第1章 勾股定理单元测试卷2026-2027学年北师大数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册勾股定理单元卷，融合数学史与现实应用，覆盖全章知识，适配单元复习，通过文化情境与项目化设计提升抽象能力、几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数、直角三角形判定|第3题“折竹抵地”渗透文化传承，第6题图形面积验证勾股定理| |填空题|5/15|距离计算、网格问题|第13题手机支架结合空间观念，第15题折叠问题培养几何直观| |解答题|8/75|证明、项目化应用、综合探究|18题办公区绿化规划体现模型意识，23题勾股分割点发展推理能力|

绝密★启用前 学校： 姓名： 班级： 考号： 勾股定理单元测试卷 (北师大版) 考试范围：八年级上册第1章全部内容；考试时间：90分钟满分：120分 题号 三 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.在下列各组数中，是勾股数的是() A.1,2,3 B.2,3,5 C.3,4,5 D.4,6,8 2.△ABC的三边长分别为a,b,c,由下列条件能判断△ABC为直角三角形的是() A.a=2,b=3,c=4 B.a=2,b=4,c=5 C.a=√5，b=√5，c=2 D.a=1,b=√2，c=√3 3.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思 是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离 竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是() A.x2+32=(10-x)2B.x2+32=102 C.x2-32=(10-x)2D.x2+10-x)=32 4.如图，用10张直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为 1,则OA的长为() 试卷第1页（共9页） A.√10 B.11 C.23 D.√13 5.如图，沿DE折叠直角三角形纸片ABC,使两个锐角顶点B和C重合，AB=6,AC=8,求CE的长.设 CE=x,则所列方程正确的是() B O ----- C.3 E A.x2+(8-x)2=6 B.6+x2=(8-x)月 C.62+(8-x)2=x2 D.x2+(6-x)2=82 6中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一.下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是() b b a a b b a 0 7.如图，在网格中有5个格点，分别为D、E、H、G、F,下列说法错误的是() A.△EHD≌△ABC B.△EGF≌AABC C.△DHG与△FGH不全等，但是面积相等 D.△HDF与△ABC的面积相等 8.如图，在一张边长为5cm的正方形纸板ABCD上，放着一根长方体木块，己知木块的较长边与AD平行 且相等，横截面是一个边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，则蚂蚁爬行的 最短路径长为() 试卷第2页（共9页） A.12cm B.5√5cm C.(5+V26)cm D.√74cm 9.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形 ABCD的边长为√34，DH=3,连接AG,则AG的长度为(. B A.√34 B.6 C.5 D.√29 10.如图1，两个月牙的面积之和等同于Rt△ABC的面积.这就是著名的希波克拉底月牙定理，它是人类 首次精准求出曲边图形面积的典型代表.慧聪小组利用边长为6的正方形设计出了如图2所示的一个“心” 型图案，其中两个“月牙”是由直径分别为AB、AD、BD的三个半圆围成，则S+S,的结果是() B 图1 图2 A.18 B.9元-18 c.9r+9 D. 4 9m+18 2 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，在Rt△ABC中，AC=√6，AB=2,∠ABC=90°，则点B到AC的距离为 Bh 12.如图，在3×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D均在格点（网格线的 交点)上，在点A、C、D中，到点B的距离为V3的是点， 试卷第3页（共9页） A· D B 13.如图是一台手机支架的示意图，AB,CD可分别绕点A,B转动，测得BD=5cm,AB=12cm.若 AB⊥BD,DE⊥AP,垂足为点E,DE=AE,则DE的长为 cm. E 5 14.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB= ,CB=CD=3,△ABC的顶点A在ABCD的 斜边DE上，则AE2+AD2的值为 15.如图，在长方形ABCD中，AD=3,CD=4,点N在边CD上，沿着BN折叠长方形ABCD,使点C 落在点F处，连接DF,当线段DF+BF的值最小时，CN= 三.解答题（共8小题，共75分） 16.(6分)如图，在四边形ABCD中，己知AB=3、BC=4、DA=√89、DC=8且∠ABC=90°.求四 边形ABCD的面积， 6 试卷第4页（共9页） 17.(8分)如图，在△ABC中，BC=5,AC=12,AB=13 D (1)求证：∠ACB=90° (2)作CDL AB,D为垂足，求CD的长. 18.(8分)项目化学习 项目主题：办公区绿化规划. 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候.某占地面积为400的 办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化. 设计方案：如图是该办公区的规划示意图.已知AB=12m,BC=9m,CD=8,AD=17m,∠ABC=90°. D 绿 问题解决： 区 街 B y 街道 (I)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道AC,则这条直道AC的长度为 m; (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的30%，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求. 试卷第5页（共9页） 19.(9分)利用无刻度的直尺画图： B 图① 图② (1)利用图①中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线 (2)在图②的网格中画一个三角形，满足下列条件：①是直角三角形：②任意两个顶点都不在同一条网格线 上：③三角形的顶点都在格点（网格线的交点）上 20.(10分)如果把a2+b2=c2看作关于a,b,c的方程，那么满足这个方程的正整数解a,b,c通常 叫作勾股数组，可以记作（α，b,c).毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造 出如下勾股数组：(3,4,5)；(5,12,13)：（7,24,25)： 分析这些勾股数组可以发现，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，. (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组： (2)小红将a+b2=c移项并因式分解得a2=c2-b=(c+b)(c-b),请写出满足上述规律的第n个勾股数 组（用含的式子表示），并尝试用小红的方法证明： (3)若(x,x+7,x+m)是满足上述规律的一组勾股数组，求x的值. 试卷第6页（共9页） 21.(10分)【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用 它可以证明股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形 与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为a,b,小正方形的边长为b-a,即 bx4-a,从而得到等式-咖x4山a,化简使得结论d+6=c,这里用两种求法来表示 同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”. 6 6 a B a 图1 图2 图3 【方法运用】 (I)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（△ABC2CDE,∠B=∠D=90°），使BC和CD在一条直 线上，连接AE,请用a,b,C分别表示出梯形ABDE,△ABC,△CDE,△ACE的面积，再探究这四 个图形面积之间的关系，证明：d+b2=c2. 【方法迁移】 (2)如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=6,AC=7,BC=8,设CD=x,求x的值， 试卷第7页（共9页） 22.(12分)综合与实践 研究主题 探究两点之间线段的长度 全等三角形是几何中“形状与大小完全相同”的数学表达，是证明“线段相 素材一 等“角相等”的最核心，最基础的方法。 学校门口有一片竹林，某数学兴趣小组决定测量一下竹林两端P、2两 点之间的直线距离. 小组现有的工具： 素材二 皮尺：可以测量长度，但是P、Q之间的直线距离无法直接用皮尺测量： 测角仪：可以测量角的大小： 激光水平仪：可以判断三个点是否在一条直线上. 于是，小组开展了如下探究活动 可以利用三角形全等的判定方法SAS设计方案.先在平地上取一个可直 接到达P、O的点A,再连接PA、QA,并分别延长PA、OA. 素材三 A 任务一 全等三角形的判定中(SAS,ASA,AAS,SSS,L),其中是基本事实. 任务二 把素材三的设计方案补充完整，并画出简易图，说明方案可行性的理由. 如果你是数学兴趣小组的一员，请你利用小组现有的工具，另外设计一 任务三 个可行的方案，能够求出线段PQ的长度. 试卷第8页（共9页） 23.(12分)综合与探究 定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个 直角三角形，则称点M,N是线段AB的勾股分割点， B A M NB 图1 图2 图3 【初步感知】 (1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，MN>AM,N>BN,若AM=12,BN=5,则MN= 【深入探究】 (2)如图2，在等腰直角△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，M,N为线段AB上两点，满足∠MCN=45°， 求证：点M,N是线段AB的勾股分割点. 【拓展延伸】 (3)如图3，在等腰直角△ABC中，AC=BC=3√2，∠ACB=90°，若点M在线段AB上，点N在线段AB的 延长线上，满足∠MCN=45°，BN=3,请直接写出BM的长. 试卷第9页（共9页） 绝密★启用前 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 勾股定理单元测试卷 （北师大版） 考试范围：八年级上册第1章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 2.的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】先确定各选项中三角形的最长边，再利用勾股定理逆定理验证两短边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A选项，，，，不是直角三角形； B选项，，，，∴不是直角三角形； C选项，，，，∴不是直角三角形； D选项，，，，∴是直角三角形． 3．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 由勾股定理得：， 故选：A． 4．如图，用10张直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 观察图形可知，第1个直角三角形的斜边长为，第2个直角三角形的斜边长为，以此类推，第个直角三角形的斜边长为，进行求解即可. 【详解】解：由图可知，第1个直角三角形的两条直角边长均为1， 根据勾股定理，其斜边长为； 第2个直角三角形的一条直角边长为1，另一条直角边长为第1个三角形的斜边长， 其斜边长为； 第3个直角三角形的斜边长为； 由此规律可知，第个直角三角形的斜边长为； 图中共有10张直角三角形纸片， 是第10个直角三角形的斜边， . 5．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 6.中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 7．如图，在网格中有5个格点，分别为、、、、，下列说法错误的是（     ） A． B． C．与不全等，但是面积相等 D．与的面积相等 【答案】C 【分析】根据网格的特点和全等三角形的判定定理可判断A、B、C；根据网格的特点求出和的面积可判断D． 【详解】解：A、由网格的特点可得， ∴，原说法正确，不符合题意； B、由网格的特点可得， ∴，原说法正确，不符合题意； C、设网格中的小正方形的边长为1，则，， 又∵， ∴，原说法错误，符合题意； D、设网格中的小正方形的边长为1，则，， ∴与面积相等，原说法正确，不符合题意． 8．如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将木块的表面展开，利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下： 由题意可知，，， 由勾股定理可得，． 9．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 10．如图1，两个月牙的面积之和等同于的面积．这就是著名的希波克拉底月牙定理，它是人类首次精准求出曲边图形面积的典型代表．慧聪小组利用边长为6的正方形设计出了如图2所示的一个“心”型图案，其中两个“月牙”是由直径分别为、、的三个半圆围成，则的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由勾股定理求出的长，再根据阴影部分面积代入数据求解即可． 【详解】解：连接， 由勾股定理得，， 由图形可知，阴影部分面积 ． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，，，，则点B到的距离为 . 【答案】 【分析】由勾股定理可得，再由等面积法计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 设点B到的距离为， 由可得， ∴点B到的距离为． 12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ∴在点、、中，到点的距离为的是点． 13．如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，．若，，垂足为点，，则的长为________． 【答案】 【分析】先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理可得，则此题可解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D到的距离为． 14．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故 故答案为： 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键． 15．如图，在长方形中，，，点N在边上，沿着折叠长方形，使点C落在点F处，连接．当线段的值最小时，_______． 【答案】 【分析】由题意可知当时，，即三点共线时，线段的值最小，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 根据折叠可得， 当时，，即三点共线时，线段的值最小，此时， ， ∴， ， ， 解得． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（6分）如图，在四边形中，已知、、、且．求四边形的面积． 【答案】26 【分析】先根据勾股定理求出的长，再证明是直角三角形，再将与的面积求和即可得四边形的面积． 本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，证明是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：， 中，， ∵、， ， 又∵在中， ，，， ， 是直角三角形，， ． 17．（8分）如图，在中， (1)求证： (2)作，D为垂足，求的长． 【答案】(1)证明：∵ ∴， ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵ ∴． 18．（8分）项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 【答案】(1)15 (2)设计方案不符合规划要求 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理逆定理可得，可求出绿化区的面积，即可求解． 【详解】（1）解：因为，，， 所以． 答：这条直道的长度为． （2）解：因为，，， 所以． 所以． 所以绿化区的面积为． ． 因为， 所以设计方案不符合规划要求． 19．（9分）利用无刻度的直尺画图． (1)利用图①中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线． (2)在图②的网格中画一个三角形，满足下列条件：①是直角三角形；②任意两个顶点都不在同一条网格线上；③三角形的顶点都在格点（网格线的交点）上． 【答案】(1) 如图①，和直线即为所求． (2) 如图②，即为所求． 【分析】（1）根据作平行线和垂线的方法，利用直尺作图即可； （2）根据勾股定理逆定理判断三条线段的平方分别为：，判断这三条线段能构成直角三角形即可画出图形． 【详解】（1）如图①，如图所示．利用直尺作：，． （2）理由：由勾股定理得： ． ． 故是直角三角形． 【点睛】本题考查了平行线的作法，垂线的作法，掌握网格结构的特点并熟练应用是解题的关键． 20．（10分）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 【答案】(1) (2)第个勾股数组为 ． 证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是， 令， ， ， 则 ， 即， 所以 是满足上述规律的第个勾股数组． (3)的值为 【分析】（1）根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组； （2）先根据最小数字(勾股数组第一个数字)总结规律可知第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是，再利用题干中等式规律可知第个勾股数组的第二个数字是即，则第个勾股数组的第三个数字，从而总结出第个勾股数组为．验证是否成立即可证明． （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，故令，则，利用作差法消元求出n和m，继而求出x． 【详解】（1）由，，的规律可知：下一个等式是， 则对应的勾股数组是； （2）略 （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令，则， ∴，， ∴，， 解得：(负值舍去)，， ∴，， 此时，符合题意， 所以，的值为 21．（10分）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余推出，再根据可得证； （2）在中得，在中得，据此得到关于的方程，求解后可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 22．（12分）综合与实践 研究主题 探究两点之间线段的长度 素材一 全等三角形是几何中“形状与大小完全相同”的数学表达，是证明“线段相等”“角相等”的最核心，最基础的方法． 素材二 学校门口有一片竹林，某数学兴趣小组决定测量一下竹林两端、两点之间的直线距离． 小组现有的工具： 皮尺：可以测量长度，但是、之间的直线距离无法直接用皮尺测量； 测角仪：可以测量角的大小； 激光水平仪：可以判断三个点是否在一条直线上． 于是，小组开展了如下探究活动 素材三 可以利用三角形全等的判定方法设计方案．先在平地上取一个可直接到达、的点，再连接、，并分别延长、 任务一 全等三角形的判定中，其中______是基本事实． 任务二 把素材三的设计方案补充完整，并画出简易图，说明方案可行性的理由． 任务三 如果你是数学兴趣小组的一员，请你利用小组现有的工具，另外设计一个可行的方案，能够求出线段的长度． 【答案】任务一：，，； 任务二．利用三角形全等的判定方法设计方案：先在平地上取一个可直接到达、的点，利用激光水平仪判断，，三点不在一条直线上，连接、，延长至点，延长至点，连接，则，即测量的值即为的长度．画出图形如下： 由设计方案可知：，， ，为对顶角， ， 由公理可得：， ． 通过上述方案可得，测量的长度即为的长度． 任务三．设计方案如下： 先在平地上取一个可直接到达、的点，通过调整点点的位置，利用测角仪测得，测量，的长度，再利用，即可求得的长度． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理的应用． 任务一：根据全等三角形的判定定理分析，，，是无需证明的基本事实，是公理的推论，是直角三角形的特有的定理． 任务二：利用三角形全等的判定方法设计方案：先在平地上取一个可直接到达、的点，利用激光水平仪判断，，三点不在一条直线上，连接、，延长至点，延长至点，连接，则，即测量的值即为的长度． 任务三：先在平地上取一个可直接到达、的点，通过调整点点的位置，利用测角仪测得，测量，的长度，再利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：任务一．在全等三角形的判定中，，，是无需证明的基本事实，是公理的推论，是直角三角形的特有的定理． 故答案为：，，； 任务二． 略 任务三． 略 23．（12分）综合与探究 定义：如图1，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【初步感知】 (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则_______； 【深入探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点． 【拓展延伸】 (3)如图3，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请直接写出的长． 【答案】(1)13 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股分割点的定义可知，以，，为边的三角形是一个直角三角形，且是斜边，，是直角边，于是直接利用勾股定理即可得解； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理即可得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理可得到一个关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：以，，为边的三角形是一个直角三角形，且，， 是斜边，，是直角边， ； （2）证明：， ， 又， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可知： ，，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点，是线段的勾股分割点； （3）， ， 又， ， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可知： ，，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 勾股定理单元测试卷 （北师大版） 考试范围：八年级上册第1章全部内容；考试时间：90分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 2.的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，用10张直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6.中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   7．如图，在网格中有5个格点，分别为、、、、，下列说法错误的是（     ） A． B． C．与不全等，但是面积相等 D．与的面积相等 8．如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 10．如图1，两个月牙的面积之和等同于的面积．这就是著名的希波克拉底月牙定理，它是人类首次精准求出曲边图形面积的典型代表．慧聪小组利用边长为6的正方形设计出了如图2所示的一个“心”型图案，其中两个“月牙”是由直径分别为、、的三个半圆围成，则的结果是（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，，，，则点B到的距离为 . 12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 13．如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，．若，，垂足为点，，则的长为________． 14．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为___________． 15．如图，在长方形中，，，点N在边上，沿着折叠长方形，使点C落在点F处，连接．当线段的值最小时，_______． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（6分）如图，在四边形中，已知、、、且．求四边形的面积． 17．（8分）如图，在中， (1)求证： (2)作，D为垂足，求的长． 18．（8分）项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： (1)为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； (2)若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 19．（9分）利用无刻度的直尺画图． (1)利用图①中的网格，过P点画直线AB的平行线和垂线． (2)在图②的网格中画一个三角形，满足下列条件：①是直角三角形；②任意两个顶点都不在同一条网格线上；③三角形的顶点都在格点（网格线的交点）上． 20．（10分）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 21．（10分）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 22．（12分）综合与实践 研究主题 探究两点之间线段的长度 素材一 全等三角形是几何中“形状与大小完全相同”的数学表达，是证明“线段相等”“角相等”的最核心，最基础的方法． 素材二 学校门口有一片竹林，某数学兴趣小组决定测量一下竹林两端、两点之间的直线距离． 小组现有的工具： 皮尺：可以测量长度，但是、之间的直线距离无法直接用皮尺测量； 测角仪：可以测量角的大小； 激光水平仪：可以判断三个点是否在一条直线上． 于是，小组开展了如下探究活动 素材三 可以利用三角形全等的判定方法设计方案．先在平地上取一个可直接到达、的点，再连接、，并分别延长、 任务一 全等三角形的判定中，其中______是基本事实． 任务二 把素材三的设计方案补充完整，并画出简易图，说明方案可行性的理由． 任务三 如果你是数学兴趣小组的一员，请你利用小组现有的工具，另外设计一个可行的方案，能够求出线段的长度． 23．（12分）综合与探究 定义：如图1，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【初步感知】 (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则_______； 【深入探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点． 【拓展延伸】 (3)如图3，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请直接写出的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $