数学（二）-【衡水金卷·先享题】2025-2026学年高三数学一轮复习夯基模拟卷（A）

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 图查 ☒A伴学助手 数学（二） ☒知识巩固 口要点全览 ☒方法指南 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={一5，一3,0,1,4,6}，B={x∈Z-7<2x+1<9},则A∩B中的元素 的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知(x+yi)(1一i)=5-i(x,y∈R),则xy= A.1 B.-1 C.0 D.5 3.已知函数f(x)=tan wx- )十1(w>0)的最小正周期为号，则f(x)图象的对称中 心可以为 A.贤0 贤 c.(0) D.( 4.已知a=(合）b=log,号c=3og,2,则 1 A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.b<c<a 5.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横 截面可以看成正六边形网格图，如图所示.已知A,B,P为图中7个正六边形（边长为 1)的三个固定顶点，则AP·AB= A.12 B.12√3 C.16 D.163 6.若定义在R上的函数f(x)在[0，十∞)上单调递增，f(x一1)的图象关于直线x=1 对称，f(-3)=0,则不等式(x一1)f(x一2)≥0的解集为 A.[-2,1]U[5,+∞) B.[-1,1]U[5,+o∞) C.[-1,1]U[3,5] D.[0,1]U[2,5] 数学（二）第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 7.设双前线C:号芳=1。>06>0)的右顶点为A,过点A且斜率为3的直线与C的 两条渐近线分别交于P,Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足 0i+00=2Oi,AM=a,则C的离心率为 4.07 B.⑦0 D 9 3 5 8.在三棱锥P-ABC中，AB=2√3，PA=BC=2,PC=2√6，且AB⊥BC,AB⊥PA,则 该三棱锥外接球的表面积为 A.20π B.24π C.28π D.32元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1O00名用户的问卷 (用户打分都在50分到100分之间)中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为 左闭右开的区间)，得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中 点值为代表) 频率 组距 A.a=0.025 0.035 B.由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下 的有350人 0.020 C.估计这1000名用户问卷的得分的80%分位数为850.010 D.估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75 05060708090100芬数 10.已知抛物线C:y2=4√2x的焦点为F,准线为1，O为坐标原点，过点F的直线与抛 物线C交于A,B两点，分别过点A,B作l的垂线，垂足分别为A,B,则 A.以AB为直径的圆与L相切 B.△A'FB'为锐角三角形 C.A,O,B三点共线 D.|A'F2|B'F|2≥256 11.已知函数f(x)=m与g(x)=e,则 A.当m=3时，曲线f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程为y=一3x十6 B.若过点(0，a)可作曲线g(x)的两条切线，则a的取值范围为(0，e) C.若x>1时，g(x)≥(x一1)xf(x),则m的取值范围为（一co,e] D.若曲线(x)与曲线g(x)有三条公切线，则m的取值范围是（一是，0》 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,a3=7,Sg=117,则a1= 13.已知过原点O的直线与圆C:x2+y2一8x十8=0交于M,N两点，弦MN的中点为 P,则点P的轨迹长度为 高三一轮复习夯基卷 数学（二）第2页（共4页) 囚 14.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2 asin A+bsin C=ncsin Asin B. (1)当A=时，m的取值范围是 (i)当m取得最小值时，tanA= ·（本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}满足a1=2,a2=12,an+2=4(am+1一am). (I)证明：存在非零实数k,使得数列{am+1十kan}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sm 16.(本小题满分15分) 如图所示，在四棱锥S一ABCD中，AD⊥平面SAB,BC⊥平面SAB,△SAB是等 边三角形. (1)若E为棱SD上一点，直线AS与平面BCE交于点F,证明：EF∥平面ABCD; (2)若AD=SA=2,直线BD与平面SCD所成角的正弦值为四，求BC的长. 17.(本小题满分15分) 某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 2025年3月2025年4月2025年5月 2025年6月2025年7月2025年8月 月份代码x 2 3 4 5 6 销量y/千辆 7 10 11 12 14 (1)已知y与x线性相关，求出y关于x的经验回归方程，并估计该地区新能源汽 车在2026年3月份的销量； (2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培 训.该次培训分为三期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到 “优秀”标准的概率均为子.该企业规定：员工至少有两期培训达到“优秀”标准，才能使 用人工智能工具. 数学（二）第3页（共4页）》 衡水金卷·先享题·高 (ⅰ)求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率； (ⅱ)该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工 调整至其他部门，剩余员工进行该次培训.已知开展培训前，员工每人每年平均为企业 创造利润3万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创 造利润6万元，本次培训费每人1万元.现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于 调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？ 参考公式：经验回归方程y=x十a,其中= xy,-ay =1 ;a=y-bx. 参考数据：∑xy:=238,∑x=91. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C无士1(a>>0)的焦距为4V2,C上的点到两焦点的距离之和 为6. (1)求C的方程； (2)记C的左顶点为M,过点(1,0)的直线l与C交于A,B两点（异于M点）. (ⅰ)求△MAB的面积的取值范围； (ⅱ)直线MA,MB分别与直线x=9交于P,Q两点，证明：以PQ为直径的圆恒过 定点，并求出定点坐标. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=er-kln(x+1). (1)讨论f'(x)的零点个数； (2)当k=2时，证明：f(x)>0; (3)若f(.x)十sinx一1≥0，求k的取值集合. 三一轮复习夯基卷 数学（二）第4页（共4页） 囚衡水金卷·先享题·高三一轮复习夯基卷A 数学（二） 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 夯基卷A·数学（二） 一烧覆 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 求有限集合交集运 1 选择题 5 易 0.80 算中元素的个数 选择题 5 由复数相等求参 易 0.78 正切函数的对称 3 选择题 5 / 易 0.72 中心 比较指、对数函数值 4 选择题 5 中 0.65 的大小 5 选择题 5 向量的实际应用 中 0.55 6 选择题 5 解抽象函数不等式 中 0.40 7 选择题 5 求双曲线的离心率 中 0.35 8 选择题 5 几何体的外接球 难 0.28 9 选择题 6 统计图表 易 0.72 10 抛物线的焦点弦 选择题 6 中 0.55 性质 11 导数中的公切线 选择题 6 难 0.28 问题 等差数列的基本量 12 填空题 易 0.78 的计算 13 填空题 5 圆的性质的应用 中 0.60 三角变换与解三 14 填空题 5 中 0.40 角形 等比数列的证明，错 15 解答题 13 中 0.65 位相减法求和 线面平行的判定，利 16 解答题 15 中 0.55 用线面角求线段长 线性回归，相互独立 17 解答题 15 事件的概率，数学期 中 0.45 望的应用 衡水金卷·先享题·高三一轮复习夯基卷A 数学（二） 椭圆的标准方程，直 18 解答题 17 线与椭圆的位置关 J L 难 0.28 系，涉及定点问题 导数与函数的综合， 19 解答题 17 函数的零点，由不等 √ 难 0.25 式恒成立求参 ·%2 衡水金卷·先享题·高三一轮复习夯基卷A 数学（二） 参考答案及解析 数学（二） 一、选择题 1.C【解析】因为B={x∈Z-7<2x十1<9〉={x∈ 则MN=3m,由AM=平a,得m+9m Z-4<x<4}={-3,-2,-1,0,1,2,3},A= c,博m=子，所以M(停，是).设， {-5,-3,0,1,4,6),所以A∩B={-3,0,17,共3个 元素.故选C. Q(),则由双曲线的渐近线方程得票-普=0， 2.A【解析】因为(x+yi)(1一i)=(x+y)+(y-x)i =5-i,所以x十y=5,y-x=-1,解得x=3,y=2, 等-誉=0，所以。=。兰，整理得号 a2 所以x-y=1.故选A. 2X3 3.D【解析】由题意知8=受，得w=2,令2一经 i-2=M二业.4十业=3X a9 x是-xx1-x2x1十x2 ,所以e 受∈Z,得x=号+经，6∈，令=1，得x=受所 √=故B 5 以f(x)图象的对称中心可以为（受，1）故选D, 4.B【解析】因为0<a=(号)<1,6=log子<0，c =3log2=log8>1,所以b<a<c.故选B. 5.A【解析】连接AP,过P作PG⊥AB,则AG=1+1 +2X1Xcos60°=3，因为AP在AB上的投影向量为 AG,所以A户.AB=AG·AB=3×4=12.故选A 8.C【解析】过点A作AH∥BC,由AB⊥BC,得AB ⊥AH,又AB⊥PA,AH∩PA=A,AH,PAC平面 PAH,所以AB⊥平面PAH,过点A作A之⊥平面 ABC,分别以AB,HA,Ax所在直线为x轴、y轴、之 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2√，2,0). 6.B【解析】因为f(x一1)的图象关于直线x=1对 设∠PAH=日，则P(0,-2cos0,2sin8),PC=(2√3,2 称，所以f(x)的图象关于直线x=0对称，即(x)为 +2cos0,-2sin0).由PC=2√6，得 偶函数，由f(-3)=0,得f(3)=0,由f(x)在 /(23)2+(2+2cos8)2+(-2sin0)2=2√6，解得 [0,十∞)上单调递增，得∫(x)在(-∞，0)上单调递 减.由不等式(x-1)f(x-2)≥0，得x-1=0或 c0s0=号0=吾，则P0,-1w5.取AC的中点E, x-1>0 1x-1<0 /x-2)≥0受fx一2)≤0解得x≥5或-1≤ 或{ 则E(√3,1,0)，由题意知三棱锥P一ABC外接球的 球心O位于过点E且与A之平行的直线上，设O(W3, ≤1，所以原不等式的解集为[-1,1]U[5,十∞).故 1,h),则OP=(-√5，-2，√5-h),由OP=OA,得 选B 7.B【解析】由OP+OQ=2OM,得M为PQ的中点， √(-3)2+4十(W3-h)2=√3+1十h,解得h= 过点M作MN⊥x轴于点N,设AN=m(m>0), √3.设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,则R=7, ·%1 数学（二） 参考答案及解析 所以该球的表面积为4πR=28元.故选C. 1.ACD【解析】由题意知f()=一只，当m=3时。 f(1)=3,f'(1)=-3,所以f(x)的图象在(1，f(1) 处的切线方程为y-3=-3(x一1)，即y=-3x十 6,故A正确；设过点(0，a)的直线与g(x)相切于点 (xw,e)则0二a=e0,整理得a=1一x)e.设 u(x)=(1-x)e,则w'(x)=-xe,令t(x)>0,得 x<0,令t(x)<0,得x>0,所以u(x)在(-o∞，0) 二、选择题 上单调递增，在(0，十o)上单调递减，所以u(x)mx 9.ABC【解析】由10×(0.010十a十0.035+0.020十 =u(0)=1.当x<0时，u(x)>0,则0<a<1,故B 0.010)=1,得a=0.025,故A正确：由样本数据可估 错误；由题可知，e≥m(x一1)(x>1),所以m≤ 计1000名用户中打分在70分以下的有1000× 片设)=片则)= (x-1)2 (0.010十0.025)×10=350人，故B正确：设这1000 名用户问卷的得分的80%分位数为，则由10× ),当1<x<2时，(x)<0,当x>2时， e(x-2) (0.010+0.025+0.035)+(m-80)×0.020=0.8, (x)>0,所以v(x)在(1,2)上单调递减，在 得m=85,故C正确；由频率分布直方图得这1000 (2,十oo)上单调递增，所以(x)im=u(2)=e2,所以 名用户问卷的得分的平均数约为55×0.1十65× m≤e,故C正确；设公切线为l,(x1y)是1与曲线 0.25+75×0.35+85×0.2+95×0.1=74.5,故D错 f(x)的切点，(x2,y)是l与曲线g(x)的切点，所以 误.故选ABC. 1的方程为y一兴=(x一)，整理得y=: 10,ACD【解析】因为AB=AF|+|BF|=|AA' xI xi 十BB,AB的中点到1的距离为号(AA +2m,同理y一e=e(x一x),整理得y=ex+ e(1一x2).依题意两条直线重合，可得 BB)=号AB,所以以AB为直径的圆与1相 x 切，故A正确：抛物线C:y=42x的焦点 ,消去x1,得4m=-e2(x2-1)2, F(2,0),准线l:x=一√2，设A(x1,y1),B(x2y), 2m=e(1-xe） 直线AB:x=my十2，由=4Ex 由题意此方程有三个不等实根，设h(x)=一e(x ,得y2 x=my十2 1)2,即直线y=4m与曲线h(x)有三个不同的交点， 因为h'(x)=e(1-x2),令h'(x)=0,则x=士1，当 4V2my-8=0,△>0，所以y1十y2=4V2m,yMy2= x<-1或x>1时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当 y2 一8.因为如：--龙·厄 =2 一1x1时，h'(x)>0,h(x)单调递增，所以h(x) 8 有极小值为h(-1)=一4e',有极大值为h(1)=0, -1,所以A'F⊥B'F,所以△A'FB'为直角三角形， 因为e>0,(x-1)2≥0，所以h(x)≤0，当x趋近于 故B错误；因为ka1=业=42=42 =-巨 2, 一∞时，h(x)趋近于0；当x趋近于十o∞时，h(x)趋 8 近于一oo,故h(x)的图象简单表示为下图： koB'=- √2 一之，所以aa=w所以A,O,B 三点共线，故C正确；设直线！与x轴交于点M,由 B项和射影定理可知A'F2=A'M·A'B', B'F2=BM·A'B',所以|A'F2B'F2 1y1y2|y-y212=8[(yM+y2)2-4y12]=8(32m2 十32)≥256，故D正确.故选ACD. ·2 衡水金卷·先享题·高三一轮复习夯基卷A 数学（二） 所以当-4e<4m<0,即一。<m<0时，直线y 四、解答题 15.解：(1)因为an+2=4(aa+1一an), 4m与曲线h(x)有三个交点，故D正确.故选ACD. 三、填空题 所以+？十ka=4(a1一a,)十ka型 an+1十kan am+1十ka, 12.31【解析】设数列{an}的公差为d,因为a=7,所 =4十k)a+1-4a 以a1十2d=7,又S,=9a,a2=9a:=9(a1十4d an+1十kan 2 若数列{an+1十kan}是等比数列， =117,解得d=3,a1=1,所以am=a1十10d=31. 13.2π【解析】由C:x2+y2-8x十8=0，得(x-4)2十 又0，则中=产解得长=-2， y2=8,其圆心为(4,0)，半径为2√2.连接PC,则 此时42+-2a2土=2. OP·PC=0,则点P在以OC为直径的圆上，即 antl-2an (3分) 由a1=2,a2=12, (x-2)2十y=4,两圆相减得公共弦所在直线方程 为x=2,则点P的轨迹为半圆，轨迹长度为π×2 得a2-2a1=8, =2r. 所以当k=-2时，数列{an+1-2an}是以8为首项、2 为公比的等比数列， (4分) 14.[4,+） :【解析】(i)由题意知m= (2)由(1)得a+1-2a,=8X2m1=2+2, 2aA2-2AC,当A- csin Asin B 3 所以器一会=2， √ 时，= 23 sin Bsin C (6分) 3 即数列{2}为等差数列，且公差为2， sin Bsin(号-B） 2.因为in in(停-B)-9 sin BosB 所以多=号+2(m-1)=2m-1 即an=(2n-1)·2" (7分) 子mB=9m2B-1g2B-专如(2B时吾 则Sn=1×2十3×22+5×2十…十(2n-3)×2m-1 4 +(2n-1)×2m, -,由0<B<号，得g<2B+吾<0< 2S,=1×22+3×23十5×21+…+(2n-3)X2m十 合m(2B+吾)≤，所以m≥145(i)由 (2n-1)×2+1, (9分) 3 所以-Sn=2十2×22+2×2十2×21十…十2×2” 余弦定理和基本不等式得osA=+口≥ -(2n-1)×2m+1 2bc 2物a-1- =2+2×2(1-2-) 1-2 -(2n-1)X2+1 2bc 太，所以装>一4sA,由正孩定理 bc 得烟资动（装）少≥A,令 =-6十(3-2n)×2"+1, sin A 所以Sn=6+(2n-3)×2m+1. (13分) =5-4cosA,则ysin A+4cosA=5,sin(A+g）= 16.解：(1)因为AD⊥平面SAB,BC⊥平面SAB, sin A 所以AD∥BC, 中6，其中0s9= 5 V2+16sin9 y 因为ADC平面SAD,BC￠平面SAD, 所以BC∥平面SAD, (3分) V干16所以 4 ≤1，解得y≥3，即 5 由已知，B,C,E,F四点共面， 5-4cosA≥3，则mm=3,此时y=3,tanA=s0A 又因为BCC平面BCEF,平面BCEF∩平面SAD= sin A cos A EF, sm(受+2kx9） 所以EF∥BC, c0s2_3 sin 4 因为BCC平面ABCD,EF丈平面ABCD, cos(受+2k-) 所以EF∥平面ABCD. (6分) ·%3· 数学（二） 参考答案及解析 a=y-ix=10-1.6×3.5=4.4, (4分) 所以y关于x的经验回归方程为y=1.6x十4.4， 当x=13时，y=1.6×13+4.4=25.2, 所以估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销 量是25.2千辆 (5分) (2)(i)设“每位员工经过培训，能使用人工智能工 具”为事件A, 所以PA)=1-C×(号)×（日）-G×号× x (2)令BC=a(a>0), ()=器 (7分) 取AB的中点为O,连接SO,过O作OZ∥AD,且交 设甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用 DC于Z, 人工智能工具为事件B, 因为OZ∥AD,AD⊥平面SAB, 则P(B)=C×9×7=280 27×27-729 (8分) 所以OZ⊥平面SAB, 因为△SAB是正三角形，AO=BO, (ⅱ)设宣传部调x(x∈N“)人至其他部门，则参加 所以SO⊥AB. (7分) 培训的人数为100一x, 以0为坐标原点，O5,O,O立方向为x,y,之轴正方 设为培训后能使用人工智能工具的人数， 向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxy, 则B(100-x,器)· 则S(5,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,a),B(0,1,0), 所以BD=(0,-2,2),D5=(3,1,-2),DC=(0, 因此E()= 器100-x. (11分) 2,a-2). (9分) 调整后年利润为器100-)×6十(1-9)×(100 设平面SCD的法向量为n=(x,y,z), /n·D5=0 0×3-(100-)=100-x)万元， (13分) 则 n.D=01 即W5x+y-2=0 令0(100-x)≥100X3解得x<≈280. (15分) 2y十(a-2)x=0 所以最多可以调28人到其他部门. 18.解：(1)设C的焦距为2c, 取之=23，则n=(a十2，√5(2-a),2√3)，(11分) 由题意可知2c=4√2,2a=6, (2分) 设直线BD与平面SCD所成角为0， 则sin0= B市.nL-5× a √10 所以c=2√2，a=3,b=9-8=1, BD·n 41 √a2-2a+7 所以椭圆C的方程为号十广-1. (4分) (13分) (2)(i)由(1)得M(-3,0), 整理得a2-32a十112=0，解得a=4或a=28, 即BC=4或28. 设A(x1,y),B(x2y）, (15分) 由题得直线l的斜率不为零，设l:x=my十1， 17.解：（①）由题意得x-1十2士34+5士6-3.5， 6 xr2+9y2=9 由 y=6+7+10+11+12+14=10, (x=my+1 ,得(m2+9)y2+2my-8=0, 6 (2分) 所以△=4m2十32(m2+9)=36m2+288>0, ∑y,-6xy 238-6×3.5×10 y十y=-2m 8 ngy=n千9 (6分) 所以6= 91-6×3.52 则5as=子×4Xn为 1.6, =2y1- 衡水金卷·先享题·高三一轮复习夯基卷A 数学（二） =2√y+y)-4yy 故以PQ为直径的圆恒过定点(9十2√2,0)和(9一 =12√m2+8 m2十9 (9分) 2√2,0). (17分) 令t=/m+8,t∈[2√2，+o∞)， 则S△MAB 12. 12 因为y=1计在[2厄，十∞)上单调递增， 所以(Sawm)-8Y2 39 所以△MAB的面积的取值范围为(0,8y] 3 19.解：1由了)=e-合气=0，得=x1e, (10分) 设m(x)=(x十1)e(x>-1), (i)由题意可得直线MA,MB的斜率均存在且均 则m'(x)=(x+2)e>0, 不为0， 所以m(x)在（一1，十o∞）上单调递增， 由直线A:y一产红十3)和=9，联立解得p 所以m(x)>0, 所以当k≤0时，f(x)无零点；当>0时，f(x)有 -12y 1十31 一个零点 (4分) (2)当k=2时，f(x)=e-2ln(x+1), 所以P(兴)广 同理得Q个e,竿)】 则r=e品 (11分) 易知f(x)在（一1，十∞）上单调递增， (5分) 易得以PQ为直径的圆的方程为(x一9)(x-9)十 因为(0)=-1<0，f'(1)=e-1>0, (-兴)()=0， 所以存在唯一x0∈(0,1)，使得f(xo)=eo一 2 即(x-9)2十y- 12y+12 144yM2 w+70. 十3+3y (m十3)(x2+3) 当-1<x<x时，f(x)<0, =0. (13分) 当x>xo时，f(x)>0, 而厂 y2 'my2十4 所以f(x)在(-1，x0)上单调递减，在(x0,十∞)上 单调递增， 2y1y2+4(M+2) myy+4m(y十y2)+16 所以f(x)mim=eb-2ln(xo十l). (7分) 由f(xo)=e0一 十=0，得e=2 2 x0十1 m(g)十领()H6 6 即xo十ln(xo+1)=ln2, 2 yiyz y12 所以f)m=行+2w-2n2 (1十3)(x2+3)my1+4m(yM十y2)+16 -8 、2 。+7+2(+1)-2-21n2 m2+9 22,2、8。+4n（20】十16 18 >2(1-ln2)>0, m2+9 （m2+9》 所以f(x)>0. (9分) 故以PQ为直径的圆的方程为(x-9)2+十y2十2my (3)由f(x)+sinx-1≥0， -8=0, (15分) 得e-ln(x+1)+sinx-1≥0， 令y=0,得x=9士22， 设g(x)=e-kln(x+1)十sinx-1,x∈(-1，十oo), ·%5 数学（二） 参考答案及解析 则g'(x)=e十cosx- x+1, 因为g)=t+msk奇>e-1-1>0. 令(x)=g'(x)=e十cosx 又g(0)=2-k<0, x十1， 所以存在x∈(0，k),使得g'(x)=0, k 则g'(x)=e-sinx+(x+1D· (10分) 当0<x<x1时，g'(x)<0,g(x)为减函数， ①当k=2时， 所以g(x1)<g(0)=0,不符合题意： (13分) ③当0<k<2时，同②有g'(x)为增函数， 当xe(-1,0]时，e+cos≤2，- x+1≤-2， 当-1<<-1+专<0时，奇<-2 所以g'(x)≤0， 当x∈[0，十o∞)时，e≥1,9'(x)=e-sinx十 则g1+1A气0， 2 (x+1)≥0， 又因为g'(0)=2-k>0, 则(x)在[0，十∞)上单调递增， 所以存在x2∈(-1,0)，使得g'(x2)=0, 所以g'(x)≥g'(0)=cos0十e°-2=0， 当x2<x<0时，g(x)>0,g(x)为增函数， 所以g(x)<g(0)=0,不符合题意： (15分) 所以x=0为g(x)在x∈(-1，+∞)上的唯一极小 值点， ④当k≤0时， 则g(x)≥g(0)=0, 当x∈(-1,0]时，e>0,cosx>0,有cosx十e>0, 所以k=2时，g(x)≥0恒成立： 当x∈(0，十o∞)时，e>1,cosx≥-1，有cosx十e (11分) >0, ②当k>2时， 当x∈(-1,0]时，e>0,sinx<0,有e-sinx>0, 又-x千≥0， 当x∈(0，十oo)时，e>1,sinx≤1，有e-sinx>0, 所以g'(x)>0,g(x)为增函数， 又xF)>0, 又因为g(0)=0, 所以当一1<x<0时，g(x)<g(0)=0,不符合题意. k 所以g(x)=e-sinx+x中D>0. 综上所述，k的取值集合为{2} (17分) 即g(x)为增函数. 反馈意见有奖 ·%6