法突破 方法五　由图象求解析式 给一段图象求 ，固定三步：定 、定 、定 。 第一步定 ：看图上的最高点与最低点。最高点的纵坐标就是 （若图象上下平移过，则 等于最高点与最低点之差的一半）。 第二步定 ：先读周期。相邻的最高点与最低点的横坐标之差是半个周期，相邻的两个零点之差也是半个周期，相邻的「零点到峰值」之差是四分之一周期。读出 后由 得 。 第三步定 ：挑一个特殊点代入。优先用最高点或最低点（此时 或 ），比用零点省事。 ⚠ 若题目给了 这类范围，代完特殊点后要用这个范围筛掉多出来的解，别把 取错。 ★ 顺序不能乱：先 再 最后 。 没定下来就去代点， 一定算错。 例题 例 5-1 （2025届山东省威海市高三模拟考试数学试题 · 第9题） 【多选】函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上的值域为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于原点对称 【解析】 第 1 步　定 、、 的固定顺序：先 、再 、最后 ◈ 看峰值与谷值的纵坐标； 看横向间隔——相邻零点之差是 ，零点到相邻峰值之差是 ，相邻峰谷之差也是 ； 靠代一个特殊点。顺序不能颠倒： 还没定，代点求出的 一定是错的。另外记住「峰值处相位是 」，用峰值代点比用零点代点少一步「上升还是下降」的判断。 答　AD 例 5-2 （2025届福建省厦门市高三二模数学试题 · 第9题） 【多选】已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当时，的图象与轴有2个交点 【解析】 第 1 步　用「峰谷横坐标之差等于半周期」定 ，比用零点更少出错 ◈ 零点分两种：上升穿过与下降穿过。两个相邻的零点未必相隔半个周期——紧挨着的上升零点与下降零点之间只隔四分之一周期。峰值与谷值一定是相邻的极值点，横坐标之差稳定地等于 ，读图时优先找它们。D 项这类「某区间上有几个零点」的问题，最后都落在解一个关于 的整数不等式上，数清整数个数即可。 答　AD 例 5-3 （湖北省华大新高考联盟2025届高三下学期3月教学质量测评数学试题 · 第9题） 【多选】已知函数的部分图象如图所示，其中，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 在上单调递减 D. 在上有6个零点 【解析】 第 1 步　余弦型要先判断零点是「上升零点」还是「下降零点」 ◈ 余弦在相位为 处下降地穿过 轴，在 （也写成 ）处上升地穿过。看零点两侧的走势就能分辨，这一步决定了 会不会差一个 。B 项用「函数值是否相等」考对称性，把两个横坐标化到同一周期内再比较最省事。 答　AD 练习 5-1. 【单选】已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5-2. 【多选】已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 图象的一个对称中心为 C. 当函数取得最大值时，， D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象 5-3. 【多选】已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数 5-4. 【单选】已知函数的部分图象如图所示，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5-5. 【填空】已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则__________. 5-6. 【填空】用一张纸围绕半径为的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示设圆柱体母线与截面的夹角为，如图②将其中一段圆柱体外包裹的纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为，若的最小正周期为，则__________此时，若再有，则__________． 5-7. 【单选】已知函数 （，）的部分图象如图所示，图象经过最高点 和零点 ，则 （　） A. B. C. D. 5-8. 【单选】已知函数 的图象如图所示，则 （　） A. B. C. D. 5-9. 【单选】已知函数 的部分图象如图所示，则（　） A. 的单调递减区间为 （） B. 将 的图象向右平移 个单位长度，所得图象关于 轴对称 C. 将 的图象向左平移 个单位长度，所得图象关于 轴对称 D. 将 的图象向左平移 个单位长度，所得图象关于原点对称 5-10. 【多选】已知函数 的部分图象如图所示，则（　） A. B. 函数 的最大值为 C. 函数 的图象关于点 对称 D. 方程 在区间 上恰有 个实数根 5-11. 【解答】已知函数 （）在一个周期内的图象如图所示， 为图象的最高点，，， 为图象与 轴的交点，且 为等腰直角三角形．（1）求 的解析式，及 为偶函数时的最小正实数 ；（2）求 的值． 方法六　图象变换 两句话概括所有变换：左右平移是「左加右减」，但加减的是 本身；横坐标伸缩是「变为原来的 倍」。 ⚠ 最容易错的地方在这里： 往右平移 ，得到的是 ，平移量带的是 不是 。口诀是把括号里的 换成 。 ★ 先平移后伸缩，与先伸缩后平移，平移量不一样。同样是「由 得到 」： 先平移再伸缩：先左移 得 ，再横坐标缩为原来的一半得 ； 先伸缩再平移：先缩为一半得 ，再左移 （不是 ）才得到同样的结果。 两条路线都通，但混着用就会多移一倍或少移一半。稳妥的做法是把每一步的解析式写出来，再算下一步。 ★ 判断两个函数能否由平移相互得到，只看两点：一是 相同、 相同，二是相位差是常数的整数倍关系。 例题 例 6-1 （安徽省合肥市2024-2025学年高三下学期第二次教学质量检测数学试卷 · 第10题） 【多选】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 与的图象关于直线对称 B. 与的图象关于点对称 C. 当时， D. 当时，与的图象恰有4个交点 【解析】 第 1 步　两曲线的关系一律先算 或 ，把问题化成三角等式 ◈ 平移之后的相对位置只体现在差式与和式上： 恒为 说明两曲线重合； 关于 为奇函数说明两曲线关于直线 对称； 关于 为奇函数说明两曲线关于点 对称。本题 一步就把它化了，C、D 两问随之变成解 与 。平移量无论多大都只是「把 换成 」，不必逐段想象图象。 答　ACD 例 6-2 （湖北省黄冈市2026届高三上学期九月调研考试数学试题 · 第6题） 【单选】已知函数，分别为的图象两条相邻对称轴上的动点，向量，，为得到函数的图象，需要将的图象（ ） A. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度 D. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 【解析】 第 1 步　「两条相邻对称轴上的动点」要翻译成「横向距离不超过半个周期」 ◈ 动点在轴上滑动，所以它们的横向距离 取值范围是 ，题意给出的是定量 ，只能是取到最大值时的情况，于是 。这类「用向量数量积表示距离」的题，关键在于 时数量积就是横坐标之差的 倍。平移量求出通解 后，选最小正值即可与选项对应。 答　B 例 6-3 （江西省萍乡市2024-2025学年高三下学期一模数学试题 · 第6题） 【单选】将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，设，则在内的极大值点为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　两步变换分开算，每步都写成「把 换成什么」 ◈ 平移与伸缩的先后顺序会改变平移量，所以务必分步写：第一步只做平移，第二步只做伸缩，每一步都明确「 被换成了谁」。本题的次序是「先平移、后伸缩」，伸缩时把 换成 ，落在 上就是 ，得到 。后面求 的极值点，用的是「导数零点 + 二阶导数定号」这套标准流程，不要只看 就下结论，极值点与驻点不是一回事。 答　A 练习 6-1. 【多选】已知函数，函数的图象由的图象向左平移个单位得到，则（ ） A. 与在上有相同的单调性 B. 的图象关于直线对称 C. 设，则的一个对称中心为 D. 当时，与的图象有6个交点 6-2. 【多选】将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 6-3. 【单选】将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 16 6-4. 【单选】若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（ ） A. B. C. 2 D. 6-5. 【单选】已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6-6. 【多选】已知函数 的部分图象如图所示，将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 后，再将所得图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则（　） A. B. C. 图象的对称轴方程为 （） D. 的单调递增区间为 （） 方法七　周期性与奇偶性 周期公式要分清： 与 的周期是 ； 的周期是 。 ★ 加了绝对值，周期可能减半： 与 的周期是 ，因为原来在 轴下方的部分被翻上来，图形重复得更快。 奇偶性看初相，以 为例： 它是奇函数当且仅当 ，是偶函数当且仅当 。前者让 ，后者让 。余弦情形把两者对调。 ★ 「平移后成为奇函数（或偶函数）」是高频考法，做法是先把平移写进去，再令常数项满足条件：把 的相位整理成 ，然后要求这个新的初相是 （奇）或 （偶）。 ★ 求周期时先看有没有绝对值、有没有平方，这两样都会改变周期，不能直接套 。 例题 例 7-1 （2025届山东省济南市高三高考针对性训练（三模）数学试题 · 第10题） 【多选】已知偶函数的最小正周期为，下列说法正确的是（ ） A. 在单调递减 B. 直线是曲线的一条对称轴 C. 直线是曲线的一条切线 D. 若函数在上恰有三个零点、三个极值点，则 【解析】 第 1 步　「偶函数」在正弦型函数上就是「相位常数等于 」 ◈ 是奇函数当且仅当 ，是偶函数当且仅当 。题目若给的是 的形式，先用辅助角合并成单一正弦，再套这条判据。D 项这类「区间内有几个零点、几个极值点」的问题，关键是写出零点与极值点的通项公式，再让「第 个落在区间内、第 个落在区间外」，四个不等式联立求交集——端点是否取到全靠不等式里带不带等号。 答　ACD 例 7-2 （2026届浙江省台州市椒江区等5地高三一模数学试题 · 第15题） 【解答】已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若函数为偶函数，其中，求的最小值. 【解析】 第 1 步　「 为偶函数」是「平移后成为偶函数」的标准题型 ◈ 做法只有两步：先把 代进去，把相位整理成 ；再让新的常数部分满足奇偶性条件（偶函数取 ，奇函数取 ）。解出的 是一族值，题目问「最小正值」就取 对应的那个。化简时先把 、 凑齐再合并，比直接对 用二倍角更省事。 答　（1）；（2） 例 7-3 （江西省上饶市余干县2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题 · 第10题） 【多选】已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递减 B. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5 C. 若函数的最小正周期为，则 D. 当时，若关于的方程的两个不相等实根为，，则 【解析】 第 1 步　 型先化成 ，后面的判断都靠它 ◈ 本题四个选项分别考单调性、平移、加绝对值后的周期、方程两根的最小间距，但入口只有一个——把 合并成单一三角函数。B 项用的是「两个同频函数相等 相位常数差 」；C 项提醒一件事：加绝对值会让周期减半， 的周期是原来的一半。D 项算完通解后，务必把解集写全再找最小间距，漏掉「」这一族就会把答案判成正确。 答　AB 练习 7-1. 【单选】函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 7-2. 【填空】若函数在区间上单调，且，则正数的值为________． 7-3. 【多选】关于函数 ，以下结论正确的有（　） A. 的图象是轴对称图形 B. 的最大值为 C. 是以 为一个周期的周期函数 D. 在 上有 个零点 7-4. 【多选】已知函数 ，则（　） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在 上单调递增 D. 的最小值为 7-5. 【多选】已知函数 ，则（　） A. 为偶函数 B. 在 上单调递增 C. 的最小正周期是 D. 的一条对称轴为 7-6. 【多选】已知函数 ，则（　） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 在 上单调递增 D. 值域为 7-7. 【多选】已知函数 ，则（　） A. 是 的一个周期 B. 是 图象的一条对称轴 C. 的最大值为 D. 在 内单调递减 7-8. 【多选】我们称 为正割函数， 为余割函数，设函数 ，则（　） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点 对称 D. 的值域为 7-9. 【多选】函数 ，则（　） A. 是偶函数 B. 在区间 单调递减 C. 在 有 个零点 D. 的最大值为 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的图象与性质（上） 图象与变换 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点五　由图象求解析式 正弦型函数的一般形式是 ，四个参数各有几何含义： 是振幅， 是平衡位置的高度（图象上下平移量）， 决定周期， 是初相。 读图的顺序固定为三步。 第一步求 与 ：，。若图象关于 轴对称（最高点与最低点互为相反数），则 、 就是最高点的纵坐标。 第二步求 ：先读周期，再由公式换算。图上几段常用的距离要记牢： 相邻最高点与相邻最低点的横坐标之差等于 ；相邻两个零点之差也等于 ；相邻零点与峰值点之差等于 。 读出 后，（正弦余弦）或 （正切），由此解出 。题目通常给 ，若没给要讨论正负。 第三步求 ：挑一个特殊点代入。选点优先级是「最高点 最低点 与 轴的交点 其他零点」，因为最高点对应 ，只有一个方程要解，不必讨论两个分支。 ⚠ 代完特殊点得到的是 的通解（含 ），要用题目给的 、 这类范围把它筛成唯一值。 ★ 三步的顺序不能颠倒： 和 没定下来就代点， 一定算错，而且错误会带到后面所有小问。 知识点六　图象变换 所有变换都作用在「」或「」本身，理解这一点就不会记错方向。 左右平移：， 时图象左移 个单位（左加右减）。上下平移：， 时上移 。 ⚠ 当 前面有系数时，平移量要按「 本身的变化量」算。把 的图象右移 ，做法是把括号里的 换成 ： 。右移量是 而不是 。 横向伸缩：（）表示横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变。纵向伸缩： 表示纵坐标变为原来的 倍。 ★ 由 得到 ，两条路线都通，但平移量不同： 路线一（先平移后伸缩）：左移 得 ，再横坐标缩为 得 ； 路线二（先伸缩后平移）：先横坐标缩为 得 ，再左移 才得到同一个结果。 两条路线的平移量相差一个 倍，混着用必错。稳妥做法是每一步都把当步的解析式写出来。 ⚠ 为负时先化正（利用 ），再讨论平移与伸缩，否则方向会判反。 ★ 判断两个函数能否由平移相互得到，只需比较：振幅是否相同、 是否相同、相位差是否是 的整数倍。三条都满足才能重合。 知识点七　周期性与奇偶性 周期的定义：存在非零常数 ，使对定义域内一切 都有 。最小正周期是其中最小的正数。 ★ 常用周期公式： 与 的最小正周期为 ； 的最小正周期为 。正切的周期是正弦、余弦的一半，这一条与它的定义域（每隔 出现一次间断点）相配。 ★ 两处会让周期改变的地方： 一是加绝对值： 的最小正周期是 ，等于原来的一半——原图中 轴下方的部分被翻折到上方，图形重复得更快； 二是取平方： 用降幂公式化成 ，角频率翻倍，所以周期也减半，为 。 多个函数相加时，若各自的周期分别是 ，则和的周期也是 ；若周期不同，需找它们的最小公倍数型周期（高中阶段只需判断是不是周期函数）。 ★ 奇偶性由初相决定。以 为例： 它是奇函数当且仅当 （此时 ）； 它是偶函数当且仅当 （此时 ）。余弦函数把这两个条件对调。 ★「平移后成为奇函数（或偶函数）」的做法：先写出 的相位 ，把 整体当作新的初相，再令它等于 （要奇函数）或 （要偶函数），解出 。 ★ 判断周期先看三样：有没有绝对值、有没有平方、是不是正切。这三样都会让「」失效。 二、方法突破 方法五　由图象求解析式 给一段图象求 ，固定三步：定 、定 、定 。 第一步定 ：看图上的最高点与最低点。最高点的纵坐标就是 （若图象上下平移过，则 等于最高点与最低点之差的一半）。 第二步定 ：先读周期。相邻的最高点与最低点的横坐标之差是半个周期，相邻的两个零点之差也是半个周期，相邻的「零点到峰值」之差是四分之一周期。读出 后由 得 。 第三步定 ：挑一个特殊点代入。优先用最高点或最低点（此时 或 ），比用零点省事。 ⚠ 若题目给了 这类范围，代完特殊点后要用这个范围筛掉多出来的解，别把 取错。 ★ 顺序不能乱：先 再 最后 。 没定下来就去代点， 一定算错。 例题 例 5-1 （2025届山东省威海市高三模拟考试数学试题 · 第9题） 【多选】函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在上的值域为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于原点对称 【解析】 图上两个关键位置：曲线在 处自下而上穿过 轴，在 处取到最高点，纵坐标是 。 第一步定 ：最高点的纵坐标为 ，故 。 第二步定 ：零点到相邻峰值之间的横向距离是四分之一周期，从 到 正好是 ，于是 第三步定 ：最高点处的相位是 ，代入 ： 所以 。（用零点校验：，吻合。） 下面逐项检验。 A 项：对称轴满足 ，即 。把 代入，，是 的整数倍，所以 是一条对称轴。A 正确。 B 项： 时 。正弦在这段上先增到 （在 处取到），再减到 ，所以 ，不是 。B 错误。 C 项： 时 。正弦在这段上先减到 再增，不是单调递增。C 错误。 D 项：把 代进去， 这是奇函数，图象关于原点对称。D 正确。 选 AD。 第 1 步　定 、、 的固定顺序：先 、再 、最后 ◈ 看峰值与谷值的纵坐标； 看横向间隔——相邻零点之差是 ，零点到相邻峰值之差是 ，相邻峰谷之差也是 ； 靠代一个特殊点。顺序不能颠倒： 还没定，代点求出的 一定是错的。另外记住「峰值处相位是 」，用峰值代点比用零点代点少一步「上升还是下降」的判断。 答　AD 例 5-2 （2025届福建省厦门市高三二模数学试题 · 第9题） 【多选】已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当时，的图象与轴有2个交点 【解析】 图给出相邻的峰值与谷值：最高点 ，最低点 。 最高点与最低点的横坐标之差是半个周期： 峰值处的相位是 ，于是 由 得 。所以 。 A 项 ，正确；B 项 ，错误。 C 项： 这是偶函数，不是奇函数。C 错误。 D 项：零点满足 ，即 。要求它落在 上： 整数 只有 、 两个，对应 与 ，所以图象与 轴恰有 个交点。D 正确。 选 AD。 第 1 步　用「峰谷横坐标之差等于半周期」定 ，比用零点更少出错 ◈ 零点分两种：上升穿过与下降穿过。两个相邻的零点未必相隔半个周期——紧挨着的上升零点与下降零点之间只隔四分之一周期。峰值与谷值一定是相邻的极值点，横坐标之差稳定地等于 ，读图时优先找它们。D 项这类「某区间上有几个零点」的问题，最后都落在解一个关于 的整数不等式上，数清整数个数即可。 答　AD 例 5-3 （湖北省华大新高考联盟2025届高三下学期3月教学质量测评数学试题 · 第9题） 【多选】已知函数的部分图象如图所示，其中，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 在上单调递减 D. 在上有6个零点 【解析】 图上 、 是相邻的两个零点，中间夹着一个最低点，所以它们相隔半个周期： 再定 。曲线经过 时是从正值穿过 轴往下的（ 之后是谷值），这是余弦的下降零点，对应相位 ： 取 ，于是 。 A 项 ，正确。 B 项： 而 两者相等，所以说「」是错的。B 错误。 C 项： 时 。余弦在 上递减、在 上递增，这段区间跨过了 ，所以不是单调递减。C 错误。 D 项：零点满足 ，即 。在 上依次为 共 个；下一个是 ，已超出区间。D 正确。 选 AD。 第 1 步　余弦型要先判断零点是「上升零点」还是「下降零点」 ◈ 余弦在相位为 处下降地穿过 轴，在 （也写成 ）处上升地穿过。看零点两侧的走势就能分辨，这一步决定了 会不会差一个 。B 项用「函数值是否相等」考对称性，把两个横坐标化到同一周期内再比较最省事。 答　AD 练习 5-1. 【单选】已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 解析　答：A 图上最高点 ，最低点 。 由最高点的纵坐标得 ；由峰谷横坐标之差是半周期： 峰值处相位为 ： 取 （符合 ）， 于是 选 A。 5-2. 【多选】已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 图象的一个对称中心为 C. 当函数取得最大值时，， D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象 解析　答：BD 最低点的纵坐标是 ，且 ，所以 。 零点 到谷值 之间隔了四分之三个周期： 谷值处相位为 ： 取 （符合 ）， A 项： 时 ，正弦先增后减，不是单调递增。A 错误。 B 项：，说明 是零点，故 是图象的对称中心。B 正确。 C 项：取得最大值的条件是 ，即 ，而不是 。C 错误。 D 项： 是偶函数。D 正确。 选 BD。 5-3. 【多选】已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则是区间上的增函数 解析　答：ACD 图上最低点横坐标 ，最高点横坐标 ，两者相差半个周期： 最低点处相位为 ： 取 （符合 ）， A 项 ，正确；B 项 ，错误。 C 项： 相位是 的整数倍，函数值为 ，所以 是对称中心。C 正确。 D 项：横坐标伸长为原来的 倍，相当于把 换成 ： 当 时 ，而正弦在 上递增，本题的区间含在其中，所以 是增函数。D 正确。 选 ACD。 5-4. 【单选】已知函数的部分图象如图所示，若，则等于（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 设周期为 。 是峰值 之前相邻的那个零点，所以 的横坐标比 大 ；、 是相邻的最高点与最低点，横坐标相差 。于是 条件 写成 即 （，负根舍去。）于是 选 B。 5-5. 【填空】已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则__________. 解析　答： 函数写成 ，平衡位置是直线 ，也就是图上标注 的那条水平线。 、 是曲线与 的交点，对应 ，且两处都是上升穿过，所以 比 晚整整一个周期：。 是最高点，纵坐标 ，横坐标 ； 是最低点，纵坐标 ，横坐标 。 四点共圆，圆心必在对称轴 上，设圆心 。由 ： 两边约去 ，得 。两式相等只有两种可能：括号内相同（不可能），或互为相反数，于是 也就是说圆心恰好在平衡直线 上。 再由 ： 所以 填 。 5-6. 【填空】用一张纸围绕半径为的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示设圆柱体母线与截面的夹角为，如图②将其中一段圆柱体外包裹的纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为，若的最小正周期为，则__________此时，若再有，则__________． 解析　答：①. 1 ②. 第一空。把纸展开后，横向的坐标就是绕圆柱走过的弧长。绕一圈的弧长为 ，而曲线恰好走完一个完整周期，所以 。题给最小正周期 ，于是 第二空。曲线的振幅是 ，峰到谷的落差是 。展开图上横向是弧长、纵向是沿母线的位移；截平面与母线的夹角为 ，意味着沿母线每前进 ，截口在竖直方向上就上升 。从最高点到最低点，竖直方向的变化量是圆柱的直径 ，对应的沿母线前进距离就是 ，它等于展开图上的落差 ： 把 、 代入： 由 得 填 与 。 5-7. 【单选】已知函数 （，）的部分图象如图所示，图象经过最高点 和零点 ，则 （　） A. B. C. D. 解析　答：B 图上给出两个关键位置：最高点 ，以及 处曲线自下而上穿过 轴。 余弦的最高点处相位为 ，上升零点处相位为 ，于是 两式相减，左端为 ，于是 取 得 ，（取 会使 ，不合题意）。 再由最高点定 ： 由 得 ，所以 。 校验零点的走向： 且该处相位为 ，是上升零点，与图一致。 于是 选 B。 5-8. 【单选】已知函数 的图象如图所示，则 （　） A. B. C. D. 解析　答：A 图上最高点是 ，曲线在 处经过 。 由最高点的纵坐标得 。 峰值处相位为 ： 处在下降段上（它之后还要经过谷值再升到峰值），此时 且余弦为正，相位取 ： 两式相减，左端为 ，于是 取 得 ；取更大的 会得到 、 等，与图上只有一个完整波峰相符的只有 。 回代求 ： 取 得 ，符合 。所以 校验两个已知点： 都与图吻合。于是 选 A。 5-9. 【单选】已知函数 的部分图象如图所示，则（　） A. 的单调递减区间为 （） B. 将 的图象向右平移 个单位长度，所得图象关于 轴对称 C. 将 的图象向左平移 个单位长度，所得图象关于 轴对称 D. 将 的图象向左平移 个单位长度，所得图象关于原点对称 解析　答：D 图上有两个可以直接读出的信息：曲线与 轴交于 ，以及 处曲线自上而下穿过 轴。 先定 ： 由 得 。此时在 处相位为 ，曲线正在上升，与图上「过 后继续升高」一致。 再定 。 是下降零点，相位为 ： 所以 。 A 项：递减区间由 解出： 而选项给的是 ，右端点应为 ，不是 。A 错误。 B 项：向右平移 ： 这是奇函数，图象关于原点对称而不是关于 轴对称。B 错误。 C 项：向左平移 ： 既不是奇函数也不是偶函数，图象不关于 轴对称。C 错误。 D 项：向左平移 ： 是奇函数，图象关于原点对称。D 正确。 选 D。 5-10. 【多选】已知函数 的部分图象如图所示，则（　） A. B. 函数 的最大值为 C. 函数 的图象关于点 对称 D. 方程 在区间 上恰有 个实数根 解析　答：ABD 图上 是最高点， 是最低点。最高点与最低点纵坐标之差的一半是振幅，之和的一半是纵向平移量： 最高点与最低点的横坐标之差是半个周期： 峰值处相位为 ： 取 ，于是 。A 正确。 B 项： 即 最大值为 。B 正确。 C 项：若图象关于点 对称，应满足 。而 所以 ，图象不过该点。C 错误。 D 项： 即 于是 或 ，解得 在 上共有四个根： D 正确。 选 ABD。 5-11. 【解答】已知函数 （）在一个周期内的图象如图所示， 为图象的最高点，，， 为图象与 轴的交点，且 为等腰直角三角形．（1）求 的解析式，及 为偶函数时的最小正实数 ；（2）求 的值． 解析　答：（1），；（2） 先用积化和差把解析式化简： 所以 ，周期 ，最高点的纵坐标为 。 （1）设 的横坐标为 。、 是 两侧相邻的零点，横坐标分别为 与 ，所以 ，且 到 的距离为 。 是等腰直角三角形且直角在 ，斜边上的高等于斜边的一半： 于是 ，， 再看 ： 它是偶函数当且仅当相位中的常数部分是 ： 最小正实数 。 （2）零点由 解出，即 ，相邻三个零点是 最高点 在 处，即 ，故 。 于是 答：（1），；（2）。 方法六　图象变换 两句话概括所有变换：左右平移是「左加右减」，但加减的是 本身；横坐标伸缩是「变为原来的 倍」。 ⚠ 最容易错的地方在这里： 往右平移 ，得到的是 ，平移量带的是 不是 。口诀是把括号里的 换成 。 ★ 先平移后伸缩，与先伸缩后平移，平移量不一样。同样是「由 得到 」： 先平移再伸缩：先左移 得 ，再横坐标缩为原来的一半得 ； 先伸缩再平移：先缩为一半得 ，再左移 （不是 ）才得到同样的结果。 两条路线都通，但混着用就会多移一倍或少移一半。稳妥的做法是把每一步的解析式写出来，再算下一步。 ★ 判断两个函数能否由平移相互得到，只看两点：一是 相同、 相同，二是相位差是常数的整数倍关系。 例题 例 6-1 （安徽省合肥市2024-2025学年高三下学期第二次教学质量检测数学试卷 · 第10题） 【多选】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 与的图象关于直线对称 B. 与的图象关于点对称 C. 当时， D. 当时，与的图象恰有4个交点 【解析】 先写出 。向左平移 就是把 换成 ： 把两者相减，用和差化积： 即 ，这个差式是判断后面四问的钥匙。 A 项：两条曲线关于直线 对称，等价于 对一切 成立。记 ，上式即 ，也就是说 关于 为奇函数。代入并移项： 和差化积： 要对一切 成立，只能 ，即 取 得 ，所以 确是一条对称轴。A 正确。 B 项：关于点 对称，等价于 。而 要求 对一切 成立，化积得 ，故 ，。而 不在这串值里，B 错误。 C 项：由 ，条件 等价于 。当 时， 即 的终边落在第二、三象限，余弦为负。C 正确。 D 项：交点由 给出，即 要求在 上： 整数 共 个，两个图象恰有 个交点。D 正确。 选 ACD。 第 1 步　两曲线的关系一律先算 或 ，把问题化成三角等式 ◈ 平移之后的相对位置只体现在差式与和式上： 恒为 说明两曲线重合； 关于 为奇函数说明两曲线关于直线 对称； 关于 为奇函数说明两曲线关于点 对称。本题 一步就把它化了，C、D 两问随之变成解 与 。平移量无论多大都只是「把 换成 」，不必逐段想象图象。 答　ACD 例 6-2 （湖北省黄冈市2026届高三上学期九月调研考试数学试题 · 第6题） 【单选】已知函数，分别为的图象两条相邻对称轴上的动点，向量，，为得到函数的图象，需要将的图象（ ） A. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再向下平移3个单位长度 D. 先向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度 【解析】 先定 。两条相邻对称轴之间的距离是半个周期 ，当 、 取在同一水平线上时， 取到最大值 。又 ，所以 其绝对值的最大值为 。题给 ，故 于是 再看平移。设向右平移 后向上平移 ： 要与 一致，比较相位： 取 得最小正平移量 ，即向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度。 选 B。 第 1 步　「两条相邻对称轴上的动点」要翻译成「横向距离不超过半个周期」 ◈ 动点在轴上滑动，所以它们的横向距离 取值范围是 ，题意给出的是定量 ，只能是取到最大值时的情况，于是 。这类「用向量数量积表示距离」的题，关键在于 时数量积就是横坐标之差的 倍。平移量求出通解 后，选最小正值即可与选项对应。 答　B 例 6-3 （江西省萍乡市2024-2025学年高三下学期一模数学试题 · 第6题） 【单选】将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，设，则在内的极大值点为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第一步，向右平移 ，把 换成 ： 第二步，横坐标变为原来的 倍，相当于把 换成 ： 于是 求极值点： 在 内解为 。再判极大还是极小： 取 时 ，是极大值点； 取 时 ，是极小值点。 所以极大值点为 ，选 A。 第 1 步　两步变换分开算，每步都写成「把 换成什么」 ◈ 平移与伸缩的先后顺序会改变平移量，所以务必分步写：第一步只做平移，第二步只做伸缩，每一步都明确「 被换成了谁」。本题的次序是「先平移、后伸缩」，伸缩时把 换成 ，落在 上就是 ，得到 。后面求 的极值点，用的是「导数零点 + 二阶导数定号」这套标准流程，不要只看 就下结论，极值点与驻点不是一回事。 答　A 练习 6-1. 【多选】已知函数，函数的图象由的图象向左平移个单位得到，则（ ） A. 与在上有相同的单调性 B. 的图象关于直线对称 C. 设，则的一个对称中心为 D. 当时，与的图象有6个交点 解析　答：ACD 先写出 。向左平移 ： A 项：当 时， 两段都落在正弦的递减区间 内，所以 、 在这段上都是递减的，单调性相同。A 正确。 B 项： 的对称轴满足 ，即 与选项给的 相差 。B 错误。 C 项：注意到 于是 正切函数的对称中心满足 ，即 取 得 ，故 是它的一个对称中心。C 正确。 D 项：。再看 交点个数由 决定，即 ： 在 上， 给出 给出 共 个交点。D 正确。 选 ACD。 6-2. 【多选】将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 解析　答：ACD 横坐标伸长为原来的 倍，相当于把 换成 ： A 项： A 正确。 B 项：最小正周期 ，不是 。B 错误。 C 项：对称中心的横坐标满足 ，即 。取 得 ，故 是对称中心。C 正确。 D 项：对称轴满足 ，即 。取 得 所以 是一条对称轴。D 正确。 选 ACD。 6-3. 【单选】将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 16 解析　答：B 向左平移 ，把 换成 ： 所得图象关于原点对称，要求它是奇函数，即初相为 的整数倍： 在选项中检验： 不满足（ 型）； 满足； 不满足； 不满足。 所以 可以是 ，选 B。 6-4. 【单选】若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（ ） A. B. C. 2 D. 解析　答：A 先化简这个函数。对任意实数 都有 因为 时 ，而 时 ，故等于 。 所以 。 向右平移 后得 绝对值把负半周翻到上方，新图象的对称轴出现在相位取 或 的位置——合起来就是相位为 的位置。 要求图象关于 轴对称， 必须是一条对称轴： 取 得 ，正是选项 A。 检验 B： 时相位为 ，不是 ，图象不关于 轴对称。 选 A。 6-5. 【单选】已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 解析　答：C 逐个把表达式化到同一个基本函数上，再看能不能只靠平移重合。 A 项： 振幅是 ，与 的振幅 不同，平移改变不了振幅。A 不能重合。 B 项： 而 ，前者的周期是 、振幅 ，后者周期是 、振幅 ，振幅不同。B 不能重合。 C 项： 注意 ，把它们代进前一个式子： 也就是说， 就是 向左平移 得到的，只靠平移即可重合。C 正确。 D 项： 它与 之间隔着 的相位差，而这个相位差是加在整体上的： 要变成 ，需要把自变量 变号，单靠左右平移做不到。D 不能重合。 选 C。 6-6. 【多选】已知函数 的部分图象如图所示，将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 后，再将所得图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则（　） A. B. C. 图象的对称轴方程为 （） D. 的单调递增区间为 （） 解析　答：ABD 先由图求 。最低点的纵坐标是 且 ，故 。相邻零点 与 之间是半个周期： 处曲线是下降地穿过 轴的，对应余弦的相位 ： 取 （符合 ），所以 。A 正确。 再求 。横坐标缩短到原来的 ，把 换成 ： 再向右平移 ，把 换成 ： B 正确。 C 项： 的对称轴满足 ，即 选项写的是 ，把周期当成了半周期，多了 。C 错误。 D 项： 的定义中常数项为 ，余弦在 上递增，令 ： 解得 与选项一致。D 正确。 选 ABD。 方法七　周期性与奇偶性 周期公式要分清： 与 的周期是 ； 的周期是 。 ★ 加了绝对值，周期可能减半： 与 的周期是 ，因为原来在 轴下方的部分被翻上来，图形重复得更快。 奇偶性看初相，以 为例： 它是奇函数当且仅当 ，是偶函数当且仅当 。前者让 ，后者让 。余弦情形把两者对调。 ★ 「平移后成为奇函数（或偶函数）」是高频考法，做法是先把平移写进去，再令常数项满足条件：把 的相位整理成 ，然后要求这个新的初相是 （奇）或 （偶）。 ★ 求周期时先看有没有绝对值、有没有平方，这两样都会改变周期，不能直接套 。 例题 例 7-1 （2025届山东省济南市高三高考针对性训练（三模）数学试题 · 第10题） 【多选】已知偶函数的最小正周期为，下列说法正确的是（ ） A. 在单调递减 B. 直线是曲线的一条对称轴 C. 直线是曲线的一条切线 D. 若函数在上恰有三个零点、三个极值点，则 【解析】 先把两项合并成一个正弦： 偶函数要求这个正弦型函数不含一次项，即相位常数是 ： 由 得 。再由最小正周期为 ： 所以 A 项： 时 ，余弦在这段上单调递减。A 正确。 B 项： 处 ，，不是最值点，所以它不是对称轴。B 错误。 C 项：把直线改写成斜截式： 它的斜率是 。若它与曲线相切，切点处应有 ： 取 ，此时 ；而直线在 处的函数值为 切点相同、斜率相同，所以这条直线是曲线的一条切线。C 正确。 D 项：当 时 它的零点由 给出，即 ，极值点由 给出，即 。 在 上要有三个零点，需要 即 且 。 要有三个极值点，需要 即 且 。 两者取交集： D 正确。 选 ACD。 第 1 步　「偶函数」在正弦型函数上就是「相位常数等于 」 ◈ 是奇函数当且仅当 ，是偶函数当且仅当 。题目若给的是 的形式，先用辅助角合并成单一正弦，再套这条判据。D 项这类「区间内有几个零点、几个极值点」的问题，关键是写出零点与极值点的通项公式，再让「第 个落在区间内、第 个落在区间外」，四个不等式联立求交集——端点是否取到全靠不等式里带不带等号。 答　ACD 例 7-2 （2026届浙江省台州市椒江区等5地高三一模数学试题 · 第15题） 【解答】已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若函数为偶函数，其中，求的最小值. 【解析】 先用二倍角公式化简： 再合并成一个正弦： （1）最小正周期为 （2）把 代进去： 它是偶函数，等价于相位常数为 ： 由 ，取 得最小正值 答：（1）；（2） 的最小值为 。 第 1 步　「 为偶函数」是「平移后成为偶函数」的标准题型 ◈ 做法只有两步：先把 代进去，把相位整理成 ；再让新的常数部分满足奇偶性条件（偶函数取 ，奇函数取 ）。解出的 是一族值，题目问「最小正值」就取 对应的那个。化简时先把 、 凑齐再合并，比直接对 用二倍角更省事。 答　（1）；（2） 例 7-3 （江西省上饶市余干县2025届高三下学期第一次模拟考试数学试题 · 第10题） 【多选】已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递减 B. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为5 C. 若函数的最小正周期为，则 D. 当时，若关于的方程的两个不相等实根为，，则 【解析】 先把两项合并： A 项： 时 。当 时 ，余弦在这段上单调递减，所以 单调递减。A 正确。 B 项：向左平移 得 它要等于 ，两边的 系数相同，只需相位常数对应： 即 。取 得 是最小正值。B 正确。 C 项：，绝对值把负半周翻到上方，周期减半： 不是 。C 错误。 D 项： 时 。方程 即 ，于是 解得 例如 与 都是根（前者取第一族、后者取第二族），两者之差为 ，比 还小，所以 的最小值不是 。D 错误。 选 AB。 第 1 步　 型先化成 ，后面的判断都靠它 ◈ 本题四个选项分别考单调性、平移、加绝对值后的周期、方程两根的最小间距，但入口只有一个——把 合并成单一三角函数。B 项用的是「两个同频函数相等 相位常数差 」；C 项提醒一件事：加绝对值会让周期减半， 的周期是原来的一半。D 项算完通解后，务必把解集写全再找最小间距，漏掉「」这一族就会把答案判成正确。 答　AB 练习 7-1. 【单选】函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 分子分母同时用二倍角： 所以 ，它的最小正周期是 但要注意函数的定义域：原式要求 有意义（），所以 的图象在 处是断开的，而 在这些点上是连续的。因此 不能作 的周期——它会把可取值映到不可取值上。检验 ：把 换成 ， 成立，且 会被映到 ，仍是断点，定义域保持。 所以最小正周期是 。选 C。 7-2. 【填空】若函数在区间上单调，且，则正数的值为________． 解析　答：2 设 ，。三个条件依次翻译。 由 ： 移项后用和差化积： 由 ： 尝试 。先由第二个条件确认： （两边同乘 ），于是 ， 取 ，此时 校验三个等式：，，，确有 。 再校验单调性： 时 ，正弦在这段上单调递减，符合条件。 所以 。填 。 7-3. 【多选】关于函数 ，以下结论正确的有（　） A. 的图象是轴对称图形 B. 的最大值为 C. 是以 为一个周期的周期函数 D. 在 上有 个零点 解析　答：ACD 先把乘积化成和差： A 项：把 代入，，是偶函数，图象关于 轴对称。A 正确。 B 项：，记 ： 这是开口向下的二次函数，顶点在 ， 不是 。B 错误。 C 项： 所以 是它的一个周期。C 正确。 D 项：零点是 或 的解。在 上， 给出 ； 给出 ，即 。合并后共 个零点。D 正确。 选 ACD。 7-4. 【多选】已知函数 ，则（　） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在 上单调递增 D. 的最小值为 解析　答：ACD A 项： 是偶函数， 减偶函数仍为偶函数。A 正确。 B 项： 的周期是 （把 立方不改变它的周期）。检验： 所以 不是它的周期，最小正周期为 。B 错误。 C 项：求导， 当 时 ，故 （仅在 处为 ），函数在这段上单调递增。C 正确。 D 项：，所以 最小值为 （在 处取到）。D 正确。 选 ACD。 7-5. 【多选】已知函数 ，则（　） A. 为偶函数 B. 在 上单调递增 C. 的最小正周期是 D. 的一条对称轴为 解析　答：BD A 项：把 代入， 是奇函数，不是偶函数。A 错误。 B 项：在 上 ，求导得 所以函数单调递增。B 正确。 C 项： 它只是「反周期」，不是周期，最小正周期是 。C 错误。 D 项：验证 是否为对称轴，即比较 与 。由 ，两者都是 完全相等，所以 是它的一条对称轴。D 正确。 选 BD。 7-6. 【多选】已知函数 ，则（　） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 在 上单调递增 D. 值域为 解析　答：AC A 项：把 代入， 是奇函数。A 正确。 B 项：这个式子就是半角正切， 的最小正周期是 ，不是 。B 错误。 C 项：当 时 ，正切在这段上单调递增。C 正确。 D 项：值域不是 。因为 要求 ，即 ，但此时分母 ，函数无定义，所以 取不到。（换句话说， 发生在 即 ，这些点都在定义域之外。）值域应是 。D 错误。 选 AC。 7-7. 【多选】已知函数 ，则（　） A. 是 的一个周期 B. 是 图象的一条对称轴 C. 的最大值为 D. 在 内单调递减 解析　答：ACD A 项：四项的周期分别是 、、、，都是 的约数，所以 是 的一个周期。A 正确。 B 项：比较 两侧的值。利用 求和后逐项相减，只剩 （最后一步用了 。）只有当 时它才为 ，所以 不是对称轴。B 错误。 C 项：每一项都不超过它的系数， 而 时四项同时取到 ，等号成立，所以最大值就是 。C 正确。 D 项：求导得 括号里配对首尾，两组各用一次和差化积： 相加后 当 时，、、，三个因子都为正，所以括号里为正、，函数单调递减。D 正确。 选 ACD。 7-8. 【多选】我们称 为正割函数， 为余割函数，设函数 ，则（　） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于点 对称 D. 的值域为 解析　答：ABD A 项： 有意义要求 且 ，即 定义域与选项一致。A 正确。 B 项：先化简， 把 换成 ：，函数值不变，所以 是周期；再把 换成 ：（一般地），所以 不是周期。最小正周期为 。B 正确。 C 项：由 知 恒成立，图象永远在 轴上方，不可能关于 轴上的点中心对称。C 错误。 D 项：由 且 得 当 时取等号，所以值域为 。D 正确。 选 ABD。 7-9. 【多选】函数 ，则（　） A. 是偶函数 B. 在区间 单调递减 C. 在 有 个零点 D. 的最大值为 解析　答：ABD A 项： 是偶函数， 也是偶函数（因为 ），所以 是偶函数。A 正确。 B 项：当 时 ，于是 。令 ，得 ，它的对称轴是 ，在 上递减。 而 时 从 增到 ，始终在 内，复合后 单调递减。B 正确。 C 项：当 时解 ，得 或 ，对应 与 、； 当 时 ，方程变为 ，得 或 ，对应 与 、。 在 上共 个零点，不是 个。C 错误。 D 项：在 的取值范围内， 的最大值在端点取到： 时 ，而 时 对应 ，可以取到。所以最大值为 。D 正确。 选 ABD。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $