三角恒等变换的方法体系 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角恒等变换核心考点，以同角关系、诱导公式、和差角、二倍角、辅助角公式为工具，围绕“统一角、函数名、次数”化简方向构建知识体系。通过知识点梳理明确公式应用逻辑，方法突破分题型指导，真题例题与分层练习结合，帮助学生系统掌握三角式化简与求值的解题策略。 讲义创新采用“方向先行”思维训练，如引导学生先判断化简方向再选择公式，避免盲目运算。突出角的拆分配凑、齐次式弦化切等核心方法，结合易错点提示培养数学思维与运算能力。分层练习覆盖不同难度，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生三角恒等变换的应考能力。

= 三角恒等变换的方法体系 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　同角三角函数的基本关系与诱导公式 ★ 本册的四套工具——同角关系、和差角、二倍角、辅助角——都服务于同一件事：把一个三角式化到最简。动手之前先定方向，三角式化简只有三个方向，拿到题先在这三条里挑一条： 一是统一角——把式子里的角化成同一个角或同一个整体； 二是统一函数名——正弦余弦混在一起时，要么都化成弦、要么都化成切，别让两种函数同时出现； 三是统一次数——出现平方、四次方就用降幂，把次数降到一次。 方向定了，再回头看该套哪个公式。拿到题直接套公式，往往在第一个岔路口就走偏。 下面从最基础的同角关系说起。 两个基本关系是一切化简的起点： . ★ 最常考的是「三兄弟」互推——已知 、、 中的任何一个，另外两个都能求，桥梁是平方： . ⚠ 开方时符号由角所在的象限决定，这一步漏掉就只剩一半答案。若题目没直接给象限，就要用其他条件（如 、角在某个区间内）先定出象限。 ★ 「 的代换」是同角关系的另一件常用工具。因为 ，式子里的常数 随时可以换成一个平方和，也可以反过来把平方和换成 ： . 后两式在方法三讲降幂时还要用到。见到 或 这种结构，先想能不能整体换成完全平方或单项平方——换完之后根号、分式常常立刻化简。 诱导公式统一成一句话：奇变偶不变，符号看象限。把角写成 的形式， 为奇数则函数名互换（正弦余弦互换、正切余切互换）， 为偶数则函数名不变；符号则把 当锐角，看原角所在的象限里原函数的正负。 ★ 终边对称与旋转，用角度关系表达最快： , . 最后一条值得记住：因为关于 对称的两个点恰好交换横纵坐标，而 交换后是 。 ★ 带根号的三角式，先用平方把根号拆掉，再定符号： . ⚠ 开出来一定带绝对值，去掉绝对值要看角的范围。例如 时 ，于是 ；把范围换成 ，结果就倒过来。 ★ 见到 与 同时出现，立刻平方；见到 立刻用诱导公式，不要展开成和差角。 知识点二　两角和与差的三角函数 四个基本公式： , , . 余弦公式的符号方向与正弦相反，这是最容易抄错的一处。 ★ 正切和角公式的变形，考试里用的是它的逆用： . 由此立得两条常用结论： , 当 时，，于是上式等于 ； 当 时同理。 ★ 角的拆分与配凑——本板块的核心手法。拿到「已知某个角的三角函数值，求另一个角的三角函数值」的题，先找已知角与所求角的关系，通常写成「所求角 已知角的和、差或倍数」： , . 拆出关系后，整体代换进去，全程不必求出单个角。 ★ 与「给值求值」并排的是「给值求角」——由三角函数值反过来求角的大小。这类题固定两步：第一步求出目标角的某个三角函数值（通常靠和差角公式或积化和差），第二步卡范围——先把目标角压缩到一个单调区间内，再在这个区间上由值定角。 第二步才是本类题的成败所在。例如算出 ，只写 就漏了 ；但若已知 ，就能唯一确定 。 卡范围的三个常用手段：一是已知角自身的范围直接限制；二是由三角函数值的正负反推象限；三是由和、差的范围再推目标角的范围（例如 且 、 都是锐角，就能断定 ）。 ⚠ 最常见的错法不是把值算错，而是范围卡得不够紧——条件明明能把角限制在一个单调区间里，却只用了更宽的范围，于是多出一个不满足题意的角。 ★ 做这类题先写一行「所求角 已知角的组合」，再想该用哪个公式。很多人上来就展开，把能整体消掉的结构拆散了，越算越长。 知识点三　二倍角与降幂 二倍角公式（正弦、余弦、正切各一）： , . 余弦的三副面孔要会按需切换：出现 与 用第一种，只想留 用第二种，只想留 用第三种。 ★ 把上面后两式反解，就得到降幂公式——它的作用是把平方降成一次，从而把 翻倍： . 半角公式是降幂公式的另一种写法（ 换成 ）： . ⚠ 上面前两式开方时要注意符号： 与 的正负，由 所在的象限决定。所以用半角公式前，除了已知的 ，还要先由 的范围推出 的范围。后两式（正切的两种写法）本身不带根号，不涉及符号讨论，能用就优先用。 ★ 万能公式——把正切当作唯一变量，反过来表示其余的量。设 ，则 . 它有两个用处。一是题目给的是 、要的却是 或 时直接代入，不必先求 、；二是把正切式化成二倍角式——例如 就是 ， 就是 。遇到一长串正切的式子，往往能靠它整体约掉。 ★ 齐次式弦化切：形如 （分子分母都是关于 、 的一次式）的式子，分子分母同除 就全化成 的有理式。二次齐次式同理，同除 。 ⚠ 用弦化切前必须确认是齐次式。遇到 这种「常数项与一次项混在一起」的，先用 、 的降幂式把它化成齐次，再除。 ★ 两个常用打包结果（由平方关系与二倍角推出）： , . 另外 也常作为桥梁。 ★ 积化和差与和差化积，是「角成倍数、但都不是特殊角」时的出路。公式不必硬背，记住两个基本式就能推出其余： 另外两式（ 与 ）只要把上两式里的 换成 就得到。 和差化积是它们反过来用： . 什么时候用它：式子里的角成倍数、又都不是特殊角（如 、、），而分母里恰好有一个能约掉的角。做法是先用积化和差把乘积化成和差，凑出 这类特殊角或互补角，再整体约分。 ★ 见到平方、四次方，先想降幂；见到分子分母同为一次或二次的三角式，先想弦化切。判断不了就先动笔尝试除 ，看能不能除干净。 知识点四　辅助角公式与拆角配平 辅助角公式把「同角的正弦与余弦之和」打包成一个正弦： . 推导思路是把括号外的 提出来，让括号内变成 ，两个系数平方和为 ，正好充当某个角的余弦与正弦。 ⚠ 不能只由 确定——正切值相同的角相差 ，得看 落在哪个象限： 时 在第一象限， 时在第二象限，以此类推。 ★ 三个必须背下来的特例： , . 注意最后一条把 和 的次序调换了，调换后打包成余弦更省事——辅助角公式本身对「正弦型」和「余弦型」都成立。 ★ 辅助角公式的两大用途：一是把式子化成 后研究周期、单调性、最值；二是反过来，由已知的 值求 的值，这时不必求出 ，直接整体代换。 ★ 拆角配平的完整流程，以「已知 ，求 」为例： 第一步建立关系 ； 第二步展开 （ 为整体）； 第三步用 把已知量 代进去。 全程不出现 的具体值。 ★ 辅助角公式用错几乎都是 取错。稳妥的做法是先算出 、 的符号，在脑子里画出 所在的象限，再定 。 二、方法突破 方法一　同角关系与诱导公式 这一板块的题都在做同一件事：用一个已知量表示另一个量。工具只有两个——平方关系与商数关系。 最常考的是「三兄弟」：、、 知道其中一个，另外两个都能算出来，桥梁是 . ⚠ 开方求 时必须定符号。题目给了角所在区间就用区间定，没给就找别的线索（比如已知 的正负、 的符号）。只算出一个值就交卷，是本类题最常见的失分方式。 诱导公式不必一条条背，统一用「奇变偶不变，符号看象限」：把角写成 ， 为奇数换函数名，符号则把 当锐角去判原函数在该象限的正负。 终边对称的问题，直接用终边角的关系表示：关于 轴对称是 ，关于 轴对称是 ，关于 对称是 。前三条来自诱导公式，最后一条来自「对称即交换横纵坐标」。 ★ 见到 与 同框就平方；见到 就用诱导公式，不要拆成和差角展开。选错工具会让计算量翻好几倍。 例题 例 1-1 （2025届福建省厦门市高三二模数学试题 · 第4题） 【单选】已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 条件里出现了 ，要求的却是 ，两者之间隔着 ，而 恰好能从平方得到。 把已知式平方： 左边用平方关系展开： 即 ，所以 于是 符号要靠角的范围定。由 得 。又 ，所以 ，在这个区间里正弦为负当且仅当 于是 ，第四象限的余弦为正， 选 C。 第 1 步　 与 之间隔着 ，平方搭桥 ◈ 、、 三个量里任意知道一个就能求出另外两个，方法是平方。本题平方后直接得到 ，再用 求 。剩下的一步是定号——把 写成 ，由它的正负反推 所在的区间，这是本类题的固定收尾动作。 答　C 例 1-2 （江西省萍乡市2024-2025学年高三下学期一模数学试题 · 第5题） 【单选】已知，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 条件给的是四次方和，要求的是一次式 。两者之间隔着 ，先用平方关系把四次方降下来： 代入已知值： 由 得 ，这个区间上正弦为负，所以 再搭桥回所求： 定号：在 上 ，所以 ，和为正，因此 选 D。 第 1 步　四次方用 降到二次，再平方搭桥 ◈ 有现成的打包公式 ，写全就是 ，一步就把四次降到只含 。后面与上一题同一个套路：平方得 ，最后定号。这里定号用的是 推出 ——角在区间内时比较正余弦的大小，是定号最快的方式。 答　D 练习 1-1. 【单选】已知角和角的顶点在坐标原点，始边均与轴非负半轴重合，终边关于直线对称，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 解析　答：C 两个角的终边关于直线 对称。关于 对称，几何上的含义是「交换横纵坐标」，所以若 的终边过点 ，则 的终边过点 。 而 所以 与 的终边重合，即 于是 所求 选 C。 1-2. 【单选】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点.动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 先定圆的半径。点 在圆 上，所以 动点沿圆周运动的轨迹长为 ，由弧长公式 得圆心角 也就是说角 的终边是由角 的终边逆时针旋转 得到的： 再看 。 的终边过 ，所以 用两角和的正切公式： 分母有理化，分子分母同乘 ： 选 C。 1-3. 【单选】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，其终边与圆交于点．若角终边沿逆时针方向旋转角，交圆于点，则角可能为（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 先看两个点的位置。 两点到原点距离相等，说明 确实在圆 上，旋转的说法成立。 求两个角的正切。 在第一象限， 的横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限， 旋转角 满足 ，所以 。直接求 不好求，先求它的正切： 由 得 沿逆时针旋转，取 得 ，即转了一整圈再多 ，落在选项之中。 选 D。 1-4. 【单选】若，，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 把两个已知式都往 、（或 、）上化。 第一个式子两边平方： 把第二个式子 代进去： 两边都用降幂公式 ： 整理左边得 ，右边得 ，所以 两边平方： 与选项 A 一致，选 A。 （B、C、D 都把系数 放错了位置或漏掉了平方，只要老老实实算到 这一步就能排除。） 1-5. 【多选】下列说法正确的是（ ） A. B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 函数的定义域为 解析　答：ABD 四个选项各考一处，逐个看。 A： 弧度与 弧度都落在 内（因为 ）。这个区间上正弦为正、余弦为负，所以 A 正确。 B：设扇形半径为 。由面积公式 ， 弧长 。B 正确。 C：直线 即 ，它的倾斜角为 ，所以终边落在这条直线上的角的集合是 选项中写成 ，多出了 这一支，那对应的是直线 。C 错误。 D：正切函数在 处无定义，解出 所以定义域为 。D 正确。 选 ABD。 1-6. 【单选】已知是第一象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 先把右边的 换成 与 ，让式子统一。 移项得 由 是第一象限角，正弦余弦都为正。结合 ，可取直角三角形两直角边为 与 ，斜边为 ，于是 所求式为 选 D。 1-7. 【单选】已知，均为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 把不等式整理成「同一个函数的两个值比较大小」的形式。先把 写成余弦： 原不等式 移项得 两边结构一致，说明要考察函数 求导： 等号只在 处取得，所以 在 上严格递增。 由 得 两个角都是锐角，且 与 都在 内，两边取正弦（正弦在此区间递增）： 选 D。 （对照其余选项：由 只能得到 ，推不出 与 本身的大小，所以 A、B 都不一定成立；C 只涉及 与 的三角函数，得不到确定结论。） 方法二　两角和与差的展开与逆用 和差角公式有正用与逆用两个方向。题目给的是「两个角各自的值」就正着展开，给的是「两个角的和差的值」就往回收。 正切公式的逆用最常出现： . 由此还可以读出 的固定值——当 等于 或 这类特殊角时，这个乘积恰好是 。 ★ 本板块的核心手法是角的拆分与配凑。拿到「已知一个角的三角函数值，求另一个角的三角函数值」，第一件事是写出「所求角 已知角的组合」： , . 有了关系式再整体代换，不必求出角的实际大小。 遇到 与 同时给出，就用 反解出 ；再要 只需要把两者相加。 ★ 动笔前先写一行「所求角 已知角怎么组合」。很多人上来就展开，把本可以整体消掉的结构拆散，越算越长。 例题 例 2-1 （2025届广东省深圳一模深圳市高三年级第一次调研考试 · 第4题） 【单选】已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【解析】 条件里是两个和差角的正弦之比，要的是两个角的正切之比。把分子分母都按和差角公式展开，让 与 露面： , . 为书写方便，记 、，已知条件就是 即 两边同除 （、 的终边不与 轴重合，且由上式知两者都不为零）： 选 C。 第 1 步　把和差角展开，让两个「积」露面，再整体消去 ◈ 与 展开后会共用 与 这两块。记成 、 之后，条件式就是一个关于 、 的简单比例，比直接展开硬算清爽得多。求出 、 的关系后除以 ，正切就出来了。 答　C 例 2-2 （江苏省南京市、盐城市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题 · 第9题） 【多选】已知，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 两个已知量是 与 ，把后者展开就能求出 ： 代入 ： 逐项判断。 A：上面算出的是 ，不是 。A 错误。 B： B 正确。 C： C 正确。 D： 不是 。D 错误。 选 BC。 答　BC 练习 2-1. 【单选】已知、终边不重合，，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 条件式两边都是「一个正弦加一个余弦」，先把同类项归到一起： 两边结构相同，左边可以打包成同一个正弦型的函数。提取 ： 于是 两个角的正弦相等，要么两角终边重合，要么两角终边关于 轴对称： 第一种给出 ，与「、 终边不重合」矛盾，舍去。所以 用两角和的诱导关系求正切： 由 算二倍角： 所以 选 D。 （上面用到的 对称那一支也可以换个说法： 的两族解正是 与 。） 2-2. 【单选】已知，，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 要求的角是 ，所以先求出 或 。 把已知的 展开： 代入 ，得 于是 再用二倍角把角翻倍： 选 A。 2-3. 【多选】已知，，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：BC 与上一题同一结构，只差符号。展开 ： 代入 ： 逐项判断。 A：上面算出的是 ，不是 。A 错误。 B： B 正确。 C：把两个正切都换成弦，再作比： 交叉相乘得 。C 正确。 （这一步不需要知道 、 各自的正切值，只要两个「积」的比值就够了。） D： 不是 。D 错误。 选 BC。 2-4. 【单选】若，则（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 解析　答：D 条件的核心是 ，这个角的正切是 ： 把它按和角公式写开： 所求式为 把上式中的 整体替换： 选 D。 （这道题的结论可以记成一条通用规律：只要 的正切为 ——即 ——这个乘积就恒等于 。） 2-5. 【单选】已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 条件里有正切的倍数关系，先把正切换成弦，这样能和正弦的和差角公式接上。由 得 （两边同乘 ，两个余弦都不为零。） 再看已知的差角： 把 代进去： 顺带得到 。 于是 两个角都是锐角，所以 ，在这个区间上正弦为 的角只有一个： 选 C。 2-6. 【单选】已知，，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 要求的角是 ，已知的是 与 。先把三者的关系写出来： 所以 比这两个角的和少 ，从而 记 、。先求 的正切： 再翻倍： 现在 。由诱导公式，减去 相当于取负倒数： 由此求 。由 得 而 ，所以 定号：，取主值 ，则 ，余弦为正， 选 D。 2-7. 【填空】已知，，则________． 解析　答： 要求的 里的角 ，可以由 与 拆出来： 记 、，已知的是 与 。 把两个余弦都按和差角展开，再提出公因子 ： , . 把 代入： 两式相除： 所以 填 。 2-8. 【单选】若，，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 式子里出现的是 与 的平方，而条件是 的正切。记 、。 先把已知的分式分解因式： 再由 代回分式： 已知这个值为 ，所以 最后把 拆成两个已知角之和： 选 D。 2-9. 【单选】若，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 两个方程里混着 和 ，先把 消掉。由第一式解出 由第二式解出 两式平方相加，用 ： 展开： 把两个平方项合并成 ，整理得 记 、，上式即 。代入 ： 两边乘 得 ，解得 两组解都要用条件 检验。用 、 反求 ： 取 ，则 ， 此时 、，得 落在题目给的区间内，符合； 取 时反求得 超出该区间，舍去。 对第一组解求所求式： 逐项化简： 选 A。 2-10. 【单选】设，且，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 条件里有正切，先换成弦。两边同乘 ： 左边正是差角的正弦： 再把右边的余弦写成正弦，让两边都是同名函数： 两个角的正弦相等。先看范围：，所以 ，。 右边为正，故左边也为正，于是 。两个角都落在 内，正弦在此区间单调递增，由正弦相等得两角相等： 选 B。 方法三　二倍角、降幂与齐次式 二倍角公式里，余弦有三副面孔： . 选哪一副看题目里剩下什么：式子同时含 与 用第一副，只想保留 用第二副，只想保留 用第三副。 把后两副反解出来就是降幂公式： . 降幂的作用是把平方化成一次，代价是角翻倍——碰到「平方 + 周期」的题，这是唯一的路。 ★ 分子分母都是关于 、 的齐次式时，直接弦化切：分子分母同除 （或 ），整个式子就只剩 。⚠ 动手前先确认是齐次式；若式子里掺了常数项，先用 与降幂式把它补成齐次。 四个常用打包结果记住能省不少事： , . ★ 积化和差与和差化积，是「角度成倍数、但都不是特殊角」时的出路。公式不必硬背，记住两个基本式就能推出其余： , . 和差化积是它们反过来用：。处理 、、 这类「成倍数却不是特殊角」的式子时，先用积化和差把它们凑成 、 这样的特殊角或互补角，再约分。 ★ 看到平方、四次方先想降幂；看到分子分母同为齐次三角式先想弦化切；看到一串「成倍数的非特殊角」，先想积化和差。拿不准就试着除一下 ，能除干净就说明路子对了。 例题 例 3-1 （安徽省池州市普通高中2025届高三下学期教学质量统一监测数学试题 · 第5题） 【单选】已知，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【解析】 条件 给出了正弦与余弦的比值，所求式又是齐次的分式，正好把弦化成切。 由条件得 再看所求式。分子分母都用二倍角的降幂形式： 于是 选 A。 第 1 步　 就是 ，条件已给出 ◈ 、 是降幂公式移项后的常见形态，看到「」就该条件反射地写出来。两者相除约掉系数 直接得到 ，比先求 再代入快得多。 答　A 例 3-2 （安徽省合肥市2024-2025学年高三下学期第二次教学质量检测数学试卷 · 第6题） 【单选】已知，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 条件里全是正切，要求的 是弦的式子，先把条件化简到底。 注意 ，把它代进去： 分子是 ；分母通分后为 两者相除， 约掉： 而 ，所以条件等价于 再求所求式： 代入： 选 C。 （条件里那一长串正切式子，化简到最后只透露了 一个信息——这类题的效率就取决于能不能一路约到底。） 第 1 步　一长串正切式最终只等价于 的值，用万能公式化的 ◈ 代入后，分子分母里的 会整体约掉，剩下 ，这正是 的万能公式形式。看出这一点，整道题就只剩最后那一步打包。 答　C 练习 3-1. 【单选】若，，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 条件右边 眼熟——它正是半角公式里的 ： 所以条件化为 两个角的正切相等，说明两角相差 的整数倍： 由 ，取 得 所求 选 C。 3-2. 【单选】已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 解析　答：A 条件右边带根号，先把根号里的式子化简： 由 知 ，所以 条件变为 左边用二倍角公式展开（分子是 ，要注意同时约掉一个 ）： 把左边的分母分解因式 ，两边约去 （它大于零）： 再由 约去 ： 所以 选 A。 3-3. 【填空】已知，，则______． 解析　答： 要求的是 ，按和角公式展开后正好用到已知的两个量： 而条件给的 、 都含 ，直接代进去即可。 先把 也用 表示： 代入展开式： 填 。 （各项恰好抵消，是因为两个条件本身相容：由 可验证 ，两个条件描述的是同一组角。） 3-4. 【单选】已知，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 条件 与所求的 之间隔着 与 ，平方搭桥： 于是 定号。由 且 ，得 而 ，所以 ，第三象限的余弦为负， 最后 选 B。 3-5. 【单选】已知，，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 两个条件都是二倍角形式，先把它们统一成 与 的式子。第一个式子左边就是 ： 第二个式子用降幂公式展开： 两边乘 并约去 ，再用诱导公式 ： 现在要求 。先看 的余弦——把上面两式代进和角公式： 于是 所以 选 A。 3-6. 【单选】（ ） A. B. 1 C. D. 解析　答：B 式子里的角 、、 都不是特殊角，但彼此成倍数关系，可以把正切写成弦再约分。 用二倍角 代入： 再用降幂公式把平方降下来，注意 与 互余： 代回： 选 B。 3-7. 【单选】已知，则（ ） A. B. 7 C. D. 解析　答：C 条件里同时有 与 的二倍角，所求是 ，先把 与 凑到一起。 用降幂公式把 写成 ： 左边用和差化积（或直接展开推导）： 代入 ： 再把两个余弦都展开、相减消掉 ： , 两式相减得 （两式相加则得 。） 于是 选 C。 3-8. 【单选】已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 解析　答：D 所求式 正是两角差的正切公式： 所以只要求出 。由半角公式 先把 与 从条件 里解出来。移项得 ，两边平方： 把 代入： 整理成关于 的二次方程： 所以 或 。 使 ，不在 内，舍去。 取 ，代回条件得 （此时 ，符合）。 于是 所求式等于 选 D。 3-9. 【单选】若，则（ ） A. 0或 B. 或1 C. 1 D. 0 解析　答：D 等式两边都化成 的式子。 左边用平方关系： 右边用两角差余弦公式展开： 于是原方程化为 移项分解： 分两种情形。 情形一：，即 。由 得 情形二：。此时用辅助角得 ，即 。由 得 ，在这个区间内 取 只有 ，即 ，不在开区间内，舍去。 所以 ， 选 D。 3-10. 【choice】已知，，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 解析　答：D 、 都是 内的数，条件把两者绑在一起，所以用消元法：记 、，条件即 再由 定出 的范围。解不等式 ： 时 恒成立； 时两边乘 得 ，即 。合起来 把 、 都用 表示： 先看 。求导： 在 上 ，所以 的符号只由 决定： 时为负、 时为正。于是 在 处取最小值 两个端点处 、，所以 A 说最小值为 、B 说最大值为 ，都不对。 再看 。把分式拆开： 求导得 所以 在 上单调递增，值域为 C 说最小值为 ，不对；D 说最大值为 ，正确。 选 D。 3-11. 【blank】求值： ________． 解析　答： 分母是 ，分子里是 与 ，角彼此成倍数但都不是特殊角。先用积化和差把 打开： 所以分子 接着把 也用和角公式打开（）： 代回分子： 提取 ，把剩下的部分凑成一个正弦： 最后用 与分母约掉： 填 。 （整道题的思路是「把非特殊角一步步凑成特殊角」：先积化和差得到 与 ，再把 拆成 ，最后用辅助角把 的各项并成 ，与分母的 互余消去。） 方法四　辅助角公式与拆角配平 辅助角公式把「同角的正弦与余弦的一次组合」打包成一个正弦： . ⚠ 只由 定不出 ，还要看 的符号定象限。稳妥的做法是先算 、，在脑子里画出点 的位置，再写 。 三个特例要熟到不用推： , . ★ 另一半用法是拆角配平：已知某个角的三角函数值，求另一个角的三角函数值时，先把两个角的关系写出来，再整体代换。比如已知 求 ： , 然后把 当整体，用 展开， 用 换成已知量。全程不出现 。 ★ 这类题的成败在「关系式有没有找对」。找完关系先验一下：把右边的角展开，看是否恰好等于左边的角。符号或系数差一点，后面全错。 例题 例 4-1 （广东省江门市2025届高三下学期高考模拟考试数学试题 · 第5题） 【单选】已知，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 已知角是 ，所求角是 ，先找两者的关系： 所以所求式可以写成 不过左边的已知条件还不一样——它给的是 。先把这两个同角化： 加上 ： （最后一步是辅助角公式的逆向使用： 与 分别充当 与 。） 所以条件化为 现在所求的角恰好是已知角的两倍： 于是 选 B。 第 1 步　 先并成 ◈ 同一个角 的正弦与余弦相加，一定要并成一个三角函数——本题并出来的恰好是 。而要求的角 正是它的两倍，用 一步到位。这类题的关键不是计算，而是先看出两个角成倍数关系。 答　B 例 4-2 （广东省肇庆市2026届高三上学期第一次模拟考试数学试题 · 第8题） 【单选】已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 已知角是 ，所求是 ，先把两者的关系理清： 记 ，则 。 先定 的范围，这关系到后面开方的符号。由 得 。又已知 ，所以 ， 于是 把 代入所求，用两角差的正弦展开： 代入 、： 选 D。 第 1 步　把 拆成 （），再整体代换 ◈ 已知角与所求角之间差一个常数角时，把已知角记成 ，所求角写成「常数角 的倍数」，就能直接套和差角公式。本题 是靠着 定出来的——开方前先定角的范围，是这类题必须做的一步。 答　D 练习 4-1. 【单选】已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 与例题同一套路，先把 并起来。展开 ： 所以条件化为 所求角是已知角的两倍： 选 B。 4-2. 【单选】已知，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 右边是差角的正弦，展开后能与左边的 合并： 条件变为 两边约去 ： 所求式展开成齐次式更方便： 由 知 ，代入第一项： 所以 由 得 ，于是 选 D。 （也可以直接把 的两种取值 与 代进去验证，结果都是 。） 4-3. 【单选】若函数的两个零点分别为和，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 先把函数按辅助角公式打包： （ 在第一象限，、。） 函数零点满足 记 。方程 在 的一个周期内有两解，且这两解关于 对称（正弦在峰值两侧取同一个值）： 于是 设 ，则 ，所以 所求 由 得 所以 选 C。 4-4. 【单选】若，，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 条件里只有 与 、，先把正切写成弦： 交叉相乘： 把 代入右边： 两边的 抵消，得 （这里 恰好消掉，是本题的巧处——不需要解二次方程。） 由 得 ，所以 所求 选 A。 4-5. 【单选】已知，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 不等式里两项都是五次方，结构相同，把它们挪到一起： 两边结构一致，说明要考察同一个函数在两处的取值： 不等式即 。 先看 在 上的单调性： 当 时 ，所以 ，即 在 上单调递减。 单调递减的函数把不等式翻向： 再解这个三角不等式。移项并把左边并成一个正弦： 由 得 。在这个区间上 取负值的范围是 （第一段是 ，右端 取不到；第二段是 ，两端都取不到。） 加上 还原： 选 C。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角恒等变换的方法体系 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　同角三角函数的基本关系与诱导公式 ★ 本册的四套工具——同角关系、和差角、二倍角、辅助角——都服务于同一件事：把一个三角式化到最简。动手之前先定方向，三角式化简只有三个方向，拿到题先在这三条里挑一条： 一是统一角——把式子里的角化成同一个角或同一个整体； 二是统一函数名——正弦余弦混在一起时，要么都化成弦、要么都化成切，别让两种函数同时出现； 三是统一次数——出现平方、四次方就用降幂，把次数降到一次。 方向定了，再回头看该套哪个公式。拿到题直接套公式，往往在第一个岔路口就走偏。 下面从最基础的同角关系说起。 两个基本关系是一切化简的起点： . ★ 最常考的是「三兄弟」互推——已知 、、 中的任何一个，另外两个都能求，桥梁是平方： . ⚠ 开方时符号由角所在的象限决定，这一步漏掉就只剩一半答案。若题目没直接给象限，就要用其他条件（如 、角在某个区间内）先定出象限。 ★ 「 的代换」是同角关系的另一件常用工具。因为 ，式子里的常数 随时可以换成一个平方和，也可以反过来把平方和换成 ： . 后两式在方法三讲降幂时还要用到。见到 或 这种结构，先想能不能整体换成完全平方或单项平方——换完之后根号、分式常常立刻化简。 诱导公式统一成一句话：奇变偶不变，符号看象限。把角写成 的形式， 为奇数则函数名互换（正弦余弦互换、正切余切互换）， 为偶数则函数名不变；符号则把 当锐角，看原角所在的象限里原函数的正负。 ★ 终边对称与旋转，用角度关系表达最快： , . 最后一条值得记住：因为关于 对称的两个点恰好交换横纵坐标，而 交换后是 。 ★ 带根号的三角式，先用平方把根号拆掉，再定符号： . ⚠ 开出来一定带绝对值，去掉绝对值要看角的范围。例如 时 ，于是 ；把范围换成 ，结果就倒过来。 ★ 见到 与 同时出现，立刻平方；见到 立刻用诱导公式，不要展开成和差角。 知识点二　两角和与差的三角函数 四个基本公式： , , . 余弦公式的符号方向与正弦相反，这是最容易抄错的一处。 ★ 正切和角公式的变形，考试里用的是它的逆用： . 由此立得两条常用结论： , 当 时，，于是上式等于 ； 当 时同理。 ★ 角的拆分与配凑——本板块的核心手法。拿到「已知某个角的三角函数值，求另一个角的三角函数值」的题，先找已知角与所求角的关系，通常写成「所求角 已知角的和、差或倍数」： , . 拆出关系后，整体代换进去，全程不必求出单个角。 ★ 与「给值求值」并排的是「给值求角」——由三角函数值反过来求角的大小。这类题固定两步：第一步求出目标角的某个三角函数值（通常靠和差角公式或积化和差），第二步卡范围——先把目标角压缩到一个单调区间内，再在这个区间上由值定角。 第二步才是本类题的成败所在。例如算出 ，只写 就漏了 ；但若已知 ，就能唯一确定 。 卡范围的三个常用手段：一是已知角自身的范围直接限制；二是由三角函数值的正负反推象限；三是由和、差的范围再推目标角的范围（例如 且 、 都是锐角，就能断定 ）。 ⚠ 最常见的错法不是把值算错，而是范围卡得不够紧——条件明明能把角限制在一个单调区间里，却只用了更宽的范围，于是多出一个不满足题意的角。 ★ 做这类题先写一行「所求角 已知角的组合」，再想该用哪个公式。很多人上来就展开，把能整体消掉的结构拆散了，越算越长。 知识点三　二倍角与降幂 二倍角公式（正弦、余弦、正切各一）： , . 余弦的三副面孔要会按需切换：出现 与 用第一种，只想留 用第二种，只想留 用第三种。 ★ 把上面后两式反解，就得到降幂公式——它的作用是把平方降成一次，从而把 翻倍： . 半角公式是降幂公式的另一种写法（ 换成 ）： . ⚠ 上面前两式开方时要注意符号： 与 的正负，由 所在的象限决定。所以用半角公式前，除了已知的 ，还要先由 的范围推出 的范围。后两式（正切的两种写法）本身不带根号，不涉及符号讨论，能用就优先用。 ★ 万能公式——把正切当作唯一变量，反过来表示其余的量。设 ，则 . 它有两个用处。一是题目给的是 、要的却是 或 时直接代入，不必先求 、；二是把正切式化成二倍角式——例如 就是 ， 就是 。遇到一长串正切的式子，往往能靠它整体约掉。 ★ 齐次式弦化切：形如 （分子分母都是关于 、 的一次式）的式子，分子分母同除 就全化成 的有理式。二次齐次式同理，同除 。 ⚠ 用弦化切前必须确认是齐次式。遇到 这种「常数项与一次项混在一起」的，先用 、 的降幂式把它化成齐次，再除。 ★ 两个常用打包结果（由平方关系与二倍角推出）： , . 另外 也常作为桥梁。 ★ 积化和差与和差化积，是「角成倍数、但都不是特殊角」时的出路。公式不必硬背，记住两个基本式就能推出其余： 另外两式（ 与 ）只要把上两式里的 换成 就得到。 和差化积是它们反过来用： . 什么时候用它：式子里的角成倍数、又都不是特殊角（如 、、），而分母里恰好有一个能约掉的角。做法是先用积化和差把乘积化成和差，凑出 这类特殊角或互补角，再整体约分。 ★ 见到平方、四次方，先想降幂；见到分子分母同为一次或二次的三角式，先想弦化切。判断不了就先动笔尝试除 ，看能不能除干净。 知识点四　辅助角公式与拆角配平 辅助角公式把「同角的正弦与余弦之和」打包成一个正弦： . 推导思路是把括号外的 提出来，让括号内变成 ，两个系数平方和为 ，正好充当某个角的余弦与正弦。 ⚠ 不能只由 确定——正切值相同的角相差 ，得看 落在哪个象限： 时 在第一象限， 时在第二象限，以此类推。 ★ 三个必须背下来的特例： , . 注意最后一条把 和 的次序调换了，调换后打包成余弦更省事——辅助角公式本身对「正弦型」和「余弦型」都成立。 ★ 辅助角公式的两大用途：一是把式子化成 后研究周期、单调性、最值；二是反过来，由已知的 值求 的值，这时不必求出 ，直接整体代换。 ★ 拆角配平的完整流程，以「已知 ，求 」为例： 第一步建立关系 ； 第二步展开 （ 为整体）； 第三步用 把已知量 代进去。 全程不出现 的具体值。 ★ 辅助角公式用错几乎都是 取错。稳妥的做法是先算出 、 的符号，在脑子里画出 所在的象限，再定 。 二、方法突破 方法一　同角关系与诱导公式 这一板块的题都在做同一件事：用一个已知量表示另一个量。工具只有两个——平方关系与商数关系。 最常考的是「三兄弟」：、、 知道其中一个，另外两个都能算出来，桥梁是 . ⚠ 开方求 时必须定符号。题目给了角所在区间就用区间定，没给就找别的线索（比如已知 的正负、 的符号）。只算出一个值就交卷，是本类题最常见的失分方式。 诱导公式不必一条条背，统一用「奇变偶不变，符号看象限」：把角写成 ， 为奇数换函数名，符号则把 当锐角去判原函数在该象限的正负。 终边对称的问题，直接用终边角的关系表示：关于 轴对称是 ，关于 轴对称是 ，关于 对称是 。前三条来自诱导公式，最后一条来自「对称即交换横纵坐标」。 ★ 见到 与 同框就平方；见到 就用诱导公式，不要拆成和差角展开。选错工具会让计算量翻好几倍。 例题 例 1-1 （2025届福建省厦门市高三二模数学试题 · 第4题） 【单选】已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　 与 之间隔着 ，平方搭桥 ◈ 、、 三个量里任意知道一个就能求出另外两个，方法是平方。本题平方后直接得到 ，再用 求 。剩下的一步是定号——把 写成 ，由它的正负反推 所在的区间，这是本类题的固定收尾动作。 答　C 例 1-2 （江西省萍乡市2024-2025学年高三下学期一模数学试题 · 第5题） 【单选】已知，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　四次方用 降到二次，再平方搭桥 ◈ 有现成的打包公式 ，写全就是 ，一步就把四次降到只含 。后面与上一题同一个套路：平方得 ，最后定号。这里定号用的是 推出 ——角在区间内时比较正余弦的大小，是定号最快的方式。 答　D 练习 1-1. 【单选】已知角和角的顶点在坐标原点，始边均与轴非负半轴重合，终边关于直线对称，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 1-2. 【单选】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点.动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（ ） A. B. C. D. 1-3. 【单选】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，其终边与圆交于点．若角终边沿逆时针方向旋转角，交圆于点，则角可能为（ ） A. B. C. D. 1-4. 【单选】若，，则（ ） A. B. C. D. 1-5. 【多选】下列说法正确的是（ ） A. B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 函数的定义域为 1-6. 【单选】已知是第一象限角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1-7. 【单选】已知，均为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 方法二　两角和与差的展开与逆用 和差角公式有正用与逆用两个方向。题目给的是「两个角各自的值」就正着展开，给的是「两个角的和差的值」就往回收。 正切公式的逆用最常出现： . 由此还可以读出 的固定值——当 等于 或 这类特殊角时，这个乘积恰好是 。 ★ 本板块的核心手法是角的拆分与配凑。拿到「已知一个角的三角函数值，求另一个角的三角函数值」，第一件事是写出「所求角 已知角的组合」： , . 有了关系式再整体代换，不必求出角的实际大小。 遇到 与 同时给出，就用 反解出 ；再要 只需要把两者相加。 ★ 动笔前先写一行「所求角 已知角怎么组合」。很多人上来就展开，把本可以整体消掉的结构拆散，越算越长。 例题 例 2-1 （2025届广东省深圳一模深圳市高三年级第一次调研考试 · 第4题） 【单选】已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【解析】 第 1 步　把和差角展开，让两个「积」露面，再整体消去 ◈ 与 展开后会共用 与 这两块。记成 、 之后，条件式就是一个关于 、 的简单比例，比直接展开硬算清爽得多。求出 、 的关系后除以 ，正切就出来了。 答　C 例 2-2 （江苏省南京市、盐城市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题 · 第9题） 【多选】已知，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 答　BC 练习 2-1. 【单选】已知、终边不重合，，则（ ） A. B. C. D. 2-2. 【单选】已知，，则（ ） A. B. C. D. 2-3. 【多选】已知，，则（ ） A. B. C. D. 2-4. 【单选】若，则（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 2-5. 【单选】已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 2-6. 【单选】已知，，则（ ） A. B. C. D. 2-7. 【填空】已知，，则________． 2-8. 【单选】若，，则（ ） A. B. C. D. 2-9. 【单选】若，则（ ） A. B. C. D. 2-10. 【单选】设，且，则（ ） A. B. C. D. 方法三　二倍角、降幂与齐次式 二倍角公式里，余弦有三副面孔： . 选哪一副看题目里剩下什么：式子同时含 与 用第一副，只想保留 用第二副，只想保留 用第三副。 把后两副反解出来就是降幂公式： . 降幂的作用是把平方化成一次，代价是角翻倍——碰到「平方 + 周期」的题，这是唯一的路。 ★ 分子分母都是关于 、 的齐次式时，直接弦化切：分子分母同除 （或 ），整个式子就只剩 。⚠ 动手前先确认是齐次式；若式子里掺了常数项，先用 与降幂式把它补成齐次。 四个常用打包结果记住能省不少事： , . ★ 积化和差与和差化积，是「角度成倍数、但都不是特殊角」时的出路。公式不必硬背，记住两个基本式就能推出其余： , . 和差化积是它们反过来用：。处理 、、 这类「成倍数却不是特殊角」的式子时，先用积化和差把它们凑成 、 这样的特殊角或互补角，再约分。 ★ 看到平方、四次方先想降幂；看到分子分母同为齐次三角式先想弦化切；看到一串「成倍数的非特殊角」，先想积化和差。拿不准就试着除一下 ，能除干净就说明路子对了。 例题 例 3-1 （安徽省池州市普通高中2025届高三下学期教学质量统一监测数学试题 · 第5题） 【单选】已知，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【解析】 第 1 步　 就是 ，条件已给出 ◈ 、 是降幂公式移项后的常见形态，看到「」就该条件反射地写出来。两者相除约掉系数 直接得到 ，比先求 再代入快得多。 答　A 例 3-2 （安徽省合肥市2024-2025学年高三下学期第二次教学质量检测数学试卷 · 第6题） 【单选】已知，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　一长串正切式最终只等价于 的值，用万能公式化的 ◈ 代入后，分子分母里的 会整体约掉，剩下 ，这正是 的万能公式形式。看出这一点，整道题就只剩最后那一步打包。 答　C 练习 3-1. 【单选】若，，则（ ） A. B. C. D. 3-2. 【单选】已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 3-3. 【填空】已知，，则______． 3-4. 【单选】已知，则（ ） A. B. C. D. 3-5. 【单选】已知，，则（ ） A. B. C. D. 3-6. 【单选】（ ） A. B. 1 C. D. 3-7. 【单选】已知，则（ ） A. B. 7 C. D. 3-8. 【单选】已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 3-9. 【单选】若，则（ ） A. 0或 B. 或1 C. 1 D. 0 3-10. 【choice】已知，，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 3-11. 【blank】求值： ________． 方法四　辅助角公式与拆角配平 辅助角公式把「同角的正弦与余弦的一次组合」打包成一个正弦： . ⚠ 只由 定不出 ，还要看 的符号定象限。稳妥的做法是先算 、，在脑子里画出点 的位置，再写 。 三个特例要熟到不用推： , . ★ 另一半用法是拆角配平：已知某个角的三角函数值，求另一个角的三角函数值时，先把两个角的关系写出来，再整体代换。比如已知 求 ： , 然后把 当整体，用 展开， 用 换成已知量。全程不出现 。 ★ 这类题的成败在「关系式有没有找对」。找完关系先验一下：把右边的角展开，看是否恰好等于左边的角。符号或系数差一点，后面全错。 例题 例 4-1 （广东省江门市2025届高三下学期高考模拟考试数学试题 · 第5题） 【单选】已知，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　 先并成 ◈ 同一个角 的正弦与余弦相加，一定要并成一个三角函数——本题并出来的恰好是 。而要求的角 正是它的两倍，用 一步到位。这类题的关键不是计算，而是先看出两个角成倍数关系。 答　B 例 4-2 （广东省肇庆市2026届高三上学期第一次模拟考试数学试题 · 第8题） 【单选】已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　把 拆成 （），再整体代换 ◈ 已知角与所求角之间差一个常数角时，把已知角记成 ，所求角写成「常数角 的倍数」，就能直接套和差角公式。本题 是靠着 定出来的——开方前先定角的范围，是这类题必须做的一步。 答　D 练习 4-1. 【单选】已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 4-2. 【单选】已知，则（ ） A. B. C. D. 4-3. 【单选】若函数的两个零点分别为和，则（ ） A. B. C. D. 4-4. 【单选】若，，则（ ） A. B. C. D. 4-5. 【单选】已知，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $